PAGEPAGE8空間幾何體【2024年高考考綱解讀】1.以三視圖為載體，考查空間幾何風光 積、體積的計算.2.考查空間幾何體的側面綻開圖及簡潔的組合體問題．【重點、難點剖析】一、三視圖與直觀圖1．一個物體的三視圖的排列規則俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖的長度一樣，側(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長對正、高平齊、寬相等”．2．由三視圖還原幾何體的步驟一般先依據俯視圖確定底面再利用正(主)視圖與側(左)視圖確定幾何體．二、幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積和體積計算是高考中常見的一個考點，解決這類問題，首先要嫻熟駕馭各類空間幾何體的表面積和體積計算公式，其次要駕馭肯定的技巧，如把不規則幾何體分割成幾個規則幾何體的技巧，把一個空間幾何體納入一個更大的幾何體中的補形技巧．三、多面體與球與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要仔細分析圖形，明準確點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖．如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑．球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．球與旋轉體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心(或“切點”“接點”)作出截面圖．【高考題型示例】題型一、三視圖與直觀圖例1、(1)(2024·全國Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來．構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是()答案A解析由題意可知帶卯眼的木構件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應選A.(2)[2024·全國卷Ⅰ]某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17)B．2eq\r(5)C．3D．2【解析】先畫出圓柱的直觀圖，依據題圖的三視圖可知點M，N的位置如圖①所示．①②圓柱的側面綻開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點)如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．ON＝eq\f(1,4)×16＝4，OM＝2，∴|MN|＝eq\r(OM2＋ON2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B.【答案】B【方法技巧】1．由直觀圖確認三視圖的方法依據空間幾何體三視圖的定義及畫法規則和擺放規則確認．2．由三視圖還原到直觀圖的思路(1)依據俯視圖確定幾何體的底面．(2)依據正(主)視圖或側(左)視圖確定幾何體的側棱與側面的特征，調整實線和虛線所對應的棱、面的位置．(3)確定幾何體的直觀圖形態.【變式探究】某幾何體的正(主)視圖與俯視圖如圖所示，則其側(左)視圖可以為()答案B解析由俯視圖與正(主)視圖可知，該幾何體可以是一個三棱柱挖去一個圓柱，因此其側(左)視圖為矩形內有一條虛線，虛線靠近矩形的左邊部分，只有選項B符合題意，故選B.(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別為棱CD，CC1，A1B1的中點，用過點E，F，G的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(左)視圖為()答案C解析取AA1的中點H，連接GH，則GH為過點E，F，G的平面與正方體的面A1B1BA的交線．延長GH，交BA的延長線與點P，連接EP，交AD于點N，則NE為過點E，F，G的平面與正方體的面ABCD的交線．同理，延長EF，交D1C1的延長線于點Q，連接GQ，交B1C1于點M，則FM為過點E，F，G的平面與正方體的面BCC1B1的交線．所以過點E，F，G的平面截正方體所得的截面為圖中的六邊形EFMGHN.故可得位于截面以下部分的幾何體的側(左)視圖為選項C所示．【感悟提升】空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，先依據俯視圖確定幾何體的底面，然后依據正(主)視圖或側(左)視圖確定幾何體的側棱與側面的特征，調整實線和虛線所對應的棱、面的位置，再確定幾何體的形態，即可得到結果．在還原空間幾何體實際形態時，一般是以正(主)視圖和俯視圖為主，結合側(左)視圖進行綜合考慮．【變式探究】有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________．答案2＋eq\f(\r(2),2)解析如圖，在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).而四邊形AECD為矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可還原原圖形如圖所示．在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴這塊菜地的面積為S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).題型二幾何體的表面積與體積例2、(2024·全國Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側面積為________．答案40eq\r(2)π【變式探究】[2024·天津卷]已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F，G，H，M(如圖)，則四棱錐M-EFGH【解析】依題意，易知四棱錐M-EFGH是一個正四棱錐，且底面邊長為eq\f(\r(2),2)，高為eq\f(1,2).故VM-EFGH＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).【答案】eq\f(1,12)【方法技巧】1．求解幾何體的表面積及體積的技巧(1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關鍵．求三棱錐的體積，等體積轉化是常用的方法，轉化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．(2)求不規則幾何體的體積，常用分割或補形的方法，將不規則幾何體轉化為規則幾何體易于求解．2．依據幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個步驟(1)依據給出的三視圖推斷該幾何體的形態．(2)由三視圖中的大小標示確定該幾何體的各個度量．(3)套用相應的面積公式與體積公式計算求解.格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．8＋4eq\r(2)＋8eq\r(5) B．24＋4eq\r(2)C．8＋20eq\r(2) D．28答案A解析由三視圖可知，該幾何體的下底面是長為4，寬為2的矩形，左右兩個側面是底邊為2，高為2eq\r(2)的三角形，前后兩個側面是底邊為4，高為eq\r(5)的平行四邊形，所以該幾何體的表面積為S＝4×2＋2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＋2×4×eq\r(5)＝8＋4eq\r(2)＋8eq\r(5).(2)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________，表面積是________．答案eq\f(14,3)π6＋(6＋eq\r(13))π解析由三視圖知，該幾何體是由四分之一球與半個圓錐組合而成，則該組合體的體積為V＝eq\f(1,4)×eq\f(4,3)π×23＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)π×22×3＝eq\f(14,3)π，表面積為S＝eq\f(1,4)×4π×22＋eq\f(1,2)×π×22＋eq\f(1,2)×4×3＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2π×2×eq\r(32＋22)＝6＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\r(13)))π.【變式探究】(1)求多面體的表面積的基本方法就是逐個計算各個面的面積，然后求和．(2)求簡潔幾何體的體積時，若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則可干脆利用公式求解；求組合體的體積時，若所給定的幾何體是組合體，不能干脆利用公式求解，常用轉換法、分割法、補形法等進行求解；求以三視圖為背景的幾何體的體積時，應先依據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后依據條件求解．【變式探究】中國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若π取3，其體積為12.6立方寸，則圖中的x為()A．1.6B．1.8C．2.0D．2.4答案A解析由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成．由題意得，(5.4－x)×3×1＋πxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝12.6，解得x＝1.6.(2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．11B．9C．7D．5答案D解析由三視圖知，該幾何體如圖，它可分成一個三棱錐E－ABD和一個四棱錐B－CDEF，則V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×2＋eq\f(1,3)×1×2×3＝5.題型三、多面體與球例3、[2024·全國卷Ⅲ]設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)故選B.【答案】B【變式探究】已知正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為eq\r(3)，此時四面體ABCD的外接球的表面積為________．【解析】如圖(1)，在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，則BD＝DC＝1，AD＝eq\r(3).在翻折后得到的幾何體中，如圖(2)，AD⊥BD，AD⊥CD，則AD⊥平面BCD，三棱錐A－BCD的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，球心到截面BCD的距離d＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),2).在△BCD中，BC＝eq\r(3)，則由余弦定理，得cos∠BDC＝eq\f(BD2＋DC2－BC2,2BD·DC)＝eq\f(12＋12－\r(3)2,2×1×1)＝－eq\f(1,2)，所以∠BDC＝120°.設球的半徑為R，△BCD的外接圓半徑為r，則由正弦定理，得2r＝eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(\r(3),sin120°)＝2，解得r＝1，則球的半徑R＝eq\r(d2＋r2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋12)＝eq\f(\r(7),2)，故球的表面積S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),2)))2＝7π.【答案】7π【方法技巧】(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特別點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何學問找尋幾何體中元素間的關系．(2)球心與截面圓心的連線垂直圓面，其距離為d，常利用直角三角形建立量的關系，R2＝d2＋r2.【變式探究】(1)已知正三棱錐S－ABC的頂點均在球O的球面上，過側棱SA及球心O的平面截三棱錐及球面所得截面如圖所示，已知三棱錐的體積為2eq\r(3)，則球O的表面積為()A．16π B．18πC．24π D．32π答案A解析設正三棱錐的底面邊長為a，外接球的半徑為R，因為正三棱錐的底面為正三角形，邊長為a，則AD＝eq\f(\r(3),2)a，則AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(\r(3),3)a，所以eq\f(\r(3),3)a＝R，即a＝eq\r(3)R，又因為三棱錐的體積為2eq\r(3)，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2R＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)R))2×R＝2eq\r(3)，解得R＝2，所以球的表面積為S＝4πR2＝16π.(2)如圖是某三棱錐的三視圖，則此三棱錐內切球的體積為()A.eq\f(25π,4) B.eq\f(25π,16)C.eq\f(1125π,4) D.eq\f(1125π,16)答案D解析把此三棱錐嵌入長、寬、高分別為20,24,16的長方體ABCD－A1B1C1D1中，三棱錐B－KLJ即為所求的三棱錐，其中KC1＝9，C1L＝LB1＝12，B1B＝16，∴eq\f(KC1,C1L)＝eq\f(LB1,B1B)，則△KC1L∽△LB1B，∠KLB＝90°，故可求得三棱錐各面面積分別為S△BKL＝150，S△JKL＝150，S△JKB＝250，S△JLB＝250，故表面積為S表＝800.三棱錐體積V＝eq\f(1,3)S△BKL·JK＝1