數學九年級下冊蘇科版第6章圖形的相似壓軸題經典題型

1.如圖，在AABC中，4。是角平分線，點E是邊AC上一點，且滿足乙4DE=NB.

(1)證明：△力DBS&AED.

(2)若/E=3,AD=5,求4B的長.

2.如圖，D,E,F是△ABC邊上的點，ED||BC,乙ABC=4EDF.

（1）求證：Z.A=乙CDF；

C

（2）若D是4C的中點.直接寫出四四的值.

bLABC

3.如圖，在。。中，點C是直徑4B延長線上的一點，點。是直徑2B上方圓上的一點，連接CD,

使得24=Z.BDC.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若CE平分乙4CD,且分別交ZD,BD于點、E,F,當DE=2時，求EF的長;

(3)若BD=2,AD=4,求BC的長.

4.如圖①，在矩形2BCD中，動點P從A出發，以相同的速度沿A—B—C—D-A方向運動到點A

處停止.設點P運動的路程為x,ZiPAB面積為y,y與x的函數圖象如圖②所示.

(1)矩形ABCD的面積為；

(2)如圖③，若點P沿邊向點B以每秒1個單位的速度移動，同時點Q從點B出發沿BC

邊向C以每秒2個單位的速度移動.如果P、Q兩點在分別到達B、C兩點后就停止移動，回答下列問

題：

①當運動開始1.5秒時，試判斷小DPQ的形狀;

②在運動過程中，是否存在這樣的時刻，使以Q為圓心，PQ的長為半徑的圓與矩形2BCD的對

角線AC相切，若存在，求出運動時間；若不存在，請說明理由.

5.如圖，等腰AABC內接于O。，AB^AC,連接。C,過點B作4C的垂線，交。。于點D,交0C

于點M,交2C于點E,連接4D

(1)若2。=a,請用含a的代數式表示NOCA；

(2)求證：CE2=EM-EB；

(3)連接CD,若BM=4,DM=3,求tcmZBAC的值及四邊形ABCD的面積與△BMC面積的比

值.

6.在△力BC中，ac=4,以AB為一邊向外做正方形力BDE,連接對角線交于點0.

圖1圖2

(1)如圖1,若乙4cB=90。，連接。C且OC=3/，問：

①乙OCB的度數；

②404C的面積.

(2)如圖2,若ZECB=9O。，4B=20,連接EC與力。和AB分別交于點F和點G,求線段4G

的長度.

7.如圖，菱形4BCD中，AB=10,2C=16,點E是射線4c上的一個動點，將線段BE繞點E順

時針旋轉90。到EF,連接。E、DF.

圖1圖2備用圖

(1)求證：ED=EF；

(2)如圖2,連接BD,CF,當ABED與AEFC相似時，求CE的長;

(3)當點D關于直線EF的對稱點落在菱形的邊上時，求AE的長.

8.如圖

為直徑作O。，O0與對角線AC交于點F,連接FD,FE.

(1)如圖②，當E運動至終點C時，求薨的值;

(2)試探究：在點E運動的過程中，矍的值是否為定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明

理由;

(3)如圖③，以FD,FE為邊構造矩形CFEG,連接CG,求證：4ADFfCDG,并直接寫出在

這一運動過程中，點G所經過的路徑長.

9.如圖1,在矩形4BCD中，BC=3,動點P從B出發，以每秒1個單位的速度，沿射線BC方向

移動，作AP4B關于直線PA的對稱APaB',設點P的運動時間為t(s).

(1)若AB=2V3.

①如圖2,當點B'落在4c上時，求證：APCB'S^ACB,

②是否存在異于圖2的時刻，使得APCB'是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的t

的值？若不存在，請說明理由.

(2)當P點不與C點重合時，若直線PB'與直線CO相交于點M,且當t<3時存在某一時刻有

結論"AM=45。成立，試探究：對于t>3的任意時刻，結論“ZP4M=45。”是否總是成立？請說明

理由.

10.如圖，矩形EBGF和矩形ABCD共頂點,且繞著點B順時針旋轉，滿足器=器=宗

(1)如圖1,當D,E,B三點共線，且4B=8,BE=4,求票的比值;

(2)如圖2,器的比值是否發生變化，若不變，說明理由；若變化，求出相應的值，并說明理由;

(3)如圖3,若點F為CD的中點，且4B=8,AD=6,連結CG,求△FCG的面積.

11.已知正方形4BCD與正方形ZEFG,正方形2EFG繞點A旋轉一周.

(1)如圖①，連接BG、CF,求需的值;

(2)當正方形AEFG旋轉至圖②位置時，連接CF、BE,分別取CF、BE的中點M、N,連接MN,

試探究：MN與BE的關系，并說明理由.

12.如圖，在RtAZBC中，乙4cB=90。，CD為Rt△ABC的角平分線.

圖1圖2

(1)如圖1,若AD+4C=BC,求出乙4DC的度數;

⑵如圖2,當4c7BC時，將線段BD繞點B順時針旋轉90。得線段BE.點F是線段BC上一點,

且CF=CD,連接“，當乙CEF=LCBE,請判斷AC,CD與BC的數量關系，并證明你的結論;

(3)如圖3,當AC=BC=4立時，N為線段CD上一動點，F為BC的中點，連接NF,將線段

NF繞點F順時針旋轉90。得線段FN'.H為直線AB上一動點，連接尸兒將小AHF沿FH翻折至△ABC

所在平面內，得到△Z'FH,連接Z'N,A'N,NN'.當凡4'—FM最大時，直接寫出A/NM的面積的最

大值.

答案解析部分

1.【答案】(1)證明：???Z0是NB4C的角平分線，

??.匕BAD=/-DAE.

,:Z-ADE=Z-B,

：?>ADBAED.

(2)解：MADB八AED,

AD_AB

??,AE=AD9

,:AE=3,AD=5,

5AB

?.,W=T，

?'?A“B=25

2.【答案】(1)證明：???ED||BC,

???Z.AED=乙ABC

v乙ABC=Z.EDF

:.Z.AED=乙EDF

???DF||AB

???/.A=乙CDF

(2)W：vDF||AB,且D為AC中點

乙4=乙CDF,Z.CFD=Z.B

???△CDFCAB

AC='CB=AB

?；D為AC中點

.?百r（而）=（2）=4

3.【答案】（1）證明：如圖，連接0D.

C

???4B為O0的直徑，

???4ADB=90°,即乙4+AABD=90°,

又v0D=0B,

Z.ABD-Z.0DB,

Z-A=Z.BDC,

???乙CDB+乙0DB=90°,即乙0DC=90°.

???0D是圓。的半徑，

直線CD是。。的切線；

(2)解：???CE平分^ACD,

???乙DCE=Z-ACE,

又???LA=乙BDC,

???ZX+/.ACE=乙BDC+乙DCE,即乙DEF=乙DFE,

???A.ADB=90°,DE=2,

??.DF=DE=2,

'-EF=y/DE2+DF2=2V2：

(3)解：設BC=x,CD=y.

???4。=4,BD=2,LADB=90°,

???AB=dAD2+BD2=J42+22=2V5

,:(DCB=Z-ACD,Z-BDC=乙CAD,

???△CDBCAD,

CDBDCB

'"CA=AD='CD

.y「J

2V5+%2歹’

2回

x=——

4.【答案】(1)72

(2)解：①解：設運動時間為t,

①當t=1.5時，

AP=1.5,BP=6—1,5=4.5,BQ=3,CQ=12—3=9,

'：AD=12,DC=6,

/.在Rt△ADP中，DP2=AD2+AP2=146.25,

在RtAPBQ中，PQ2=PB2+BQ2=29.25,

在RtAPQC中，DQ2^DC2+CQ2=117,

在ADPQ中，

\'DQ2+PQ2=DP2,

...△QPQ是直角三角形；

②解：不存在，

理由如下：

假設存在，如圖④，連接2C,過點Q作QM垂直于4C,垂足為點M,

在Rt△ABC中，4C=y/AB2+BC2=6事)，

'：^QMC=AABC=90°,乙QCM=LACB,

△QMCABC,

.QMQCmQM_12-2C

''~AB=AC，即1

??.QM=同*t),

在RtABPQ中，PQ2=BP?+BQ2=(6-t)2+(2t)2,

又：QM2=[日q2%2,

??.(6-t)2+(2t)2=[^(15~20]2>

整理，得7戶一4t+12=0,

VA=b2-4ac=-320<0,

二此方程無解，

不存在這樣的時刻，使以Q為圓心，PQ的長為半徑的圓與矩形ZBCO的對角線AC相切,

5.【答案】(1)解：如圖，連接04、0B,

A

在A40B與AAOC中，

'：AB=AC,OB=OC,AO=AO

.'.AAOB^AAOC(SSS),

1

=ZOXC=^BAC,

\UAB=AB,

Z-ACB-Z-D—a,

*：AB=ACf

Z-ABC=Z.ACB=a,

???乙BAC=180。—2a,

AZOTIC=90°-a,

VOA=OC,

：.^OCA=^OAC=90°-a；

(2)證明：9：BDLAC,

???乙BEC=90。,

：.Z.CBE=90°-^ACB=90°-a,

：.Z.OCA=乙CBE,

■:乙CEM=乙BEC,

:?kCEMFBEC

.CE_EM

??麗二衣’

CE2=EM,EB；

(3)解：如圖，連接4。并延長交B。于點N,連接CN,CD,

圖2

\*AB=AC,AOAB=^OAC,AN=AN

???△/BN"ZCN(SZS),

：.BN=CN,

,/△CEM?ABEC

：.L.OCA=Z.DBC

9：Z.CAD,NCBD均為CD所對圓周角

C./.CAD=乙CBD

：.^OCA=匕DAC,

：.0C||AD,

:?乙DMC=(ADB=CACB,^DAC=/-OCA

?:BC=BC,

：.Z.BAC=乙CDM,

，乙DCM=乙ABC,

???乙DCM=4DMC,

ACD=DM=3,

9：ACLBD,

：.￡.AED=乙AEN,

VOA=OC

：.^OAC=乙OCA=乙CAD

9：AE=AE,

A△AEN=△AEDCASA),

:.EN=ED,

?,?ZC垂直平分DN,

:?CN=CD=3,

：.BN=CN=3,

:?MN=BM-BN=4—3=1,

由EN=DE得:

MN+EM=DM-EM,

：.1+EM=3-EM,

：.EM=1,

：.EB=W+FM=4+1=5,

DE=DM-EM=3—1=2,

由（2）知，CE*2=EM-Efi=1x5=5,

=V5（負值已舍），

*：LBAC=乙BDC,乙DEC=￡.AEB,

△DECAEB,

.DE_EC

"AE=EB9

?ZE—DE.EB_2x5_2近

??*￡—EC—芯一ZVb,

ft7?tAABE中，

BE_5_75

tanZ.BAC近二刑=’

由（2）知，乙OCA=CCBE=LCAD,

：.AD||OC,

工乙MCE=^DAE,/.ADE=MME

9：Z-CEM=A.AED

：.△AEDfCEM

.CE_EM_1

^AE=~ED=29

?**CE=^AE—V5,

:?S四邊形ABCD=\AC-BD^\AE+EC）＜BE+ED）=竽，

SABMC=1'BM-CF=1-4-V5=2逐,

21V5

/.四邊形ABCD的面積與ABMC面積的比值為二Z=紅

2店4

6.【答案】（1）解：如圖1,過0作。41。。交CB延長線于H,則NCOH=90。,

???四邊形/BOE是正方形，

：.0A=OB,Z,AOB=/.EAB=90°,Z.OAB=Z.OBA=45°,

:?(AOC=乙BOH=90°-Z.BOC,

U：AACB=AAOB=90°,

：.^LOAC+^OBC=180°,又乙OBH+乙OBC=180°,

：.^OAC=COBH,

???△O4CwZkOBH(4SZ),

：.OC=OH=3^2,AC=BH=4,

VzCOH=90°,

:?△COH是等腰直角三角形，

???①40cB=4H=45。；

@CH=JOC2+OH2=V2OC=6，

：.BC=CH-BH=2,

A21

??SAOAC—S^OBH=氐S40cH=3x2x(^V2)2=6

(2)解：如圖2,過G作GK,4C于K,過B作BN14C交力C延長線于N,貝U/GK/=ZGKC=

乙BNC=90°,

.?.點E、A、C、B四點共圓，

：.AACE=乙ABE=45°,則ZBCN=^ACE=45°,

??.△GKC和^BNC都是等腰直角三角形,

：.GK=KC,BN=CN,

在中，AB=20,AN=AC+CN=4+BNf

由勾股定理得202=BN2+(4+BN)2,

解得BN=12(負值舍去)，

：.AN=16,

??"GKZ=乙BNA=90°,^GAK=乙BAN,

：.△AKGfANB,

.AK_GK_AG即4—GK_GK_AG

"AN=BN=AB9即=

由窄=聆得GK=￥，

由蘭-亞得AG=等.

12-207

7.【答案】(1)證明：???四邊形是菱形，

??.AB=AD,Z.BAC=Z-DAC,

在△ABEDAE中，

AB=AD

Z-BAC=/-DAC,

、AE=AE

???△/BE也△ZME(S4S),

.??ED-EB,

?.?EB=EF,

??.ED=EF；

圖1

當點E在的左側時，止匕時△BEDg△EFC,

??.CE=BD=6,

如圖2,

B

圖2

當點E在BO的右側時，ABEDSAECF,

CE_BE

~EF=RD'

：.BE-EF=CE-BD,

設CE=久，貝I」OE=4—久，EF=BE=yJOE2+OB2=59+(4-久產

9+(4—%)2=6x,

=7-2乃，%2=7+2便(舍去)，

綜上所述：CE=6或7-2巡；

(3)解：如圖3,

圖3

當直線EF過點D時，點D的關于EF的對稱點是D本身，△BED是等腰直角三角形,

0E=OB=0D=3,

.?.ZE=4-3=1或4+3=7,

當點E在點。處時，點。關于EF的對稱點是B,此時AE=4,

如圖4,

圖1

當點。關于EF所在的直線的對稱點。在AB上時，連接。。交AC與G,直線EF交。。于連接

OH,

???DD'"BE,

???△BOEs^DOG,

OGOD

-,-OE=OB=41,

???OG-OE,

??????EH1DDL

??.Z.EHG=90°,

1

OH=^EG,

??.DH=D'H,OD=OB,

1

??.OH=^BD\

??.EG=BD\

??.AD1=AG,

?-AD'+BD^AG+EG,

:.AE=AB=5,

綜上所述：或3或4或5或7.

8.【答案】(1)解：如圖②，

?..QE為。。直徑，

圖②

?./.DFE=90°.

?.?四邊形力BCD是矩形,

?.AADE=90°=乙DFE,

又,：乙DEF=乙AED,

△DEFAED,

.FD_AD_4

CD=T

（2）解：矍的值為定值.

如圖①，連接oc,

?..四邊形2BCD是矩形，

."DCE=90。，

又YOE=OD,

：.OC=OD=OE,

...點C在。。上.

\?在。。中，FD=FD,

:.乙FED=/.FCD.

,.,Ar\4

在RtAADC中,tan/ACD==可

〈DE為直徑，

???4DFE=90。，

pr\Q

在RtADFE中,tanZ.FED-tanzXCP=疑=

(3)解：，??四邊形。尸EG是矩形,

...由⑵得,需=爵4，

1JUcr3

.DF_AD

??跖一比’

Vz^DC=zFZ)G=90°,

：-￡.ADC-乙FDC=^FDG-乙FDC,即Z71D尸=/CDG,

/.△ADFCDG.

點G所經過的路徑長g.

9.【答案】(1)證明：①?.?四邊形力BCD是矩形，

：.LB=90°,

由折疊的性質可得乙4B‘P=ZB=90°,

：.￡.CBP=90°=ZB,

又,：乙PCB'=LACB.

△PCBACB;

②t的值為2或6或2存

(2)解：對于t〉3的任意時刻，結論“2「4聞=45。”總是成立，理由如下:

如圖2-1所示，

."2+Z3=45°,

."1+4=45°

由折疊的性質可得Nl=N2,AB=AB,

/.z3=z.4,

XVzXDM=/.ABM=90°,AM=AM,

J△ZMDw△ZMB'(44S),

：.AD=AB'=AB.

如圖2-2所示，

圖2-2

設N4PB=x,則NP4B=90°—%,

Z-DAP=x,

AD=ABfAM=AM,￡.ADM=^AB'M=90%

：.Rt△MDA=Rt△MB,A(HL),

：.^B'AM=^DAM,

由折疊的性質可得4P/B=乙PAB'=90°-X

?54歹=90。一2%,

：^DAM="DAB'=45°-%

：.^MAP=45°.

10.【答案】(1)解：如圖，連接DF,BF,AE.

???四邊形ABCD是矩形，

/.^DAB=90°,AD=BC.

vBC：AB=3：4,

-.AD：AB=3：4,

設/。=3k,AB=4k,則BD=[AD?+/B2=5k，

/.AD：AB：BD=3：4：5,

同法可證￡艮BE：BF=3：4：5,

△ABD~&EBF,

乙ABD=AEBF,需=器,

UBE="BF,蓋=器，

△ABEDBF,

DF=DB=5

AE=AB=4;

(2)解：不變，理由是:

如圖，連接BD,BF.

???四邊形4BCD是矩形,

???乙DAB=90°,AD=BC.

vBC：AB=3：4,

AD：AB=3：4,

設=3k,AB=4k,則BD=JAD2+AB2=5k，

AD：AB：BD=3：4：5,

同法可證EP：BE：BF=3：4：5，

??.△ABDEBF,

.?.乙ABD=AEBF,新器，

：ZABE=UBF,希=第

???△ABEDBF,

,DF_DB_S

:,AE=AB=T

(3)解：如圖，連接BF,AE,過點G作GT1DC交。。的延長線于點T.

???四邊形/BCD是矩形,

AB=CD=8,

vDF=CF=4,DF：AE=5：4,

16

-'-AAtE7=^

???^.ABC=^EBG=90°,

???乙ABE=Z-CBG,

,,AB_BE

'~CB='BG=3,

???△ABECBG,

.AE_AB_4

：'~CG=~BC=3,

12

：?CG=-g-,

???乙BCF=^BGF=9。。,

??.C,F,B,G四點共圓,

???乙GCT=4FBG,

???ZT=(BGF=90°,

CTG?△BGF9

:?CT：GT：CG=BG：GF：BF=3：4：5,

4

“G=48

???GT=藥

CFG的面積=2?CF-GT=^X4X^=槳

1L【答案】(1)解：如圖①，連接4F,AC,

圖①

四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形,

：.AC=y/2AB,AF=y[2AG,^CAB=ZGXF=45°,

：.^CAF=ZBAG,

△CAFBAG,

?CF_AF一5

,,函一武一

(2)解：BE=2MN,MN1BE,

理由如下：如圖②，連接ME,過點C作CHIIEF,交直線ME于H,連接BH,設CF與40交點為

P,CF與4G交點為R,

圖②

VCH||EF,

:?乙FCH=乙CFE,

???點M是CT的中點，

：.CM=MF,

又?：乙CMH=LFME,

.\ACMH=AFME(ASA)f

；?CH=EF,ME=HM,

：.AE=C