PAGEPAGE1第2講小題考法——基本初等函數、函數與方程一、主干學問要記牢1．指數函數與對數函數的對比表解析式y＝ax(a＞0與a≠1)y＝logax(a＞0與a≠1)圖象定義域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R單調性0＜a＜1時，在R上是減函數；a＞1時，在R上是增函數0＜a＜1時，在(0，＋∞)上是減函數；a＞1時，在(0，＋∞)上是增函數兩圖象的對稱性關于直線y＝x對稱2．方程的根與函數的零點(1)方程的根與函數零點的關系由函數零點的定義，可知函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數根，也就是函數y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標．所以方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點．(2)函數零點的存在性定理假如函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并且f(a)·f(b)<0，那么函數f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的實數根．二、易錯易混要明白1．不能精確理解基本初等函數的定義和性質．如探討函數y＝ax(a>0，a≠1)的單調性時忽視字母a的取值范圍，忽視ax>0；探討對數函數y＝logax(a>0，a≠1)時忽視真數與底數的限制條件．2．易混淆函數的零點和函數圖象與x軸的交點，不能把函數零點、方程的解、不等式解集的端點值進行精確互化．3．函數f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一個零點，要留意探討a是否為零．考點一基本初等函數的圖象與性質3招破解指數、對數、冪函數值的大小比較問題(1)底數相同，指數不同的冪用指數函數的單調性進行比較．(2)底數相同，真數不同的對數值用對數函數的單調性比較．(3)底數不同、指數也不同，或底數不同、真數也不同的兩個數，常引入中間量或結合圖象比較大小．1．(2024·南充三模)在同一坐標系中，函數y＝2－x與y＝－log2x的圖象都正確的是(A)ABCD解析因為y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，所以函數單調遞減，解除B，D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與y＝－log2x＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x的圖象關于y＝x軸對稱．解除C．故選A．2．已知函數f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，則f(x)(A)A．是奇函數，且在R上是增函數 B．是偶函數，且在R上是增函數C．是奇函數，且在R上是減函數 D．是偶函數，且在R上是減函數解析因為f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，且定義域為R，所以f(－x)＝3－x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－3x＝－3x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＝－f(x)，即函數f(x)是奇函數．又y＝3x在R上是增函數，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是減函數，所以f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是增函數．3．(2024·全國卷Ⅰ)設x，y，z為正數，且2x＝3y＝5z，則(D)A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z解析令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z為正數，∴t>1．則x＝log2t＝eq\f(lgt,lg2)，同理，y＝eq\f(lgt,lg3)，z＝eq\f(lgt,lg5)．∴2x－3y＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(3lgt,lg3)＝eq\f(lgt2lg3－3lg2,lg2×lg3)＝eq\f(lgtlg9－lg8,lg2×lg3)>0，∴2x>3y．又∵2x－5z＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(5lgt,lg5)＝eq\f(lgt2lg5－5lg2,lg2×lg5)＝eq\f(lgtlg25－lg32,lg2×lg5)<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.故選D．考點二函數的零點1．推斷函數零點個數的方法干脆法干脆求零點，令f(x)＝0，則方程解的個數即為函數零點的個數定理法利用零點存在性定理，利用該定理只能確定函數的某些零點是否存在，必需結合函數的圖象和性質(如單調性)才能確定函數有多少個零點數形結合法對于給定的函數不能干脆求解或畫出圖象的，常分解轉化為兩個能畫出圖象的函數的交點問題2．利用函數零點的狀況求參數值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解．(2)分別參數后轉化為求函數的值域(最值)問題求解．(3)轉化為兩個熟識的函數圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解．1．(2024·安陽模擬)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x＋1|，x＜1，,x2－4x＋2，x≥1，))則函數g(x)＝2|x|f(x)－2的零點個數為(B)A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析畫出函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x＋1|，x＜1，,x2－4x＋2，x≥1，))的圖象如圖，由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0可得f(x)＝eq\f(2,2|x|)，則問題化為函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x＋1|，x＜1，,x2－4x＋2，x≥1，))與函數y＝eq\f(2,2|x|)＝21－|x|的圖象的交點的個數問題．結合圖象可以看出兩函數圖象的交點只有兩個，應選答案B．2．函數f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區間是(C)A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析方法一∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)f(1)＜0，故函數f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區間是(0,1)，選C．方法二函數f(x)＝ex＋x－2的零點，即函數y＝ex的圖象與y＝－x＋2的圖象的交點的橫坐標，作出函數y＝ex與直線y＝－x＋2的圖象如圖所示，由圖可知選C．3．(2024·湖北聯考)奇函數f(x)是R上單調函數，g(x)＝f(ax3)＋f(1－3x)有唯一零點，則a的取值集合為{a|a≤0或a＞4}．解析函數g(x)＝f(ax3)＋f(1－3x)有且只有一個零點，即方程f(ax3)＋f(1－3x)＝0有且只有一個根或兩相等實數根，∵函數f(x)是奇函