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西安市重點(diǎn)中學(xué)2025年全國卷Ⅱ數(shù)學(xué)試題高考模擬題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若雙曲線的離心率,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為()A. B.2 C. D.12.已知復(fù)數(shù)z,則復(fù)數(shù)z的虛部為()A. B. C.i D.i3.已知,若方程有唯一解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.4.已知函數(shù).若存在實(shí)數(shù),且,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知向量與的夾角為,定義為與的“向量積”,且是一個(gè)向量,它的長度,若,,則()A. B.C.6 D.6.已知雙曲線()的漸近線方程為,則()A. B. C. D.7.設(shè)集合則()A. B. C. D.8.設(shè),則““是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必條件9.設(shè)函數(shù),若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則()A.12 B.11 C.6 D.310.2019年10月17日是我國第6個(gè)“扶貧日”,某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動(dòng),現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中,醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院,醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院,醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院,其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以,若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生,則不同的分配方案共有()A.18種 B.20種 C.22種 D.24種11.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要12.已知,其中是虛數(shù)單位,則對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在△ABC中,E為邊AC上一點(diǎn),且,P為BE上一點(diǎn),且滿足,則的最小值為______.14.的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為______;系數(shù)最大的項(xiàng)是______.15.已知(且)有最小值,且最小值不小于1,則的取值范圍為__________.16.從2、3、5、7、11、13這六個(gè)質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是________(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅(jiān)持,在我國有很多手工藝品制作村落,村民的手工技藝世代相傳,有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名,還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎,該村村民成立了手工藝品外銷合作社,為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān),合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān),質(zhì)量把關(guān)程序如下:(i)若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為A級;(ii)若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為B級,若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為C級;(iii)若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為,且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨(dú)立.(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率;(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級均可外銷,且利潤分別為900元,600元,300元,質(zhì)量為D級不能外銷,利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件;②記1件手工藝品的利潤為X元,求X的分布列與期望.18.(12分)已知數(shù)列滿足:對任意,都有.(1)若,求的值;(2)若是等比數(shù)列,求的通項(xiàng)公式;(3)設(shè),,求證:若成等差數(shù)列,則也成等差數(shù)列.19.(12分)已知,.(1)解;(2)若,證明:.20.(12分)某貧困地區(qū)幾個(gè)丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路,以及鐵路線上的一條應(yīng)開鑿的直線穿山隧道,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,以所在的直線分別為軸,軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,山區(qū)邊界曲線為,設(shè)公路與曲線相切于點(diǎn),的橫坐標(biāo)為.(1)當(dāng)為何值時(shí),公路的長度最短?求出最短長度;(2)當(dāng)公路的長度最短時(shí),設(shè)公路交軸,軸分別為,兩點(diǎn),并測得四邊形中,,,千米,千米,求應(yīng)開鑿的隧道的長度.21.(12分)已知矩陣,.求矩陣;求矩陣的特征值.22.(10分)如圖:在中,,,.(1)求角;(2)設(shè)為的中點(diǎn),求中線的長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù)雙曲線的解析式及離心率,可求得的值;得漸近線方程后,由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率,則,,解得,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,則雙曲線漸近線方程為,即,不妨取右焦點(diǎn),則由點(diǎn)到直線距離公式可得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應(yīng)用,漸近線方程的求法,點(diǎn)到直線距離公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出【詳解】,則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
求出的表達(dá)式,畫出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象以及二次方程實(shí)根的分布,求出的范圍即可.【詳解】解:令,則,則,故,如圖示:由,得,函數(shù)恒過,,由,,可得,,,若方程有唯一解,則或,即或;當(dāng)即圖象相切時(shí),根據(jù),,解得舍去),則的范圍是,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.4.D【解析】
首先對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的符號分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值,根據(jù)題意,列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系,求得結(jié)果.【詳解】,令,得,.其單調(diào)性及極值情況如下:x0+0_0+極大值極小值若存在,使得,則(如圖1)或(如圖2).(圖1)(圖2)于是可得,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問題,涉及到的知識點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,畫出圖象數(shù)形結(jié)合,屬于較難題目.5.D【解析】
先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和,進(jìn)而求出,代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意,則,,得,由定義知,故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,引入新定義,屬于簡單題目.6.A【解析】
根據(jù)雙曲線方程(),確定焦點(diǎn)位置,再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(),所以,又因?yàn)闈u近線方程為,所以,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
直接求交集得到答案.【詳解】集合,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡單題.8.B【解析】
解出兩個(gè)不等式的解集,根據(jù)充分條件和必要條件的定義,即可得到本題答案.【詳解】由,得,又由,得,因?yàn)榧希浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷,其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.9.B【解析】
畫出函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),然后轉(zhuǎn)化求解,即可得出結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,令,由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個(gè)或三個(gè)(時(shí)有三個(gè),時(shí)有兩個(gè)),所以關(guān)于的方程只能有一個(gè)根(若有兩個(gè)根,則關(guān)于的方程有四個(gè)或五個(gè)根),由,可得的值分別為,則故選B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于常考題型.10.B【解析】
分兩類:一類是醫(yī)院A只分配1人,另一類是醫(yī)院A分配2人,分別計(jì)算出兩類的分配種數(shù),再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類:第一類:若醫(yī)院A只分配1人,則乙必在醫(yī)院B,當(dāng)醫(yī)院B只有1人,則共有種不同分配方案,當(dāng)醫(yī)院B有2人,則共有種不同分配方案,所以當(dāng)醫(yī)院A只分配1人時(shí),共有種不同分配方案;第二類:若醫(yī)院A分配2人,當(dāng)乙在醫(yī)院A時(shí),共有種不同分配方案,當(dāng)乙不在A醫(yī)院,在B醫(yī)院時(shí),共有種不同分配方案,所以當(dāng)醫(yī)院A分配2人時(shí),共有種不同分配方案;共有20種不同分配方案.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用,在做此類題時(shí),要做到分類不重不漏,考查學(xué)生分類討論的思想,是一道中檔題.11.A【解析】
首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足,的基本量,根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列,若成立,有,因?yàn)楹愠闪ⅲ士梢酝瞥銮遥舫闪ⅲ?dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有,因?yàn)楹愠闪ⅲ杂校士梢酝瞥觯浴啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解,充分必要條件的集合關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
利用復(fù)數(shù)相等的條件求得,,則答案可求.【詳解】由,得,.對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,考查復(fù)數(shù)相等的條件,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】試題分析:根據(jù)題意有,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以有,從而有,所以的最小值是.考點(diǎn):向量的運(yùn)算,基本不等式.【方法點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用基本不等式求最值的問題,屬于中檔題目,在解題的過程中,關(guān)鍵步驟在于對題中條件的轉(zhuǎn)化,根據(jù)三點(diǎn)共線,結(jié)合向量的性質(zhì)可知,從而等價(jià)于已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問題,兩式乘積,最后應(yīng)用基本不等式求得結(jié)果,最后再加,得出最后的答案.14.【解析】
求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),令指數(shù)為零,求出參數(shù)的值,代入可得出展開式中的常數(shù)項(xiàng);求出項(xiàng)的系數(shù),利用作商法可求出系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】的展開式的通項(xiàng)為,令,得,所以,展開式中的常數(shù)項(xiàng)為;令,令,即,解得,,,因此,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的求解,同時(shí)也考查了系數(shù)最大項(xiàng)的求解,涉及展開式通項(xiàng)的應(yīng)用,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.15.【解析】
真數(shù)有最小值,根據(jù)已知可得的范圍,求出函數(shù)的最小值,建立關(guān)于的不等量關(guān)系,求解即可.【詳解】,且(且)有最小值,,的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
依據(jù)古典概型的計(jì)算公式,分別求“任取兩個(gè)數(shù)”和“任取兩個(gè)數(shù),和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù),計(jì)算即可。【詳解】“任取兩個(gè)數(shù)”的事件數(shù)為,“任取兩個(gè)數(shù),和是質(zhì)數(shù)”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3個(gè),所以任取兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是。【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)①2②期望值為X900600300100P【解析】
(1)一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為.(2)①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件,則,則,.由得,所以當(dāng)時(shí),,即,由得,所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),最大,即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由上可得一件手工藝品質(zhì)量為A級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,所以X的分布列為X900600300100P則期望為.18.(1)3;(2);(3)見解析.【解析】
(1)依據(jù)下標(biāo)的關(guān)系,有,,兩式相加,即可求出;(2)依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知,求出首項(xiàng)和公比即可。利用關(guān)系式,列出方程,可以解出首項(xiàng)和公比;(3)利用等差數(shù)列的定義,即可證出。【詳解】(1)因?yàn)閷θ我猓加校裕瑑墒较嗉樱獾茫唬?)設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,因?yàn)閷θ我猓加校杂校獾茫郑从校喌茫矗颍驗(yàn)椋喌茫怨省#?)因?yàn)閷θ我猓加校杂校傻炔顢?shù)列,設(shè)公差為,,,,,由等差數(shù)列的定義知,也成等差數(shù)列。【點(diǎn)睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義以及賦值法的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的邏輯推理,數(shù)學(xué)建模,綜合運(yùn)用數(shù)列知識的能力。19.(1);(2)見解析.【解析】
(1)在不等式兩邊平方化簡轉(zhuǎn)化為二次不等式,解此二次不等式即可得出結(jié)果;(2)利用絕對值三角不等式可證得成立.【詳解】(1),,由得,不等式兩邊平方得,即,解得或.因此,不等式的解集為;(2),,由絕對值三角不等式可得.因此,.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值不等式的求解,同時(shí)也考查了利用絕對值三角不等式證明不等式,考查推理能力與運(yùn)算求解能力,屬于中等題.20.(1)當(dāng)時(shí),公路的長度最短為千米;(2)(千米).【解析】
(1)設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程為,根據(jù)兩點(diǎn)間距離得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性,從而得出極值和最值,即可得出結(jié)果;(2)在中,由余弦定理得出,利
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