2024年小升初數學重難點&壓軸題專練

第四講探索規律（43題）

重點考察知識點一：比算術中的規律

1．（2023?隆昌市）如表，從左邊第一個格子開始向右數，在每個小格子中都填入一個整數，

使得其中任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等。若取最左端3個格子中的后兩個記作

x、y，那么x﹣y＝。

8xy74……

2．（2023?海曙區）如圖，張亮在計算機課上編制了一個計算小程序，輸入一個數后，小程序

通過計算會輸出另一個數。請根據發現的規律解決以下問題。

①輸入3，輸出11

②輸入7，輸出27

③輸入10，輸出39

（1）輸入，輸出47；

（2）如果輸入a，輸出。

3．（2022?宜昌）如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為48，我們發現第1次輸出的

結果為24，第2次輸出的結果為12，……，第2022次輸出的結果為。

4．“次方之美”。當你把相同的數進行重復相乘，你就會使用到次方來進行描述。

比如：8×8×8×8＝84（4個8相乘）

7×7×7×7×7×7＝76（6個7相乘）

根據以上信息判斷對錯。對的打“√”，錯的打“×”。

（1）816是815的8倍。

（2）810是8的10倍。

下面是7的1﹣9次方。請留心數變化的規律!這些數的最后一個數字遵循了一個規律。

研究該規律并回答如下的問題。

71＝7

72＝49

73＝343

第1頁共40頁

74＝2401

75＝16807

76＝117649

77＝823543

78＝5764801

79＝40353607

那么7190的最后一個數字是。

重點考察知識點二：數列中的規律

5．（2023?大渡口區）有一列數：1，，，，，，，，，，，，，，

，……，則是第（）個數。

A．88B．94C．88或94D．81或88

6．（2023?阿城區）找規律填數。

3，11，20，30，，53，……

0.3，0.9，2.7，8.1，，……

7．（2023?鐵西區）有一列數，第一個數是100，第二個數是90，從第三個數開始，每個數都

是它前面兩個數的平均數．第三十個數的整數部分是．

8．（2023?金安區）數學老師巴爾末成功的從光譜數據，，，……中得到巴爾末公

式，從而打開了光譜奧秘大門。請你按照這種規律，寫出第7個數據是。

9．（2023?上虞區）找規律，填一填。

（1）0.9，0.99，0.999，0.9999，……，這列數的每一項越來越大，越來越接近。

（2），……，這列數的每一項越來越小，越來越接近。

重點考察知識點三：“式”的規律

10．（2023?如東縣）“142857”是個神奇的數，它的2倍至6倍，都是由1、4、2、8、5、7

這六個數字組成的。比如：142857×4＝571428，142857×6＝857142，更神奇的是，單位

是的幾個真分數化成小數后，小數點后面的數字也是由這些數字組成的。比如：＝

0.714285714285714285……，請你推算一下，化成小數后，小數點后面第40位上的數字

是，小數點后面前40位數字的和是。

11．（2023?南京）

第2頁共40頁

＝4+2+1＝﹣1＝7

4n+2n+n＝﹣＝7n

12．（2023?如皋市）思考與探究。

（1）我來算一算：

62﹣42＝（6+4）×（6﹣4）＝10×2＝20

102﹣72＝（10+7）×（10﹣7）＝17×3＝51

352﹣152＝（+）×（﹣）

a2﹣b2＝（+）×（﹣）

（2）按照上面的規律計算：

252+232﹣242﹣222＝

＝

＝

13．（2023?鳳城市）根據算式的規律填空：，，……在計算＝

中，寫出〇、□表示的整數：〇＝，□＝。

14．（2023?錫山區）數的計算中有一些有趣的對稱形式，如：12×231＝132×21；23×352＝

253×32。現在有兩個與此規律相同的等式，請完成填空。

（1）45×594＝×；（2）63×3□6＝〇×36，〇＝。

重點考察知識點四：數與形結合的規律

15．（2023?余干縣）如圖，第一個圖形需要3根火柴，第（2）（3）（4）個圖形各需要5、7、

9根火柴。則第50個圖形需要火柴（）根。

A．101B．51C．201D．103

16．（2023?禮泉縣）下面是由完全相同的正方形按規律擺成的圖形，第1個圖中有1個正方

形，第2個圖中有3個正方形，第3個圖中有6個正方形，第4個圖中有10個正方

形，……，按此規律，第8個圖中有（）個正方形

A．42B．40C．38D．36

第3頁共40頁

17．（2023?淥口區）如圖（單位：厘米），用完全相同的等腰梯形拼圖形，照這樣的規律地拼

下去，拼出的第7個圖形是形，拼出的第6個圖形的周長是厘米。

18．（2023?榮昌區）找規律：

（1）1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝2，……，1+3+5+7+9+11+13＝2。

（2）如圖，1張桌子可坐6人，2張桌子可坐10人。照這樣擺下去，8張桌子可坐

人，n張桌子可以坐人。

19．（2023?石柱縣）如圖的每一個圖形都是由△、□、〇中的兩個組成的。觀察各個圖形，

根據圖形下面的數找出規律，畫出表示“31”和“12”的圖形。

113221133112

20．（2023?浦口區）別有“動”天。

數學學習中，我們常常對一些非常規問題束手無策，因為習慣了常規地想問題，不會變通。

如果用運動的眼光來觀察，可能會有不一樣的發現。

如圖1，在直角三角形ABC中，ED垂直于BC，AB＝8厘米，DC＝8厘米。求涂色部分面

積。

軒軒思考涂色部分是三角形BEC，這個三角形的底和高都不知道，正當他一籌莫展時，點

B動起來了，它沿著BA向上運動，當運動到A點時，形成三角形ADE（如圖2）。這時三

角形ADE和圖1中三角形BDE等底（DE）等高（BD），面積相等，形成的大三角形ADC

的面積和圖1涂色部分的三角形BCE面積相等。大三角形ADC的底是8厘米，高是8厘

米，面積是平方厘米，即涂色部分面積。

通過點的運動，形成新的圖形，問題迎刃而解。既然點可以動起來，那么線段呢？

如圖3，一個長方形被分成四個小長方形，其中涂色部分長方形的周長分別是14厘米和8

第4頁共40頁

厘米。原來長方形的周長是多少厘米？

線段HN向右平移至CF，GN向左平移至AE，EN向上平移至AG，NF向下平移至HC。

發現原來長方形的周長就是兩個涂色部分周長的，從而巧妙解題。

點的運動、線的運動……運動的對象不同，解題思路卻異曲同工。

靜中有動，動中有靜，動靜變換之中靈感無限。請嘗試解決圖4和圖5中的問題。

（1）圖4中涂色部分是一個正方形，那么長方形ABCD的周長是厘米。

（2）圖5大正方形邊長為14厘米，涂色部分正方形的面積是平方厘米。

圖形里的“點、線、面”活潑好“動”，讓解題思路別有“動”天，令人茅塞頓開，如入

“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”之境。

通過上面的學習，令人印象深刻的有。

重點考察知識點五：數表中的規律

21．（2023?漳平市）觀察如圖①，尋找規律。如圖②、如圖③分別是從如圖①中截取的一部

分，其中a的值為，b的值為。

22．用下面的形狀在右邊數表中任意框出5個數，連續框幾次，找一找其中的規律。

（1）如果用a表示框中涂色位置的數，用T表示5個數的和，你能用含有字母的式子表

示出其中的規律嗎？

（2）小明說：“他框出5個數的和是270。”你認為對嗎？如果對，算一算a是多少？如果

不對，請說明理由。

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重點考察知識點六：事物的間隔排列規律

23．（2022?英德市）海邊燈塔上的一盞照明燈以固定的規律發出亮光，如圖是表示前15秒燈

光明暗的變化情況：第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第47秒是的。

24．（2022?拜泉縣）有同樣大小的紅、白、黑珠共180顆，按5個紅、4個白、3個黑的順序

排列，第56顆珠子是色，前73顆珠中共有黑珠顆。

25．（2023?海淀區）中心公園掛有甲、乙兩款燈籠串，每款燈籠串都是由大燈籠和小燈籠組

合而成的（如圖1）。大燈籠共有16個，小燈籠共有46個。甲、乙燈籠串各有多少串？

重點考察知識點七：事物的簡單搭配規律

26．（2023?鄭州）如圖，〇、△、□各表示一個兩位數中的其中一個數字，觀察下面圖與數

的關系，第4圖形表示的兩位數是（）

A．54B．43C．34

27．（2023?慶云縣）下列圖形是由一些小正方形和實心圓按一定規律排列而成的，如圖所示，

按此規律排列下去，第n個圖形有個實心圓。

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28．（2021?威遠縣）李老師要把語文、數學、英語、科學4本書（各1本）分給麗麗、陽陽、

聰聰三個同學，每個同學至少分其中的一本，一共有種不同的分法。

29．（2023?樂陵市）足球世界杯每四年舉行一次，國際足聯規定冠軍獎品為大力神杯，此杯

為流動獎品，1974年第十屆足球世界杯第一次啟用。

（1）在大力神杯的底座下面有能容納鐫刻17個冠軍隊名字的銘牌，此杯可以持續使用到

第多少屆，是哪一年？

（2）足球一般是用黑白兩種顏色的皮子縫制而成的，黑色皮子是五邊形，白色皮子是六邊

形（如圖），每一塊黑色皮子都與5塊白色皮子相接，每一塊白色皮子都連接3塊黑色皮子。

已知一個足球上黑色皮子共有12塊，請你計算白色皮子共有多少塊？

（3）北京時間2023年3月14日晚，國際足聯官方確認，2026年世界杯比賽賽制做出調

整：首度擴軍48支球隊，將被分為12個小組，每個小組4支球隊進行比賽。小組賽采用

單循環賽（小組內所有參加比賽的隊均能相遇一次，每兩隊之間只賽一場）。每組前2名及

8支成績最好的小組第3名，將晉級32強，此后采用淘汰賽（兩個參賽隊伍用一場比賽定

勝負），產生16強、8強、4強、2強，最后決出冠亞軍、第3和4名。至此，本屆世界杯

的所有比賽結束。

根據以上信息，算一算，每個小組內一共要比賽幾場？整個小組賽一共有多少場？2026年

世界杯足球賽全程共有多少場？

重點考察知識點八：簡單周期現象中的規律

30．（2023?深州市）六一兒童節，一年級（2）班的學生用彩燈布置教室，按“兩紅、三藍、

兩紫”的順序排列，第57盞燈是（）

A．紅色B．藍色C．紫色

31．（2023?漣水縣）化成小數后，小數點后面第2000位上的數字是（）

A．4B．2C．8D．5

32．海邊燈塔上的一盞照明燈以固定的規律發出亮光，下圖表示前15秒燈光明暗的變化規律，

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第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第36秒是的，第52秒是的。

33．（2023?襄城區）如圖，“楊輝聚六圖”是由我國南宋杰出的數學家楊輝所研究出來的，它

是由1，2，3，……，35，36無重復排列而成的圖形，“楊輝聚六環”其每一環6個數之

和均相等，則這個和為，其中一環中還差個數，它是。

重點考察知識點九：簡單圖形覆蓋現象中的規律

34．用在如圖數表中任意框出4個數，如果用a表示框中涂色位置的數，框中4

個數的和是；如果框中的4個數的和是142，那么a是。

35．（2021?溧陽市）觀察2021年5月的月歷卡。如果用形如的方框去框月歷卡中的日

期數，a表示框中的第一個數，則？處表示的數是；小明一家外出旅游5天

回家這5天的日期數之和是20，小明一家號回家。

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36．（2021?灌南縣）如圖，是一扎某品牌瓶裝飲用水。這扎飲用水被取走了瓶。

37．（2021?姜堰區）如圖是今年六月份的月歷，用形如長方形平行移動去框月歷卡

里的日期數，每次同時框出3個數。觀察月歷完成下面問題。

（1）在這張月歷上，畫出用這個長方形框出和是42的3個數；

（2）如果用a表示框中的第一個數，框出的3個數和是；

（3）在這張月歷上，能框出和是57的3個數嗎？，84呢？。（在橫線

上填“能”或“不能”）

38．（2021?東海縣）圖1是2021年6月的月歷表。小明用如圖2所示的“十字”型框圖放置

到月歷表合適的位置上，可以框中5個數。

（1）如圖1所示，若框中的5個數中，正中間的數是10，則框中5個數的和是；

（2）若框中的5個數中，正中間的數為n，則這5個數的和為；

（3）按照上面的框法，框中5個數的和可以是100嗎？為什么？

重點考察知識點十：通過操作實驗探索規律

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39．（2022?玉環市）桌上有1張紙，第一次把它剪成3塊放回桌上；第二次從桌上拿起1塊

剪成3塊后放回桌上；…．進行了這樣的8次操作后，桌上一共有（）塊紙．

A．24B．21C．19D．17

40．（2023?石城縣）一個運算程序、運算規則如右圖，如果輸入13，那么結果是；

如果輸入15，那么結果是。

41．（2023?固鎮縣）數形結合的思想貫穿了小學數學始終，我們也體驗過列舉、畫圖等策略。

請你利用所掌握的方法解決下面的問題：

校園一角原有一個正方形花圃，后來因為場地原因，把正方形的一邊長增加3米，同時相

鄰的邊長減少了3米，這樣花圓變成了一個長方形。和原來的正方形比，這個長方形的面

積是否有變化？如果有變化，改變了多少？

（1）列舉找規律：嘗試再舉2個例子，然后發現并猜想規律。

正方形邊長正方形面積（m3）長方形的長（m）長方形的寬（m）長方形面積（m3）

309003327891

猜想：和正方形的面積比，長方形的面積的變化情況是。

（2）畫圖觀察：在如圖正方形的基礎上畫出長方形，如果面積有變化，請用陰影表示面積

改變的部分。

（3）運用推廣：請你用上面得到的結論計算（200+3）×（200﹣3）

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42．（2021?海淀區）探究與發現。

（1）以等邊三角形的中心點為圓心畫圓，根據所畫的圓與等邊三角形各邊交點的個數情況，

可以畫出不同的圓，請你試著畫一畫并填空。

（2）連接交點與中心點，最多有條相等的線段。

（3）如果分別以正方形、正五邊形、正六邊形的中心點為圓心畫圓，連接交點與中心點，

最多有多少條相等的線段？試著畫一畫并填表。

圖形……

最多相等線段的條數

通過以上研究，我發現：。

43．（2020?江都區）數學思想方法是數學的靈魂。轉化思想作為重要的數學思想方法之一，

在我們的學習生活中無處不在。如，在“曹沖稱象”的故事里，把大象的質量轉化為石頭

的質量；又如，推導圓的面積計算公式時，把圓轉化為長方形……

（1）如圖1有一種有意思的推導圓的面積方法，讀一讀，填一填。

這時，三角形的面積相當于圓的面積。

①觀察這個三角形，底相當于圓的，高相當于圓的。

②如果圓的半徑是r，三角形的面積：S＝a×h÷2

那么圓的面積：S＝×÷2＝

（2）你還能用轉化的數學思想來解決以下數學問題嗎？如圖2，一個擰緊瓶蓋的瓶子里裝

了一些水，根據圖中數據，可以算出瓶中水的體積占瓶子容積的。

A.B.C.D.

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2024年小升初數學重難點&壓軸題專練

第四講探索規律（43題）

重點考察知識點一：比算術中的規律

1．（2023?隆昌市）如表，從左邊第一個格子開始向右數，在每個小格子中都填入一個整數，

使得其中任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等。若取最左端3個格子中的后兩個記作

x、y，那么x﹣y＝。

8xy74……

試題思路分析：根據任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等，則從左向右8+x+y＝第2

個數+第3個數+第4個數＝x+y+第4個數，據此可知第4個數為8，即可找出格子數按照

8、7、4的規律依次排列，據此求解。

詳細規范解答：解：根據任意三個相鄰格子中所填整數之和都相等，且4÷3＝1（組）……

1（個）

又從左向右前3個數是8、x、y，則從左向右第4個數為8，結合從左向右第5個數是7，

第6個數是4，可知：

格子數是按照8、7、4、8、7、4、……的規律排列的，即x＝7，y＝4。

所以x﹣y＝7﹣4＝3。故答案為：3。

考察注意點與重難點：此題在于考查學生總結規律的能力。

2．（2023?海曙區）如圖，張亮在計算機課上編制了一個計算小程序，輸入一個數后，小程序

通過計算會輸出另一個數。請根據發現的規律解決以下問題。

①輸入3，輸出11

②輸入7，輸出27

③輸入10，輸出39

（1）輸入，輸出47；

（2）如果輸入a，輸出。

試題思路分析：①輸入3，輸出11；②輸入7，輸出27；③輸入10，輸出39，通過這三個

小程序可以看出，輸出的數為輸入的數的4倍減去1，所以輸出是47時，那輸入的數就是：

（47+1）÷4，據此解答即可；如果輸入a，那就輸出4a﹣1。

詳細規范解答：解：（1）（47+1）÷4

＝48÷4

＝12

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答：輸入12，輸出47。

（2）由分析可知：輸入a，輸出4a﹣1。故答案為：12；4a﹣1。

考察注意點與重難點：對于這種規律性的題目，要仔細觀察，從中找出規律，根據規律解

決問題。

3．（2022?宜昌）如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為48，我們發現第1次輸出的

結果為24，第2次輸出的結果為12，……，第2022次輸出的結果為。

試題思路分析：初始輸入值48后

第1次輸出值為：＝24

第2次輸出值為：＝12

第3次輸出值為：＝6

第4次輸出值為：＝3

第5次輸出值為：3+3＝6

第6次輸出值為：＝3

第7次輸出值為：3+3＝6

第8次輸出值為：＝3

……

即從第3次開始，奇數次輸出6，偶數次輸出3，據此解答。

詳細規范解答：解：初始輸入值48后

第1次輸出值為：＝24

第2次輸出值為：＝12

第3次輸出值為：＝6

第4次輸出值為：＝3

第5次輸出值為：3+3＝6

第6次輸出值為：＝3

第13頁共40頁

第7次輸出值為：3+3＝6

第8次輸出值為：＝3

……

即從第3次開始，奇數次輸出6，偶數次輸出3。

2022時偶數，偶數次輸出3。

答：第2022次輸出的結果為3。故答案為：3。

考察注意點與重難點：此題在于考查學生總結規律的能力。

4．“次方之美”。當你把相同的數進行重復相乘，你就會使用到次方來進行描述。

比如：8×8×8×8＝84（4個8相乘）

7×7×7×7×7×7＝76（6個7相乘）

根據以上信息判斷對錯。對的打“√”，錯的打“×”。

（1）816是815的8倍。

（2）810是8的10倍。

下面是7的1﹣9次方。請留心數變化的規律!這些數的最后一個數字遵循了一個規律。

研究該規律并回答如下的問題。

71＝7

72＝49

73＝343

74＝2401

75＝16807

76＝117649

77＝823543

78＝5764801

79＝40353607

那么7190的最后一個數字是。

試題思路分析：（1）816是16個8相乘，815是15個8相乘，816比815乘數中多一個8，積

就是8倍。

（2）810表示10個8相乘，則810是8的89倍。

根據7的1﹣9次方的結果可得規律：結果的個位數字是7、9、3、1重復重現。則7190的

結果的個位數字即可求。

第14頁共40頁

詳細規范解答：解：由分析可得：（1）816是815的8倍。√

（2）810是8的10倍。×

190÷4＝47……2

那么7190的最后一個數字是7、9、3、1重復循環了47次，是第48組7、9、3、1的第二

個數字9。故答案為：√，×，9。

考察注意點與重難點：仔細觀察，找到規律是解決本題的關鍵。

重點考察知識點二：數列中的規律

5．（2023?大渡口區）有一列數：1，，，，，，，，，，，，，，

，……，則是第（）個數。

A．88B．94C．88或94D．81或88

試題思路分析：這列數排到分母是9時共有數字是：（1+3+5+7+9+11+13+15+17）＝81（個）

分母是10的分數有19個，在這19個中的第7和13位，

因為81+7＝88，81+13＝94

所以是排列在第88位和94位。

詳細規范解答：解：由分析可知，是第88或94個數。故選：C。

考察注意點與重難點：本題主要考查數列中的規律，找到規律是解題的關鍵。

6．（2023?阿城區）找規律填數。

3，11，20，30，41，53，……

0.3，0.9，2.7，8.1，24.3，……

試題思路分析：（1）依次加8、9、10、11、12；

（2）依次乘3。

詳細規范解答：解：3，11，20，30，41，53，……

0.3，0.9，2.7，8.1，24.3，……

故答案為：41；24.3。

考察注意點與重難點：通過觀察，分析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律解決問

題是應該具備的基本能力。

7．（2023?鐵西區）有一列數，第一個數是100，第二個數是90，從第三個數開始，每個數都

是它前面兩個數的平均數．第三十個數的整數部分是．

試題思路分析：根據題目要求求出部分數值的平均數，找到規律．

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詳細規范解答：解：（100+90）÷2＝95，（90+95）÷2＝92.5，（95+92.5）÷2＝93.75，（92.5+93.75）

÷2＝93.125，（93.75+93.125）÷2＝93.4375，（93.125+93.4375）÷2＝93.28125，

前面兩個數一定都是90多，其平均數一定也是90多，所以無論第幾個整數部分都是93

（除了第一組，第二組）；即從第五個數起每個數的整數部分是93．

故答案為：93．

考察注意點與重難點：通過計算找到規律，再根據規律求解．

8．（2023?金安區）數學老師巴爾末成功的從光譜數據，，，……中得到巴爾末公

式，從而打開了光譜奧秘大門。請你按照這種規律，寫出第7個數據是。

試題思路分析：分子的規律依次是，3、4、5、6的平方……分母的規律是：1×5，2×6，

3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…，所以第七個數據是。

詳細規范解答：解：由已知數據可得規律：

分子依次是3、4、5、6的平方……，分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7

×11…，所以第七個數據是。

故答案為：。

考察注意點與重難點：本題主要考查了學生的分析、總結、歸納能力，規律型的習題一般

是從所給的數據和運算方法進行分析，從特殊值的規律上總結出一般性的規律。

9．（2023?上虞區）找規律，填一填。

（1）0.9，0.99，0.999，0.9999，……，這列數的每一項越來越大，越來越接近。

（2），……，這列數的每一項越來越小，越來越接近。

試題思路分析：（1）觀察數列可知：這個數列中每一個數的整數部分都是0，小數部分末

尾依次添上一個9，這樣這個數就越來越大，越來約接近1；

（1）分子是1，分母越大，分數值越小。

詳細規范解答：解：（1）0.9，0.99，0.999，0.9999，……，這列數的每一項越來越大，越

來越接近1。

（2），，，，……，這列數的每一項越來越小，越來越接近0。

故答案為：（1）1；（2）0。

考察注意點與重難點：本題是一道有關分數的意義、小數的意義的題目。

重點考察知識點三：“式”的規律

第16頁共40頁

10．（2023?如東縣）“142857”是個神奇的數，它的2倍至6倍，都是由1、4、2、8、5、7

這六個數字組成的。比如：142857×4＝571428，142857×6＝857142，更神奇的是，單位

是的幾個真分數化成小數后，小數點后面的數字也是由這些數字組成的。比如：＝

0.714285714285714285……，請你推算一下，化成小數后，小數點后面第40位上的數字

是，小數點后面前40位數字的和是。

試題思路分析：0.714285714285714285……的循環節是714285，共6個數字；先用40除以

6，余數是4，然后從循環節的第1個數字數到第4個數字，即可確定出化成小數后，小

數點后面第40位上的數字是幾；循環節各個數字的和是（7+1+4+2+8+5），40除以6的商

是6，用（7+1+4+2+8+5）的和乘6，再加上循環節的前4個數字，即可求出小數點后面前

40位數字的和，據此解答。

詳細規范解答：解：40÷6＝6……4，循環節714285的第4個數字是2，所以小數點后面

第40位上的數字是2；

7+1+4+2+8+5＝27，27×6+7+1+4+2＝176，所以小數點后面前40位數字的和是176。

答：化成小數后，小數點后面第40位上的數字是2，小數點后面前40位數字的和是

176。

故答案為：2；176。

考察注意點與重難點：解答本題需準確分析循環小數中數字存在的規律，靈活解答。

11．（2023?南京）

＝4+2+1＝﹣1＝7

4n+2n+n＝﹣＝7n

試題思路分析：根據已給出的加法算式的運算方法，找出其中的規律為：加法算式的第一

個加數乘2減去最后一個加數即是計算結果。

詳細規范解答：解：因為

所以＝2×2

4+2+1＝4×2﹣1＝7

4n+2n+n＝4n×2﹣n＝7n

第17頁共40頁

故答案為：2×2；4×2；4n×2；n。

考察注意點與重難點：解答此題的關鍵是觀察所給出的算式，找出算式之間數與數的關系，

得出規律，再根據規律解決問題。

12．（2023?如皋市）思考與探究。

（1）我來算一算：

62﹣42＝（6+4）×（6﹣4）＝10×2＝20

102﹣72＝（10+7）×（10﹣7）＝17×3＝51

352﹣152＝（+）×（﹣）

a2﹣b2＝（+）×（﹣）

（2）按照上面的規律計算：

252+232﹣242﹣222＝（25+24）×（25﹣24）+（23+22）×（23﹣22）

＝49+45

＝

試題思路分析：根據題意可知，甲數的平方減乙數的平方等于甲數與乙數的和乘甲數與乙

數的差，也就是a2﹣b2＝（a+b）×（a﹣b），據此解答即可。

詳細規范解答：解：（1）62﹣42＝（6+4）×（6﹣4）＝10×2＝20

102﹣72＝（10+7）×（10﹣7）＝17×3＝51

352﹣152＝（35+15）×（35﹣15）

a2﹣b2＝（a+b）×（a﹣b）

（2）252+232﹣242﹣222

＝（25+24）×（25﹣24）+（23+22）×（23﹣22）

＝49+45

＝94

故答案為：35；15；35；15；a；b；a；b；（2）94。

考察注意點與重難點：本題考查了平方差公式的靈活運用，結合題意分析解答即可。

13．（2023?鳳城市）根據算式的規律填空：，，……在計算＝

中，寫出〇、□表示的整數：〇＝，□＝。

試題思路分析：根據題意，，，……可以發現如下規律：＝

+，據此解答即可。

第18頁共40頁

詳細規范解答：解：分析可以發現如下規律：＝+，所以在計算＝

中，寫出〇、□表示的整數：〇＝7，□＝42。故答案為：7；42。

考察注意點與重難點：本題考查了算式中的規律知識，結合題意分析解答即可。

14．（2023?錫山區）數的計算中有一些有趣的對稱形式，如：12×231＝132×21；23×352＝

253×32。現在有兩個與此規律相同的等式，請完成填空。

（1）45×594＝×；（2）63×3□6＝〇×36，〇＝。

試題思路分析：觀察可得規律是，兩位數乘三位數，兩位數的十位數字和個位數字與三位

數的個位數字和百威數字相同，三位數的十位數字是它的個位數字與百位數字的和。這樣

的兩個數相乘等于把三位數的十位數字加進兩位數的中間使兩位數成為三位數而三位數變

成兩位數的兩個數相乘。

詳細規范解答：解：根據12×231＝132×21；23×352＝253×32，可得，

（1）45×594＝495×54；（2）63×3□6＝〇×36，〇＝693。故答案為：495，54，693。

考察注意點與重難點：仔細觀察，找到規律是解決本題的關鍵。

重點考察知識點四：數與形結合的規律

15．（2023?余干縣）如圖，第一個圖形需要3根火柴，第（2）（3）（4）個圖形各需要5、7、

9根火柴。則第50個圖形需要火柴（）根。

A．101B．51C．201D．103

試題思路分析：由圖可知，第（1）個圖形需要（2×1+1）根火柴，第（2）個圖形需要

（2×2+1）根火柴，第（3）個圖形需要（2×3+1）根火柴……，則第（n）個圖形需要

（2n+1）根火柴，據此解答。

詳細規范解答：解：2×50+1

＝100+1

＝101（根）答：第50個圖形需要火柴101根。故選：A。

考察注意點與重難點：解答本題需準確分析需要的火柴根數與圖形序數之間的關系，靈活

根據找到的規律解決問題。

16．（2023?禮泉縣）下面是由完全相同的正方形按規律擺成的圖形，第1個圖中有1個正方

形，第2個圖中有3個正方形，第3個圖中有6個正方形，第4個圖中有10個正方

形，……，按此規律，第8個圖中有（）個正方形

第19頁共40頁

A．42B．40C．38D．36

試題思路分析：觀察可得規律，第1個圖有1個正方形，第2個圖有（1+2）個正方形，

第3個圖有（1+2+3）個正方形，第4個圖有（1+2+3+4）個正方形……第8個圖中的正方

形個數即可求。

詳細規范解答：解：第1個圖有1個正方形，第2個圖有（1+2）個正方形，第3個圖有

（1+2+3）個正方形，第4個圖有（1+2+3+4）個正方形……第8個圖中的正方形個數：

1+2+3+4+5+6+7+8

＝（1+8）×8÷2

＝72÷2

＝36（個）故選：D。

考察注意點與重難點：仔細觀察，比較總結出規律是解決本題的關鍵。

17．（2023?淥口區）如圖（單位：厘米），用完全相同的等腰梯形拼圖形，照這樣的規律地拼

下去，拼出的第7個圖形是形，拼出的第6個圖形的周長是厘米。

試題思路分析：根據數據可發現，當梯形的個數是奇數時，拼出的大圖形是梯形，當梯形

的個數是偶數時，拼出的大圖形是平行四邊形。

詳細規范解答：解：（2+1）×（6÷2）×2+1×2

＝3×3×2+2

＝18+2

＝20（厘米）答：拼出的第7個圖形是梯形，拼出的第6個圖形的周長是20厘米。

故答案為：梯，20。

考察注意點與重難點：本題考查了圖形的變化類問題，主要培養學生的觀察能力和總結能

力。

18．（2023?榮昌區）找規律：

（1）1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝2，……，1+3+5+7+9+11+13＝2。

（2）如圖，1張桌子可坐6人，2張桌子可坐10人。照這樣擺下去，8張桌子可坐

第20頁共40頁

人，n張桌子可以坐人。

試題思路分析：（1）由1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32……可知，算式的結果等于加數個數的

平方，據此解答；

（2）由圖可知，每增加一張桌子，就能增加4人；1張桌子坐可坐6人，2張桌子可坐

（6+4×1）人，3張桌子可坐（6+4×2）人，根據這個規律計算出8張桌子和n張桌子可

以坐的人數即可。

詳細規范解答：解：（1）1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，……，1+3+5+7+9+11+13

＝72。

（2）6+4×（8﹣1）

＝6+28

＝34（人）

6+4×（n﹣1）

＝6+4×n﹣4

＝（4n+2）（人）

答：8張桌子可坐34人，n張桌子可以坐8張桌子可坐人，n張桌子可以坐（4n+2）人。

故答案為：34；（4n+2）。

考察注意點與重難點：解答本題需準確分析出各題的規律，靈活根據找到的規律解決問題。

19．（2023?石柱縣）如圖的每一個圖形都是由△、□、〇中的兩個組成的。觀察各個圖形，

根據圖形下面的數找出規律，畫出表示“31”和“12”的圖形。

113221133112

試題思路分析：由圖可知：△表示1，□表示3，〇表示2，據此畫圖即可。

詳細規范解答：解：

第21頁共40頁

故答案為：，。

考察注意點與重難點：解答本題需準確分析△、□、〇表示的數，靈活根據圖形表示的十

位上的數和個位上的數的內外位置解答。

20．（2023?浦口區）別有“動”天。

數學學習中，我們常常對一些非常規問題束手無策，因為習慣了常規地想問題，不會變通。

如果用運動的眼光來觀察，可能會有不一樣的發現。

如圖1，在直角三角形ABC中，ED垂直于BC，AB＝8厘米，DC＝8厘米。求涂色部分面

積。

軒軒思考涂色部分是三角形BEC，這個三角形的底和高都不知道，正當他一籌莫展時，點

B動起來了，它沿著BA向上運動，當運動到A點時，形成三角形ADE（如圖2）。這時三

角形ADE和圖1中三角形BDE等底（DE）等高（BD），面積相等，形成的大三角形ADC

的面積和圖1涂色部分的三角形BCE面積相等。大三角形ADC的底是8厘米，高是8厘

米，面積是32平方厘米，即涂色部分面積。

通過點的運動，形成新的圖形，問題迎刃而解。既然點可以動起來，那么線段呢？

如圖3，一個長方形被分成四個小長方形，其中涂色部分長方形的周長分別是14厘米和8

厘米。原來長方形的周長是多少厘米？

線段HN向右平移至CF，GN向左平移至AE，EN向上平移至AG，NF向下平移至HC。

發現原來長方形的周長就是兩個涂色部分周長的，從而巧妙解題。

點的運動、線的運動……運動的對象不同，解題思路卻異曲同工。

靜中有動，動中有靜，動靜變換之中靈感無限。請嘗試解決圖4和圖5中的問題。

（1）圖4中涂色部分是一個正方形，那么長方形ABCD的周長是厘米。

（2）圖5大正方形邊長為14厘米，涂色部分正方形的面積是平方厘米。

第22頁共40頁

圖形里的“點、線、面”活潑好“動”，讓解題思路別有“動”天，令人茅塞頓開，如入

“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”之境。

通過上面的學習，令人印象深刻的有。

試題思路分析：對于第一空，結合題干中的分析，大三角形ADC的面積和圖1涂色部分的

三角形BCE面積相等，通過大三角形ADC的底和高求出其面積即可；

對于第二空，結合題干中的分析，長方形ABCD的周長＝

AG+GB+BF+FC+HC+HD+DE+EA，其中AG＝EN，AE＝GN，CF＝NH，CH＝NF，由此可

知長方形ABCD的周長就是兩個涂色部分周長的和；

（1）觀察圖片發現，，ED＝EF+FD＝10cm，BH＝BG+GH＝

6cm，ED+BH＝EF+FD+BG+GH，而BG＝AE，GH＝EG＝AB，所以ED+BH＝AE+EF+FD+AB

＝AD+AB，而（AB+AD）是長方形ABCD周長的一半，據此可以求出長方形ABCD的周長；

（2）大正方形的面積由兩個梯形和小正方形面積組成，兩個梯形的底和高都相等，因此面

積相等，大正方形的邊長已知，據此可以求出小正方形的面積。

對于最后一空，答案不唯一，言之有理即可。

詳細規范解答：解：S△ADC＝8×8÷2

＝64÷2

＝32（cm2）

S△BEC＝S△ADC＝32cm2

長方形ABCD的周長＝兩個涂色部分周長的和；

（1）長方形ABCD的周長＝2×（AB+AD）

＝2×（ED+AH）

＝2×（10+6）

＝2×16

＝32cm

（2）涂色部分面積＝14×14﹣2×90

＝196﹣180

＝16（cm2）

第23頁共40頁

（答案不唯一）在解題過程中要學會用運動的眼光來觀察。

故答案為：32，和；（1）32；（2）16；（答案不唯一）在解題過程中要學會用運動的眼光來

觀察。

考察注意點與重難點：本題具有很強的靈活性，注意觀察題干中的思想方法可以有效的幫

助解決后續的問題。

重點考察知識點五：數表中的規律

21．（2023?漳平市）觀察如圖①，尋找規律。如圖②、如圖③分別是從如圖①中截取的一部

分，其中a的值為，b的值為。

試題思路分析：第一行和第一列分別是從1開始的自然數，對應的行、列是每行、列開頭

兩個數的積。根據數表中各數的排列規律填空即可。

詳細規范解答：解：4×7＝28

4×8＝32

a：5×7＝35

5×8＝40

7×8＝56

6×6＝36

b：7×7＝49

故答案為：40；49。

考察注意點與重難點：本題主要考查數表中的規律，關鍵根據數表中各數排列的規律做題。

22．用下面的形狀在右邊數表中任意框出5個數，連續框幾次，找一找其中的規律。

（1）如果用a表示框中涂色位置的數，用T表示5個數的和，你能用含有字母的式子表

示出其中的規律嗎？

（2）小明說：“他框出5個數的和是270。”你認為對嗎？如果對，算一算a是多少？如果

不對，請說明理由。

第24頁共40頁

試題思路分析：（1）當a＝2時，和是30，當a＝3時，和是35，當a＝4時，和是40……

可得規律是：T＝（a﹣2）×5+30。（2）當T＝270時，代入T＝（a﹣2）×5+30算式，求

出a的值判斷。

詳細規范解答：解：（1）當a＝2時，和是30，當a＝3時，和是35，當a＝4時，和是

40……可得規律是：

（a﹣2）×5+30

＝5a﹣10+30

＝5a+20

（2）當T＝270時，代入T＝5a+20可得

270＝5a+20

5a＝250

a＝50

a不在中間位置，小明的說法錯誤。

考察注意點與重難點：仔細觀察，找到規律是解決本題的關鍵。

重點考察知識點六：事物的間隔排列規律

23．（2022?英德市）海邊燈塔上的一盞照明燈以固定的規律發出亮光，如圖是表示前15秒燈

光明暗的變化情況：第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第47秒是的。

試題思路分析：根據題意，照明燈是按照“第1秒是亮的，第2、3秒是暗的，第5、6秒

是亮，第7秒是暗……”每6個一循環，計算第47秒是第幾組零幾個，即可判斷明暗。

詳細規范解答：解：47÷6＝7（組）???????5（秒）

答：第47秒是亮。故答案為：亮。

考察注意點與重難點：明確排列的周期特點，是解決本題的關鍵，解答本題先找到規律，

再根據規律求解。

24．（2022?拜泉縣）有同樣大小的紅、白、黑珠共180顆，按5個紅、4個白、3個黑的順序

第25頁共40頁

排列，第56顆珠子是白色，前73顆珠中共有黑珠18顆。

試題思路分析：分別計算底56顆、第73顆是第幾組循環零幾顆，幾顆判斷最后一顆是什

么顏色，再根據每組黑色珠子的顆數，求黑珠子的顆數。

詳細規范解答：解：56÷（5+4+3）

＝56÷12

＝4（組）……8（個）

73÷12＝6（組）……1（顆）

6×3＝18（顆）

答：第56顆珠子是白色，前73顆珠中共有黑珠18顆。故答案為：白，18。

考察注意點與重難點：本題主要考查簡單周期現象中的規律，關鍵是根據珠子的排列規律

做題。

25．（2023?海淀區）中心公園掛有甲、乙兩款燈籠串，每款燈籠串都是由大燈籠和小燈籠組

合而成的（如圖1）。大燈籠共有16個，小燈籠共有46個。甲、乙燈籠串各有多少串？

試題思路分析：根據圖示可知，每串甲有1個大燈籠和4個小燈籠組成；每串乙由1個大

燈籠和2個小燈籠組成。據此設甲有x串，則乙有（16﹣x）串，根據小燈籠的個數列方程

求解即可。

詳細規范解答：解：

（方法不唯一）

設甲有x串，則乙有（16﹣x）串。

4x+2（16﹣x）＝46

4x+32﹣2x＝46

第26頁共40頁

2x＝14

x＝7

16﹣7＝9（串）答：甲有7串，乙有9串。

考察注意點與重難點：本題關鍵是利用關系式列方程解答。

重點考察知識點七：事物的簡單搭配規律

26．（2023?鄭州）如圖，〇、△、□各表示一個兩位數中的其中一個數字，觀察下面圖與數

的關系，第4圖形表示的兩位數是（）

A．54B．43C．34

試題思路分析：前3個圖中都有圓，表示的數字中都有5，即5表示圓形；進而可以得出3

表示三角形；4表示正方形；而且第一個數字表示的圖形在外面，第二個數字表示圖形在

第一個數字表示圖形的里面．

詳細規范解答：解：圖形中有一個正方形和一個三角形，正方形在外，三角形在內，

所以用數字：43表示．故選：B．

考察注意點與重難點：根據第一幅、第二幅和第三幅圖中的數字，得出：〇△□各表示的

數字是解決本題的關鍵．

27．（2023?慶云縣）下列圖形是由一些小正方形和實心圓按一定規律排列而成的，如圖所示，

按此規律排列下去，第n個圖形有個實心圓。

試題思路分析：由圖形可知：第1個圖形中有4個實心圓，第2個圖形中有6個實心圓，

第3個圖形中有8個實心圓，…由此得出第n個圖形中有2（n+1）個實心圓。

詳細規范解答：解：∵第1個圖形中有4個實心圓，

第2個圖形中有6個實心圓，

第3個圖形中有8個實心圓，

…

第27頁共40頁

∴第n個圖形中有2（n+1）＝2n+2個實心圓。故答案為：2n+2．

考察注意點與重難點：此題考查圖形的變化規律，找出數字與圖形之間的聯系，找出規律

解決問題．

28．（2021?威遠縣）李老師要把語文、數學、英語、科學4本書（各1本）分給麗麗、陽陽、

聰聰三個同學，每個同學至少分其中的一本，一共有種不同的分法。

試題思路分析：把語文、數學、英語、科學4本書分給麗麗、陽陽、聰聰三個同學，這里

既要考慮書的不同，也要考慮人的區別，而每個同學至少分其中的一本，那么只能是把4

本書按照1、1、2進行分配，然后考慮人數的不同進行枚舉。

詳細規范解答：解：先考慮把4本書按照1、1、2進行分配，有6種情況；

語文和數學、英語、科學；語文和英語、數學、科學；語文和科學、數學、英語。

數學和英語、語文、科學；數學和科學、語文、英語；英語和科學、語文、數學。

比如第一種情況，按照語文和數學、英語、科學分組，然后考慮人數的不同，又有6種不

同的情況：（從左往右依次是麗麗、陽陽、聰聰得到的書）

①語文和數學，英語，科學；

②語文和數學，科學，英語；

③英語，語文和數學，科學；

④英語，科學，語文和數學；

⑤科學，語文和數學，英語；

⑤科學，英語，語文和數學；

其余每種情況都是類似的，6×6＝36，總共有36種不同的分法。故答案為：36。

考察注意點與重難點：本題考查的是計數問題，枚舉法是求解此類問題最基礎的方法，這

里需要考慮順序的影響。

29．（2023?樂陵市）足球世界杯每四年舉行一次，國際足聯規定冠軍獎品為大力神杯，此杯

為流動獎品，1974年第十屆足球世界杯第一次啟用。

（1）在大力神杯的底座下面有能容納鐫刻17個冠軍隊名字的銘牌，此杯可以持續使用到

第多少屆，是哪一年？

（2）足球一般是用黑白兩種顏色的皮子縫制而成的，黑色皮子是五邊形，白色皮子是六邊

形（如圖），每一塊黑色皮子都與5塊白色皮子相接，每一塊白色皮子都連接3塊黑色皮子。

已知一個足球上黑色皮子共有12塊，請你計算白色皮子共有多少塊？

（3）北京時間2023年3月14日晚，國際足聯官方確認，2026年世界杯比賽賽制做出調

第28頁共40頁

整：首度擴軍48支球隊，將被分為12個小組，每個小組4支球隊進行比賽。小組賽采用

單循環賽（小組內所有參加比賽的隊均能相遇一次，每兩隊之間只賽一場）。每組前2名及

8支成績最好的小組第3名，將晉級32強，此后采用淘汰賽（兩個參賽隊伍用一場比賽定

勝負），產生16強、8強、4強、2強，最后決出冠亞軍、第3和4名。至此，本屆世界杯

的所有比賽結束。

根據以上信息，算一算，每個小組內一共要比賽幾場？整個小組賽一共有多少場？2026年

世界杯足球賽全程共有多少場？

試題思路分析：（1）因為大力神杯鐫刻17個冠軍隊名字，且1974年第十屆足球世界杯第

一次啟用，那么除去1974年第十屆世界杯后，還可以使用16次，據此推算出可以持續使

用到第多少屆；又因為世界杯4年一屆，求出還可以使用的年數，根據起點時間+經過時

間＝終點時間，推算出年數即可；

（2）黑色皮子數量×邊數＝黑色皮子總邊數，每一塊白色皮子都有3條黑邊，黑色皮子總

邊數÷3＝白色皮子數量，據此列式解答；

（3）球隊總支數÷小組數＝每個小組球隊支數，小組內所有參加比賽的隊均能相遇一次，

每兩隊之間只賽一場，每個小組球隊支數×（每個小組球隊支數﹣1）÷2＝每個小組比賽場

數；每個小組比賽場數×小組數＝整個小組賽一共有多少場；淘汰賽有32支球隊，兩個參

賽隊伍用一場比賽定勝負，每比一場就淘汰一支球隊，所以需要比（32﹣1）場，還要決出

第3和4名，再加一場，即淘汰賽共32場，整個小組賽總場數+淘汰賽總場數＝世界杯足

球賽全程總場數。

詳細規范解答：解：（1）10+（17﹣1）

＝10+16

＝26（屆）

1974+4×16

＝1974+64

＝2038（年）答：此杯可以持續使用到第26屆，是2038年。

（2）12×5÷3

＝60÷3

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＝20（塊）答：白色皮子共有20塊。

（3）48÷12＝4（支）

4×（4﹣1）÷2

＝4×3÷2

＝6（場）

6×12＝72（場）

32﹣1＝31（場）

31+1＝32（場）

72+32＝104（場）答：每個小組內一共要比賽6場，整個小組賽一共有72場，2026年世

界杯足球賽全程共有104場。

考察注意點與重難點：關鍵是理解搭配問題的解題方法，注意理解單循環和淘汰賽的比賽

規則。

重點考察知識點八：簡單周期現象中的規律

30．（2023?深州市）六一兒童節，一年級（2）班的學生用彩燈布置教室，按“兩紅、三藍、

兩紫”的順序排列，第57盞燈是（）

A．紅色B．藍色C．紫色

試題思路分析：由題意可知，循環周期是7，用57除以循環周期，計算出商和余數，找出

第57盞燈是什么顏色即可。

詳細規范解答：解：57÷7＝8（組）……1（盞）

答：第57盞燈是紅色。故選：A。

考察注意點與重難點：本題考查了簡單的周期現象，找出循環周期是幾是解題的關鍵。

31．（2023?漣水縣）化成小數后，小數點后面第2000位上的數字是（）

A．4B．2C．8D．5

試題思路分析：化成小數后是0.2857，循環節是428571，有6位數，2000÷6＝333

（個）……2，所以小數部分的第2000位數字是333個循環節后的334個循環節上的第2

個數字，循環節的第2個數字是2，據此解答。

詳細規范解答：解：2000÷6＝333（個）……2

答：化成小數后，小數點后面第2000位上的數字是2。故選：B。

考察注意點與重難點：本題主要利用循環小數的循環節，找出循環節及循環節的數字，用

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2000除以循環節的位數得出是第幾個循環節，然后看余數是幾就是循環節的第幾個數字，

沒有余數就是循環節的最后一個數字。

32．海邊燈塔上的一盞照明燈以固定的規律發出亮光，下圖表示前15秒燈光明暗的變化規律，

第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第36秒是的，第52秒是的。

試題思路分析：根據前15秒燈光明暗變化的情況，發現其規律：第1秒亮，第2秒暗，

第3秒暗……每6秒一循環；根據這一規律，計算第36和52秒是多少循環零多少秒，即

可得出照明燈的明暗狀態。

詳細規范解答：解：第1秒亮，第2秒暗，第3秒暗……，每6秒一循環。

36÷6＝6（個）

52÷6＝8（個）……4（秒）

所以第36秒為6個循環，與第6秒一樣為暗；第52秒為6個循環零4秒，與第4秒一樣

為亮。

答：第36秒是暗的，第52秒是亮的。故答案為：暗；亮。

考察注意點與重難點：本題主要考查數與形結合的規律，關鍵根據所給圖示發現這組圖形

的規律，并運用規律做題。

33．（2023?襄城區）如圖，“楊輝聚六圖”是由我國南宋杰出的數學家楊輝所研究出來的，它

是由1，2，3，……，35，36無重復排列而成的圖形，“楊輝聚六環”其每一環6個數之

和均相等，則這個和為，其中一環中還差個數，它是。

試題思路分析：根據，“楊輝聚六環”其每一環6個數之和均相等，選取其中的一環，把6

個數加起來就是和；用和減去其它5個數的和就是其中一環中還差的那個數。

詳細規范解答：解：2+6+30+34+22+17