PAGEPAGE1考點41空間點、直線、平面之間的位置關系1．（山東省日照市2025屆高三5月校際聯合考試數學理）已知是兩條不同直線，是兩個不同平面，給出四個命題：①若，，，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的命題是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】①若，，，如圖，則與不肯定垂直，故①為假命題；②若，依據垂直于同一條直線的兩個平面平行，則；故②為真命題；③若，則，故③為真命題；④若，如圖，則與可能相交，故④為假命題．故選：B．2．（四川省宜賓市2025屆高三第三次診斷性考試數學理）設是空間兩條直線，則“不平行”是“是異面直線”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由是異面直線?不平行．反之若直線不平行，也可能相交．所以“不平行”是“是異面直線”的必要不充分條件．故選：B．3．（安徽省合肥市2025屆高三第三次教學質量檢測）如圖，邊長為1的菱形中，，沿將翻折，得到三棱錐，則當三棱錐體積最大時，異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】當三棱錐體積最大時，平面平面，邊長為1的菱形中，取中點，連接，則平面，平面，以為原點，分別為軸，建立空間直角坐標系則，設異面直線與所成角為即異面直線與所成角的余弦值為故選D．4．（山東省泰安市教科研中心2025屆高三考前密卷數學理）如圖所示，邊長為a的空間四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，則異面直線AD與BC所成角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】由題意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴BD＝，∴∠BAD＝90°，取BD中點O，連結AO，CO，∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延長CO至點E，使CO＝OE，連結ED，EA，EB，則四邊形BCDE為正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其補角）即為異面直線AD與BC所成角，由題意得AE＝a，ED＝a，∴△AED為正三角形，∴∠ADE＝60°，∴異面直線AD與BC所成角的大小為60°．故選：C．5．（安徽省1號卷A10聯盟2025屆高考最終一卷數學理）已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，且，則D．若，且，則【答案】D【解析】若，，則或與異面或與相交，故選項錯誤；若，，則與可能相交，故選項錯誤；若直線不相交，則平面不肯定平行，故選項錯誤；，或，又，故選項正確.本題正確選項：6．（江西省吉安市2025屆高三下學期第一次模擬考試數學理）如圖，長為，寬為的矩形紙片中，為邊的中點，將沿直線翻轉（平面），若為線段的中點，則在翻轉過程中，下列說法錯誤的是（）A．平面B．異面直線與所成角是定值C．三棱錐體積的最大值是D．肯定存在某個位置，使【答案】D【解析】由題意，對于，延長，交于，連接，由為的中點，可得為的中點，又為的中點，可得，平面，平面，則平面，∴正確；對于，，過作，平面，則是異面直線與所成的角或所成角的補角，且，在中，，，則，則為定值，即為定值，∴正確；對于，設為的中點，連接，由直角三角形斜邊的中線長為斜邊的一半，可得平面⊥平面時，三棱錐的體積最大，最大體積為，∴正確；對于，連接，可得，若，即有平面，即有，由在平面中的射影為，可得與垂直，但與不垂直，則不存在某個位置，使，∴錯誤；故選：D．7．（新疆烏魯木齊市2025屆高三其次次診斷性測試數學理）如圖，是棱長為1的正方體的平面綻開圖，則在這個正方體中，以下結論正確的是（）A．點到的距離為B．三棱錐的體積是C．與平面所成的角是D．與所成的角是【答案】D【解析】解：依據正方體的平面綻開圖，畫出它的立體圖形如圖所示，對于A，連接ND，與EF交于O點，連接AO，則AO的長即點到的距離，AO，故A錯誤；對于B，三棱錐的體積是，故B錯誤；對于C，F點到平面CDN的距離為，∴與平面所成的角的正弦值為，故C錯誤；對于D，與所成的角即MC與所成的角，明顯是60°，故D正確，故選：D8．（新疆烏魯木齊市2025屆高三其次次診斷性測試數學理）設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，則【答案】D【解析】若，，則有可能在面內，故A錯誤；若，，有可能在面內，故B錯誤；若一平面內兩相交直線分別與另一平面平行，則兩平面平行，故C錯誤．若，，，則由直線與平面平行的性質知，故D正確．故選D.9．（湖北省武漢市2024年高考數學理）已知兩個平面相互垂直，下列命題①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的隨意一條直線②一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的多數條直線③一個平面內隨意一條直線必垂直于另一個平面④過一個平面內隨意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面其中正確命題個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意，對于①，當兩個平面垂直時，一個平面內的不垂直于交線的直線不垂直于另一個平面內的隨意一條直線，故①錯誤；對于②，設平面α∩平面β=m，n?α，l?β，∵平面α⊥平面β，∴當l⊥m時，必有l⊥α，而n?α，∴l⊥n，而在平面β內與l平行的直線有多數條，這些直線均與n垂直，故一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的多數條直線，即②正確；對于③，當兩個平面垂直時，一個平面內的任一條直線不垂直于另一個平面，故③錯誤；對于④，當兩個平面垂直時，過一個平面內隨意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面，這是面面垂直的性質定理，故④正確；故選：B．10．（遼寧省遼陽市2025屆高三下學期一模數學理）如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中點分別為E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，則異面直線EF與AA1所成角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取A1B1中點G，連接EG，FG，EG⊥FG，因為EG∥AA1，所以異面直線EF與AA1所成角為∠FEG或其補角，在△EFG中，FG＝5，EG＝7，所以tan∠FEG，故選：A．11．（廣東省湛江市2024年一般高考測試二理）已知是三個不同的平面，是兩條不同的直線，給出下列命題：①若，則；②若，且，則；③若，則；④，則.其中真命題的個數是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對①若，則或m,n異面，故錯誤；對②，由線面平行的判定定理知：若，且，則，正確對③，若，則則，正確對④，設在面內任取點O,作OAOB由，得OAOB故OAOB則又，正確綜上真命題的個數是3個故選：C．12．（甘肅省蘭州市2025屆高三實戰模擬考試二診數學（理）在長方體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為長方體所以，所以即為異面直線與所成角。因為平面，所以，即為直角三角形由題意得，在中，，，所以，故選C。13．（安徽省江淮十校2025屆高三第三次聯考）當動點在正方體的體對角線上運動時，異面直線與所成角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】以為原點，，，分別為，，軸正向，建立空間直角坐標系，則，，設，則，，，故，對于函數，有：，，故，又，故.故選.14．（四川省華文大教化聯盟2025屆高三其次次質量檢測考試數學理）如圖，在長方體，且異面直線所成角的余弦值為，則該長方體外接球體積為A． B．C． D．【答案】B【解析】∵異面直線所成角的余弦值為，且，∴，在中，設.∵，∴，∴，∴則長方體外接球直徑為，半徑為故選：B．15．（陜西省延安市2025屆高考模擬試題一理）已知，表示兩條不同的直線，表示平面.下列說法正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】B【解析】A．若m∥α，n∥α，則m，n相交或平行或異面，故A錯；B．若m⊥α，，由線面垂直的性質定理可知，故B正確；C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故C錯；D．若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n⊥α，故D錯．故選：B．16．（河北省唐山市2025屆高三其次次模擬考試數學理）已知直線，和平面，，有如下三個命題：①若存在平面，使，，則；②若，是兩條異面直線，，，，，則；③若，，，則.其中正確命題的個數是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】對①，若存在平面，使，，則或與相交，故①錯誤；對②，假設與不平行,則與相交,設交線為n,∵，,∩=n,∴同理，,與，異面沖突，故假設不成立，所以正確對③，若，，則,又，則，故③正確．17．（廣西南寧市2025屆高三畢業班第一次適應性測試數學理）如圖所示，長方體的棱和的中點分別為，，，，，則異面直線與所成角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作，垂足為，連接，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），且，因為，，所以.故選：B18．（寧夏六盤山高級中學2025屆高三下學期其次次模擬考試數學理）已知是所在平面外一點，分別是的中點，若，則異面直線與所成角的大小是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依據題意，畫出圖形如下圖所示連接AC，取中點Q，連接QM、QN則，則在中，由余弦定理可得所以所以選A．19．（2025屆湖南省高三長郡中學、衡陽八中等十三校重點中學第一次聯考數學理）已知邊長為2的正方形的四個頂點在球的球面上，球的體積為，則與平面所成的角的余弦值為__________．【答案】【解析】過作平面，垂足為，則為正方形的中心。正方形的邊長為,，,球的半徑.與平面所成的角的余弦值為.20．（甘肅省2024年高三其次次高考診斷考試理）直三棱柱-中，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為________.【答案】【解析】連接交于E，則E為為中點，取AB中點F,連接EF,故EF，則或其補角為所求，又EF=,在三角形中，cos故答案為．21．（四川省華文大教化聯盟2025屆高三其次次質量檢測考試數學理）如圖，已知圓錐的頂點為S，底面圓O的兩條直徑分別為AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．現有以下四個結論：①AD∥平面SBC；②；③若E是底面圓周上的動點，則△SAE的最大面積等于△SAB的面積；④與平面SCD所成的角為45°．其中正確結論的序號是__________．【答案】①②④【解析】由AB和CD是圓O得直徑及AB⊥CD，得四邊形ABCD為正方形，則AD∥BC，從而AD∥平面SBC，則①正確；又因為平面SAD，且平面，所以，則②正確；因為，當∠ASB為鈍角時，；當∠ASB為銳角或直角時，，則③不正確；由，得與平面SCD所成的角等于AD與平面SCD所成的角，即為∠ADO，又因為∠ADO=45°，故④正確.故答案為：①②④．22．（重慶市南開中學2025屆高三第三次教學質量檢測考試數學理）在正三棱柱中，，，分別為，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__________．【答案】【解析】如圖，連接,則所以異面直線與所成的角就是直線和所成銳角或直角.由題得,在△中，由余弦定理得.所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：．23．（河南省天一大聯考2025屆高三階段性測試（五)數學（理）在三棱錐中，，，，，則異面直線與所成角的正切值為__________．【答案】【解析】如圖所示，作底面于點，連接，，，與相交于點.由，，易知是中點，，所以.設，，則，,.由兩式可解得，.從而四邊形為正方形.異面直線與所成角即，.故答案為：.24．（甘肅省2025屆高三第一次高考診斷考試理）直三棱柱中，底面為正三角形，，是的中點，異面直線與所成角的余弦值是，則三棱柱的表面積等于_____．【答案】【解析】設是的中點，畫出圖像如下圖所示，由于，故是異面直線與所成角.設三棱柱的高為，則，,由于異面直線與所成角的余弦值是，在三角形中，由余弦定理得，解得.故三棱柱的表面積為.25．（河南省八市重點中學聯盟2025屆高三5月領軍考試理）如圖所示，在棱臺中，平面，，（1）求證：；（2）求二面角的大小【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）連結，設，因為，，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，因此，在直角梯形中，，，因此，所以，因此（2）因為平面，所以建立如圖空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，設向量為平面的法向量，則有，即，令，取平面的一個法向量.設向量為平面的法向量，則有，即令，取平面的一個法向量，,設二面角的平面角為，則因此二面角的大小為.26．（河南省天一大聯考2025