專題8.4因式分解【十大題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1整式乘法與因式分解的關系】 3【題型2利用因式分解求值】 4【題型3利用因式分解進行簡便運算】 6【題型4利用因式分解解決整除問題】 9【題型5利用因式分解確定三角形的形狀】 11【題型6因式分解的實際應用】 14【題型7利用整體思想進行因式分解】 17【題型8因式分解中的新定義問題】 24【題型9利用添項進行因式分解】 27【題型10利用拆項進行因式分解】 28知識點1：因式分解1．因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．【注意】（1）因式分解是針對多項式而言的，一個單項式本身就是數與字母的積，不需要再分解因式；（2）因式分解的結果是整式的積的形式，積中幾個相同因式的積要寫成冪的形式；（3）因式分解必須分解到每一個因式都不能再分解為止；（4）因式分解與整式乘法是方向相反的變形，二者不是互為逆運算．因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算．2．用提公因式法分解因式（1）公因式的定義：一個多項式各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式．（2）怎樣確定公因式（五看）：一看系數：若各項系數都是整數，應提取各項系數的最大公因數；二看字母：公因式的字母是各項相同的字母；三看字母的指數：各相同字母的指數取指數最低的；四看整體：如果多項式中含有相同的多項式，應將其看成整體，不要拆開；五看首項符號：若多項式中首項符號是“-”，則公因式的符號一般為負．（3）提公因式法的定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．（4）提公因式法分解因式的一般步驟：①確定公因式：先確定系數，再確定字母和字母的指數；②提公因式并確定另一個因式；③把多項式寫成這兩個因式的積的形式．【注意】（1）多項式的公因式提取要徹底，當一個多項式提取公因式后，剩下的另一個因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括號內的項數應與原多項式的項數一樣．（3）若多項式首項系數為負數時，通常要提出負因數．3．用平方差公式分解因式（1）平方差公式的等號兩邊互換位置，得語言敘述：兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積．（2）特點：①等號左邊是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；②等號右邊是兩個數的和與這兩個數的差的積．4．用完全平方公式分解因式（1）完全平方公式的等號兩邊互換位置，得，語言敘述：兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（或差）的平方．（2）特點：①等號左邊是三項式，其中首末兩項分別是兩個數（或兩個式子）的平方，且這兩項的符號相同，中間一項是這兩個數（或兩個式子）的積的2倍，符號正負均可．②等號右邊是這兩個數（或兩個式子）的和（或差)的平方．當中間的乘積項與首末兩項符號相同時，是和的平方；當中間的乘積項與首末兩項的符號相反時，是差的平方．（3）公式法的定義：如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法．【題型1整式乘法與因式分解的關系】【例1】（23-24八年級·全國·單元測試）已知x+3是kx2+x+12的一個因式，則k=【答案】?1【分析】設另一個因式是kx+a,根據多項式乘多項式法則求出(x+3)(kx+a)=kx2+(a+3k)x+3a=k【詳解】解：設另一個因式是kx+a,則(x+3)(kx+a)，=k=kx∴a+3k=1,3a=12，解得a=4,k=?1．故答案為：?1．【點睛】本題考查了因式分解的定義和整式的乘法，能靈活運用多項式乘多項式法則進行計算是解此題的關鍵．【變式1-1】（23-24·安徽馬鞍山·八年級期末）若多項式x2?2x+2k因式分解后結果是x+2x+k，則k【答案】?4【分析】本題考查了因式分解的意義，利用整式的乘法與因式分解的關系得出方程組是解題關鍵．根據因式分解與整式的乘法互為逆運算，可得答案．【詳解】解：x+2x+k∴2+k=?2，解得k=?4．故答案為：?4．【變式1-2】（23-24八年級·上海長寧·期中）已知多項式x2+ax?2可分解為兩個整系數的一次因式的積，則a=【答案】±1【分析】利用十字相乘的方法確定出a的值即可．【詳解】解：x2+ax?2=(x?1)(x+2)所以a=±1故答案為±1.【點睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握十字相乘法是解本題的關鍵．【變式1-3】（23-24八年級·廣西貴港·期中）在將x2+mx+n因式分解時，小剛看錯了m的值，分解得(x?1)(x+6)；小芳看錯了n的值，分解得(x?2)(x+1)，那么原式x2【答案】（x+2）（x?3）【分析】利用多項式乘多項式法則先算乘法，根據因式分解與乘法的關系及小剛、小明沒有看錯的值確定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可．【詳解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6，∵小剛看錯了m的值，∴n＝﹣6；（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，∵小芳看錯了n的值，∴m＝﹣1．∴x2+mx+n＝x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）．故答案為：（x﹣3）（x+2）．【點睛】本題考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根據乘法與因式分解的關系確定m、n的值是解決本題的關鍵．【題型2利用因式分解求值】【例2】（23-24八年級·安徽六安·階段練習）已知x2?2x?5=0，d=x4?2A．9 B．14 C．19 D．24【答案】D【分析】先對已知等式進行變形，然后對所求式進行因式分解，最后整體代入計算即可．【詳解】解：∵x2∴x2∴d=x=5x=6x=6×5?6，=24，故選：D．【點睛】此題考查了因式分解的應用，掌握整體代入思想是解決此題關鍵．【變式2-1】（23-24八年級·廣西貴港·期中）已知a?b=5，b?c=?6，則代數式a2?ac?ba?cA．?30 B．30 C．?5 D．?6【答案】C【分析】本題考查因式分解的應用，將代數式進行因式分解，再利用整體代入法求值即可．【詳解】解：∵a?b=5，b?c=?6，∴a?c=?1，∴a=a==5×=?5；故選C．【變式2-2】（23-24八年級·湖南岳陽·期中）若關于x，y的二元二次式x2+7xy?18y2?5x+my?24【答案】43或?78【分析】本題考查了因式分解的意義，可根據已知條件設出這兩個一次因式分別是x+ay+3與x+by?8，相乘后根據多形式相等可求出a、b的值，從而得到答案．【詳解】解：設x2∴x∴a+b=7ab=?18解得a=?2b=9，或∴m=?8a+3b=43或m=?8a+3b=?78．故答案為：43或?78．【變式2-3】（23-24八年級·河北邯鄲·階段練習）若652×11?352×11A．44 B．55 C．66 D．77【答案】D【分析】將652本題考查了，因式分解的應用，解題的關鍵是：熟練掌握提公因式法和公式法進行因式分解．【詳解】解：652A、44=22×11B、55=5×11，是11×2C、66=2×3×11，是11×2D、77=7×11，不是11×2故選：D．【題型3利用因式分解進行簡便運算】【例3】（23-24八年級·黑龍江大慶·期末）(1?122【答案】2001【分析】先利用平方差公式把每一個因數化為兩個因數的積，約分后可得余下的因數，再計算乘法，從而可得答案．【詳解】解：(1?=(1?=1=1=2001故答案為：20014000【點睛】本題考查的是有理數的乘法運算，運用平方差公式對有理數進行簡便運算，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式3-1】（23-24八年級·全國·課后作業）利用因式分解計算：(1)76×20.22+43×20.22?19×20.22；(2)3.14×8.75(3)50×9.5【答案】(1)2022(2)51.81(3)200【分析】（1）提公因式后再進行計算即可；（2）提公因式后，再用平方差公式計算即可；、（3）提公因式后，再用完全平方公式進行計算即可．【詳解】（1）解：76×20.22+43×20.22?19×20.22=20.22×=20.22×100=2022；（2）3.14×=3.14×=3.14×=3.14×16.5×1=51.81；（3）50×=50×=50×=50×4=200．【點睛】此題主要考查了因式分解的應用，熟練掌握利用因式分解進行計算是解題的關鍵．【變式3-2】（23-24八年級·重慶沙坪壩·期末）計算：102?【答案】55【分析】運用因式分解得原式=10+910?9【詳解】10=10+9=19+15+11+7+3=55故答案為：55【點睛】考核知識點：因式分解應用.利用因式分解將式子進行變形是關鍵.【變式3-3】（23-24八年級·全國·課后作業）利用因式分解簡便計算：(1)23.7×0.125+76.3×1(2)49×19.99+52×19.99?19.99．【答案】(1)12.5(2)1999【分析】（1）利用因式分解簡便計算，即可求解；（2）利用因式分解簡便計算，即可求解．【詳解】（1）解：23.7×0.125+76.3×=0.125×=0.125×100=12.5（2）解：49×19.99+52×19.99?19.99=19.99×=19.99×100=1999【點睛】本題考查了利用因式分解簡便計算，熟練掌握和運用利用因式分解簡便計算是解決本題的關鍵．【題型4利用因式分解解決整除問題】【例4】（23-24八年級·浙江寧波·期末）小磊和小軒在課外練習中碰到了一個問題，需要對多項式x3?2x2?7x+2進行因式分解．小磊認為該整式一定有一個因式x+2，小軒認為必有因式是x?2，兩人找到老師尋求幫助．老師提供了一個方法：因式分解是整式乘法的逆運算．若整式A能被整式Bx+2x?2(1)觀察老師的演算后，你認為同學的想法是對的；(2)已知多項式x3?6x2+7x+6(3)若多項式x3?3x2+mx+n能因式分解成x+1【答案】(1)小磊(2)x?3(3)m=0，n=4【分析】本題主要考查了因式分解的應用，解題的關鍵是理解題意，掌握題目提供的方法．（1）根據題目中提供的信息進行解答即可；（2）根據老師提供的方法進行解答即可；（3）根據題意列出豎式，得出x3?3x2+mx+n=x+1x2?4x+m+4，n=m+4，根據多項式x【詳解】（1）解：根據題意可得：x3x3∴該整式一定有一個因式x+2，沒有因式是x?2，∴小磊同學的想法是對的；（2）解：根據題意得：x?3∴將多項式x3x3（3）解：根據題意得：x+1∴x3?3x∵多項式x3?3x∴x2∴m+4=4，∴m=0，n=4．【變式4-1】（23-24八年級·全國·課后作業）若n為任意整數，如果n+22?kn2的值總能被4整除，則整數A．?3 B．1 C．2 D．5【答案】C【分析】本題考查了因式分解的應用，先利用完全平方公式計算，再將代數式分組為一定被4整除的一組和需要確定范圍的一組，找到能被整除的數即可得答案．【詳解】解：(n+2)==(1?k)n∵n+22?kn∴(1?k)總能被4整除．整數k為?3、1、5均滿足條件，故選項A、B、D不符合題意，整數k為2，1?k=?1，不能滿足n為任意整數時n+22故選：C．【變式4-2】（23-24八年級·全國·競賽）已知：4a?b是11的倍數，其中a，b是整數，求證：40a【答案】證明見解析【分析】本題考查了因式分解，整數的整除性，熟練掌握因式分解是解答本題的關鍵．設4a?b=11n，則b=4a?11n，先將代數式40a2+2ab?3b2【詳解】設4a?b=11n，則b=4a?11n，40==11n=121n2a?3n故40a【變式4-3】（23-24八年級·上?！ぜ倨谧鳂I）試說明：一個三位數字，百位數字與個位數字交換位置后，則得到的新數與原數之差能被11整除．【答案】證明見解析【分析】根據題意，分兩種情況：①個位數字為0；②個位數字不為0，根據不同情況，利用提公因式法因式分解結合整除的概念列式求解即可得到答案．【詳解】解：∵這個數是三位數，∴百位數字不能為0，故分兩種情況：①個位數字為0；②個位數字不為0；①當個位數字為0時，設這個三位數為100a+10b，b為0－9之間的整數，∴交換百位數字與個位數字后可得新三位字為10b+a，∴10b+a?∵?9a是整數，∴11×(?9a)能被11整除；②當個位數字不為0時，設這個三位數為100a+10b+c，b為0－9之間的整數，∴交換百位數字與個位數字后可得新三位字為100c+10b+a，∴100c+10b+a?100a?10b?c=99c?99a=11(9c?9a)，∵9c?9a是整數，∴11(9c?9a)能被11整除．【點睛】本題考查利用提取公因式法分解因式，用整式表示三位數是解題的關鍵．【題型5利用因式分解確定三角形的形狀】【例5】（23-24八年級·全國·課后作業）已知等腰三角形ABC的三邊長a、b、c均為整數，且滿足a+bc+b+ca=24，則這樣的三角形共有個．【答案】3【分析】先將a+bc+b+ca=24可以化為（a+b）（c+1）=24，然后根據24分解為大于等于2的兩個正整數的乘積有幾種組合，討論是否符合題意即可得出答案．【詳解】解：∵a+∴（a∴c+1b+a∵等腰△ABC的三邊長a、b、c均為整數，∴a+b，c+1為大于或等于2的正整數，那么24分解為大于等于2的兩個正整數的乘積有幾種組合2×12，3×8，4×6，6×4，8×3，12×2，①a+b=2，c+1=12時，c=11，a+b=2，無法得到滿足等腰三角形的整數解；②a+b=3，c+1=8時，c=7，a+b=3，無法得到滿足等腰三角形的整數解；③a+b=4，c+1=6時，c=5，a+b=4，無法得到滿足等腰三角形的整數解；④a+b=6，c+1=4時，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以組成等腰三角形；⑤a+b=8，c+1=3時，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以組成等腰三角形；⑥a+b=12，c+1=2時，可得a=b=6，c=1，可以組成等腰三角形．∴一共有3個這樣的三角形．故答案是：3．【點睛】本題考查因式分解的應用及等腰三角形的知識，難度一般，在解答本題時將原式化為因式相乘的形式及將24分解為大于等于2的兩個正整數的乘積有幾種組合是關鍵．【變式5-1】（23-24八年級·全國·單元測試）a,b,c為三角形三邊長，a2+ac?b【答案】等腰三角形【分析】把等式左邊的多項式因式分解，可知a?b=0，進而，可得到答案.【詳解】∵a2∴a2?b∴(a?b)(a+b+c∵a+b∴a?b=0，即a=b，∴該三角形是等腰三角形.故答案是：等腰三角形.【點睛】本題主要考查利用因式分解，判斷三角形的形狀，把等式左邊的多項式利用分組分解法分解因式，是解題的關鍵.【變式5-2】（23-24八年級·貴州黔西·期中）若三角形的三邊長分別為a、b、c，滿足a2b?aA．直角三角形 B．等邊三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】首先將原式變形為(b?c)(a?b)(a+b)=0，可以得到b?c=0或a?b=0或a+b=0，進而得到b=c或a=b．從而得出△ABC的形狀．【詳解】∵a2∴a2∴(b?c)(a即(b?c)(a?b)(a+b)=0，∴b?c=0或a?b=0或a+b=0(舍去)，∴b=c或a=b，∴△ABC是等腰三角形．故選：D．【點睛】本題考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在實際問題中的運用，注意掌握因式分解的步驟，分解要徹底．【變式5-3】（23-24八年級·全國·課后作業）若△ABC的三邊a、b、c滿足?c2+【答案】等腰三角形【分析】對等式前兩項利用平方差公式進行因式分解，而后兩項提出公因式，然后再進一步因式分解觀察即可.【詳解】∵?c∴a+ca?c∴a?ca+c+2b∵a、b、c是△ABC的三條邊，∴a+2b+c>0，∴a?c=0，即a=c，∴△ABC為等腰三角形．故答案為：等腰三角形.【點睛】本題主要考查了因式分解的運用，熟練掌握相關方法是解題關鍵.【題型6因式分解的實際應用】【例6】（23-24八年級·浙江寧波·期末）學校舉行運動會，由若干名同學組成一個長方形隊列．如果原隊列中增加54人，就能組成一個正方形隊列；如果原隊列中減少74人，也能組成一個正方形隊列．問原長方形隊列有多少名同學？【答案】原隊列有1035人或270人或90人【分析】本題考查的是因式分解的應用，二元一次方程組的解法；設原隊列有m人，增加54人后組成a×a的正方形隊列，減少74人后組成b×b的正方形隊列.可得：a2【詳解】解：設原隊列有m人，增加54人后組成a×a的正方形隊列，減少74人后組成b×b的正方形隊列.根據題意得：a①?②a+b=64a?b=2，解得a=33∴m1a+b=32a?b=4，解得a=18∴m2a+b=16a?b=8，解得a=12∴m3綜上所述，原隊列有1035人或270人或90人【變式6-1】（23-24八年級·廣西玉林·期末）如圖，要用木板為一幅正方形油畫裝裱邊框，其中油畫的邊長為4cm，邊框每條邊的寬度為acm，則制作邊框的面積是（4a2+16acmC．4a2cm2【答案】A【分析】本題考查列代數式，代數式加減，因式分解的應用，油畫的邊長已知，加框后邊長增加2a，加框后的面積減去畫的面積就是邊框所需木板面積．解題的關鍵要熟練運用平方差公式化簡所列出的代數式．【詳解】解：∵4+2a==2a=4∴制作邊框的面積是4a故選：A．【變式6-2】（23-24·浙江湖州·八年級期末）龍龍設計了一個翻牌游戲：現有對應著編號為1?150的150張數字牌，牌分為“正面”和“反面”兩種狀態，每翻一次改變相對應數字牌的狀態，所有牌的初始狀態為“反面”．第1次把所有編號是1的整數倍的數字牌翻一次，第2次把所有編號是2的整數倍的數字牌翻一次，第3次把所有編號是3的整數倍的數字牌翻一次，??????，第150次把所有編號是150的整數倍的數字牌翻一次．問最終狀態為“正面”的數字牌共有（

）A．9張 B．10張 C．11張 D．12張【答案】D【分析】本題考查因數分解，完全平方數，理解因數的意義，完全平方數的概念是解題的關鍵．所有牌的初始狀態為“反面”，翻奇數次，則狀態為“正面”，翻偶數次，則狀態為“反面”，再根據因數的個數為奇數的自然數只有完全平方數，即可求解．【詳解】解：所有牌的初始狀態為“反面”，翻奇數次，則狀態為“正面”，翻偶數次，則狀態為“反面”；因數的個數為奇數的自然數只有完全平方數，1?150中，完全平方數為1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144；有12個數，故有12張牌被翻奇數次，為“正面”的狀態；故選：D．【變式6-3】（23-24八年級·浙江金華·期末）根據素材，完成任務．利用現有木板制作長方體木箱問題素材1如圖長方體木箱的長、寬、高分別是3a厘米、2a厘米、b厘米．素材2現有甲、乙、丙三塊木板，甲塊木板鋸成兩塊剛好能做箱底和一個長側面，乙木板鋸成兩塊剛好能做一個長側面和一個短側面，丙塊木板鋸成兩塊剛好能做成箱蓋和剩下的一個短側面（厚度忽略不計）．問題解決任務1請用含a，b的代數式表示這三塊木板的面積．任務2若長方體長側面周長和短側面周長差為3厘米，長側面周長和短側面周長之和為23厘米，則甲、乙、丙三塊木板的面積和是多少？任務3若甲木板面積是乙木板面積的3倍，求箱子側面積與表面積的比值．【答案】任務一：甲木板面積：3ab+6a2平方厘米，乙木板面積：5ab平方厘米，丙木板面積：6a2【分析】任務一：根據題意結合長方形的面積公式列式整理即可；任務二：由長方體長側面周長和短側面周長差為3厘米，長側面周長和短側面周長之和為23厘米，再建立方程組求解a,b的值，再列式計算即可．任務三：由題意可得：6a2+3ab=3×5ab【詳解】任務一：解：由題意得：甲木板面積：3ab+2a乙木板面積：b3a+2a丙木板面積：2a3a+b任務二：由題意可得：23a+b解得：a=1.5b=2∴甲、乙、丙三塊木板的面積和為6=12=12×=27+30=57cm任務三：由題意可得：6a整理得：6a∴6aa?2b∵a≠0，∴a?2b=0，∴a=2b；箱子側面積為：23ab+2ab箱子表面積為：10ab+2×6a∴箱子側面積與表面積的比值為10ab10ab+12【點睛】本題考查了整式混合運算的實際應用，因式分解的應用，二元一次方程組的應用，根據題意列出甲、乙、丙三塊木板面積的式子是解題的關鍵．【題型7利用整體思想進行因式分解】【例7】（23-24八年級·江西九江·期末）先閱讀材料，再回答問題：分解因式：a?b2解：將“a?b”看成整體，令a?b=M，則原式=M2?2M+1=M?12上述解題過程中用到了“整體思想”，它是數學中常用的一種思想．請你用整體思想解決下列問題：(1)因式分解：9+6x+y(2)因式分解：x2(3)若n為正整數，則n+1n+4【答案】(1)(3+x+y)(2)x?y+z(3)理由見解析【分析】本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是仔細讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．（1）把(x+y)看作一個整體，直接利用完全平方公式因式分解即可；（2）原式變形為x?y2（3）將原式轉化為n2+5n+4n2+5n+4，令n2+5n=M，則原式=MM+4【詳解】（1）9+6=(3+x+y)故答案為：(3+x+y)2（2）x2=x?y=x?y+z故答案為：x?y+zx?y?z（3）n+1=令n2則原式=MM+4=M=M+2原式=n∵n為正整數，∴n∴代數式n+1n+4【變式7-1】（23-24八年級·山東菏澤·期末）閱讀材料A：利用完全平方公式a±b2例如：若a+b=3，ab=1，求a2解：∵a+b=3，ab=1，∴a+b2即：a2+b閱讀材料B：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元法），不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．下面是小明同學用換元法對多項式x2解：令x2原式=y?1=y=y+1=x(1)請根據材料A，解答問題：若x?y=4，x2+y(2)請根據材料B，解答問題：①在材料B中，老師說，小明同學因式分解的結果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結果______；②因式分解：x+y2(3)綜合運用：若實數x滿足2023?x2+x?2024【答案】(1)xy=12(2)①(x?1)4；②(3)?【分析】本題主要考查了分解因式及其應用，解題關鍵是熟練掌握利用完全平方公式分解因式和換元法分解因式．（1）根據已知條件，利用完全平方公式求出xy即可；（2）①設x2?2x=y，把含有x的多項式換元成含有②把x+y當作一個整體，利用完全平方公式分解因式即可；（3）設2023?x=a，x?2024=b，先求出a，b，根據已知條件求出a2+b2，然后利用【詳解】（1）解：∵x?y=4，x2∴(x?y)x240?2xy=16，2xy=24，xy=12；（2）①設x2原式=(y?1)(y+3)+4=====(x?1)故答案為：(x?1)4②(x+y)2（3）設2023?x=a，x?2024=b，∴a+b=2023?x+x?2024=?1，∵實數x滿足(2023?x)2∴a∵(a+b)∴a50+2ab=1，2ab=?49，ab=?49∴(2023?x)(x?2024)=?49【變式7-2】（23-24八年級·四川成都·階段練習）小福同學在課后探究學習中遇到題目：分解因式：x(x+1)(x+2)(x+3)+1．小福同學經過幾次嘗試后發現如下做法：因式分解：x(x+1)(x+2)(x+3)+1解：原式==設x∴原式=M(M+2)+1===小福和組內同學分享學習心得時總結：當有四個一次式連續相乘時，我選擇了每兩個一次式分別乘積；經過我多次嘗試，我發現選擇哪兩個一次式相乘也很重要，我最后選擇了“常數之和相等”的分組相乘方式，之后在乘積中有整體出現，選擇了換元完成分解．另外，我發現在劃橫線那個步驟時，有時也會選擇“常數乘積相等”的分組相乘方式．小福同學分享了解題方法和學習心得之后很多同學有了自己的思考和理解，紛紛躍躍欲試請你結合自己的思考和理解完成下列變式訓練：(1)分解因式：(x?1)(x+1)(x+2)(x+4)+9；(2)分解因式：x?6x?2【答案】(1)x(2)x【分析】（1）根據常數之和相等進行分組相乘，然后換元計算即可．（2）根據常數乘積相等進行分組相乘，然后換元計算即可．【詳解】（1）(x?1)(x+1)(x+2)(x+4)+9==設x2∴原式=(M?4)(M+2)+9====x（2）x?6==設x2∴原式======x【點睛】本題考查了因式分解的十字相乘法和換元法．看懂和理解題例是解決本題的關鍵．【變式7-3】（23-24八年級·河南洛陽·期中）整體思想是數學解題中常見的一種思想方法．下面是對多項式(a2+2a)(a2+2a+2)+1進行因式分解的解題思路：將“a2+2a”看成一個整體，令解：設a2+2a=x，則原式=x=(x+1)=a問題：(1)①該同學完成因式分解了嗎？如果沒完成，請你直接寫出最后的結果；②請你模仿以上方法嘗試對多項式a2(2)請你模仿以上方法嘗試計算：(1?2?3???2023)×(2+3+?+2024)?(1?2?3???2024)×(2+3+?+2023)．【答案】(1)①該同學沒有完成因式分解；最后的結果為(a+1)4；②(2)2024【分析】本題考查公式法分解因式，理解整體思想是解決問題的前提，掌握完全平方公式的結構特征和必要的恒等變形是正確解答的關鍵．（1）①根據因式分解的意義進行判斷，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用換元法進行因式分解即可；（2）設a=1?2?3???2023，x=2+3+?+2024，則原式=ax?(a?2024)(x?2024)，整體代入計算即可．【詳解】（1）①該同學沒有完成因式分解；設a2+2a=x，則原式=x=(x+1)=a==(a+1)∴最后的結果為(a+1)4②設a2原式=x(x+8)+16=x===(a?2)（2）設a=1?2?3???2023，x=2+3+?+2024，則1?2?3???2023?2024=a?2024,2+3+?+2023=x?2024，a+x=1+2024=2025，原式=ax?(a?2024)(x?2024)=ax?ax+2024(a+x)?=2024×2025?=2024×(2024+1)?==2024．【題型8因式分解中的新定義問題】【例8】（23-24八年級·浙江衢州·階段練習）對于正整數m，若m=pq（p≥q>0，且p,q為整數），當p?q最小時，則稱pq為m的“最佳分解”，并規定fm=qp如：12的分解有12×1，6×2，4×3，其中4×3，為12的最佳分解，則f12=3A．1 B．12 C．14 【答案】C【分析】本題主要考查了因式分解，根據題意，分別找到n=1,3,6時，根據新定義逐項分析判斷，即可求解．【詳解】A、當n=1時，n2+3n=4=2×2，B、當n=3時，n2+3n=9+9=18=3×6，C、fnD、當n=6時，n2+3n=54=6×9，故選：C．【變式8-1】（23-24八年級·四川成都·期末）定義：任意兩個數a，b，按規則c=a+b?ab擴充得到一個新數c，稱所得的新數c為“鴻蒙數”，若a＝2，b=x2?2x+2，比較b，c的大?。篵【答案】≥【分析】此題考查了整式運算和因式分解的應用能力，關鍵是能準確根據題意列式、計算、變形．先按照題意表示出c，再運用作差法比較b與c的大小即可．【詳解】解：由題意得，當a=2，b=xc=a+b?ab=2+(=2+=?x∴b?c=(==2=2(=2(x?1)∴b≥c，故答案為：≥．【變式8-2】（23-24八年級·河南周口·期末）設m、n是實數，定義一種新運算：m?n=(m?n)2．下面四個推斷正確的是（A．m?n=n?m B．(m?n)C．(m?n)?p=m?(n?p) D．m?(n?p)=(m?n)?(m?p)【答案】A【分析】各式利用題中的新定義判斷即可．【詳解】解：根據題中的新定義得：A．m?n=m?n2，B．(m?n)2=m?nC．(m?n)?p=m?n2?p=D．m?(n?p)=m?n?p2故選：A．【點睛】此題考查了整式的運算和因式分解，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．【變式8-3】（23-24·河北石家莊·八年級期末）每個人都擁有一個快樂數字，我們把自己出生的年份減去組成這個年份的數字之和，所得的差就是我們自己的快樂數字．比如我國著名的數學家華羅庚出生于1910年，他的快樂數字是1910?1+9+1+0(1)某人出生于1949年，他的快樂數字是______；(2)你再舉幾個例子并觀察，這些快樂數字都能被______整除，請你用所學知識說明你的猜想．(3)請你重新對快樂數字定義，并寫出一個你找到的規律（直接寫出結果，不用證明）．【答案】(1)1926(2)9，理由見解析(3)答案不唯一，見解析【分析】本題考查數字變化的規律，（1）根據快樂數字的定義即可解決問題；（2）按要求舉幾個例子，并發現規律即可解決問題；（3）根據（2）中發現的規律，進行重新定義即可；理解題中“快樂數字”的定義是解題的關鍵．也考查了因式分解的應用．【詳解】（1）解：由題知，1949?1+9+4+9即他的快樂數字是1926，故答案為：1926；（2）例如：19