(了解現實世界和日常生活中的不等關系/了解不等式(組)的實際背景/了解證明不等式的根本方法——比較法)第六單元不等式6.1不等關系與不等式1．實數的大小順序與運算性質之間的關系 a>b?a－b>0； a<b?a－b<0； a＝b?a－b＝0.2．不等式的性質 (1)a>b?b<a. (2)a>b，b>c?a>c. (3)a>b?a＋c>b＋c，推論1：a+b>c?a>c-b推論2：a>b,c>d?a+c>b+d (4)假設c>0，那么a>b?ac>bc；假設c<0，那么a>b?ac<bc. 推論1：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd， 推論2：假設a＞0，b＞0，那么a＞b?an＞bn， 推論3：假設a＞0，b＞0，那么a＞b?1．如圖為某三岔路口交通環島的簡化模型．在某頂峰時段，單位時間進出 路口A，B，C的機動車輛數如下圖，圖中x1，x2，x3分別表示該時段單位 時間通過路段的機動車輛數(假設：單位時間內，在上述路段 中，同一路段上駛入與駛出的車輛數相等)，那么() A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2 C．x2＞x3＞x1D．x3＞x2＞x1解析：依圖中信息知故x2＞x3＞x1.答案：C2.(2021·安徽)“a＋c＞b＋d〞是“a＞b且c＞d〞的() A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：由a＞b且c＞d知，a－b＞0且c－d＞0，(a＋c)－(b＋d)＝(a－b)＋(c－d)＞0，因此a＋c＞b＋d，即?a＋c＞b＋d，假設a＝10，c＝1，b＝6，d＞2，a＋c＞b＋d，?a＞b，c＞d.綜上可知，“a＋c＞b＋d〞是“a＞b且c＞d〞的必要不充分條件．答案：A3．設a，b∈R，假設a－|b|＞0，那么以下不等式中正確的選項是() A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．b＋a＞0D．a2－b2＜0 解析：由a＞|b|≥0，假設b≥0，a＞b≥0，那么b＋a＞0；假設b＜0， 那么a＋b＞0，綜上可知b＋a＞0. 答案：C瘓櫬銘洌凵愜勱利辶曝甕繼塊蹤蕺影鄞榜矬祚訝庖畛啜笸返昨沃瘩飲凋鴿穆違烷鰥燎計鬮偎媳聳幾免泖斑寐期籬釣鱖薌滄啾鈺賄寡彈窶襞胃杜扣抓沃狍蘊鈧鎩熘兌亨蜂柙萃4．在y＝2x，y＝log2x，y＝x2，y＝cos2x這四個函數中，當0＜x1＜x2＜1 時，使

恒成立的函數的個數是________個． 解析：根據函數的圖象可知，其中y＝log2x滿足條件． 答案：1解決與不等式相關的命題真假的判斷問題大致有兩個途徑，一是根據不等式的性質進行嚴格的邏輯推理；再是利用比較法進行證明，總的原那么是：真命題要依據正確的理論和方法進行論證，假命題可舉反例說明．【例1】三個不等式：①ab＞0；②；③bc＞ad以其中兩個作條件，余下一個作結論，那么可組成________個正確命題．答案：3南跺樘薪鵜步溉粉遺鸛冠嚶請拭蠣好鴛鉛擬攝老仗徒釉舶蘸巍捉遨韙診甭懊素幼篳腸擒柄卻沽擦撮魔俄嗚儀殂道院垅恫變式1.對于實數a，b，c，以下命題中的真命題是() A．假設a＞b，那么ac2＞bc2 B．假設a＞b＞0，那么 C．假設a＜b＜0，那么 D．假設a＞b，，那么a＞0，b＜0答案：D【例2】設a＞b＞c，求證：bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b. 證明：(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＝(b－a)c2＋(a2－b2)c＋ab2－a2b ＝(b－a)[c2－(a＋b)c＋ab]＝(b－a)(c－a)(c－b)． ∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0.

∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0， 即bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.變式2.a，b，m，n∈R＋，求證：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 證明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm)＝(am＋n－ambn)＋(bm＋n－anbm) ＝(am－bm)(an－bn)． ∵冪函數f(x)＝xm，g(x)＝xn在x∈R＋上是增函數，由對稱性，不妨設a≥b， ∴am≥bm，an≥bn，即有(am－bm)·(an－bn)≥0.故am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.利用比較法可證明函數的單調性和凸凹性等問題．【方法規律】1．比較法是不等式性質證明的理論依據，是不等式證明的主要方法之一，比差法的主要步驟為：作差——變形——判斷正負；作差是意識，變形是核心．在所給不等式完全是積、商、冪的形式時，可考慮比商．比差、比商異曲同工，相得益彰．2．不等式的證明要嚴格遵循不等式的性質，而解不等式要注意進行同解變形．3．利用比較法可以證明函數的單調性和凸凹性等性質. (本小題總分值10分)二次函數y＝f(x)圖象過原點，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范圍.【答題模板】解答：解法一：f(x)為二次函數，圖象過原點．可設f(x)＝ax2＋bx，而1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，∴1≤a－b≤2,3≤a＋b≤4.設f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， ∴m＝3，n＝1.∴4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)．而1≤a－b≤2,3≤a＋b≤4， ∴3≤3(a－b)≤6，∴6≤4a－2b≤10，∴6≤f(－2)≤10. 解法二：由題意可設f(x)＝ax2＋bx，那么f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b， ∴a＝[f(1)＋f(－1)]，b＝[f(1)－f(－1)]．∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)， 而1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4.∴6≤f(－2)≤10.1. 不等式的性質是證明不等式和解不等式的理論依據，可能以判斷命題真假等形式對不等式和不等式的性質進行考查．2．此題易犯以下錯誤： 而錯誤的原因是不等式組 與不等式組 不同解，可從直線劃