臺體側(cè)面積公式臺體(棱臺和圓臺)的體積公式球的表面積公式體積直線與直線平行知識點一基本事實4文字語言平行于同一條直線的兩條直線平行圖形語言符號語言作用證明兩條直線平行說明基本事實4表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性知識點二空間等角定理1．定理文字語言如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補符號語言圖形語言作用判斷或證明兩個角相等或互補2.推廣如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等．思考如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎？直線與平面平行知識點一直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號語言圖形語言思考(1)若一直線與平面內(nèi)的一條直線平行，一定有直線與平面平行嗎？(2)如果一條直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都平行，那么該直線和平面之間具有什么關(guān)系？答案平行或直線在平面內(nèi)．知識點二直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號語言圖形語言思考如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線和平面內(nèi)的直線有怎樣的位置關(guān)系？判斷正誤若直線a與平面α不平行，則a與α相交．()2．若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線不平行，則直線與平面α不平行．()3．若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，則a∥b.()4．若直線l不平行于平面α，則直線l就不平行于平面α內(nèi)的任意一條直線．()知識點一平面與平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行符號語言圖形語言思考應(yīng)用面面平行判定定理應(yīng)具備哪些條件？答案①平面α內(nèi)兩條相交直線a，b，即a?α，b?α，a∩b＝A.②兩條相交直線a，b都與β平行，即a∥β，b∥β.知識點二兩個平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行符號語言圖形語言思考若兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面有什么位置關(guān)系？與另一個平面內(nèi)的直線有什么位置關(guān)系？若一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行．()2．兩個平面同時與第三個平面相交，若兩交線平行，則這兩個平面平行．()3．若平面α∥平面β，l?平面β，m?平面α，則l∥m.()4．平面內(nèi)兩直線的夾角(1)定義：平面內(nèi)兩條直線相交形成4個角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角)；規(guī)定兩直線平行時夾角為0°，垂直時夾角為90°.(2)范圍：兩條直線夾角α的取值范圍是知識點二異面直線所成的角1．定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．2．空間兩條直線所成角α的取值范圍：.知識點三直線與直線垂直如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b互相垂直，記作a⊥b.知識點二直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言?l⊥α圖形語言思考若把定理中的“兩條相交直線”改為“兩條平行直線”，直線與平面一定垂直嗎？答案當(dāng)這兩條直線平行時，直線可與平面平行或相交或在平面內(nèi)，但不一定垂直．有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線與一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中直線PA斜足斜線和平面的交點，如圖中點A射影過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中∠PAO規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，則知識點三直線與平面所成的角知識點四直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言?a∥b圖形語言一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離，如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．思考垂直于同一平面的兩條垂線一定共面嗎？．如果一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的所有直線．()3．如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．()知識點一二面角的概念1．定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形．2．相關(guān)概念：(1)這條直線叫做二面角的棱；(2)兩個半平面叫做二面角的面．3．畫法：4．記法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5．二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是.(2)二面角的平面角α的取值范圍是.平面角是直角的二面角叫做直二面角．知識點二平面與平面垂直1．平面與平面垂直的定義(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)畫法：(3)記作：α⊥β.2．平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直符號語言?α⊥β圖形語言知識點三平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直符號語言?a⊥β圖形語言2．共面向量定義平行于同一個平面的向量三個向量共面的充要條件向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)使p＝xa＋yb二面角的平面角三種作法：定義法垂線法：垂面法：（2）投影面積法（）一、空間向量的有關(guān)概念1．在空間，把具有和的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的或．空間向量用有向線段表示，有向線段的表示空間向量的模，a的起點是A，終點是B，則a也可記作，其模記為或2．幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量規(guī)定長度為的向量叫做零向量，記為方向不確定單位向量模為的向量叫做單位向量，方向不確定相反向量與向量a長度而方向的向量，叫做a的相反向量，記為共線向量共線向量或平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量，即對于任意向量a，都有相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量注意點：1在空間中,零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對應(yīng)的概念完全相同;2.由于向量是由其模和方向確定的,所以解答空間向量有關(guān)概念問題時,通常抓住這兩點來解決;3.零向量是一個特殊向量,其方向是任意的,且與任何向量共線,這一點說明向量共線不具有傳遞性.比如0．同時還要注意以下幾點(1)平面向量是一種特殊的空間向量．(2)兩個向量相等的充要條件為長度相等，方向相同．(3)向量不能比較大小．二、空間向量的加減運算問題空間中的任意兩個向量是否共面？為什么？提示共面，任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，因此空間中向量的加減運算與平面中一致．加法運算三角形法則語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語言敘述共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和圖形敘述減法運算三角形法則語言敘述共起點，連終點，方向指向被減向量圖形敘述加法運算交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)注意點：(1)求向量和時，可以首尾相接，也可共起點；求向量差時，可以共起點．(2)三角形法則、平行四邊形法則在空間向量中也適用．三、空間向量的數(shù)乘運算定義與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘幾何意義λ>0λa與向量a的方向相同λa的長度是a的長度的|λ|倍λ<0λa與向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的運算律結(jié)合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb注意點：(1)當(dāng)λ＝0或a＝0時，λa＝0．(2)λ的正負影響著向量λa的方向，λ的絕對值的大小影響著λa的長度．(3)向量λa與向量a一定是共線向量．判斷或證明空間中的三點(如P，A，B)共線的方法：是否存在實數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→)).或者：三個向量共面的條件：向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)使p＝xa＋yb三個向量p，a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)使p＝xa＋yb，對嗎？問題4對于不共線的三點A，B，C和平面ABC外的一點O，空間一點P滿足關(guān)系式eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？提示x＋y＋z＝1.如果對于空間四點A，B，C，P滿足關(guān)系式eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))且x＋y＋z＝1.能否說明四點A，B，C，P共面點P與A，B，C共面時，對空間任意一點O，都有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1，一、空間向量的夾角定義已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則叫做向量a，b的夾角，記作范圍向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b，記作ab二、空間向量的數(shù)量積運算1．(1)空間向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a，b，則叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a＝(2)運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律交換律分配律2.向量的投影(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖②)．(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．注意點：(1)向量a，b的數(shù)量積記為a·b，而不能表示為a×b或者ab.(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實數(shù)，而不是向量，它可以是正數(shù)、負數(shù)或零，其符號由夾角θ的范圍決定．①當(dāng)θ為銳角時，a·b>0；但當(dāng)a·b>0時，θ不一定為銳角，因為θ也可能為0.故：θ為銳角是a·b>0的條件②當(dāng)θ為鈍角時，a·b<0；但當(dāng)a·b<0時，θ不一定為鈍角，因為θ也可能為π.故：θ為鈍角是a·b<0的條件(3)空間向量的數(shù)量積運算不滿足消去律和結(jié)合律．(1)若a，b為非零向量，則a⊥b?a·b＝0；(2)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(3)若a，b為非零向量，則cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(4)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a，b共線時等號成立)．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)(a±b)2＝；(a＋b)·(a－b)＝例3如圖，已知一個60°的二面角的棱上有兩點A，B，AC，BD分別是在這兩個面內(nèi)且垂直于AB的線段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長．故CD的長為2eq\r(17).一、空間向量基本定理基本知識點1．空間向量的基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝2．基底：我們把{a，b，c}叫做空間的一個，a，b，c都叫做基向量．注意點：(1)空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底．基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表達式也有可能不同．(2)一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．(3)由于零向量與任意一個非零向量共線，與任意兩個不共線的非零向量共面，所以若三個向量不共面，就說明它們都不是零向量．一、空間直角坐標系1．空間直角坐標系：單位正交基底{i，j，k}，空間直角坐標系Oxyz.（要求為右手系坐標系）2．相關(guān)概念：坐標平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．注意點：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0.(2)畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐標系均為右手直角坐標系．二、求空間點的坐標eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.等價于向量eq\o(OA,\s\up6(→))=(x，y，z)，叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標．向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標是；向量的坐標：a＝xi＋yj＋zk.記作a＝(x，y，z)．問題空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標有什么特點？提示點的位置x軸上y軸上z軸上坐標的形式點的位置Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)坐標的形式一、空間向量運算的坐標表示設(shè)向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量運算向量表示坐標表示加法a＋b減法a－b數(shù)乘λa數(shù)量積a·b注意點：(1)空間向量運算的坐標表示與平面向量的坐標表示完全一致．(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝．即一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標．(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝；(a＋b)·(a－b)＝(4)向量線性運算的結(jié)果仍是向量，用坐標表示；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量．設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).注意點：(1)空間兩點間的距離公式類似于平面中的兩點之間的距離公式，可以類比記憶．(2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2＋z2).直線的向量表示1．設(shè)A是直線上一點，a是直線l的方向向量，在直線l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，設(shè)P是直線l上任意一點，(1)點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(AP,\s\up6(→)).充要條件是存在實數(shù)t.使eq\o(OP,\s\up6(→))＝2．空間任意直線都可以由直線上一點及直線的方向向量唯一確定．注意點：(1)空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合．(2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，直線的方向向量不唯一．空間中平面的向量表示1．如圖，設(shè)兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.2．如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，y，使我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式．思考：空間四點A,B,C,P共面的條件：3.空間中任意平面由空間一點及平面的法向量a的平面完全確定，可以表示為注意點：(1)平面α的一個法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量．(2)一個平面的法向量有無限多個，它們相互平行．（1）平面的法向量：第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向；第二步：那么平面法向量，滿足一、直線和直線垂直設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2??注意點：(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量相互垂直．(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.二、直線與平面垂直設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α??注意點(1)若證明線面垂直，即證明直線的方向向量與平面的法向量平行．(2)證明線面垂直的方法：①基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．②坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．③法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論．三、平面與平面垂直設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β??.注意點：(1)若證面面垂直，則證兩平面的法向量垂直．(2)利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直．(3)向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系，恰當(dāng)建系或用基向量表示后，只需經(jīng)過向量運算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法“公式化”，降低了思維難度．一、直線和直線平行設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2??注意點：(1)此處不考慮線線重合的情況．(2)證明線線平行的兩種思路：①用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，通過向量的線性運算，利用向量共線的充要條件證明．②建立空間直角坐標系，通過坐標運算，利用向量平行的坐標表示．二、直線和平面平行設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α??注意點：(1)證明線面平行的關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量垂直．特別強調(diào)直線在平面外．（2）也可以用共面向量的方法證線面平行三、平面和平面平行設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β??一、兩異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則