上師大附中2023學年第二學期期中考試

高二年級數學學科

（考試時間：120分鐘滿分：150分）

一、填空題（第1?6題，每小題4分，第7?12題，每小題5分，共54分）

1.某讀書會有5名成員，假期他們每個人閱讀的本數分別如下：3,5,4,2,1,則這組數據的60%分位數

為.

【答案】3.5

【解析】

【分析】這組數從小到大排列順序為：1,2,3,4,5,根據5x60%=3,結合百分數的定義，即可求解.

【詳解】由題意，這組數從小到大排列順序為：1,2,3,4,5,且5x60%=3,

3+4

可得這組數據的60%分位數為從小到大排列的第3個數和第4個數的平均數——=3.5.

2

故答案為:3.5.

2.已知一個圓錐的側面積是底面面積的2倍，則該圓錐的母線與其底面所成的角的大小為.

【答案】|

【解析】

【分析】設圓錐的母線長為/,底面半徑為小圓錐的母線與其底面所成的角為。，根據面積關系可得

1

—=9即可得到答案；

2

【詳解】設圓錐的母線長為/,底面半徑為小圓錐的母線與其底面所成的角為夕，

…1-7c?丁1

則一27r力=2?兀?儼n—=—，

2I2

cose=Lne=60,

2

故答案為：y

3.已知C3=C：+C：（〃eN*），則“=.

【答案】8

【解析】

【分析】根據組合數性質有C：+C：=C：M,再由C3=c3即可得解.

【詳解】由組合數性質知，C：+C：=C",因為C"=C：+C：,所以c3=c3，

所以4+5=〃+1,得〃=8.

故答案為：8.

4.如圖8只小貓圍繞在2x2的單位正方形的交叉點上，隨機選取兩只，它們之間距離為1的概率是

【答案】I2

【解析】

【分析】先求出從8只小貓中隨機選取兩只和兩只之間距離為1方法總數，再由古典概率可得出答案.

8x7

【詳解】從8只小貓中隨機選取兩只，共有C：=;一=28種方法，

它們之間距離為1的情況有：（A5）,（AH）,（3C）,（CE＞）,（DE）,（M）,（FG）,（G〃），

82

共8種，所以從8只小貓中隨機選取兩只，它們之間距離為1的概率是：—

287

2

故答案為：—■

5.在空間直角坐標系中，已知點A（2,3,1）,5（—1,1,—1）,C（O,-M）,0（1/,％），若ABCD四點共面,

則戶.

【答案】1

【解析】

【分析】利用平面向量基本定理，列出關系式，利用向量的坐標運算得出關系式，即可求解

【詳解】VA（2,3,1）,5（-1,1,-1）,C（0,-l,l）,D（l,l,x）,

.1.AB=(-3,-2,-2),AC=(-2,^,0),AD=(-l,-2,x-l),

又4瓦C,D四點共面,

由平面向量基本定理可知存在實數九〃使通=4通+〃正成立，

-1,-2,x-1)=4(-3,-2,-2)+〃(-2,—4,0),

-1=-34-2〃X=1

<—2=—2/1—4〃,解得<2=0,

x-l=-221

故答案為：1

6.《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直

角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵A3C-4與￡中，M,N分別是4G，8瓦的中點，G是的中點，

若而=%通+y可+2/，則x+y+z=.

【解析】

—?1—.—.

【分析】由G是肱V的中點，可得AG=5(AN+A〃)，再由向量的線性運算可得

/=工荏+9福+工衣,即可得答案.

244

【詳解】解：連接如圖所示:

因為G是腦V的中點，M,N分別是4G，8用的中點,

所以(麗+疝j

2

=1(AB+W+A4f+4M)

=；(麗+；西+麗+!胡)

=-(AB+-AA^+AA^+^AC)

1—.3—?1—?

=-(AB+-A41+-AC)

1—.3—?1—?

=-AB+-AAi+-AC,

又因為AGuAAB+yA^+zAC,

131

所以x=_,y=_,z=一，

244

3

所以x+y+z=Q.

3

故答案為：一

2

7.二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩度克?牛頓于1664年提出；據考證，我國至遲在11世紀，北

宋賈憲就已經知道了二項式系數法則.在的二項式展開式中，X的系數為.

【答案】二

4

【解析】

【分析】先求得(小的二項式展開式的通項公式為令10-3廠=1,求得

廠=3,從而可求得答案.

【詳解】在口二(]的二項式展開式中，通項公式為4+]=c；]—g].無|°』，

令10-3r=1,解得r=3,

所以x的系數為=

故答案為：-工.

4

8.已知空間向量￡=(1,0,1),^=(1,1,1),則向量￡在向量石上的投影是.(用坐標表示)

【答八案】(三12母1\

【解析】

【分析】根據給定條件，利用投影向量的定義，結合向量坐標運算求解作答.

【詳解】空間向量4=(1,0,1)，彼=(1,1,1)，

所以a/=Ixl+Oxl+lxl=2,忖=Jl~+1~+12=6,

—?1o,222)

所以向量苕在向量B上的投影向量是『5=—(U,i)=

\b\-3133司

所以向量M在向量B上的投影向量的坐標是

故答案為：

9.在《紅樓夢》中有一道名為“茄蜜”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉

六種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需加入精心熬制的

雞湯，則烹飪“茄餐”時不同的下鍋順序共有種.

【答案】12

【解析】

【分析】根據題意，將香菌、新筍、豆腐干看成一個元素，共有4個元素排順序，由特殊元素優先和分步計

數原理計算可求解.

【詳解】將香菌、新筍、豆腐干看成一個元素，與其他3種原料一起共有4個元素排順序，

茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，有C；=6種順序，

剩下兩個元素放入最后2個位置，有A；=2種順序，

則有C；xA；=6x2=12種下鍋順序.

故答案為：12.

10.連接空間幾何體上的某兩點的直線，如果把該幾何體繞此直線旋轉角a(0°<ot<36O°),使該幾何體

與自身重合，那么稱這條直線為該幾何體的旋轉軸.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂

點A,B,C,。在同一平面內，則這個八面體的旋轉軸共有條.

【答案】13

【解析】

【分析】根據八面體的結構特征：所有棱長相等，根據旋轉軸的定義即可判斷旋轉軸的條數.

【詳解】由題設，八面體所有棱長都相等，

所有以AC,BREb為軸旋轉90。可以與自身重合，共3條；

過正方形對邊中點的直線為旋轉軸，旋轉180°可以與自身重合，共有6條軸；

過八面體相對面中心為旋轉軸，旋轉120。可以與自身重合，共有4條軸.

故答案為：13

11.設樣本空間。={1,2,3,4,5,6,7,8}含有等可能的樣本點，且事件A={1,2,3,4},事件3=

{1,2,3,5},事件。={1,加,”,8},使得P（ABC）=P（A）P（6）P（C）,且滿足A,3,C兩兩不獨立，則

m+n=.

【答案】13

【解析】

【分析】根據古典概型概率計算及相互獨立性推測即可.

【詳解】由題意，P（A）=P（B）=P（C）=-,所以P（A3C）=P（A）P（3）P（C）=L

28

所以1是A,5c共同的唯一的樣本點，又A,5c兩兩不獨立，即P（BC）",

「（AC）"，

可見私〃不可以為4或5,所以也〃為6或7,即加+〃=13.

故答案為：13

12.已知正四面體ABCD的棱長為2,動點P滿足入戶.國=0，且而.定=0，則點P的軌跡長為

【答案】也兀

【解析】

【分析】由瓦河《萬=0，故點P在過點A且垂直于CD的平面上，由而?正=0，故點P在以為直

徑的球面上，即點P的軌跡為過點A且垂直于CD的平面截以為直徑的球面所得的圓，計算出球的半

徑，球心到平面的距離，即可得該圓的半徑，即可得該圓周長即點P的軌跡長.

【詳解】由衣.①=0，故點P在過點A且垂直于CD的平面上，

由麗?卮=0,故點P在以為直徑的球面上，

即點尸的軌跡為過點A且垂直于CD的平面截以為直徑的球面所得的圓，

由正四面體性質可得取CD中點E,連接AE,BE,

則有又A3、AEu平面ABE，AB^\AE=A,

故CD,平面ABE,取中點產，助中點G,連接尸G,

則FG//CD,由CD,平面ME,故FGL平面ABE,

FG=-CE=-CD=-x2=-,BF=-BC=1,

24422

產為以為直徑的球的球心，則該球半徑為1,

則點p的軌跡所形成的圓的半徑為廠=JF一二號,

則其軌跡長為2萬廠=6".

故答案為：布兀.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在由題意中Q.函=0,得到點尸在過點A且垂直于CD的平面上，

由而?4=0,得到點尸在以為直徑的球面上，即可得點尸的軌跡為過點A且垂直于CD的平面截以

為直徑的球面所得的圓，構造出對應球及平面，計算出球的半徑，球心到平面的距離，即可得該圓的

半徑，即可得點P的軌跡長.

二、選擇題（第13?14題，每小題4分，第15?16題，每小題5分，共18分）

13.下表是“膜法世家”形象代言人選舉得票情況統計，其中周柯宇的票數被污損了無法看清，那么應該當選

的人是（）

姓張元林正米林合

周柯宇

名英英卡墨計

西

250200380*V(DV(D3201550

數

A.米卡B.周柯宇C.無法確定D.合計

【答案】B

【解析】

【分析】由表格數據求出周柯宇的票數，由此確定當選的人.

【詳解】由已知周柯宇的票數為1550-250-200-380-320=400，

所以應該當選的人是周柯宇.

故選：B.

14.在高考數學試題中有12道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有1個選項是正確的，則隨機選擇

其中1個選項正確的概率是工，某學生家長說：“要是都不會做，每題都隨機選擇其中1個選項，則一定

4

有3道題答對.”這句話（）

A.正確B.錯誤C.不一定D.無法解釋

【答案】B

【解析】

【分析】每題都選擇第一個選擇支，則3個題中選擇結果正確的題數的可能性分別為0,1,2,3.

【詳解】把解答一道選擇題作為一次試驗，選擇正確選項的概率是說明答對的可能性大小是工.做12道

44

選擇題，即進行了12次試驗，每次試驗的結果都是隨機的，那么答對3道題的可能性較大；但是并不一定

答對3道題，可能都選錯，也可能有1,2,3,4,甚至12個題都選擇正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了對概率的理解，屬于基礎題.

15.如圖，在下列各正方體中，/為正方體的一條體對角線，M、N分別為所在棱的中點，則滿足

的是（）

【解析】

【分析】根據給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明判斷即得.

【詳解】在正方體中，建立空間直角坐標系，令棱長為2,體對角線/的端點為民丹，

對于A,B(2,2,0),D,(0,0,2),M(l,2,2),2V(2,1,0),直線/的方向向量a=(2,2,—2),

MN=(1,—1,—2),顯然M/V,a=4H0，直線A/N與/不垂直，A不；

對于B,由選項A知，直線/的方向向量2=(2,2,—2),"(O,l,2),N(2,O,l),

則麗=(2,-1,—1),顯然做.￡=4/0,直線與/不垂直，B不是;

對于C,由選項A知，直線/的方向向量2=(2,2,—2),M(0,2,l),N(1,0,0),

則麗=(1,—2,—1),顯然麗.￡=(),MNLl,C是;

對于D,由選項A知,直線/的方向向量3=(2,2,—2),M(2,0,l),N(l,2,0),

則麗=（—顯然而7.￡=4HO，直線肱V與/不垂直，D不是.

故選：C

16.已知A,8為同一次試驗中的兩個隨機事件,且P（A）＞0,P（B）＞0,命題甲：若P（B|A）+P（B）=1,

則事件A與8相互獨立；命題乙："A與B相互獨立”是“P（A|B）=P（A|B）”的充分不必要條件；則命題

（）

A.甲乙都是真命題B.甲是真命題，乙是假命題

C.甲是假命題，乙是真命題D.甲乙都是假命題

【答案】B

【解析】

【分析】結合對立事件概率公式和條件概率公式由P（3|A）+P伍）=1可推出P（AB）=P⑷P（5）,由

此判斷命題甲，結合獨立事件概率公式，條件概率公式判斷命題乙的條件與結論的關系，判斷命題乙，由此

可得結論.

【詳解】因為P（叫A）+P（豆）=1,

所以P（叫A）=l—P伍）=P（3）,

所以^=P⑶’故P（.）=P（A）P（6），

所以事件A與B相互獨立，命題甲正確，

若4與B相互獨立，則可與8相互獨立，可與方相互獨立,

尸（血）一尸（可尸仍）

4"410-P（B）-P（B）

所以忸）=P（國可，

,―、/一―、P（AB）P（AB）

若P司3）=P司磯，所以焉

V17V17P（B）P⑻

所以P（A5）P（B）=P（AB）P（B）,

所以P（A5）（1-P（B））=P（AB）P（B）

所以P（M）=P（荏）P⑻+P（柱）P（B）,

所以p（M）=［尸（4^）+P（M）］P（B）,

P（AB）=P（A）P（B）,故事件,與事件8相互獨立，

所以事件A與事件B相互獨立，

所以“A與B相互獨立”是“P（A|B）=P（Z向”的充分必要條件,

所以命題乙為假命題，

故選：B

三、解答題（共5題，滿分78分）

17.先后拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記向上的點數分別為了,?將事件“log（x+i）y為整數”記為A,將事

件"％+丁為偶數”記為8,將事件“x+2y為奇數”記為C；

（1）試判斷事件2與事件C是否相互獨立？并說明理由；

⑵求P（川C）的值.

【答案】（1）事件8與事件C相互獨立，理由見解析;

7

⑵尸（加0=夜

【解析】

【分析】（1）列舉所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互獨立事件的定義判斷事件8與事件C是

否相互獨立;

（2）結合條件概率的概率公式計算可得.

【小問1詳解】

先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，得到向上的點數分別為無，兀

則基本事件總數為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1)，(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3)，(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36種情況,

滿足事件B的有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),

(3,1),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,4),(4,6),

(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18個，

故P⑻=身=匕

滿足事件C的有(LD,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18個，

故P(C)=U

滿足事件的有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),

(5,1),(5,3),(5,5),共9個,

o1

所以p(3c)=W=W=p(3)p(c),

所以事件B與事件C相互獨立,

【小問2詳解】

滿足事件AC的有(LD，(1,2),(1,4),(3,1),(3,4),(5,6),(5,1),共7種,

7

所以P(AC)=

36

7

7

-316

-18

2

18.己知甲組數據為,%，…，。卜的莖葉圖如圖所示，其中數據的整數部分為莖，數據的小數部分(僅一

位小數)為葉，例如第一數據為53

53

65

746

8111224

958

105

110

138

(1)為甲組數據的平均值1、方差s；、中位數跖

(2)乙組數據為2，45,且甲、乙兩組數據合并后的30個數據的平均值X=9.2,方差

S2=11.23,求乙組數據的平均值石和方差S；,寫出必要的計算過程和步驟.

【答案】⑴1=8.7；=3.824；M=8.2

(2)兀=9.7,s；=18.136

【解析】

【分析】(1)根據莖葉圖求平均值(，再由方差與均值的關系求s：,將莖葉圖中的數據從小到大排列確

定中位數M.

(2)由甲乙平均數及(1)的結果列方程求乙組數據的平均值兀，再由方差與均值的關系列方程組求出

/=1

￡討,進而求方差

15

【小問1詳解】

甲組數據為5.3,6.5,7.4,7.6,8.1,8.1,8.1,8.2,8.2,8.4,9.5,9.8,10.5,11.0,13.8,

則甲組數據的中位數"=8.2,

甲組數據的平均值

甲組數據的方差

父小5.3一8……+(7…2+-.T.7)2X3+(8…x2

+(8.4-8.7)2+(9.5-8.7)2+(9.8-8.7)2+(10.5-8.7)2+(11.0-8.7)2+(13.8-8.7)2]=3.824.

【小問2詳解】

由巨斗=9.2,可得兀二仇7

1i=l廠T

—Zizf-8.72=3.824Z=1192.71

1515

解得＜15￡

1(i=li=l\

—pf+pf-9.22=11.23=1683.39

」15

1151

則S；=恁￡區一9.72=—X1683.39-9.7?2=18.136.

I3i=l15

19.某企業為了了解本企業員工每天慢走與慢跑的情況，對每天慢走時間在25分鐘到55分鐘之間的員工,

隨機抽取“人進行調查，將既參加慢走又參加慢跑的人稱為族”，否則稱為“非8族”，得如下的統計表以

及每天慢走時間在25分鐘到55分鐘之間的員工人數的頻率分布直方圖（部分）：

組人

分組本組中“H族”的比例

數數

1[25,30)2000.6

2[30,35)3000.65

3[35,40)2000.5

4[40,45)1500.4

5[45,50)a0.3

6[50,55)500.3

（1）試補全頻率分布直方圖，并求a與〃的值：

（2）從每天慢走時間在［40,50）（分鐘）內的“H族”中按時間采用分層抽樣法抽取6人參加企業舉辦的健

身沙龍體驗活動，再從這6人中選2人作健身技巧與減脂秘籍的發言，求這2人每天慢走的時間恰好1人

在［40,45）分鐘內，另一個人在［45,50）分鐘內的概率.

【答案】（1）頻率分布直方圖見解析；a=100,ra=1000.

⑵—

15

【解析】

【分析】（1）利用所有組的頻率之和等于1,算出第二組的頻率，得到第二組矩形的高，補全頻率分布直方

圖，由第一組的頻率和頻數計算樣本容量，再計算第五組的頻數.

⑵按分層抽樣的法則在兩個組中抽取對應人數，從這6人中選2人，列出樣本空間，看其中恰好1人在

［40,45）分鐘內，另一個人在［45,50）分鐘內占多少種基本事件，計算相應概率。

【小問1詳解】

第二組的頻率為1—（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）x5=0.3,

03

所以第二組小矩形高為彳=0.06.補全后的頻率直方圖如下：

頻

A修

戶

c組JL

oilU

。

O廠

「:-

。

O及

「

二-

，

。

O引

「-

「

。O

：-

O；

。4h

才

O二

。

二-

O二

。2I1-

O-

。I-~-

O25301540455055時間/分鐘

第一組的頻率為0.04x5=0.2,所以〃=—=1000.

0.2

第五組的頻率為0.02x5=0.1,所以4=1000x0.1=100.

【小問2詳解】

因為［40,45）分鐘的“H族”人數為150x0.4=60,

［45,50）分鐘的“H族”人數為100x0.3=30,二者比例為60:30=2:1,

所以按時間采用分層抽樣法抽取6人，［40,45）分鐘內抽取4人，［45,50）分鐘內抽取2人.

設這2人每天慢走的時間恰好1人在［40,45）分鐘，另一個人在［45,50）分鐘為事件Q,

在［40,45）分鐘內抽取4人記為A,B,C,［45,50）分鐘內抽取2人記為“，b,

則有AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,

共15種不同的抽取方法，事件。有AmAb,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,共8種，

Q

所以P（Q）=A，即選出發言的2人每天慢走的時間恰好1人在［40,45）分鐘內，

Q

另一個人在［45,50）分鐘內的概率為1.

20.如圖所示的空間直角坐標系4孫z中，所有坐標均為整數的點稱為整點；已知正方體ABC。-44cl2

的棱長為a,點P滿足萬=4①+〃%,其中//e［0,l］;

（1）若a=l,且直線男尸與平面所成角大小為士TT，求點尸的軌跡長度;

4

（2）若。=1,4=1,求正方體經過點4,RC的截面面積S的取值范圍；

（3）若a=8,求三棱錐4-A3。內（不包括表面邊界）整點的個數.

ir

【答案】（1）

2

(3)35.

【分析】（1）根據線面角的定義確定直線4P與平面CGQD所成角的平面角，由此確定點月的軌跡及其

長度,

(2)作出正方體中經過點4,尸，。的截面，利用向量知識求得截面面積的表達式，求其范圍;

(3)結合圖形分類確定A-ABD內的整點個數.

【小問1詳解】

連接C7,

因為BG±平面CDD?,qp為B［P在平面CD2cl上的射影,

所以直線用尸與平面CGA。所成角的平面角為N用PG，

71

由已知NB]PG=]?

則GP=4G=L故尸點軌跡為以G為圓心，1為半徑心圓在正方形CG3內的部分，

|TT

所以點P的軌跡長度為一X271X1=一,

2

【小問2詳解】

在正方體ABC。-A4G。］中，以A為坐標原點，以AS.AAAA為x，%z軸建立空間直角坐標系,

因為a=1,

所以C(1,LO),0(0,LO),G(1,1,1)，A(0,0,1),

因為CP=/CD+〃CG,4=1,

所以互=9+〃西，即加="網\

所以p點在。2上運動，則P(O』,〃)，

過點A作AE〃PC,交BB］與點E,連接CE,

因為平面BCGBJ/平面ADD^,

平面BCC]B[口平面\ECP=EC,平面AD￡)iAc平面A^ECP=\P,

所以EC〃AP,又AE〃PC,

所以在正方體中經過點4,產,。的截面為平行四邊形A「CE(如圖)，

因為故當〃取0或1時，d取到最大值不m,

此時截面面積的最大值為2S，A”=2X；X百Xg=0，

當〃=!時，d取到最小值玄，此時截面面積的最小值為2SA”=2xLxgx^=^,

22222

即當4=1時，在正方體中經過點4,的截面面積的取值范圍為］手,3,

【小問3詳解】

如圖：過z軸上的點4(0,0,7),4(0,0,6),4(0,0,5),4(0,0,4),A(°，°，3)，

4(0,0,2),4(0,0,1),作三棱錐A—A3。平行于底面4犯的截面，

則三棱錐4-A3。內(不包括表面邊界)整點一定位于各截面內,

截面AE2F2內的整點個數為0,

截面4E3入內整點個數為0,

截面A4E4工內的整點有(1/,5),個數為1,

截面上為區內的整點有（1/，4）,（L2,4）,（2,1,4）,個數為3,

截面4月線內的整點有（1」，3）,（123）,（1,3,3）,（2,1,3）,（2,2,3）,（3,1,3）,個數為6,

截面4石7層內的整點有（1,1,2）,（1,2,2）,（1,3,2）,（1,4,2）,（2,1,2）,（2,2,2）,（2,3,2）,,

（3,1,2）,（3,2,2）,（4,1,2）,個數為10,

截面44區內的整點有（LU），。，2,1）,（L3,1）,（1,4,1）,（1,5,1）,（2,1,1）,（2,2,1）,

（2,3,1）,（2,4,1）,（3,1,1）,（3,2,1）,（3,3,1）,（4,1,1）,（4,2,1）,（5,1,1）,個數為15,

所以三棱錐4-內（不包括表面邊界）整點個數為35,

21.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為

世界三大數學家，為了紀念他，人們把函數y=[%]（xeR）稱為高斯函數，其中[可表示不超過x的最大

整數.已知：力（x）=（x+月），（nGN>w>l）

（1）若力（-1）=+百2，an,求應+”的值;

（2）若力⑴=%+6或，c*,<eZ,求證：4-3碌=4"；

20242024%+2024左

(3)設S=，,求S除以2023的余數.

k=\(-1)-2023

【答案】（1）12

（2）見解析（3）1011

【解析】

【分析】（1）將（-1+百『展開，由題意可得%+包=28—166,即可求出4+d的值；

（2）計算卜2"-代QR+島2），結合力（力=（九+指了即可證明.

（3）先求得每項除以2023的余數，求每項除以2023的余數時，分奇偶項進行討論，余數求和后再求除以

2023的余數即可.

【小問1詳解】

因為力（T）=a.+gd,力（x）=（x+若

4

所以當〃=4時，f4（-1）=（-1+73）=a4+y/3b4,

而（T+可=11+可（-1+可=（4—2@2=28-165

因為凡，bneZ,%+同=28—16月，

所以。4=28也=一16,。4+d=2