熱點12數(shù)列

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

2024年數(shù)列的應(yīng)用；等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式；等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列與

函數(shù)的綜合；數(shù)列、不等式的應(yīng)用

等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n

2023年等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的前n項和公式；數(shù)列與函數(shù)

項和；數(shù)列中的遞推公式、

的綜合應(yīng)用

推理問題、數(shù)列的通項公式

2022年等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和、數(shù)列極限的求法、數(shù)列中的遞推公

等知識；數(shù)列與函數(shù)的綜合

式、推理問題、數(shù)列的通項公式等知識；數(shù)列的應(yīng)用、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；

數(shù)列的函數(shù)特性及應(yīng)用。

熱點題型解讀

遜1健數(shù)列的前1頊和

題型5數(shù)列的求和

壁2等匕嗷列的曲頊和

口6數(shù)列的極限數(shù)列

堂3數(shù)列的應(yīng)用

題型7數(shù)歹監(jiān)函

題型4數(shù)列遞演

題型1等差數(shù)列的前n項和

等差數(shù)列的前〃項和公式

已知量首項、末項與項數(shù)首項、公差與項數(shù)

n(ai+an)n(n-l)

求和公式

S"2Sn—〃對12d

注意點：

⑴公式一反映了等差數(shù)列的性質(zhì)，任意第左項與倒數(shù)第左項的和都等于首末兩項之和.

（2）由公式二知d=0時，Sn=naA-,dWO時，等差數(shù)列的前〃項和S”是關(guān)于〃的沒有常數(shù)項的“二次函

!數(shù)”.

??

（3）公式里的n表示的是所求等差數(shù)列的項數(shù).

S56

L（2024?上海楊浦?一模）設(shè)無窮數(shù)列｛。“｝的前”項和為S“，且對任意的正整數(shù)%%==，則3%-3出1

a

ni=l1=1

的值可能為（）

A.-6B.0C.6D.12

2.（2024?上海）數(shù)列｛4｝,an=n+c,57<0,c的取值范圍為.

3.（2022?上海）已知等差數(shù)列｛%｝的公差不為零，S”為其前〃項和，若工=0，則S"=l,2,100）

中不同的數(shù)值有一個.

4.（2024?上海楊浦?二模）某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有2024根，每根圓鋼的直徑為10厘

米.現(xiàn)將它們堆放在一起.若堆成縱斷面為等腰梯形（如圖每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根），且為考慮安

全隱患，堆放高度不得高于1米，若堆放占用場地面積最小，則最下層圓鋼根數(shù)為.

8…8

??

???

…

5.（2024?上海寶山?二模）某區(qū)域的地形大致如圖1,某部門負(fù)責(zé)該區(qū)域的安全警戒，在哨位。的正上方安

裝探照燈對警戒區(qū)域進(jìn)行探查掃描.假設(shè)1：警戒區(qū)域為空曠的扇環(huán)形平地4444;假設(shè)2：視探照燈為點

M,且距離地面20米；假設(shè)3：探照燈〃照射在地面上的光斑是橢圓.當(dāng)探照燈M以某一俯角從44+1側(cè)

掃描到及8M側(cè)時，記為一次掃描，此過程中照射在地面上的光斑形成一個扇環(huán)1（左=1,2,3,…）.由此，通過

調(diào)整M的俯角，逐次掃描形成扇環(huán)H、邑、S3….第一次掃描時，光斑的長軸為斯，|。閡=30米，此時在

探照燈M處測得點尸的俯角為30。（如圖2）.記=4，經(jīng)測量知1=80米，且｛4｝是公差約為0.1

米的等差數(shù)列，則至少需要經(jīng)過次掃描，才能將整個警戒區(qū)域掃描完畢.

6.（2024?上海,三模）已知兩個等差數(shù)列2,6,10,202和2,8,14,200,將這兩個等差數(shù)列的公

共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為.

7.（2024?上海普陀?一模）設(shè)幾21,m>l,冽、HGN,等差數(shù)列｛%｝的首項q=0,公差dwO,若

11

am=，則m的值為.

Z=1

8.（2023?上海長寧?三模）己知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，若

￡同=￡>,+[=f%+2|=之舊+3|=$>,+4|=2023,則數(shù)列｛a?｝的項數(shù)"的最大值是.

z=lz=li=li=\z=l

2

9.（2024?上海虹口?二模）己知等差數(shù)列｛%｝滿足。=5,a9+l=2a6.

⑴求｛%｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛"｝前〃項和為S,,,且6“=心-吊，若S,“>432,求正整數(shù)冽的最小值.

10.（2023?上海長寧?一模）已知等差數(shù)列｛。“｝的前〃項和為S“，公差"=2.

⑴若$=100,求｛q,｝的通項公式；

（2）從集合｛%,4，%，氏，%，/｝中任取3個元素，記這3個元素能成等差數(shù)列為事件A,求事件A發(fā)生的概率

尸⑷.

題型2等比數(shù)列的前n項和

一—…—一一元…一—…—一―一―一—一—一一

等比數(shù)列的前〃項和公式

已知量首項、公比與項數(shù)首項、公比與末項

公式一公式二

n

求和公式,a\(\—q)(a\—anq

“Lqi，S.=Lq("D

1)〃Qi(q=1)

注意點：

（1）用等比數(shù)列前n項和公式求和，一定要對該數(shù)列的公比q=l和q#l進(jìn)行分類討論.

一IX（1—2"+。

（2）公式一中的n表示的是所求數(shù)列的項數(shù)（例如1+2+22H---\-2"=-------------------

1—2

1—2"X2

（3）公式二中的內(nèi)表示數(shù)列的第一項，即表示數(shù)列的最后一項（例如1+2+22H----H2"=---------）

1—2

工7^024.上德詈溫三餐]礪:意曾項為q「A'而彳一而輻蔽加工而至;演菽萬占京熱羨女「向

（）.

A.%>0B.q>0C.聞4同D.聞<回

2.（2024?上海普陀?二模）設(shè)S,是數(shù)列｛七｝的前"項和（"之l,"eN）,若數(shù)列｛氏｝滿足：對任意的〃22,存

在大于1的整數(shù)〃2,使得（鼠-。,）（臬-。向）<0成立，則稱數(shù)列｛%｝是"G數(shù)列”.現(xiàn)給出如下兩個結(jié)論：①

存在等差數(shù)列｛%｝是"G數(shù)列"；②任意等比數(shù)列｛%｝都不是"G數(shù)列".則（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

3.（2024?上海奉賢,一模）已知數(shù)列｛%｝不是常數(shù)列，前"項和為S”，??>0.若對任意正整數(shù)〃，存在正

整數(shù)〃?，使得則稱｛%｝是"可控數(shù)列現(xiàn)給出兩個命題：

①若各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列｛??｝滿足公差d=3,則｛%｝是"可控數(shù)列"；

②若等比數(shù)列｛??｝是"可控數(shù)列"，則其公比qe（0,1].

則下列判斷正確的是（）

A.①與②均為真命題B.①與②均為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①為真命題，②為假命題

4.（2024?上海長寧?二模）設(shè)數(shù)列｛七｝的前"項和為S,，若存在非零常數(shù)c,使得對任意正整數(shù)力，都有

2庖=%+c，則稱數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)?：①存在等差數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)?；②不存在等比數(shù)列｛與｝具有

性質(zhì)。；對于以上兩個命題，下列判斷正確的是（）

A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假

5.（2024?上海松江?二模）設(shè)S”為數(shù)列｛q,｝的前〃項和，有以下兩個命題：①若｛%｝是公差不為零的等差數(shù)

列且左eN,k>2,則…$21=0是％=0的必要非充分條件；②若｛%｝是等比數(shù)列且上eN,

k>2,貝UE?邑…1=0的充要條件是應(yīng)+&+|=。.那么（）

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

6.（2024?上海?模擬預(yù)測）己知數(shù)列｛%｝不是常數(shù)列，前〃項和為S”，且％>0.若對任意正整數(shù)"，存在

正整數(shù)加，使得則稱｛4｝是"可控數(shù)列現(xiàn)給出兩個命題：①存在等差數(shù)列｛%｝是"可控數(shù)

列"；②存在等比數(shù)列｛%｝是"可控數(shù)列則下列判斷正確的是（）

A.①與②均為真命題B.①與②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

7.（2024?上海奉賢?三模）若數(shù)列｛%｝的前"項和為S,,關(guān)于正整數(shù)〃的方程SjSx=a記為尸，命題。：

對于任意的aeR,存在等差數(shù)列｛%｝使得產(chǎn)有解；命題4:對于任意的aeR,存在等比數(shù)列｛年｝使得尸

有解；則下列說法中正確的是（）

A.命題。為真命題，命題4為假命題；B.命題。為假命題，命題1為真命題；

C.命題。為假命題，命題4為假命題；D.命題。為真命題，命題4為真命題；

8.（2024?上海徐匯?一模）已知數(shù)列｛%｝的前“項和為S”，設(shè)乙=宴（〃為正整數(shù)）.若存在常數(shù)c,使得任

n

意兩兩不相等的正整數(shù)切，左，都有0斤+（_/-左左+信-認(rèn)=。，則稱數(shù)列｛%｝為"輪換均值數(shù)列".現(xiàn)有

下列兩個命題：①任意等差數(shù)列｛%｝都是"輪換均值數(shù)列".②存在公比不為1的等比數(shù)列｛4｝是"輪換均值

數(shù)列J則下列說法正確的是（）

A.①是真命題，②是假命題

B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題

D.①、②都是假命題

9.（2023?上海）已知首項為3,公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前〃項和為S,,,則與=.

10.（2024?上海普陀?二模）設(shè)左，m,〃是正整數(shù)，S”是數(shù)列｛%｝的前〃項和，q=2,Sn=an+l+l,若

機(jī)=￡4區(qū)-1），且，"｛01｝，記/（"?）=。+/2+…+4，貝.

i=l

11.（2024?上海?三模）已知+.

⑴無窮等比數(shù)列｛2｝的首項4=/，公比4=4.求?的值.

Z=1

⑵無窮等差數(shù)列｛c“｝的首項G=%，公差"=求｛q,｝的通項公式和

Z=1

12.（2024?上海寶山?一模）甲乙兩人輪流擲質(zhì)地均勻的骰子，每人每次擲兩顆.

⑴甲擲一次，求兩顆骰子點數(shù)不同的概率；

⑵甲乙各擲一次，求甲的點數(shù)和恰好比乙的點數(shù)和大7的概率；

⑶若第一次擲出點數(shù)之和大于6的人為勝者，同時比賽結(jié)束；否則，由另一人繼續(xù)投擲，直到比賽結(jié)束.例

如，甲乙先后輪流擲出的點數(shù)之和為：5、4、3、7,此時乙為勝者.設(shè)甲先投擲，求甲最終獲勝的概率.

13.（2024?上海普陀?一模）設(shè)”1,n＞l,neN,若正項數(shù)列｛%｝滿足＜。用＜%,則稱數(shù)列｛與｝具有

性質(zhì)"尸⑺".

（1）設(shè)機(jī)21,meN,若數(shù)列10,7,m,4,3具有性質(zhì)"P（2）”,求滿足條件的加的值；

（2）設(shè)數(shù)列｛%｝的通項公式為%+問是否存在，使得數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)"尸（，）"？若存在，求出滿

足條件的/的取值范圍，若不存在，請說明理由；

⑶設(shè)函數(shù)＞=〃x）的表達(dá)式為〃x）=ln（e=l）-lnx,數(shù)列｛七｝的前"項和為S,,且滿足q=g,

。向=/（%），證明：數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)"P（3）”,并比較S,與1-3的大小.

題型3數(shù)列的應(yīng)用

!00@點!

i.給出數(shù)列的方式有多種，以遞推公式的形式給出是很常見的情況，通常是轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求出通

項.常用方法為待定系數(shù)法、倒數(shù)法等方法.

2.（1）解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型.

（2）一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型.

（3）注意問題是求什么（〃，an,Sn）.

注意：

，①解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答.

；②在歸納或求通項公式時，一定要將項數(shù)”計算準(zhǔn)確.

；③在數(shù)列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關(guān)系.

!④在近似計算時，要注意應(yīng)用對數(shù)方法，且要看清題中對近似程度的要求.

二一仃而在薄5毛而左莠藪前■的荀崩為荽戮1箕箭一運前7第赤盍孟蔡藪二赤12百號

|Sk|＞|Sk+lI,則下列各項中可能成立的是（）

A.%,。3，。5，…，。2〃-1，…為等差數(shù)列，%?4,&，…，%，…為等比數(shù)列

aa

B.,%，5','',為等比數(shù)列，2104,。6，…，…為等差數(shù)列

a

C.%,a2,a3,■■■,%）22為等差數(shù)列，20221。2023，…為等比數(shù)列

aa

D.%,a2,a3,■■■,電022為等比數(shù)列，2022,2023''°"，…為等差數(shù)列

2.（2022?上海）已知等比數(shù)列｛凡｝的前“項和為S”，前〃項積為7；,則下列選項判斷正確的是（）

A.若邑。22＞邑。2「則數(shù)列｛%,｝是遞增數(shù)列

B.若%則數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列

C.若數(shù)列｛SJ是遞增數(shù)列，貝1]/22）。2以

D.若數(shù)列區(qū)｝是遞增數(shù)列，貝心2儂》。的

3.（2024?上海普陀?一模）設(shè)。＞0且awl,k、m、力都是正整數(shù)，數(shù)列｛%｝的通項公式為

%=I3（；；加）,，記數(shù)列｛%｝中前上項的最小值為4,由所有4的值所組成的集合記為A,若

集合A中僅有四個元素，則下列說法中錯誤的是（）

A.當(dāng)加=3時，。的取值范圍是（1,6）B.不存在。和加的值，使得應(yīng)任4

C.當(dāng)機(jī)=4時，〃的取值范圍是（3,6）D.存在。和加的值，使得。5?/

4.（2024?上海虹口?一模）設(shè)數(shù)列｛%｝的前四項分別為4、%、/、④，對于以下兩個命題，說法正確的是

().

①存在等比數(shù)列｛%｝以及銳角a,使｛sintz,costz,tana｝=｛%,%,%｝成立.

②對任意等差數(shù)列｛%｝以及銳角a,均不能使｛sina,cosa,tana,cota｝=｛%,%,%，%｝成立.

A.①是真命題，②是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①是假命題，②是假命題

5.（2024?上海）％=2,%=4,%=8,牝=16,任意4，b?,4,b，￡R,滿足

｛at+aj.|Kz<j^4｝=｛bt+bj\Kz<j<4｝,求有序數(shù)列也，b2,b3,"｝有對.

6.（2024?上海）無窮等比數(shù)列｛〃“｝滿足首項q>0,q>\,記/〃=｛x-ye,6Z2][J[?W>%+J｝,

若對任意正整數(shù)〃，集合/〃是閉區(qū)間，則q的取值范圍是.

7.（2024?上海?模擬預(yù)測）記等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，%=6,則品=.

8.（2024?上海閔行?三模）設(shè)，是等比數(shù)列｛%｝的前"項和，若&=4,%+%+&=8,則率=_______.

d6

9.（2024?上海?三模）已知有窮數(shù)列｛6｝的首項為1,末項為12,且任意相鄰兩項之間滿足

則符合上述要求的不同數(shù)列｛%｝的個數(shù)為.

10.（2024?上海?模擬預(yù)測）q=2,出=4,%=8,%=16,任意配與，&，仇eR,滿足

｛al+aj\\<i<j<^｝=[bi+bj\\<i<j<^｝,求有序數(shù)列他,b2,b3也｝有對.

11.（2024?上海?三模）設(shè)關(guān)于x的方程sina=，3>0）的從小到大的第z?個非負(fù)解為x,（i=l,2,3,…），若數(shù)列

｛Z｝是無窮等差數(shù)列，且打“｝在區(qū)間（1,2）中的項恰好比在區(qū)間[2023,2024]中的項少2項，則0的取值集合

為.

題型4數(shù)列遞推式

L（I）利用數(shù)列的通項公式求某項的方法

?

數(shù)列的通項公式給出了第〃項恁與它的位置序號〃之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的"，就可以求出

數(shù)列的相應(yīng)項.

⑵判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法

I

先假定它是數(shù)列中的第〃項，然后列出關(guān)于〃的方程.若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項；若方程無I

解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項.

I

2.遞推公式反映的是相鄰兩項（或〃項）之間的關(guān)系.對于通項公式，已知”的值即可得到相應(yīng)的項，而遞

推公式則要已知首項（或前幾項），才可依次求得其他的項.若序號很大，則應(yīng)考慮數(shù)列是否具有規(guī)律性（周

期性）.

3.由遞推公式求通項公式的常用方法

（1）歸納法：根據(jù)數(shù)列的某項和遞推公式，求出數(shù)列的前幾項，歸納出通項公式.（只適用于選擇題、填空

'題）

（2）迭代法、累加法或累乘法，遞推公式對應(yīng)的有以下幾類：

I①a”+i—00=常數(shù)，或a”+i—是可以求和的），使用累加法或迭代法.

[②斯+尸。。,。為非零常數(shù)），或。是可以求積的），使用累乘法或迭代法.

!③a"+l=〃a“+qg,q為非零常數(shù)），適當(dāng)變形后轉(zhuǎn)化為第②類解決.

4.由S,求通項公式斯的步驟

（1）當(dāng)n=\時，ai=S\.

（2）當(dāng)"》2時，根據(jù)S”寫出ST,化簡°”=S“一SLI.

（3）如果也滿足當(dāng)〃22時，斯=5“一Si的通項公式，那么數(shù)列｛斯｝的通項公式為a”=S,-S”_i；否則數(shù)

列｛詼｝的通項公式要分段表示為

_fSi，n—\,

“產(chǎn)氐一S“T，〃22.

I_________________________________________________________________________________________________

1.（2024?上海嘉定?一模）已知數(shù)列｛%｝滿足%+1=%（1-4）（"=1,2,3,...）,%?0,1）,給出以下四個結(jié)論：

①當(dāng)r=2時，存在有限個可，使得對任意正整數(shù)力，都有。角

②當(dāng)r=2時，存在可和正整數(shù)P,當(dāng)"〉尸時，氏+i一%〈盛

③當(dāng)r=3時，存在多和正整數(shù)尸，當(dāng)〃〉P時，an+i=an

④當(dāng)『=-3時，不存在q,使得對任意正整數(shù)”，且〃23,都有>0

其中正確結(jié)論是（）.

A.①②B.②③C.③④D.②④

2.（2024?上海閔行?一模）已知數(shù)列｛%｝滿足。同=|%+1|+川%-1],其中彳為常數(shù).對于下述兩個命題:

①對于任意的彳>0,任意的％eR,都有｛%｝是嚴(yán)格增數(shù)列；

②對于任意的義<0,存在qeR,使得｛%｝是嚴(yán)格減數(shù)列.

以下說法正確的為（）

A.①真命題；②假命題B.①假命題；②真命題

C.①真命題；②真命題D.①假命題；②假命題

3.（2023?上海徐匯?一模）在數(shù)列｛七｝中，%=2,且a”=ae+lg=貝1]%。。=.

4.（2024?上海虹口?一模）已知項數(shù)為10的數(shù)列｛%｝中任一項均為集合｛劃14工〈10戶€明中的元素，且相

鄰兩項滿足％<〃用+3,"=1,2,…,9.若｛6｝中任意兩項都不相等，則滿足條件的數(shù)列｛與｝有個.

7T257r

5.（2024?上海?三模）已知數(shù)列｛%｝共有5項，且滿足：①Q(mào)[=",a5=——；②q<%</<%<為；

22

(3)cos(??+1)=sin(??),〃=1、2、3、4.則滿足條件的數(shù)列｛%｝共有個

6.(2022?上海)數(shù)列｛Q〃｝對任意〃eN*且磋2,均存在正整數(shù),￡口，1],滿足。〃+[=-q,a｛=\,

%=3.

(1)求處可能值；

(2)命題p：若％,a2,&成等差數(shù)列，則%<30,證明。為真，同時寫出〃逆命題勿并判斷命

題g是真是假，說明理由；

(3)若。2m=3"，(機(jī)eN*)成立，求數(shù)列｛%｝的通項公式.

題型5數(shù)列的求和

iaaoa

1.錯位相減法

(1)一般地，如果數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列，付“｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛%必“｝的前〃項和時，可采用錯位相減

法.

I

(2)用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：

!①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.

a

[②在寫出“SJ與“qs,”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出Sn-

qSn”的表達(dá)式.

2.分組求和的適用題型

1

一般情況下形如Q=Q〃±b〃，其中數(shù)列｛四｝與｛瓦｝一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求數(shù)列｛金｝

的前n項和，分別利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式求和即可.

3.倒序相加法求和適合的題型

一般情況下，數(shù)列項數(shù)較多，且距首末等距離的項之間隱含某種關(guān)系，需要結(jié)合題意主動發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系，

利用推導(dǎo)等差數(shù)列前〃項和公式的方法，倒序相加求和.

4.并項求和法適用的題型

一般地，對于擺動數(shù)列適用于并項求和，此類問題需要對項數(shù)的奇偶性進(jìn)行分類討論，有些擺動型的數(shù)列

也可采用分組求和.若擺動數(shù)列為等比數(shù)列，也可用等比數(shù)列求和公式.

5.裂項相消法求和

；常見的裂項求和的形式：

n(n+k)k\nn+kj

②-------———

(2/7—1)(2?+1)2n+l)

!2"11

③---------------------=---------------------；

(2?+1)(2?+1+1)2?+12,,+1+1

④-----=-[--------1-----1；

?(?+1)(?+2)+("+1)(〃+2)

⑤信grkf；

!⑥ln(l+1)=ln(〃+l)Tn幾；

I〃+1lr11

?(7)---——；

n2(n+2)24[層("+2)2_

|⑧(—1)〃log3[如+1)]=(-1)〃[log3H+log3(?+1)]；

?An

I?(-l)w--------------;—

(2〃-1)(2〃+1)

=(-￡+小

注意點：

(1)裂項前要先研究分子與分母的兩個因式的差的關(guān)系.

(2)若相鄰項無法相消，則采用裂項后分組求和，即正項一組，負(fù)項一組.

(3)檢驗所留的正項與負(fù)項的個數(shù)是否相同.

1.（2022?上海?模擬預(yù)測）設(shè)。公…、G,、…是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上,

且都與直線y=相切，對每一個正整數(shù)"，圓C"都與圓QM相互外切，以乙表示圓G的半徑，已知打｝

為遞增數(shù)列，若及=1,則數(shù)歹(]｛"3｝的前"項和為.

s

2.(2023?上海黃浦?三模)已知正項數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，若2a￡=1+片,也,=皿2詈，數(shù)列抄,｝

的前〃項和為北，則下列結(jié)論正確的是.

①凡<%；②博｝是等差數(shù)列；③S“4eG；④滿足北23的〃的最小正整數(shù)為10.

3.(2024?上海?模擬預(yù)測)已知〃x)=gx2+gx,數(shù)列｛4｝的前"項和為S",點(〃㈤X〃eN*)均在函數(shù)

>=/(x)的圖象上.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若g(x)='，令"=g1盤J(〃eN*),求數(shù)列也｝的前2024項和金2八

4.(2023?上海嘉定?一模)己知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，S?=n2+n,其中〃?N*.

(1)求｛%｝的通項公式；

⑵求數(shù)列，[的前n項和Hn.

aa

[??+iJ

5.(2023?上海靜安?二模)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝滿足%=1,。“=2%7+3(正整數(shù)〃》2)

⑴求證：數(shù)列｛。,+3｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛g｝的前"項和S".

題型6數(shù)列的極限

1.（2024?上海浦東新?三模）有一袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的白球k個，黑球2024-R左eN*j.甲、乙兩

人約定一種游戲規(guī)則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起，上

一局的負(fù)者先摸球.若第一局中甲先摸球，記第"局甲獲勝的概率為必，則關(guān)于以下兩個命題判斷正確的是

（）

①口=4%4%,且P“+i=0-2"）0“+口；

4048—左

②若第七局甲獲勝的概率不小于0.9,則左不小于1992.

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

2.（2024?上海虹口二模）已知等比數(shù)列｛4｝是嚴(yán)格減數(shù)列，其前"項和為S”嗎=2,若％,2出,3%成等差數(shù)

歹U，貝丹吧s"=-

21

3.（2023?上海長寧?三模）在數(shù)列｛%｝中，為=1,且-------=0,設(shè)S,為數(shù)列｛%｝的前〃項和，貝|

anan+\

limSn=

?->+<?-------------------------.

4.（2023?上海浦東新?模擬預(yù)測）已知|44|=1，當(dāng)〃22時，4M是線段441T的中點，點P在所有的線段

44M上，則|4尸|=.

22

5.（2024?上海?三模）已知數(shù)列｛%｝滿足,點心（2"+1,%）在雙曲線上一匕=1上，則!亶R只」=____.

26

7.（2023?上海嘉定?一模）已知平面上有〃+2個點4，7,…,4,4+1，4+2，4（0,0）,4（3,0）,

<方二，王人>=1且|見二|=皆王％]|，記4的坐標(biāo)為（巴也），將4，4M，4+2依次順時針排列,

求（liman,limb\=______

\n—>oon—>oo/

8.（2022?上海）已知在數(shù)列｛氏｝中，a2=l,其前〃項和為S0.

⑴若回｝是等比數(shù)例J,邑=3,求lim%

n—>oo

（2）若但,｝是等差數(shù)列，SL求其公差4的取值范圍.

題型7數(shù)列與函數(shù)綜合

0。?式

i.數(shù)列本身是一類特殊的函數(shù)，高考命題中常將數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、不等式等知識

綜合在一起，在知識的交匯處命題，或與數(shù)陣、點列結(jié)合命題一些創(chuàng)新性問題.同時，以實際問題和古代

數(shù)學(xué)問題為背景的數(shù)列題也時有出現(xiàn)，難度中等或以上.

2.通過此類問題，綜合考查抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1'-2024-±>=-第二岸岸標(biāo)及又登荃W而日另徐有初詔蔡「壬尸薪函即

經(jīng)營能使資金在年初的基礎(chǔ)上增長50%.每年年底，工廠向集團(tuán)上繳用（〃空0）萬元，并將剩余資金全部作

為下一年的初始資金，設(shè)第〃年的初始資金為。“萬元.

（1）判斷｛%-2加｝是否為等比數(shù)列？并說明理由；

⑵若工廠某年的資金不足以上繳集團(tuán)的費用，則工廠在這一年轉(zhuǎn)型升級.設(shè)俏=2600,則該工廠在第幾年

轉(zhuǎn)型升級？

2.（2024?上海青浦?二模）若無窮數(shù)列｛%｝滿足：存在正整數(shù)T,使得%+7=。”對一切正整數(shù)"成立，則稱也J

是周期為7的周期數(shù)列.

⑴若見=sin］吧+1］（其中正整數(shù)加為常數(shù)，"eN,”21）,判斷數(shù)列｛4｝是否為周期數(shù)列，并說明理由;

（2）若.闞=%+sin%（〃eN,“論1）,判斷數(shù)列｛%｝是否為周期數(shù)列，并說明理由；

⑶設(shè)也J是無窮數(shù)列，已知*=6“+sina“（〃eN,〃Zl）.求證："存在為,使得｛%｝是周期數(shù)列"的充要條件

是"血,｝是周期數(shù)列

3.(2024?上海)己知/(x)=log”x(a>0,aH1).

⑴若了=/(無)過(4,2),求〃2x-2)</(x)的解集;

(2)存在x使得〃x+l)、/(◎)、〃x+2)成等差數(shù)列，求。的取值范圍.

4.(2023?上海)已知/(x)=>x,在該函數(shù)圖像「上取一點％,過點(q,〃%))作函數(shù)/(x)的切線，該切

線與y軸的交點記作(0,%)，若的>0，則過點(出，/(%))作函數(shù)■/'CO的切線，該切線與y軸的交點記作

(0,%)，以此類推的，直至4"W0停止，由這些項構(gòu)成數(shù)列｛4｝.

⑴設(shè)(加》2)屬于數(shù)列也｝,證明：am=lnam_x-1；

(2)試比較a,“與a,”-—2的大小關(guān)系；

(3)若正整數(shù)上》3,是否存在左使得可、%、a3..........4依次成等差數(shù)列？若存在，求出發(fā)的所有取值;

若不存在，請說明理由.

5.(2023?上海嘉定?一模)對于函數(shù)夕=/(%)，把/'(x)稱為函數(shù)y=的一階導(dǎo)，令/'(X)=g(x),則將g(x)

稱為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)，以此類推…得到n階導(dǎo)為了方便書寫，我們將n階導(dǎo)用"'(初“表示.

(1)已知函數(shù)〃x)=e'，+“l(fā)nx-x2,寫出其二階導(dǎo)函數(shù)并討論其二階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性.

(2)現(xiàn)定義一個新的數(shù)列：在y=/(x)取q=/(1)作為數(shù)列的首項，并將"'(1+〃)]“,〃作為數(shù)列的第〃+1項.

我們稱該數(shù)列為V=/(X)的""階導(dǎo)數(shù)列"

①若函數(shù)ga)=x"數(shù)列｛%｝是y=g(x)的"〃階導(dǎo)數(shù)列"，取T”為｛%｝的前〃項積，求數(shù)列

的通項公式.

②在我們高中階段學(xué)過的初等函數(shù)中，是否有函數(shù)使得該函數(shù)的。階導(dǎo)數(shù)列"為嚴(yán)格減數(shù)列且為無窮數(shù)列,

請寫出它并證明此結(jié)論.(寫出一個即可)

6.(2024?上海閔行,二模)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)了=/(x)的表達(dá)式為/(x)=sinx-xcosx,其所有的

零點按從小到大的順序組成數(shù)列｛%｝(?>l,?eN).

(1)求函數(shù)>=/(x)在區(qū)間(0,無)上的值域；

⑵求證：函數(shù)夕=/(x)在區(qū)間("兀，("+1)兀)()上有且僅有一個零點；

卬.、七(〃+1)無

(3)求證：兀<尤"+1-xn<-----.

7.(2023?上海金山?一模)若函數(shù)>=/(》)是其定義域內(nèi)的區(qū)間/上的嚴(yán)格增函數(shù)，而〉=足)是/上的嚴(yán)

X

格減函數(shù)，則稱y=/(x)是/上的"弱增函數(shù)".若數(shù)列｛%｝是嚴(yán)格增數(shù)列，而｛半｝是嚴(yán)格減數(shù)列，則稱｛%｝

是"弱增數(shù)列

⑴判斷函數(shù)了=13是否為(e,+00)上的“弱增函數(shù)”，并說明理由(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))；

⑵已知函數(shù)y=〃x)與函數(shù)》=_2尤2一4x-8的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，若y=〃x)是［加,〃］上的"弱增函數(shù)",

求”-加的最大值；

⑶已知等差數(shù)列｛2｝是首項為4的“弱增數(shù)列"，且公差d是偶數(shù).記｛%｝的前"項和為S”，設(shè)北=若'("

是正整數(shù)，常數(shù)幾2-2),若存在正整數(shù)后和加，使得后>機(jī)>1且［=7；,求4所有可能的值.

8.(2024?上海徐匯?二模)己知各項均不為0的數(shù)列｛%｝滿足%+2%=%+"“+匕M(〃是正整數(shù))，

〃1

囚=%=1，定義函數(shù)》=4(無)=1+￡*/120),e是自然對數(shù)的底數(shù).

k=ik!

(1)求證：數(shù)列|誓］是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)記函數(shù)V=g.(x),其中g(shù)"(x)=1-b"(x).

(i)證明：對任意x20,0<g3(x)</4(x)-y；(x)；

,〃一1

(ii)數(shù)列｛，｝滿足2=——，設(shè)方為數(shù)列低｝的前"項和.數(shù)列憶,｝的極限的嚴(yán)格定義為：若存在一個常數(shù)

an

T,使得對任意給定的正實數(shù)式(不論它多么小)，總存在正整數(shù)加滿足：當(dāng)“2a時，恒有n-7|</成立,

則稱T為數(shù)列區(qū)｝的極限試根據(jù)以上定義求出數(shù)列區(qū)｝的極限7.

限時提升練

(建議用時：60分鐘)

一、填空題

1.(2024?上海?三模)數(shù)列｛與｝滿足。用=2%("為正整數(shù))，且出與的的等差中項是5,則首項/=

2.(2024?上海?三模)若數(shù)列｛%｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，記其前〃項和為S“，貝|邑=.

3.（2024?上海?模擬預(yù)測）數(shù)列氏=1&（〃eN*）的最小項的值為.

4.（2024?上海奉賢?三模）若數(shù)列｛%｝滿足對任意整數(shù)"有=2/-"成立，則在該數(shù)列中小于100的項

i=i

一共有項.

8

5.（2024?上海浦東新?三模）已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，%=8,則W>,=.

Z=1

6.（2024?上海靜安?一模）設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，4=-6,%=0,則該數(shù)列的前8項的和S.的值為.

7.（2024?上海嘉定?一模）已知數(shù)列｛%｝的通項公式為。"=-"+C,其中c為常數(shù)，設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項和為

S”,若$6>$5且$6>邑，則。的取值范圍為.

31

8.（2024?上海徐匯?二模）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若邑=5%-5（"是正整數(shù)），則牝=.

9.（2024?上海?三模）無窮等比數(shù)列｛%｝滿足：%+&=1,%+%=；，則｛%｝的各項和為.

10.（2024?上海普陀?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛與｝的通項公式為%="+，,S"為數(shù)列｛%｝的前"項和，若

$2必<0，則實數(shù)，的取值范圍為.

11.（2024?上海?模擬預(yù)測）已知無窮數(shù)列｛%｝的前"項和為S”，不等式的%<0對任意不等于2的正整數(shù)力

恒成立，且6s“=（見+1）（%+2）,那么這樣的數(shù)列有個.

12.（2024?上海?模擬預(yù)測）無窮等比數(shù)列｛%｝滿足首項q>0國>1,記/“=k-小,yea”+j｝,

若對任意正整數(shù)〃集合是閉區(qū)間，則4的取值范圍是.

二、單選題

13.（2023?上海浦東新?三模）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前”項和為S,，設(shè)甲：ai<a2<a｝,乙：｛$“｝是嚴(yán)格增數(shù)列，

則甲是乙的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.（2023?上海楊浦?一模）等比數(shù)列｛%｝的首項％=」，公比為4,數(shù)列也｝滿足a=log。.5%（"是正整

64

數(shù)），若當(dāng)且僅當(dāng)〃=4時，物,｝的前〃項和紇取得最大值，則4取值范圍是（）

A.（3,273）B.（3,4）C.（2后,4）D.（2后,3&）

15.（2024?上海寶山?二模