期中易錯題壓軸題專項復習【24大題型】（考試范圍：第6~8章）【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【易錯篇】 2【考點1平方根、立方根】 2【考點2無理數】 3【考點3實數與數軸】 6【考點4實數的運算】 8【考點5一元一次不等式】 10【考點6一元一次不等式組】 13【考點7冪的運算】 15【考點8單項式乘單項式】 16【考點9單項式乘多項式】 18【考點10多項式乘多項式】 21【考點11完全平方公式】 24【考點12平方差公式】 26【考點13因式分解】 28【壓軸篇】 30【考點14無理數的整數與小數部分的計算】 30【考點15不等式(組)的整數解問題】 33【考點16不等式組的有解或無解問題】 36【考點17利用不等式的基本性質求最值】 38【考點18方程與不等式（組）的實際應用】 41【考點19冪的運算的逆用】 47【考點20多項式乘積不含某項求字母的值】 50【考點21多項式乘多項式與圖形面積】 53【考點22整式乘法中的規律性問題】 61【考點23整式乘法中的恒成立問題】 65【考點24因式分解的應用】 68【易錯篇】【考點1平方根、立方根】【例1】（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期末）下列說法中正確的是（

）A．?25有平方根 B．?64沒有立方根C．0.09的平方根是±0.03 D．?42【答案】A【分析】本題考查了立方根、平方根及算術平方根的知識，注意一個正數的平方根有兩個，算術平方根只有一個，且為正數．根據立方根及平方根、算術平方根的定義，結合各選項進行判斷即可．【詳解】解：A、?25=25，25有平方根，故選項AB、?64的立方根為?4，故選項B錯誤；C、0.09的平方根是±0.3，故選項C錯誤；D、?42=16=4，4的算術平方根是故選：A．【變式1-1】16+3?27【答案】1【分析】根據算術平方根和立方根的定義進行計算．【詳解】解：16故答案為1．【點睛】本題考查算術平方根和立方根，正確掌握算術平方根和立方根的意義是解題關鍵．【變式1-2】（24-25八年級上·江蘇揚州·期末）解方程：(1)2x+1(2)x?33【答案】(1)x=1或x=?3(2)x=6【分析】本題考查了平方根，立方根，熟練掌握這兩個定義是解題的關鍵．（1）根據平方根的定義解方程即可；（2）根據立方根的定義解方程即可．【詳解】（1）解：2x+1∴x+12∴x+1=±2，∴x=1或x=?3；（2）解：x?33∴x?33∴x?3=3，∴x=6．【變式1-3】（24-25八年級上·湖北十堰·期末）已知x?1的平方根是±3，x+y的立方根是2，求x2【答案】104【分析】本題主要考查了平方根、立方根、代數式求值等知識點，掌握平方根和立方根的定義是解題的關鍵．根據平方根的定義求出x的值，根據立方根的定義求出y的值，再根據有理數的乘方法則、加法法則計算即可．【詳解】解：∵x?1的平方根是±3，∴x?1=9，∴x=10，∵x+y的立方根是2，∴x+y=8，∴y=?2，∴x【考點2無理數】【例2】（24-25七年級·安徽安慶·期中）滿足?3<x<310的整數【答案】?1、0、1、2【分析】本題考查估算無理數的大小，理解算術平方根、立方根的意義是解題關鍵．根據算術平方根、立方根的意義估算?3，3【詳解】解：∵12=1，2∴1<3∴?2<?3∵23=8，3∴2<3∴滿足?3<x<310的整數x有?1、0、故答案為：?1、0、1、2．【變式2-1】（24-25七年級·山東泰安·期末）在實數?3，0，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】此題主要考查了立方根和無理數的定義，熟知無理數的常見形式是解題的關鍵．首先計算3?64【詳解】解：3?64∴根據無理數的定義可知：7，π2，0.131331331…∴無理數的個數是3個．故選：B．【變式2-2】（24-25七年級·甘肅天水·期末）因為22<5<32，可以肯定2<5<3，也就是5在2與3之間．依據這一方法，對2.22<5<2.32，可以肯定2.2<5A．3.15<10<3.16 C．3.17<10<3.18 【答案】B【分析】本題考查了估算無理數的大小，能估算出10的范圍是解答本題的關鍵．利用估算無理數大小的方法即可求得答案．【詳解】解：∵3.16∴3.16<10故選：B．【變式2-3】（24-25七年級·遼寧本溪·期末）解答題，在學習第二章第4節《估算》后，某數學愛好小組探究110的近似值的過程如下：∵∴10<∵面積為110的正方形的邊長是110∴設110=10+x，其中0<x<1畫出示意圖，如圖所示．根據示意圖，可得圖中正方形的面積為S正方形又∵S∴10當0<x<1時，可忽略x2，得100+20x≈110，解得x≈0.5∴110(1)求13.8的整數部分；(2)仿照該數學愛好小組的探究過程，求13.8的近似值（結果保留1位小數）．（要求：畫出示意圖，標注數據，并寫出求解過程）【答案】(1)3(2)13.8【分析】本題主要考查了估計無理數的大小，理解示例并合理解答是解題關鍵．（1）判斷出9<（2）仿造示例畫出圖形，可得S正方形【詳解】（1）解：∵9∴3<13.8∴13.8（2）解：根據題意畫出示意圖，標注數據如下：∵面積為13.8的正方形的邊長是13.8，且3<13.8<4∴設13.8=3+x，其中0<x<1根據示意圖，可得圖中正方形的面積S正方形又∵S∴3當0<x<1時，可忽略x2，得9+6x≈13.8，解得x≈0.8∴13.8【考點3實數與數軸】【例3】（24-25七年級·浙江杭州·期中）實數a在數軸上對應點A的位置如圖所示，若b=a?

（1）b的值是．（2）10b+2的平方根是【答案】10?2【分析】本題主要考查了實數與數軸、平方根及實數的性質，熟知數軸上的點所表示數的特征及平方根的定義是解題的關鍵．（1）根據數軸上點A的位置，得出數a的取值范圍，再結合絕對值的性質即可解決問題．（2）根據（1）中求出的b的值，結合平方根的定義即可解決問題．【詳解】解：（1）由所給數軸可知，2<a<3，所以a?10<0，則b=10（2）由（1）知，10b+2所以10b+2的平方根是±故答案為：（1）10?2；（2）±【變式3-1】（24-25七年級·山西長治·期中）數學課上，為了讓同學們更加直觀地理解無理數可以在數軸上表示，張老師作了如圖所示的演示，把直徑為1個單位長度的圓沿數軸從原點無滑動地順時針滾動一周，到達點A，此時點A表示的數是．【答案】π【分析】本題考查用數軸上的點表示實數，數軸上兩點間的距離，根據題意，直徑為單位1的圓從數軸上的原點沿著數軸無滑動地順時針滾動一周到達點A，則OA的長為圓的周長，求圓的周長即可．明確OA長度的實際意義是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，∵直徑為單位1的圓從數軸上的原點沿著數軸無滑動地順時針滾動一周到達點A，∴OA=π×1∴點A表示的數是π．故答案為：π．【變式3-2】（24-25七年級·浙江杭州·期中）數軸上點A表示的數是?2，點B，C分別位于點A的兩側，且到點A的距離相等．若點B表示的數是3，則點C表示的數是．【答案】?4?3/【分析】本題考查了實數與數軸，熟練掌握數軸的性質是解題關鍵．先畫出圖形，再求出AC,AB的長，然后根據數軸的性質求解即可得．【詳解】解：由題意，畫出數軸如下：∵數軸上點A表示的數是?2，點B表示的數是3，∴AB=3∵點B,C分別位于點A的兩側，且到點A的距離相等,∴AC=AB=3∴點C表示的數是?2?3故答案為：?4?3【變式3-3】（24-25七年級·廣東江門·期中）實數a、b在數軸上的位置如圖所示．化簡a2?【答案】?2a【分析】本題考查了利用絕對值和二次根式的性質進行化簡，掌握性質是解題的關鍵．由數軸可得a<0<b，a?b<0，根據a2【詳解】解：由數軸知：a<0<b，∴a?b<0，∴a==?a?b+b?a=?2a，故答案為：?2a．【考點4實數的運算】【例4】（24-25七年級·河北邯鄲·期中）任意給出一個非零實數m，按如圖所示的程序進行計算．(1)當m=1時，輸出的結果為________．(2)當實數m的一個平方根是﹣3時，求輸出的結果．【答案】(1)0(2)-2【分析】（1）將m=1代入流程圖，逐步計算即可；（2）根據題意求出m的值，代入流程圖計算即可求出值．【詳解】（1）解：當m=1時，12（2）根據題意得：m=?3∴32【點睛】此題考查了實數的運算，以及平方根，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式4-1】（24-25七年級·重慶云陽·期末）計算：?12025+【答案】3?2/【分析】本題考查實數的運算，根據乘方和絕對值運算法則進行計算即可．【詳解】解：?1=?1+=3故答案為：3【變式4-2】（24-25七年級·湖北十堰·期末）計算：(1)25(2)2【答案】(1)4(2)π【分析】本題主要考查了實數的混合運算、乘方、立方根、算術平方根等知識點，靈活運用相關運算法則成為解題的關鍵．（1）先根據算術平方根、乘方、立方根化簡，然后再計算即可；（2）先根據乘方、絕對值化簡，然后再計算即可．【詳解】（1）解：25=5?4+3=4．（2）解：2=2+π?3+1=π．【變式4-3】（24-25七年級·山東煙臺·期末）（1）若m2=?72，（2）a是?27的立方根和16的算術平方根的和，b是比3?47大且最相鄰的整數，請求出5a+b【答案】（1）4或?10；（2）?2【分析】本題考查平方根和立方根，理解平方根和立方根定義是解答的關鍵．（1）先根據平方根和立方根定義求得m=7或?7，n=?3，再代值求解即可；（2）先求得a=?1，再根據無理數的估算方法求解b=?3，然后代值求解5a+b=?8，進而利用立方根定義求解即可．【詳解】解：（1）∵m2=?7∴m=7或?7，n=?3，當m=7時，m+n=7+?3當m=?7時，m+n=?7+?3∴m+n的值為：4或?10；（2）∵a是?27的立方根和16的算術平方根的和，∴a=?3+2=?1，∵?4=3?64<3?47∴b=?3，∴5a+b=5×?1∴5a+b的立方根是?2．【考點5一元一次不等式】【例5】關于x的不等式x+14?1>4x?a6的解集都是不等式x4【答案】a≤【分析】此題考查了解一元一次不等式．先求出每個不等式的解集，再根據兩個不等式解集的關系得到2a?95≤4，即可求出【詳解】解：x去分母得，x?4<8?2x，移項合并同類項得，3x<12，系數化為1得，x<4．x+14去分母得，3x+1去括號得，3x+3?12>8x?2a，移項合并同類項得，?5x>9?2a，解得x<2a?9由題意可知2a?95解得a≤29故答案為：a≤【變式5-1】若k?(k+2)x|k|?1>0是關于xA．x<2 B．x>?2 C．x>?12 【答案】D【分析】本題主要考查了一元一次不等式的定義及解一元一次不等式，先根據一元一次不定式的定義求出k的值，再代入解不等式即可．【詳解】解：∵k?(k+2)x|k|?1>0∴|k|?1=1且k+2≠0，解得k=2，∴原不等式為2?4x>0，解得x<1故選：D．【變式5-2】已知關于x的方程4(x?2)=2(x?m)+4的解為負數，則m的取值范圍是（

）A．m<6 B．m>6 C．m<?6 D．m>?6【答案】B【分析】本題主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集．先解方程4(x?2)=2(x?m)+4可得x=6?m，再建立不等式求解即可．【詳解】解：∵4(x?2)=2(x?m)+4，∴4x?8=2x?2m+4，∴2x=12?2m，解得：x=6?m．∵關于x的方程4(x?2)=2(x?m)+4的解是負數，∴6?m<0，解得m>6．故選：B．【變式5-3】（24-25八年級·山東聊城·期中）若關于x的一元一次不等式x?a2+1>x+a的解集中每一個x的值都能使不等式1?2x2?1?5xA．a≤43 B．a≥43 C．【答案】B【分析】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解題關鍵．先求出兩個不等式的解集分別為x<?3a+2和x<?2，再根據題意可得?3a+2≤?2，解不等式即可得．【詳解】解：x?a2x?a+2>2x+2a，?x>3a?2，x<?3a+2；1?2x231?2x3?6x?1+5x>4，?x>2，x<?2；∵關于x的一元一次不等式x?a2+1>x+a的解集中每一個x的值都能使不等式∴?3a+2≤?2，解得a≥4故選：B．【考點6一元一次不等式組】【例6】（24-25八年級·四川眉山·期末）若不等式組x+m>2n?x>?4的解集為1<x<2，則m+n2025的值為（A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】本題考查了解一元一次不等式組，按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算可得2?m<x<n+4，從而可得2?m=1，n+4=2，然后求出m，n的值，再代入式子中，進行計算即可解答．【詳解】解：x+m>2①解不等式①得：x>2?m，解不等式②得：x<n+4，∴原不等式組的解集為：2?m<x<n+4，∵不等式組的解集為1<x<2，∴2?m=1，∴m=1，∴m+n==?1，故選：A．【變式6-1】（24-25八年級·廣西貴港·期末）對一個實數x按如圖所示的程序進行操作，計算機運行從“輸入一個實數x”到“判斷結果是否大于190？”為一次操作，如果操作恰好進行兩次操作才停止，那么x的取值范圍是（）A．8<x≤22 B．22<x≤64 C．22<x≤62 D．8<x≤20【答案】B【分析】本題考查了程序流程圖，一元一次不等式組的應用，根據程序運行一次的結果小于等于190，運行兩次的結果大于190，可得出關于x的一元一次不等式組，求解即可，正確列出一元一次不等式組是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意可得，3x?2≤1903解得：22<x≤64，故選：B．【變式6-2】（24-25八年級·山東聊城·期中）若關于x的一元一次不等式組2x?1>3x?2x<m的解集是x<5，則m的取值范圍是（A．m≥5 B．m>5 C．m≤5 D．m<5【答案】A【分析】本題考查了解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，根據“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到”，據此即可確定m的取值范圍．【詳解】解：解不等式2x?1>3x?2，得x<5∵不等式組的解集為x<5，∴m≥5，故選：A．【變式6-3】（24-25八年級·浙江紹興·期末）關于x的不等式組2a?x>32x+8>4a的解集中每一個值均不在?1≤x≤5的范圍中，則a的取值范圍是（

A．a<1或a>4.5 B．a≤1或a≥4.5C．a>4或a<1.5 D．a≥4或a≤1.5【答案】B【分析】本題考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根據不等式組2a?x>32x+8>4a的解集中每一個值均不在?1≤x≤5的范圍中，得出2a?4≥5或2a?3≤?1，然后關于a【詳解】解：解不等式2a?x>3，得x<2a?3，解不等式2x+8>4a，得x>2a?4，∴不等式組的解集為2a?4<x<2a?3，∵不等式組2a?x>32x+8>4a的解集中每一個值均不在?1≤x≤5∴2a?3≤?1或2a?4≥5，解得a≤1或a≥4.5，故選：B．【考點7冪的運算】【例7】（24-25七年級·四川資陽·期末）計算?452024A．4 B．?4 C．5 D．?5【答案】A【分析】本題主要考查積的乘方，同底數冪相乘，解答的關鍵是掌握積的乘方，同底數冪相乘法則的逆用．先逆用同底數冪相乘將?452024【詳解】解：?===1×=1×=4．故選：A．【變式7-1】（24-25七年級·吉林白城·階段練習）下列計算正確的是（

）A．a5?aC．x2+x【答案】D【分析】本題考查了同底數冪的乘除法運算，積的乘方，熟悉掌握運算法則是解題的關鍵．根據運算法則逐一運算判斷即可．【詳解】解：A：a5B：?5aC：x2D：?m故選：D．【變式7-2】（24-25七年級·四川成都·期末）已知4a?3b+1=0，則32×3【答案】3【分析】本題考查了代數式求值，同底數冪乘除法，冪的乘方的逆運算，掌握相關運算法則是解題關鍵．由題意可得4a?3b=?1，再將32×3【詳解】解：∵4a?3b+1=0，∴4a?3b=?1，∴3故答案為：3．【變式7-3】（24-25七年級·重慶渝北·期末）若4a=6，8b=16，a【答案】9【分析】本題考查了同底數冪除法的逆運算，積的乘方的逆運算，由同底數冪除法的逆運算可得24a?3b【詳解】解：24a?3b故答案為：94【考點8單項式乘單項式】【例8】（24-25七年級·四川遂寧·期末）設xm?1yn+2?xA．?18 B．?12 【答案】A【分析】本題主要考查了單項式乘單項式、一元一次方程的應用等知識點，熟練掌握同底數冪的乘法法則是解題關鍵．先根據單項式乘單項式法則列出關于m、n的方程，進而求得m、n的值，最后代入計算即可．【詳解】解：∵xm?1∴6m?1=5,n+4=7，解得：m=1,n=3，∴?1故選：A．【變式8-1】（24-25七年級·四川成都·期末）先化簡，再求值：?2a2b3?【答案】?a【分析】先化簡，再把a=2，b=1代入求解即可．【詳解】解：原式=?2a當a=2，b=1時，原式=?a【點睛】本題考查了整式的化簡求值，解題的關鍵是正確的化簡．【變式8-2】（24-25七年級·山東聊城·期末）若am+1bn+2??【答案】2【分析】先把左邊根據單項式的乘法法則化簡，再與右邊比較，求出m、n的值，然后代入m+n計算即可.【詳解】∵am+1∴?a∴m+2n=32m+n+2=5解之得m=1n=1∴m+n=1+1=2.【點睛】本題考查了單項式的乘法，以及二元一次方程組的解法，根據題意列出關于m、n的二元一次方程組是解答本題的關鍵.【變式8-3】（24-25七年級·浙江金華·期中）如圖，在正方形內，將2張①號長方形紙片和3張②號長方形紙片按圖1和圖2兩種方式放置（放置的紙片間沒有重疊部分），正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長相等．

（1）若①號長方形紙片的寬為2厘米，則②號長方形紙片的寬為厘米；（2）若①號長方形紙片的面積為40平方厘米，則②號長方形紙片的面積是平方厘米．【答案】480【分析】（1）根據正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長相等可得②號長方形紙片的寬為①號長方形紙片的寬的2倍，進而計算即可；（2）觀察圖形，②號長方形紙片的寬為①號長方形紙片的寬的2倍，②號長方形紙片的長的3倍是①號長方形紙片的長，進而計算即可．【詳解】解：（1）由圖知，②號長方形紙片的寬為2×2=4（厘米），故答案為：4；（2）設①長方形紙片的長為a，寬為b，則ab=40，由圖知，②長方形紙片的長為13a，寬為∴②號長方形紙片的面積是13故答案為：803【點睛】本題考查整式的乘法運算的應用，利用圖形，正確列出式子是解答的關鍵．【考點9單項式乘多項式】【例9】（24-25七年級·四川成都·期末）如圖，將7張圖1所示的小長方形紙片按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分用陰影表示．如果當BC的長變化時，左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，那么b：a的值為．【答案】1：3【分析】根據題意和圖形，設BC的長為x，則可以表示出左上角與右下角的陰影部分的面積的差，然后再根據左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，即可得到b：a的值．【詳解】設BC的長為x，左上角與右下角的陰影部分的面積的差為：（x﹣a）?3b﹣（x﹣4b）?a＝3bx﹣3ab﹣ax+4ab＝（3b﹣a）x+ab，∵左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，∴3b﹣a＝0，解得a=3b，∴b：a=1：3故答案為：1：3．【點睛】本題考查整式的加減，關鍵是表示出兩個陰影部分的面積，并能正確進行整式的加減運算．【變式9-1】（24-25七年級·廣東深圳·期中）若xx+a+3x?2b=x2【答案】0【分析】將等式左邊按照單項式乘以多項式，再合并同類項，整理后形式和等式右邊一致，即可求出a，b的值，代入求值即可求出答案．【詳解】解：根據題意可得：∵等式左邊=x∴x2∴a+3=5,?2b=4，解得：a=2,b=?2，∴a+b=2+?2故答案為：0【點睛】本題主要考查的是整式的運算，掌握單項式與多項式的乘法運算，合并同類項即可求出結果，也是解題的關鍵．【變式9-2】（24-25七年級·湖南邵陽·期末）數學課上，老師講了單項式與多項式相乘：先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加，小麗在練習時，發現了這樣一道題：“?2x2（3x﹣■+1）＝?6x【答案】2y【分析】利用多項式除以單項式法則計算?6x【詳解】解：∵?6=?6=3x?2y即?2x∴“■”中的一項是2y．故答案為：2y．【點睛】此題考查了單項式乘多項式和多項式除以單項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．【變式9-3】（24-25七年級·湖南常德·期末）如圖，某校園的學子餐廳Wi?Fi密碼做成了數學題，小亮在餐廳就餐時，思索了會，輸入密碼，順利的連接到了學子餐廳的網絡．若他輸入的密碼是2842■，最后兩被隱藏了，那么被隱藏的兩位數是【答案】70【分析】本題考查了數字類規律探索、單項式乘多項式的應用，正確發現一般規律是解題關鍵．先根據已知等式找出規律，再設等式左邊三個數分別為a,b,c，則ab=28，ac=42，據此求出ab+c【詳解】解：由第1個等式可知，15=5×3，10=5×2，25=5×3+2由第2個等式可知，18=9×2，36=9×4，54=9×2+4由第3個等式可知，48=8×6，24=8×3，72=8×6+3由第4個等式可知，14=7×2，35=7×5，49=7×2+5設等式左邊三個數分別為a,b,c，則ab=28，ac=42，所以被隱藏的兩位數是ab+c故答案為：70．【考點10多項式乘多項式】【例10】（24-25七年級·山西臨汾·期末）有如圖所示的正方形和長方形卡片若干張，若要拼成一個長為2a+b、寬為a+2b的長方形，需要B類卡片（）A．2張 B．3張 C．4張 D．5張【答案】D【分析】本題考查了多項式乘多項式的應用、單項式除以單項式的應用，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則是解題關鍵．根據多項式乘多項式法則求出拼成的長方形的面積，從而可得所用的B類卡片的總面積，由此即可得．【詳解】解：由題意得：拼成的長方形的面積為：2a+b=2=2a∵1張B類卡片的面積為ab，∴需要B類卡片的張數為5ab÷ab故選：D．【變式10-1】（24-25七年級·河南省直轄縣級單位·期末）有一塊長為(m+6)米（m為正數），寬為(m+3)米的長方形土地，若把這塊地的長增加1米，寬減少1米，則與原來相比，這塊土地的面積（

）A．沒有變化 B．變大了 C．變小了 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了整式乘法和加減的運用，由題意得，新長方形的長為m+7米，寬為m+2米，分別求出新長方形和原長方形的面積，再用作差法比較即可求解，掌握整式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，新長方形的長為m+7米，寬為m+2米，∴新長方形的面積為m+7m+2原長方形的面積為m+6m+3∵m2∴與原來相比，這塊土地的面積變小了，故選：C．【變式10-2】（24-25七年級·四川成都·期末）先化簡，再求值：12b2a?4b?2a+b【答案】?b2【分析】本題考查了整式的乘法，求代數式的值，同類項的定義；先按照整式乘法法則展開，再合并同類項，得?b2?2a2?2，結合單項式xa+3y與【詳解】解：1=ab?2=ab?2=ab?2=?b∵xa+3y與∴a+3=1，b=1，即a=?2，∴?b【變式10-3】（24-25七年級·福建福州·期末）發現規律：我們發現，x+px+q=x2+運用規律(1)如果x+3x?5=x2+mx+n(2)如果x+ax+b①求a?3b?3②求1a【答案】(1)?2，?15(2)①?2；②13【分析】（1）根據多項式的乘法法則計算即可求解；（2）①由多項式的乘法法則可得a+b=3，ab=?2，再把值代入a?3b?3本題考查了分式的求值，整式的運算，掌握分式和整式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵x+3x?5∴m=3+?5=?2，故答案為：?2，?15；（2）解：①∵x+ax+b∴a+b=3，ab=?2，∴a?3=ab?3a?3b+9=ab?3=?2?3×3+9=?2；②1=====13【考點11完全平方公式】【例11】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）已知a2+bA．4 B．?4 C．8 D．?8【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的應用，偶次方的非負性等，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．先將a2+b2+c2=2a?4b+6c?14變形化為【詳解】解：∵a2∴aa?12∵a?12∴a?1=0,b+2=0,c?3=0，解得：a=1,b=?2,c=3，∴abc故選：D．【變式11-1】（24-25七年級·上海閔行·期中）如果關于x的整式9x2?2m?1x+【答案】2或?1【分析】本題考查完全平方式，根據9x2?【詳解】解：∵9x∴9x∴2m?1=±2×3×1∴m=2或m=?1；故答案為：2或?1．【變式11-2】（24-25七年級·福建漳州·期中）若x，y是自然數，且滿足x2+y2【答案】2或4【分析】本題考查了完全平方公式，代數式求值，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關鍵．先根據完全平方公式變形，再結合x，y是自然數討論即可．【詳解】解：∵x2∴x2∴x2∴x?22∵x，y是自然數，∴x?22=0y?12=1或∴x?2=0，y?1=1，或x?2=0，y?1=?1，x?2=1，y?1=0，或x?2=?1，y?1=0，．當x?2=0，y?1=1，時，解得：x=2，y=2，x+y=2+2=4，當x?2=0，y?1=?1，時，解得：x=2，y=0，x+y=2+0=2，當x?2=1，y?1=0，時，解得：x=3，y=1，x+y=3+1=4，當x?2=?1，y?1=0，時，解得：x=1，y=1，x+y=1+1=2，故答案為：2或4．【變式11-3】（24-25七年級·湖南婁底·期中）已知(x?2023)2+(x?2025)2=24A．12 B．11 C．13 D．10【答案】B【分析】本題考查完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵，根據題意巧妙構造(x?2024)2【詳解】解：已知(x?2023)2則[(x?2024)+1]2那么(x?2024)2整理得：2(x?2024)則(x?2024)2故選：B．【考點12平方差公式】【例12】（24-25七年級·河南新鄉·期中）某同學在計算3(4+1)(42+1)時，把3寫成4?1后，發現可以連續運用兩數和乘以這兩數差公式計算：3(4+1)(4【答案】2【分析】本題考查平方差公式，將原式乘以2×1?【詳解】解：1+=2×=2×=2?=2，故答案為：2．【變式12-1】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）下列各式中能用平方差公式計算的是（）A．x+yx+y2 C．x+y?x?y D．【答案】B【分析】本題考查了平方差公式的運用，根據整式乘法及平方差公式逐項判斷即可求解，掌握平方差公式的結構特點是解題的關鍵．【詳解】解：A、x+yx+yB、x+yy?xC、x+y?x?yD、?x+yy?x故選：B．【變式12-2】（24-25七年級·福建泉州·期中）為了美化校園，學校把一個邊長為ama>4的正方形跳遠沙池的一組對邊各增加1mA．變小 B．變大 C．沒有變化 D．無法確定【答案】A【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數式表示變化前后的面積是正確解答的前提．用代數式表示變化前后的面積，比較得出答案．【詳解】解：由題意得正方形跳遠沙池的面積為a2m2因為a2所以沙池的面積會變小．故選：A．【變式12-3】（24-25七年級·山西臨汾·期中）霍州鼓樓位于山西霍州市城內中心，明萬歷十一年（1583年）建，又稱文昌閣．其結構外表是明二假三層，它的間架結構復雜新穎、巧妙結合，采用了我國古建筑中的一種凹凸結合的連接方式——榫卯（sǔnmǎo）結構，精密謹嚴天衣無縫，行家里手驚佩它是工藝精湛超群絕倫．如圖①是一個榫卯結構的零部件，圖②是其截面圖，整體是一個長為2a+bcm，寬為2a?bcm的長方形，中間鑿掉一個邊長為acm

【答案】3【分析】本題考查了整式混合運算和平方差公式的應用，熟練掌握運算法則是解題的關鍵；根據零部件體積=（長方形的面積?和小正方形的面積）×零件的高，列式，然后運用整式混合運算法則和平方差公式即可解答．【詳解】由題意得，這個零部件的體積是a=a=a=3答：這個零件體積為3a【考點13因式分解】【例13】（24-25八年級上·河南南陽·期末）把下列多項式分解因式(1)x2(2)9x(3)x3(4)xy+x+y+1．【答案】(1)xy(2)m?2(3)x(4)x+1【分析】本題考查了提公因式法和公式法分解因式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）用提取公因式法直接求解即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得到結果；（3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到結果；（4）用兩次提取公因式法直接求解即可．【詳解】（1）解：x2（2）解：9=9==m?2（3）解：x3（4）解：xy+x+y+1=xy+1【變式13-1】（24-25八年級上·福建泉州·期末）若a?b=2，則a2【答案】4【分析】本題考查了公式法分解因式的應用，熟練掌握公式法分解因式是解決問題的關鍵．先得到(a+b)(a?b)?4b，然后代入a?b=2合并，然后再提取公因式即可得解．【詳解】解：∵a?b=2，∴a2=(a+b)(a?b)?4b，=2(a+b)?4b，=2a+2b?4b，=2a?2b，=2a?b=2×2，=4．故答案為：4．【變式13-2】（24-25八年級上·河南開封·期末）下列因式分解正確的是（

）A．?x2+C．x2?2x+4=x?1【答案】B【分析】本題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵．直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，進而分析即可得解．【詳解】解：A、?xB、a3C、x2D、ax故選：B．【變式13-3】（24-25八年級上·湖北荊州·期末）計算12?2【答案】?5050【分析】本題考查了平方差公式進行計算，掌握平方差公式是解題的關鍵．根據平方差公式因式分解即可求解．【詳解】解：原式==?=?101×50=?5050．故答案為：?5050．【壓軸篇】【考點14無理數的整數與小數部分的計算】【例14】（24-25七年級·浙江寧波·期中）19?35的整數部分為a，小數部分為b，則2a?b=【答案】20+【分析】先確定?6<?35<?5，由此得到13<19?35【詳解】∵25<∴5<35∴?6<∴13<19?35∴19?35小數部分為19?35∴a=13，b=6?352a?b=2×13?=26?6+=20+35故答案為：20+35【點睛】此題考查實數的大小比較，已知字母的值求代數式的值，實數的混合運算，確定?6<【變式14-1】（24-25七年級·江蘇蘇州·階段練習）如圖1，把兩個面積為1dm2的小正方形沿對角線剪開，拼成一個面積為2dm2的大正方形，所得到的面積為2dm2的大正方形的邊長就是原先面積為1dm(1)某同學把長為2，寬為1的兩個長方形沿對角線剪開裁剪，拼成如圖2所示的一個大正方形.仿照上面的探究方法求空白部分正方形的面積及其邊長x的值；(2)若c為（1）中x的整數部分，求c的平方根．【答案】(1)5，x=(2)±【分析】（1）空白部分面積=大正方形面積?4個直角三角形的面積；（2）通過估算得出x=5的整數部分是2，即求得c=2【詳解】（1）解：空白部分面積=3×3?4×1∴空白部分正方形的邊長x=5（2）解：∵2<∴x=5∴c=2，c的平方根為±2【點睛】本題考查圖形的拼剪，平方根，估算無理數的大小，正方形的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式14-2】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）大家知道2是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此2的小數部分我們不能全部地寫出來，于是小平用2?1來表示2的小數部分，你同意小平的表示方法嗎？事實上小平的表示方法是有道理的，因為2的整數部分是1，用這個數減去其整數部分，差就是小數部分．請解答：若15的整數部分為a，小數部分為b(1)求a，b的值；(2)求a2【答案】(1)a=3，b=15(2)6【分析】本題考查了估算無理數的大小，實數的運算，掌握夾逼法估算無理數的大小是解題的關鍵．（1）先估算15的范圍，即可得出a，b的值；（2）把a，b的值代入，再根據實數的運算法則計算即可．【詳解】（1）解：∵9∴3<∴15的整數部分a為3，小數部分b為15（2）解：由(1)得a=3,b=15∴a=3=9?3，=6．【變式14-3】（24-25七年級·浙江杭州·期中）以下是小明與老師之間的對話：小明：張老師，我們知道6是無理數，無理數就是無限不循環小數，那該如何表示出它的小數部分呢？老師：小明，因為6的整數部分是2，所以將這個數減去其整數部分，差就是小數部分，即6?2根據上述對話內容，解答下面的問題：已知7+11=x+y，其中x是整數，且(1)x=________；y=________；(2)求3x+11【答案】(1)10；11(2)33【分析】此題主要考查了二次根式的計算，估算無理數的大小，正確得出各無理數的整數部分和小數部分是解題的關鍵．（1）根據3<11<4得出10<7+11<11，得出（2）把x，y的值代入計算即可．【詳解】（1）解：∵3<11∴10<7+11∴7+11的整數為x=10∵7+11∴y=7+11故答案為：10；11?3（2）解：原式=3×10+11=30+3，=33．【考點15不等式(組)的整數解問題】【例15】（22-23八年級·重慶北碚·期中）若關于x的不等式組?2x?2?x<2k?x2≥?12+x最多有2個整數解，且關于A．13 B．18 C．21 D．26【答案】B【分析】分別求出不等式組的解集，一元一次方程的解，根據題意，求出符合條件的所有整數k，再將它們相加，即可得出結果．【詳解】解：由?2x?2?x<2k?x∵關于x的不等式組?2x?2∴23∵不等式組的整數解最多時為：1，2，∴k+13<3，解得：解3y?1?2y?k∵方程的解為非正數，∴10?2k≤0，解得：k≥5，綜上：5≤k<8，符合條件的k的整數值為：5,6,7，和為5+6+7=18；故選B．【點睛】本題考查由不等式組的解集和方程的解的情況求參數的值．正確的求出不等式組的解集和方程的解，是解題的關鍵．【變式15-1】已知關于x的不等式組2x+m≤0x+4>0的所有整數解的和為－5，則m的取值范圍為【答案】?4<m≤?2或2<m≤4【分析】首先確定不等式組的解集，先利用含m的式子表示，根據整數解的個數就可以確定有哪些整數解，根據解的情況可以得到關于m的不等式，從而求出m的范圍．【詳解】解：∵不等式組有解，∴不等式組的解集為－4＜x＜?m∵不等式組的所有整數解的和為－5，∴不等式組的整數解為－3、－2或－3、－2、－1、0、1．當不等式組的整數解為－3、－2時，有－2＜?m2≤－1，m的取值范圍為2≤當不等式組的整數解為－3、－2、－1、0、1時，有1＜?m2≤2，m的取值范圍為－4≤故答案為：?4<m≤?2或2<m≤4【點睛】此題考查了解一元一次不等式組和不等式組的整數解，正確解出不等式組的解集，并會根據整數解的情況確定m的取值范圍是解決本題的關鍵．【變式15-2】（20-21八年級·上海虹口·期中）已知關于x的不等式組x?a≥18?2x>0的整數解共有5個，且關于y的不等式ay?1≤?y的解集為y≥1a+1，則a【答案】?3<a≤?2【分析】先求于x的不等式組的解集，根據整數解的個數求a的取值范圍，然后根據關于y的不等式的解集求a的取值范圍，最后作答即可．【詳解】解：x?a≥1①解不等式①得，x≥1+a，解不等式②得，x<4，∵不等式組有5個整數解，∴?2<1+a≤?1，解得，?3<a≤?2，ay?1≤?y，移項合并得，a+1y≤1∵關于y的不等式ay?1≤?y的解集為y≥1∴a+1<0，∴a<?1，綜上，?3<a≤?2，∴a的值為?3<a≤?2；故答案為：?3<a≤?2．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數解，解一元一次不等式．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式15-3】（23-24八年級·北京·期中）（1）關于x的不等式?2<x<3有個整數解；（2）若關于x的不等式組x?k<4k+2x<2x?3k（k為常數，且為整數）恰有5個整數解，則k的取值為（3）若關于x的不等式3k<x<a+3k（k和a為常數，且為整數）恰有6個整數解，則共有組滿足題意的k和【答案】424【分析】本題考查了一元一次不等式，不等式組的整數解問題，解一元一次方程，正確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）直接找出?2<x<3的范圍內的整數即可；（2）先求出不等式組的解集為3k<x<5k+2，滿足題意得5k+2?3k=6，解方程即可；（3）由題意得：a+3k?3k=7，化簡得到ak=7，由于k和a【詳解】（1）解：在?2<x<3的范圍內整數為?1,0,1,2，∴有4個，故答案為：4．（2）解：x?k<4k+2由①得：x<5k+2；由②得：x>3k，則不等式組的解集為：3k<x<5k+2，∵方程組恰有5個整數解，∴5k+2?3k=6，解得：k=2，故答案為：2．（3）解：由題意得：a+3k?3k=7化簡得：ak=7，∵k和a為常數，且為整數，∴只有1×7=7或?1×∴有a=1k=7∴有4組滿足題意的k和a，故答案為：4．【考點16不等式組的有解或無解問題】【例16】（2021·湖北襄陽·一模）已知不等式組3x+a<2x,?13x<5【答案】0≤a<1【分析】先求得不等式組的解集，根據解集沒有整數解，建立起新的不等式組，解之即可【詳解】∵3x+a<2x,①?∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1，∴不等式組的解集為：-1＜x＜-a，∵不等式組3x+a<2x,?∴?a≤0?1<?a∴0≤a<1，故答案為：0≤a<1．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，能根據不等式組無整數解建立新不等式組并解之是解題的關鍵．【變式16-1】若不等式組{x≥ax≤b無解，則不等式組{x>3?aA．x>3?a B．x<3?b C．3?a<x<3?b D．無解【答案】C【分析】根據不等式組{x≥ax≤b無解，得出a＞b，進一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式組【詳解】解：∵不等式組{x≥a∴a＞b，∴-a＜-b，∴3-a＜3-b，∴不等式組{x>3?ax<3?b的解集是故選：C【點睛】本題考查了求不等式組的方法，可以借助口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”求解集．解題的關鍵是根據已知得到a＞b，進而得出3-a＜3-b．【變式16-2】關于x的方程k?2x=3(k?2)的解為非負數，且關于x的不等式組x?2(x?1)≤32k+x3≥x有解，則符合條件的整數k【答案】5【分析】先求出方程的解與不等式組的解集，再根據題目中的要求求出相應的k的值即可解答本題．【詳解】解：解方程k?2x=3(k?2)，得：x=3?k，由題意得3?k?0，解得：k?3，解不等式x?2(x?1)?3，得：x??1，

解不等式2k+x3?x，得：∵不等式組有解，∴k??1，則?1?k?3，∴符合條件的整數k的值的和為?1+0+1+2+3=5，故答案為5．【點睛】本題考查一元一次方程的解、一元一次不等式組的整數解，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．【變式16-3】從－2，－1,0,1,2，3，5這七個數中，隨機抽取一個數記為m，若數m使關于x的不等式組x>m+2?2x?1≥4m+1無解，且使關于x的一元一次方程（m－2）x＝3有整數解，那么這六個數所有滿足條件的m的個數有（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】不等式組整理后，根據無解確定出m的范圍，進而得到m的值，將m的值代入檢驗，使一元一次方程的解為整數即可．【詳解】解：解：不等式組整理得：x>m+2x??2m?1由不等式組無解，得到m+2??2m?1，解得：m??1，即m=?1，0，1，2，3，5；當m=-1時，一元一次方程（m－2）x＝3解為x=-1，符合題意；當m=0時，一元一次方程（m－2）x＝3解為x=-1.5，不合題意；當m=1時，一元一次方程（m－2）x＝3解為x=-3，符合題意；當m=2時，一元一次方程（m－2）x＝3無解，不合題意；當m=3時，一元一次方程（m－2）x＝3解為x=3，符合題意；當m=5時，一元一次方程（m－2）x＝3解為x=1，符合題意．故選：D【點睛】本題考查根據不等式組的解集確定字母取值及一元一次方程解法，理解好求不等式組的解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”是解題關鍵．【考點17利用不等式的基本性質求最值】【例17】（20-21八年級·江西景德鎮·期中）已知非負數x，y，z滿足.3?x2=y+23=A．?2 B．?4 C．?6 D．?8【答案】C【分析】首先設3?x2=y+23=z+54=k，求得x=?2k+3，y=3k?2，z=4k?5，又由x，【詳解】解：設3?x2則x=?2k+3，y=3k?2，z=4k?5，∵x，y，z均為非負實數，∴?2k+3?03k?2?0解得54于是W=3x?2y+z=3(?2k+3)?2(3k?2)+(4k?5)=?8k+8，∴?8×3即?4?W??2．∴W的最大值是?2，最小值是?4，∴W的最大值與最小值的和為?6，故選：C．【點睛】此題考查了最值問題．解此題的關鍵是設：3?x2=y+2【變式17-1】（23-24八年級·江蘇南通·期末）已知非負數a，b，c滿足條件3a+2b+c=4，2a+b+3c=5，設s=5a+4b+7c的最大值是m，最小值是n，則m+n的值為．【答案】26【分析】根據已知的式子可得b=7?7a5，c=6?a5，即有s=?2a+14，再根據a、b、c為非負實數，可得0≤a≤1，即可得【詳解】聯立3a+2b+c=42a+b+3c=5把a看作常數，解得，b=7?7a∴s=5a+4b+7c=5a+4×7?7a∵a≥0，∴7?7a5解得，a≤1∴a≤1，∴0≤a≤1，∴當a=0時，m=14；當a=1時，n=12；∴m+n=26．故答案為：26．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，熟練掌握解二元一次方程組方法，解一元一次不等式組方法，用一個字母的代數式表示另一個字母，非負實數性質，代數式產生的最值，是解答本題的關鍵．【變式17-2】（20-21八年級·湖北黃石·期末）已知實數a，b，滿足1≤a+b≤4，0≤a?b≤1且a?2b有最大值，則8a+2021b的值是．【答案】8【分析】把a?2b變形得?12a+b+32a?b，故可求出a?2b【詳解】設a?2b=m∴a-2b=（m+n）a+(m-n)b∴m+n=1m?n=2，解得∴a?2b=?∵1≤a+b≤4，0≤a?b≤1∴?2≤?12∴?2≤a?2b≤1∴a?2b有最大值1此時?12解得a=1，b=0∴8a+2021b=8故答案為：8．【點睛】此題主要考查不等式組的應用與求解，解二元一次方程組，解題的關鍵是根據題意把把a?2b變形得?1【變式17-3】（23-24八年級·北京·期末）已知x1，x2，x3，x4，x5為正整數，且x1<【答案】1211【分析】本題考查了不等式的性質．熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵．由題意知，x1+1≤x2，x1+2≤x2+1≤x3，x1+3≤x2+2≤x3+1≤x4，x【詳解】解：∵x1，x2，x3，x4，∴x1+1≤x2，x1∵x1∴x1解得，x1∴x1的最大值為402∴x2∴x2解得，x2∴x2的最大值為404同理，x3的最大值為405∴x1+x故答案為：1211．【考點18方程與不等式（組）的實際應用】【例18】（22-23八年級·重慶九龍坡·階段練習）某家具店經銷A、B兩種品牌的兒童床，已知A品牌兒童床的售價為4200元，利潤率為20%，B品牌兒童床的成本價為4200元，而每張B品牌兒童床的售價在成本的基礎上增長了1(1)該店銷售記錄顯示，四月份銷售A、B兩種兒童床共20張，且銷售A品牌兒童床的總利潤與B品牌兒童床總利潤相同，求該店四月份售出(2)根據市場調研，該店五月份計劃購進這兩種兒童床共30張，要求購進B品牌兒童床張數不低于A品牌兒童床張數的70%(3)在（2）的條件下，該店打算將五月份按計劃購進的30張兒童床全部售出后，所獲得利潤的10%【答案】(1)該店四月份售出A品牌兒童床為12張，B品牌兒童床為8張(2)該店五月份購進A品牌兒童床為16張，B品牌兒童床為14張；該店五月份購進A品牌兒童床為17張，B品牌兒童床為13張；(3)該店捐甲、乙兩款機器的數量分別為3臺、13臺．【分析】（1）設該店四月份售出A品牌兒童床為x張，B品牌兒童床為y張，根據四月份銷售A、B兩種兒童床共20張和銷售A品牌兒童床的總利潤與（2）設該店四月份售出A品牌兒童床為a張，則B品牌兒童床為30?a張，根據購進B品牌兒童床張數不低于A品牌兒童床張數的70%（3）在（2）的條件下，設該店捐甲、乙兩款機器的數量分別為m,n臺，分類討論，求m,n的正整數解，從而得出結論．【詳解】（1）解：設該店五月份購進A品牌兒童床為x張，B品牌兒童床為y張，根據題意可得方程x+y=204200?解得x=12y=8∴該店四月份售出A品牌兒童床為12張，B品牌兒童床為8張；（2）解：設該店四月份售出A品牌兒童床為a張，則B品牌兒童床為30?a張，由題意可得30?a≥70％a4200解得1107∵a是正整數，∴a=16或17，∴30?a=14或13，故所有可能的進貨方案由兩種，分別為：該店五月份購進A品牌兒童床為16張，B品牌兒童床為14張；該店五月份購進A品牌兒童床為17張，B品牌兒童床為13張；（3）解：在（2）的條件下，設該店捐甲、乙兩款機器的數量分別為m,n臺，①當購進A品牌兒童床為16張，B品牌兒童床為14張時，售出后的利潤為4200?4200∴300m+130n=25900×10％，即30m+13n=259，∵m,n是正整數，∴m=3②當購進A品牌兒童床為17張，B品牌兒童床為13張時，售出后的利潤為4200?4200∴300m+130n=25550×10％，即60m+26n=511，∵m,n是正整數，∴無解，綜上所述，該店捐甲、乙兩款機器的數量分別為3臺、13臺．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，一元一次不等式組的應用，解答本題的關鍵是仔細審題，將實際問題轉化為數學方程或不等式組．【變式18-1】（23-24八年級·廣東韶關·期末）快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購買機器人來代替人工分揀．已知購買甲型機器人1臺，乙型機器人2臺，共需7萬元；購買甲型機器人2臺，乙型機器人3臺，共需12萬元．(1)甲，乙兩種型號機器人的單價各為多少萬元?(2)已知1臺甲型和1臺乙型機器人每小時分揀快遞的數量分別是1400件和1200件，該公司計劃最多用16萬元購買6臺這兩種型號的機器人，且至少購買甲型機器人3臺，請問有哪幾種購買方案?哪種方案能使每小時的分揀量最大?【答案】(1)甲型機器人的單價是3萬元，乙型機器人的單價是2萬元(2)有購買甲型機器人3臺，乙型機器人3臺；購買甲型機器人4臺，乙型機器人2臺，這兩種購買方案．方案二能使每小時的分揀量最大【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是根據題意列出式子．（1）設甲型機器人的單價是x萬元，乙型機器人的單價是y萬元，根據“購買甲型機器人1臺，乙型機器人2臺，共需7萬元；購買甲型機器人2臺，乙型機器人3臺，共需12萬元”，即可得出關于x，（2）設購買甲型機器人m臺，則購買乙型機器人6?m臺，根據題意，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍3≤m≤4，故有兩種購買方案，購買甲型機器人3臺，乙型機器人3臺；購買甲型機器人4臺，乙型機器人2臺．設6臺機器人每小時的分揀量為w，則w=1400m+12006?m=200m+7200．得出w關于【詳解】（1）解：設甲型機器人的單價是x萬元，乙型機器人的單價是y萬元，依題意，得x+2y=72x+3y=12解得x=3y=2答：甲型機器人的單價是3萬元，乙型機器人的單價是2萬元．（2）解：設購買甲型機器人m臺，則購買乙型機器人6?m臺．依題意，得m≥33m+2解得3≤m≤4．故整數m可以為3和4，6?m可以為3和2，故有兩種購買方案，方案一，購買甲型機器人3臺，乙型機器人3臺；方案二，購買甲型機器人4臺，乙型機器人2臺．設6臺機器人每小時的分揀量為w，則w=1400m+12006?m∵200>0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=4時，w取得最大值，此時6?m=6?4=2，∴方案二：購買甲型機器人4臺，乙型機器人2臺時，才能使每小時的分揀量最大．【變式18-2】某手機經銷商計劃同時購進一批甲、乙兩種型號的手機，若購進2部甲型號手機和1部乙型號手機，共需要資金2800元；若購進3部甲型號手機和2部乙型號手機，共需要資金4600元．(1)求甲、乙型號手機每部進價為多少元？(2)該店計劃購進甲、乙兩種型號的手機銷售，預計用不多于1.8萬元且不少于1.74萬元的資金購進這兩種型號的手機共20臺，請問有幾種進貨方案？(3)售出一部甲種型號手機，利潤率為40%，乙型號手機的售價為1280元．為了促銷，公司決定每售出一臺乙型號手機，返還顧客現金m元，而甲型號手機售價不變，要使（2）中所有方案獲利相同，求m的值．【答案】(1)甲型號手機的每部進價為1000元，乙型號手機的每部進價為800元(2)四種方案：方案一：購進甲型號手機7部，購進乙型號手機13部；方案二：購進甲型號手機8部，購進乙型號手機12部；方案三：購進甲型號手機9部，購進乙型號手機11部；方案四：購進甲型號手機10部，購進乙型號手機10部．(3)m=80【分析】（1）先設甲型號手機每臺售價為x元，乙型號手機的每部進價為y元，根據題意列出方程組，解出x及y的值；（2）設購進甲型號手機a部，則購進乙型號手機20?a部，根據題意列出不等式組，求出a的取值范圍，即可得出進貨方案．（3）設總獲利W元，購進甲型號手機m臺，列出關系式，再求利潤相同時，W與a的取值無關，據此解答即可．【詳解】（1）解：設甲型號手機的每部進價為x元，乙型號手機的每部進價為y元，根據題意，得：2x+y=28003x+2y=4600解得：x=1000y=800答：甲型號手機的每部進價為1000元，乙型號手機的每部進價為800元；（2）解：設購進甲型號手機a部，則購進乙型號手機20?a部，根據題意，得：1000a解得：7≤a≤10，∵a為整數，∴a取7或8或9或10，則進貨方案有如下四種：方案一：購進甲型號手機7部，購進乙型號手機13部；方案二：購進甲型號手機8部，購進乙型號手機12部；方案三：購進甲型號手機9部，購進乙型號手機11部；方案四：購進甲型號手機10部，購進乙型號手機10部．（3）解：設總獲利W元，購進甲型號手機a臺，則：W=1000×40=m?80當m=80時，W的值與a的取值無關，故（2）中的所有方案獲利相同．【點睛】此題考查了一元一次不等式組與二元一次方程組的應用，能根據題意列出不等式組及利潤表達式是解題的關鍵．【變式18-3】（23-24八年級·江蘇南通·期中）【綜合與實踐】根據以下信息1~3，探索完成設計購買方案的任務1~3．信息1：某校初一舉辦了科技比賽，學校為獲獎的40名同學每人購買一份獎品，獎品分為A，B，C三類．信息2：若購買2份A獎品和3份B獎品共需220元；購買3份A獎品和2份B獎品共需230元．單獨購買一份C獎品需要15元．信息3：計劃獲A獎品的人數要少于獲B獎品的人數．購買時有優惠活動：每購買1份A獎品就贈送一份C獎品．任務1：求A獎品和B獎品的單價；任務2：若獲A獎品的人數等于獲C獎品的人數，且獲得A獎品的人數超過10人，求此次購買A獎品有幾種方案；任務3：若購買獎品的總預算不超過1150元，要讓獲A獎品的人數盡量多，請你直接寫出符合條件的購買方案．【答案】任務1：A獎品單價50元，B獎品單價為40元；任務2：此次購買A獎品共有3種購買方案；任務3：購買11份A獎品，12份B獎品，6份C獎品．【分析】本題考查了二元一次方程組和不等式的實際應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，列出方程組或不等式．任務1：設A獎品單價x元，B獎品單價y元．根據題意列方程組解答即可；任務2：設獲A獎品的人數為a人，則獲B獎品的人數為(40?2a)人，根據題意列不等式組解答即可；任務2：設購買A獎品m份，C獎品n份，則B獎品(40?2m?n)份，根據題意列出不等式組，解得關于m、n的不等式，由m、n都是正整數，即可得到答案．【詳解】任務1：設A獎品單價為x元，B獎品單價為y元，得：2x+3y=220解得：x=50答：A獎品單價為50元，B獎品單價為40元．任務2：設購買A獎品a份，則購買B獎品(40?2a)份，得a>10a<40?2a解得：10<a<40∵a為正整數，∴a可取的值有11，12，13．答：此次購買A獎品共有3種購買方案．任務3：設購買A獎品m份，C獎品n份，則B獎品份數為：40?m?(m+n)=40?2m?n，依題意得：50m+40（解得：n≥18?65m∴18?∴m<∵m、n均為正整數，∴m可以取的值有：12，11，10，9，8，7，6，5，3，4，2，1當m=12時，18?65×12≤n<40?3×12當m=11時，18?65×11≤n<40?3×11，即∴m=11，n=6，此時A獎品人數最多方案為：購買A獎品11份，C獎品6份，B獎品12份，此時預算為11×50+6×15+12×40=1120（元），符合題意．故答案為：購買11份A獎品，12份B獎品，6份C獎品．【考點19冪的運算的逆用】【例19】（24-25七年級·湖北武漢·階段練習）若am=20，bn=20，ab=20，則m+nmn=【答案】1【分析】先根據ab=20可得anbn=20n，再結合bn=20可得【詳解】解：∵ab=20，∴(ab)n即an∵bn∴an∴an又∵am∴am+n=a∴am+n∴m+n=mn，∴m+nmn故答案為：1．【點睛】本題考查了冪的運算，熟練掌握同底數冪的乘除法法則及冪的乘方法則是解決本題的關鍵．【變式19-1】（24-25七年級·四川巴中·期中）已知2x+2?3x+2=【答案】8．【分析】根據積的乘方和冪的乘方的逆運算，把等式變形，根據指數相同求解即可．【詳解】解：2x+2根據積的乘方和冪的乘方，等式可變形為：(2×3)x+2即6x+2x+2=2x?6，解得，x=8故答案為：8．【點睛】本題考查了冪的運算的逆運算，解題關鍵是把等式恰當變形，依據底數相同，指數也相同列方程．【變式19-2】（24-25七年級·安徽滁州·期中）已知x=2（1）若x=m2，則自然數m=（2）若x+2n是一個完全平方數，則自然數n=【答案】4812【分析】本題考查了同底數冪的乘法，冪的乘方的應用；（1）根據題意得出28（2）根據完全平方公式得出x+2n=【詳解】（1）因為x=m2，所以所以281+2所以482所以自然數m=48；故答案為：48．（2）x+2∴只有2n=2故答案為：12．【變式19-3】（24-25七年級·浙江溫州·期中）已知整數a、b、c、d滿足a＜b＜c＜d且【答案】2【分析】根據3不是10000的公約數，可得b=0，由10000=24×54=42×54【詳解】∵10000=2∴3則b=0∴2∵整數a、b、c、d滿足a∴10000=2∴a=-2，b=0，c=3，d=4∴4a+3b+2c+d=-8+0+6+4=2故答案為：2．【點睛】此題主要考查冪的運算，解題的關鍵是熟知冪的運算法則及特點．【考點20多項式乘積不含某項求字母的值】【例20】（24-25七年級·湖北武漢·期中）如圖，一個長方形被分成四塊：兩個小長方形，面積分別為S1，S2，兩個小正方形，面積分別為S3，S4，若2S1－S2的值與AB的長度無關，則S3與S4之間的關系是.【答案】S4=4S3【分析】把兩個小正方形S3、S4的邊長分別設為a、b，分別表示出S1，S2，S3，S4的面積，根據與AB長度無關得出a、b的關系，進而得出S3、S4之間的關系.【詳解】設S3的邊長為a，S4的邊長為b，則S3∴2S又∵2S1－S2的值與AB的長度無關，∴2a－b=0，即2a=b，∴S4∴S4=4S3.【點睛】本題考查整式加減中的無關問題，正確掌握做題方法是解題的關鍵.【變式20-1】（24-25七年級·福建泉州·期末）對于多項式x?a，x?b，x?c，x?d（a，b，c，d是常數），若x?a與x?b的積減去x?c與x?d的積，其差為常數，則a，b，c，d應滿足的關系是（

）A．a+b=?c?d B．a?b=c?dC．a+b=c+d D．ab=cd【答案】C【分析】本題考查多項式乘多項式，整式的加減運算，根據x?ax?b?x?c【詳解】解：x?a===c+d?a?b∵x?a與x?b的積減去x?c與x?d的積，其差為常數，∴c+d?a?b=0，∴a+b=c+d，故選C．【變式20-2】（24-25七年級·四川巴中·期中）若(x2+nx+3)(x2?3x+m)的展開式中不含x【答案】9．【分析】根據展開式中不含x2和x3項，即x2【詳解】解：(x=x4=x4根據展開式中不含x2和xn?3=0m?3n+3=0解得，n=3m=6m+n=9，故答案為：9．【點睛】本題考查整式乘法和二元一次方程組，解題關鍵是根據多項式中不含某一項時，這一項的系數為0列方程組．【變式20-3】（24-25七年級·安徽淮北·期中）［知識回顧]有這樣一類題：代數式ax?y+6+3x?5y?1的值與x的取值無關，求a的值；通常的解題方法；把x，y看作字母，a看作系數合并同類項，因為代數式的值與x的取值無關，所以含x項的系數為0，即原式=a+3x?6y+5，所以a+3=0，即［理解應用](1)若關于x的多項式(2m?3)x+2m2?3m的值與x(2)已知3(2x+1)(x?1)?x(1?3y)+6(?x2+xy?1)(3)（能力提升）如圖1，小長方形紙片的長為a、寬為b，有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內，大長方形中有兩個部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，設右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當AB的長變化時，S1-S【答案】(1)m=3(2)y=2(3)a=2b【分析】（1）根據含x項的系數為0建立方程，解方程即可得；（2）先根據整式的加減化簡整式，再根據含x項的系數為0建立方程，解方程即可得；（3）設AB=x，先求出S1,S2，從而可得S1?S2，再根據“當【詳解】（1）解：(2x?3)m+2=(2m?3)x?3m+2m∵關于x的多項式(2x?3)m+2m2?3x∴2m?3=0，解得m=3（2）3(2=6=15xy?6x?9=(15y?6)x?9，∵3A+6B的值與x無關，∴15y?6=0，解得y=2（3）解：設AB=x，由圖可知，S1=a(x?3b)=ax?3ab，則S=ax?3ab?2bx+4ab=(a?2b)x+ab，∵當AB的長變化時，S1∴S1?∴a?2b=0，∴a=2b．【點睛】本題主要考查了整式加減中的無關型問題，涉及整式的乘法、整式的加減知識，熟練掌握整式加減乘法的運算法則是解題關鍵．【考點21多項式乘多項式與圖形面積】【例21】（24-25七年級·云南迪慶·期中）【知識生成】用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個等式．(1)【知識探究】如圖1，是用長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線均分成四個小長方形，然后按照圖2拼成一個正方形，可以得到(a?b)2、(a+b)2、(2)【知識遷移】類似的，用兩種不同的方法計算同一個幾何體的體積，也可以得到一個等式，如圖3，觀察大正方體分割，寫出可以得到的等式_______________；若a+b=6，ab=7，求a3(3)【拓展探究】如圖4，兩個正方形ABCD、CEFG的邊長分別為x，yx>y若這兩個正方形的面積之和為34，且BE=8【答案】(1)(a+b)(2)(a+b)3(3)31【分析】本題考查完全平方公式的幾何意義，注意掌握并能夠由面積相等并過渡到利用體積相等推導公式是解題的關鍵．（1）由題意利用面積相等推導公式：(a+b)2（2）由題意利用體積相等推導a+b3=a（3）由圖可知x2+y2=34，x+y=8．求得xy=15，由此即可解題．【詳解】（1）解：由圖可知：邊長為(a+b)的大正方形由四個邊長為a、b的長方形和一個邊長為(a?b)正方形組成，(a+b)知識生成：(a+b)2故答案為：(a+b)2（2）正方體棱長為a+b，∴體積為a+b3∵正方體體積是長方體和小正方體的體積和，即a3+b3+3a∴a+b3∴a3∵a+b=6，ab=7，∴a（3）有圖可知：x2+y∴2xy=(x+y)∴(x?y)2=x∵x>y，∴x?y=2，圖中陰影部分的面積=====【變式21-1】（24-25七年級·北京·期中）長方形窗戶ABCD（如圖1），是由上下兩個長方形（長方形AEFD和長方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個小窗戶上各安裝了一個可以朝水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF=a，BE=2b），其中a>b>0．當遮陽簾沒有拉伸時（如圖1），若窗框的面積不計，則窗戶的透光面積就是整個長方形窗戶（即長方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平向右拉伸2a至GH．當下面窗戶的遮陽簾水平向左拉伸2b時，恰好與GH在同一直線上（即點G、H、P在同一直線上）．(1)求長方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數式表示）(2)如果上面窗戶的遮陽簾拉伸至AG=23AD，下面窗戶的遮陽簾拉伸至CP=25【答案】(1)2(2)6【分析】（1）先將長方形的長和寬表示出來，再根據長方形面積公式，即可求解；（3）求出透光部分的面積，再根據窗戶的透光面積恰好為長方形窗戶ABCD面積的一半，得出等式，即可求出ab本題主要考查了整式的混合運算，解題的關鍵是正確理解題意，根據圖形列出式子進行計算，熟練掌握整式混合運算的運算順序和運算法則是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題知：AE=DF=a，EB=FC=2b，AG=BP=2a，GD=PC=2b，∴AB=AE+EB=a+2b，AD=AG+GD=2a+2b，∴==2=2a∴長方形窗戶ABCD的總面積為2a（2）解：根據題意可得AD=BC，∵AG=2∴GD=1∵CP=2∴BP=3∴S=GD?DF+BP?EB===AD1∵S∴AD1∴13∴13∴13∴16∴ab【變式21-2】（24-25七年級·福建福州·期中）我國著名數學家華羅庚先生曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休．”可見，數形結合思想在解決數學問題，理解數學本質上發揮著重要的作用．在一節數學活動課上，老師帶領同學們在拼圖活動中探尋整式的乘法的奧秘．情境一如下圖，甲同學將4塊完全相同的等腰梯形木片拼成如下兩個圖形，請你用含a、b的式子分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積，并說明由此可以得到什么樣的乘法公式；情境一

情境二乙同學用1塊A木片、4塊B木片和若干塊C木片拼成了一個正方形，請直接寫出所拼正方形的邊長（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的數量；情境二

情境三丙同學聲稱自己用以上的A，B，C三種木片拼出了一個面積為2a你贊同哪位同學的說法，請求出該情況下所拼長方形的長和寬，并畫出相應的圖形．（要求：所畫圖形的長、寬與圖樣一致，并標