專題8.1冪的運算【八大題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由冪的運算進行求化簡求值】 3【題型2由冪的運算進行簡便運算】 4【題型3由冪的運算進行整體代入求值】 6【題型4由冪的運算求字母的值】 7【題型5由冪的運算表示代數式】 9【題型6由冪的運算比較大小】 11【題型7由冪的運算確定字母之間的關系】 14【題型8冪的運算中的新定義問題】 16知識點：冪的運算1．同底數冪的乘法一般地，對于任意底數a與任意正整數m，n，am·an=·==．語言敘述：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．【拓展】（1）同底數冪的乘法法則的推廣：三個或三個以上同底數冪相乘，法則也適用．（m，n，…，p都是正整數）．（2）同底數冪的乘法法則的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整數）．2．冪的乘方（1）冪的乘方的意義：冪的乘方是指幾個相同的冪相乘，如（a5）3是三個a5相乘，讀作a的五次冪的三次方，（am）n是n個am相乘，讀作a的m次冪的n次方．（2）冪的乘方法則：一般地，對于任意底數a與任意正整數m，n，．語言敘述：冪的乘方，底數不變，指數相乘．【拓展】冪的乘方的法則可推廣為（m，n，p都是正整數）．（2）冪的乘方法則的逆用：（m，n都是正整數）．3．積的乘方（1）積的乘方的意義：積的乘方是指底數是乘積形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．（積的乘方的意義）=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交換律、結合律）=a3b3．積的乘方法則：一般地，對于任意底數a，b與任意正整數n，．因此，我們有．語言敘述：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．4．同底數冪的除法同底數冪的除法法則：一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．語言敘述：同底數冪相除，底數不變，指數相減．【拓展】（1）同底數冪的除法法則的推廣：當三個或三個以上同底數冪相除時，也具有這一性質，例如：（a≠0，m，n，p都是正整數，并且m>n+p）．（2）同底數冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．【題型1由冪的運算進行求化簡求值】【例1】（23-24八年級·河南周口·期末）若a2n=2（n為正整數），則（4a3n【答案】8【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則進行運算即可．【詳解】解：當a2n（=16=16×=16×8÷=16×8÷16=8．故答案為：8．【點睛】本題主要考查冪的乘方與積的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【變式1-1】（23-24八年級·重慶南川·期末）已知3m=2，2n=3【答案】12【分析】本題考查了冪的乘方的逆運算，代數式求值．熟練掌握冪的乘方的逆運算，代數式求值是解題的關鍵．根據9m【詳解】解：由題意知，9m故答案為：12．【變式1-2】（23-24八年級·湖北黃石·期末）已知50a=20，8b=20，則1a+【答案】2【分析】本考查同底數冪的乘法的逆用和冪的乘方的逆用，掌握運算法則即可解題．【詳解】解：∵50a=20，∴50=201a∴20∴20∴1a故答案為：2．【變式1-3】（23-24八年級·湖南株洲·期末）已知2x+y=16,4x+【答案】4【分析】根據已知可得：x+y=42(x+12【詳解】解：∵2x+y=16，∴x+y=4，∵4x+12∴2(x+1聯立得：x+y=42(x+解得：x=?1y=5∴23x+y故答案為：4．【點睛】本題考查了同底數冪的乘法的逆運算，根據題意得出x+y=42(x+【題型2由冪的運算進行簡便運算】【例2】（23-24八年級·湖南邵陽·期末）計算：?512【答案】5【分析】本題考查積的乘方的逆運算、同底數冪乘法的逆運算，根據積的乘方的逆運算和同底數冪乘法的逆運算進行計算即可．【詳解】解：?====?1×=5故答案為：5【變式2-1】（23-24八年級·上海普陀·期末）簡便計算：(?13)【答案】1【詳解】原式=(?13)100×【變式2-2】（23-24八年級·上海奉賢·期中）用簡便方法計算：35【答案】?5×【分析】根據題意先將化為指數相同的數的乘積，然后進行計算即可求解．【詳解】解：35=[3×=[=5×(?10)=?5×10【點睛】本題考查了有理數的混合運算，積的乘方運算，掌握積的乘方，有理數的乘方的運算法則是解題的關鍵．【變式2-3】（23-24八年級·吉林長春·階段練習）用簡便方法計算：(?4【答案】?1【分析】先確定符號，再利用冪的乘方的逆運算將4911轉化成23【詳解】解：原式=?=?=?=?=?1．【點睛】本題考查冪的運算，解題的關鍵是熟練掌握冪的運算公式并能夠進行簡便計算．【題型3由冪的運算進行整體代入求值】【例3】（23-24八年級·江蘇無錫·期中）若a+b+c=1，則(?2)a?1×(?2)【答案】16【分析】根據同底數冪的乘法可進行求解．【詳解】解：∵a+b+c=1，∴(?2)a?1故答案為16．【點睛】本題主要考查同底數冪的乘法，熟練掌握同底數冪的乘法是解題的關鍵．【變式3-1】（23-24八年級·北京·期末）已知2x+3y?3=0，求3?9A．21 B．81 C．243 D．48【答案】B【分析】本題主要考查了冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘法法則，熟練掌握冪的原式性質和整體代入的方法是解題的關鍵．利用冪的乘方與積的乘方的逆運算化簡后，利用同底數冪的乘法法則和整體代入的方法解答即可．【詳解】解∶原式=3?=3?=∵2x+3y?3=0∴2x+3y=3∴原式=故選：B．【變式3-2】（23-24春·廣西崇左·八年級統考期中）若2a+3b?4c?2=0，則9a×27【答案】9【分析】由冪的乘方進行化簡，然后把2a+3b?4c=2代入計算，即可得到答案．【詳解】解：∵2a+3b?4c?2=0，∴2a+3b?4c=2，∴9a故答案為：9．【點睛】本題考查了冪的乘方的運算法則，求代數式的值，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，正確的進行化簡．【變式3-3】（23-24八年級·四川成都·期中）若x+4y?2=0，則22x?4【答案】16【分析】本題考查了冪的乘方逆運算法則，同底數冪的乘法，代數式求值，將22x?44y轉化為4x?4【詳解】解：∵22x?4∴2故答案為：16．【題型4由冪的運算求字母的值】【例4】（23-24八年級·河北滄州·期中）已知3a+1×5a+1=A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】題目主要考查積的乘方的逆運算，根據積的乘方的逆運算得出a+1=2a?3，求解即可，熟練掌握運算法則是解題關鍵．【詳解】解：3a+1∴a+1=2a?3，解得：a=4，故選：D．【變式4-1】（23-24八年級·四川眉山·階段練習）若34×34×A．?5 B．0 C．3 D．8【答案】D【分析】本題考查了同底數冪的乘法，根據題意得出m=12，n=4，代入代數式，即可求解．【詳解】解：∵3∴m=12，n=4∴m?n=12?4=8，故選：D．【變式4-2】（23-24八年級·四川成都·期中若22n+3+4n+1=192【答案】2【分析】本題考查了冪的乘方逆應用，同底數冪的乘法的逆應用，根據已知，正確變形計算即可．【詳解】∵22n+3∴22n+3∴22n+2∴2n+2=6∴n=2，故答案為：2．【變式4-3】（23-24八年級·江蘇泰州·期末）若m，n均為正整數，且2m?1×4n=32，則m+n的所有可能值為．【答案】4或5/5或4【分析】先根據同底數冪的乘法和乘方進行變形：2m?1×22n＝2m?1＋2n＝25，得到m＋2n?1＝5，由m和n為正整數進行討論即可得到答案．【詳解】解：∵原式＝2m?1×22n＝2m?1+2n＝25，∴m＋2n?1＝5，∴n＝6?m2∵m，n為正整數，∴當m＝2時，n＝2，當m＝4時，n＝1，∴m＋n＝2＋2＝4或m＋n＝4＋1＝5．故答案為：4或5．【點睛】本題主要考查了乘方和同底數冪的乘法運算法則，能夠靈活運用同底數冪的運算法則及其逆運算法則進行變形是解答此類問題的關鍵．【題型5由冪的運算表示代數式】【例5】（23-24八年級·山東淄博·期中）若am=an(a>0且a≠1，m(1)若3x×9(2)若x=5m，y=4?25m，用含【答案】(1)x=2(2)y=4?【分析】本題主要考查冪的乘方與積的乘方，解題的關鍵是熟練利用冪的乘方與積的乘方對式子進行變形．（1）由題意得出6x=12，即可得出答案；（2）將5m=x代入【詳解】（1）解：3x∵3∴6x=12，∴x=2；（2）解：∵x=5∴y=4?25∴y=4?x【變式5-1】（23-24八年級·江蘇宿遷·階段練習）若x=3m，y=9m?3，用【答案】x【分析】本題考查了冪的乘方的逆運算．熟練掌握冪的乘方的逆運算是解題的關鍵．根據y=9【詳解】解：由題意知，y=9故答案為：x2【變式5-2】（23-24八年級·福建泉州·期中）已知2m=a，2n=b，3m=c，請用含(1)2m+n(2)4(3)36【答案】(1)ab(2)a(3)a【分析】本題考查了同底數冪旳乘法，積的乘方與冪的乘方，掌握其運算法則是解決此題的關鍵．（1）根據同底數冪的乘法運算法則計算即可；（2）根據冪的乘方與積的乘方的運算即可；（3）根據冪的乘方與積的乘方的運算即可．【詳解】（1）解：∵2m=a∴2（2）∵2m=a∴4（3）∵3m=c∴36【變式5-3】（2024八年級·全國·專題練習）在等式的運算中規定：若ax=ay(a>0且a≠1，x(1)若9x=3(2)若3x+2?3(3)若m=2x+1，n=4x【答案】(1)x=3；(2)x=1；(3)n=【分析】本題主要考查了冪的乘方的逆運算，同底數冪乘法的逆運算：（1）根據冪的乘方的逆運算法則把兩邊底數為成一樣，再根據題目規定解答即可；（2）根據同底數冪乘法的逆運算法則把變形為3×3x+1?（3）先求出2x=m?1，再根據【詳解】（1）解：∵9x∴32∴32x∴2x=6，∴x=3；（2）解：∵3x+2∴3×3∴2×3∴3x+1∴x+1=2，∴x=1；（3）解：∵m=2∴2x∵n=4∴n=2∴n=2∴n=m?1【題型6由冪的運算比較大小】【例6】（23-24八年級·山東淄博·階段練習）閱讀下列兩則材料，解決問題：材料一：比較322和4解：∵411=∴322>小結：指數相同的情況下，通過比較底數的大小，來確定兩個冪的大小材料二：比較28和8解：∵82=∴28>小結：底數相同的情況下，通過比較指數的大小，來確定兩個冪的大小【方法運用】(1)比較344、433、(2)比較8131、2741、(3)已知a2=2，b3=3，比較【答案】(1)3(2)81(3)a<b【分析】本題考查冪的乘方與積的乘方、有理數大小比較，解答本題的關鍵是明確有理數大小的比較方法．（1）根據344=3411（2）根據8131=3431（3）根據a23=【詳解】（1）解：∵344433522∵81>64>25，∴8111即344（2）解：∵81312741961∵124>123>122，∴3124即8131（3）解：∵a23=又∵8<9，∴a<b．【變式6-1】（23-24八年級·陜西西安·階段練習）比較大?。?2117【答案】＞【分析】本題考查了冪的乘方的逆運用，先整理721=3437，1714【詳解】解：∵721=73∴343∴7故答案為：＞．【變式6-2】（23-24八年級·湖南岳陽·期中）已知a=2731，b=361，c=941，試比較a，b，【答案】a>c>b【分析】本題主要考查了有理數比較大小，冪的乘方的逆運算，冪的乘方計算，先根據冪的乘方和冪的乘方的逆運算法則得到a=393，【詳解】解：∵a=2731，∴a=3331∵393∴a>c>b，故答案為：a>c>b．【變式6-3】（23-24八年級·山東青島·階段練習）在學習了“冪的運算法則”后，經常遇到比較冪的大小的問題，對于此類問題，通常有兩種解決方法，一種是將冪化為底數相同的形式，另一種是將冪化為指數相同的形式，請閱讀下列材料：若a3=2，b5=3，則a,b的大小關系是ab解：∵a15=a3∴a∴a>b，(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運算性質：；A．同底數冪的乘法

B．同底數冪的除法

C．冪的乘方

D．積的乘方類比閱讀材料的方法，解答下列問題：(2)比較8131(3)比較2100與3【答案】(1)C(2)81(3)2【分析】本題主要考查了冪的乘方的逆運算和冪的乘方運算：（1）根據冪的乘方的逆運算法則判斷即可；（2）根據8131=3124，（3）根據2100=16【詳解】（1）解：由題意得，上述求解過程中，逆用了冪的乘方計算法則，故答案為：C；（2）解：∵8131=3431=3∴8131（3）解：∵2100=2425∴2100【題型7由冪的運算確定字母之間的關系】【例7】（2024八年級·江蘇·專題練習）若2a=5，2b=10，2c=50，則a①c=2b?1；②c=a+b；③b=a+1；④c=ab【答案】①②③【分析】本題考查了冪的乘方的逆用、同底數冪的乘法，解答本題的關鍵是熟練掌握“同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加”．②可根據同底數冪乘法法則判斷；①可根據冪的乘方的逆用，同底數冪除法法則判斷；③可根據同底數冪乘法的逆用判斷．【詳解】解：∵2a=5∴2∵2∴a+b=c，②關系成立；∵2∴2b?1=c，①關系成立；∵2∴a+1=b，③關系成立；則①②③成立，故答案為：①②③．【變式7-1】（2024·河北唐山·八年級期末）若2×2×?????×2k個2=4×4×???×4m個4，則k與m（A．k=m B．k=2m C．k+m=6 D．m?k=2【答案】B【分析】本題主要考查冪的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則．根據冪的意義得出2k=4【詳解】解：∵2×2×?????×2k∴2k∴2k∴2k∴k=2m，故選：B．【變式7-2】（23-24八年級·江蘇泰州·階段練習）已知9x=m，3y=n，27z=mn，那么x，【答案】3z=2x+y【分析】本題考查同底數冪的乘法，冪的乘方的逆用，根據題意，得到27z【詳解】解：∵9x=m，3y∴27z∴33∴33z∴3z=2x+y；故答案為：3z=2x+y．【變式7-3】（23-24八年級·安徽合肥·期中）已知3a=2、3b=5、3c=409，那么a、b、c之間滿足的等量關系是【答案】3a+b-c=2【分析】由題意知23×5÷9=40【詳解】解：由題意知2∴3∴3∴3a+b?2=c∴a、b、c之間滿足的等量關系是3a+b?c=2故答案為：3a+b?c=2．【點睛】本題考查了冪的乘方，同底數冪的乘法，同底數冪的除法．解題的關鍵在于熟練掌握同底數冪乘法、同底數冪的除法的運算法則．【題型8冪的運算中的新定義問題】【例8】（23-24八年級·湖北隨州·期末）閱讀以下材料：指數與對數之間有密切的聯系，它們之間可以互化．對數的定義：一般地，若ax=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數，記作x=logaN，比如指數式24=16我們根據對數的定義可得到對數的一個性質：loga(M?N)=log設logaM=m，loga∴M?N=am又∵m+n=log∴loga請解決以下問題：(1)將指數式34(2)求證：logaMN=(3)拓展運用：計算log6【答案】(1)4=(2)證明見解析(3)2【分析】（1）根據指數與對數的關系求解．（2）根據指數與對數的關系求證．（3）利用（1）、（2）中的對數運算法則求解．【詳解】（1）解：根據指數與對數關系得：4=log故答案為：4=log（2）解：設logaM=m，loga∴MN=∴logaMN=∴logaMN=（3）解：原式===2．故答案為：2．【點睛】本題考查了新定義的知識解題，理解新定義，找到指數和對數的關系是求解本題的關鍵．【變式8-1】（