PAGEPAGE4第四節隨機事務的概率2024考綱考題考情1．事務(1)在條件S下，肯定會發生的事務，叫做相對于條件S的必定事務。(2)在條件S下，肯定不會發生的事務，叫做相對于條件S的不行能事務。(3)在條件S下，可能發生也可能不發生的事務，叫做相對于條件S的隨機事務。2．概率和頻率(1)在相同的條件S下重復n次試驗，視察某一事務A是否發生，稱n次試驗中事務A發生的次數nA為事務A發生的頻數，稱事務A發生的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務A發生的頻率。(2)對于給定的隨機事務A，由于事務A發生的頻率fn(A)隨著試驗次數的增加穩定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)。3．事務的關系與運算定義符號表示包含關系假如事務A發生，則事務B肯定發生，這時稱事務B包含事務A(或稱事務A包含于事務B)B?A(或A?B)相等關系若B?A，且A?B，那么稱事務A與事務B相等A＝B并事務(和事務)若某事務發生當且僅當事務A發生或事務B發生，則稱此事務為事務A與事務B的并事務(或和事務)A∪B(或A＋B)續表定義符號表示交事務(積事務)若某事務發生當且僅當事務A發生且事務B發生，則稱此事務為事務A與事務B的交事務(或積事務)A∩B(或AB)互斥事務若A∩B為不行能事務，那么稱事務A與事務B互斥A∩B＝?對立事務若A∩B為不行能事務，A∪B為必定事務，那么稱事務A與事務B互為對立事務A∩B＝?且A∪B＝U4.概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P≤1。(2)必定事務的概率P(E)＝1。(3)不行能事務的概率P(F)＝0。(4)概率的加法公式：假如事務A與事務B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。(5)對立事務的概率：若事務A與事務B互為對立事務，則A∪B為必定事務，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。1．頻率與概率頻率是隨機的，不同的試驗，得到頻率也可能不同，概率是頻率的穩定值，反映了隨機事務發生的可能性的大小。2．互斥與對立對立事務肯定互斥，但互斥事務不肯定對立。3．概率加法公式的留意點(1)要確定A，B互斥方可運用公式。(2)A，B為對立事務時并不肯定A與B發生的可能性相同，即P(A)＝P(B)可能不成立。一、走進教材1．(必修3P121練習T4)一個人打靶時連續射擊兩次，事務“至少有一次中靶”的互斥事務是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶解析射擊兩次的結果有：一次中靶；兩次中靶；兩次都不中靶，故至少有一次中靶的互斥事務是兩次都不中靶。故選D。答案D2．(必修3P123A組T3改編)李老師在某高校連續3年主講經濟學院的高等數學，下表是李老師這門課3年來的考試成果分布：成果人數90分以上4280～89分17270～79分24060～69分8650～59分5250分以下8經濟學院一年級的學生王小明下學期將選修李老師的高等數學課，用已有的信息估計他得以下分數的概率：(1)90分以上的概率：________。(2)不及格(60分及以上為及格)的概率：________。解析(1)eq\f(42,600)＝0.07。(2)eq\f(52＋8,600)＝0.1。答案(1)0.07(2)0.1二、走近高考3．(2024·江蘇高考)某愛好小組有2名男生和3名女生，現從中任選2名學生去參與活動，則恰好選中2名女生的概率為________。解析記2名男生分別為A，B,3名女生分別為a，b，c，則從中任選2名學生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種狀況，其中恰好選中2名女生有ab，ac，bc，共3種狀況，故所求概率為eq\f(3,10)。答案eq\f(3,10)4．(2024·江蘇高考)將一顆質地勻稱的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現向上的點數之和小于10的概率是________。解析本題為古典概型，基本領件共有36個，點數之和大于等于10的有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)，(6,5)，(6,4)，共計6個基本領件，故點數之和小于10的有30個基本領件，所求概率為eq\f(5,6)。答案eq\f(5,6)三、走出誤區微提示：①求基本領件時出錯；②確定對立事務時出錯；③互斥事務判定出錯。5．甲、乙兩人做出拳(錘子、剪刀、布)嬉戲，則平局的概率為________；甲贏的概率為________。解析設平局(用△表示)為事務A，甲贏(用⊙表示)為事務B，乙贏(用※表示)為事務C。簡潔得到如圖。平局含3個基本領件(圖中的△)，P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)。甲贏含3個基本領件(圖中的⊙)，P(B)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)。答案eq\f(1,3)eq\f(1,3)6．從一箱產品中隨機地抽取一件，設事務A＝{抽到一等品}，事務B＝{抽到二等品}，事務C＝{抽到三等品}，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事務“抽到的不是一等品”的概率為________。解析因為“抽到的不是一等品”的對立事務是“抽到的是一等品”，且P(A)＝0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率為1－0.65＝0.35。答案0.357．已知某射擊運動員每次擊中目標的概率都是0.8。現采納隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次，至少擊中3次的概率。先由計算器算出0～9之間取整數值的隨機數，指定0,1表示沒有擊中目標，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標，因為射擊4次，所以以每4個隨機數為一組，代表射擊4次的結果。經隨機模擬產生了20組隨機數：57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281據此估計，該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為________。解析該射擊運動員射擊4次至少擊中3次，考慮該事務的對立事務，故看這20組數據中每組數據含有0和1的個數多少，含有2個或2個以上的有5組數據，故所求概率為eq\f(15,20)＝0.75。答案0.75考點一隨機事務關系的推斷【例1】(1)把語文、數學、英語三本學習書隨機地分給甲、乙、丙三位同學，每人一本，則事務A：“甲分得語文書”，事務B：“乙分得數學書”，事務C：“丙分得英語書”，則下列說法正確的是()A．A與B是不行能事務B．A＋B＋C是必定事務C．A與B不是互斥事務D．B與C既是互斥事務也是對立事務(2)一袋中裝有5個大小形態完全相同的小球，其中紅球3個，白球2個，從中任取2個小球，若事務“2個小球全是紅球”的概率為eq\f(3,10)，則概率是eq\f(7,10)的事務是()A．恰有一個紅球 B．兩個小球都是白球C．至多有一個紅球 D．至少有一個紅球解析(1)“A，B，C”都是隨機事務，可能發生，也可能不發生，故A、B兩項錯誤；“A，B”可能同時發生，故“A”與“B”不互斥，C項正確；“B”與“C”既不互斥，也不對立，D項錯誤。故選C。(2)因為eq\f(7,10)＝1－eq\f(3,10)，所以概率是eq\f(7,10)的事務是“2個小球全是紅球”的對立事務，應為：“一個紅球一個白球”與“兩個都是白球”的和事務，即為“至多有一個紅球”。答案(1)C(2)C互斥、對立事務的判別方法1．在一次試驗中，不行能同時發生的兩個事務為互斥事務。2．兩個互斥事務，若有且僅有一個發生，則這兩個事務為對立事務。提示：對立事務肯定是互斥事務。【變式訓練】從1,2,3,4,5這五個數中任取兩個數，其中：①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；②至少有一個是奇數和兩個都是奇數；③至少有一個是奇數和兩個都是偶數；④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數。上述事務中，是對立事務的是()A．① B．②④C．③ D．①③解析從1,2,3,4,5這五個數中任取兩個數有3種狀況：一奇一偶，兩個奇數，兩個偶數。其中“至少有一個是奇數”包含一奇一偶或兩個奇數這兩種狀況，它與兩個都是偶數是對立事務。又①②④中的事務可以同時發生，不是對立事務。答案C考點二隨機事務的頻率與概率【例2】電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值。(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(2)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；(3)電影公司為增加投資回報，擬變更投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發生變更。假設表格中只有兩類電影的好評率數據發生變更，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率削減0.1，使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大？(只需寫出結論)解(1)由題意知，樣本中電影的總部數是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25＝50。故所求概率為eq\f(50,2000)＝0.025。(2)由題意知，樣本中獲得好評的電影部數是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372。故所求概率估計為1－eq\f(372,2000)＝0.814。(3)增加第五類電影的好評率，削減其次類電影的好評率。頻率反映了一個隨機事務出現的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事務發生的可能性的大小，有時也用頻率作為隨機事務概率的估計值。【變式訓練】(2024·全國卷Ⅲ)某超市支配按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完。依據往年銷售閱歷，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關。假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，25))，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶。為了確定六月份的訂購支配，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率。(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)。當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的全部可能值，并估計Y大于零的概率。解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表格數據知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6。(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100。所以，Y的全部可能值為900,300，－100。Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數據知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8。考點三互斥事務與對立事務【例3】某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，支配一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示。一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數/人x3025y10結算時間/(分/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%。(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；(2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率。(將頻率視為概率)解(1)由已知得x＋30＝45,25＋y＋10＝55，所以x＝15，y＝20。該超市全部顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡潔隨機樣本，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數估計，其估計值為eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分)。(2)記A為事務“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A1，A2，A3分別表示事務“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為2分鐘”，將頻率視為概率得P(A1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(A2)＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(A3)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4)。因為A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事務，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,20)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,10)。故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為eq\f(7,10)。解：記A表示事務“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，則A的對立事務為“一位顧客一次購物的結算