濟南市2024年高一學情檢測

數學試題

本試卷共6頁，滿分150分.考試時間為120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，用0.5mm黑色簽字筆將答案

寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.據教育部統計，2024屆全國普通高校畢業生規模達1179萬人，將數字11790000用科學記數法表示為

（）

A.1.179X107B.1.179xl08

C.11.79X106D.0.1179xl08

【答案】A

【解析】

【分析】由科學記數法要求可得.

【詳解】11790000=1.179x107,

故選：A.

2.下列運算正確的是（）

A.3a2-a=2aB.(a+6)2=a2+b2

C.03b°+/=aD.(a2b)2=a4b2

【答案】D

【解析】

【分析】舉例說明判斷ABC；利用累的運算法則判斷D.

【詳解】對于A,3a2—a=a（3—a）,A錯誤；

對于B,（^a+by=a2+2ab+b2,B錯誤；

對于C,a3b2=而，C錯誤;

對于D,db?=d”=a%2,D正確.

故選：D

3.小剛同學一周的跳繩訓練成績（單位:次/分鐘）如下：156,158,158,160,162,165,169.這組數據

的眾數和中位數分別是（）

A.160,162B.158,162

C.160,160D.158,160

【答案】D

【解析】

【分析】根據眾數和中位數的定義易得.

【詳解】因在156,158,158,160,162,165,169這組數據中，158出現了2次，次數最多，故眾數

158；

根據中位數的定義知，按照從小到大排列的七個數據中，第四個數160為這組數據的中位數.

故選：D.

4.某幾何體是由四個大小相同的小立方塊搭成，其俯視圖如圖所示，圖中數字表示該位置上的小立方塊個

數，則這個幾何體的主視圖是（）

1

21

C.----------D.----------

【答案】A

【解析】

【分析】利用三視圖的相關概念分析即可.

【詳解】由題意可知從前方看第一排有3個正方體，且從左到右依次有2個、1個，第二排有1個正方體

在左側，故A正確.

故選：A

5.已知點4（—3,%）,8（—2,3）,C（-l,y2）,。（2,%）都在反比例函數V=七（左00）的圖象上，則

%,>2，>3的大小關系為（）

A.y2m3B.%<%<%

c%<%<%D.%<%<%

【答案】B

【解析】

【分析】首先代入點3的坐標，得到函數的解析式，再代入其他點的坐標，即可判斷.

【詳解】將點5（—2,3）代入反比例函數3=方，得左=—6,

即反比例函數的解析式是y=—,

x

將點A,C,D的坐標代入函數解析式，得乂=2,%=6，%=-3,

即為<%<%.

故選：B

6.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AO=8,尸是A。上不與A和。重合的一個動點，過點尸分別作

AC和的垂線，垂足為E,F,則PE+尸產的值為（）

122428

A.—B.—C.5D.——

555

【答案】B

【解析】

【分析】連接0P，利用勾股定理列式求出3。，再根據矩形的對角線相等且相互平分求出OA,OD,

然后根據SAAOD=SAAOP+S^DOP列式求解即可.

如圖，連接0P,

???四邊形ABCD為矩形，AB=6,AD=8,

BD=y/AB'+AD2=A/62+82=10，

：.OA=OD=-xlO=5,

2

??q-v+v

?*AOD—LAO尸丁uWP‘

:.-xADx-AB=]-xAOPE+-xODPF,

2222

.?.-x-x6x8=-x5-PE+-x5-PF,

2222

24

解得PE+PE=M，

故選：B.

7.如圖，在口ABC。中，AB=2,AD=3,ZABC=60°;在AB和AD上分別截取AE（A￡<AB）,

小，使分別以￡/為圓心，以大于工ER的長為半徑作弧，兩弧在/DW內交于點G,作

2

射線AG交5C于點”，連接DH,分別以。，〃為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點

2

M和N,作直線MV交于點K,則CK的長為（）

【答案】C

【解析】

【分析】利用角平分線、垂直平分線的作法與性質確定相應線段長度，利用全等三角形、相似三角形的判定

與性質計算即可.

如圖所示，設直線分別交直線3cA￡>,〃￡>于P,Q,S,作HR垂足為R,

根據題意易知AG,MN分別為/BAD的角平分線，線段DH的垂直平分線,

所以48/4〃=/45。=60。，所以AABH為正三角形,

則AH=BH=2,AR=CH=1,DR=2,HR=6，所以DH=@=2SD，

而tan/ADH邛嘿,則QS=答,=：

73

易證AHSP*DSQ,故DQ=—=HP,CP=HP—CH=—,

44

CPCK3CK

易知&CKP?GKQ,故石=方=三=丁而”

\JL)KL)/Z—CK

3

解之得CK=,.

故選：C

8.如圖，拋物線y=-_?+4x,頂點為A,拋物線與x軸正半軸的交點為8,連接AB,C為線段08上一

點(不與。，8重合)，過點C作CD//AS交y軸于點。，連接AD交拋物線于點E,連接0E交C。于點

S3

F,若渭心=工，則點C的橫坐標為()

、4DEF4

8

D.

7

【答案】A

【解析】

【分析】根據給定條件，求出點A3坐標，設點。(%,0)并表示點。,E,尸的坐標，再利用三角形面積關系

列式計算即得.

【詳解】拋物線>=一(彳一2)2+4的頂點4(2,4),由y=0,x>0,得x=4,即點3(4,0),

4=2k+b

設直線AB方程為y=由，，，解得上=—2/=8,則直線M：y=-2X+8,

0=4k+b

設點。(%,0),0</<4,由CD//A5,設直線方程為y=—2x+c,

由x=Xo，得。=2/，由％=0,得丁=。=2%,即點￡>(0,2%),直線CD:y=-Zx+Zx。,

2x?=n

設直線AD的方程為丁=〃猶+〃，貝R；，解得根=2一%,〃=2%,

4=2m+n

y=(2-x)x+2xx=x

即直線AD：y=(2-%)》+2%,00解得《0即點

y=-x2+4%y=-xo+4%

E(xo,-Xo+4x0),

顯然Ss°E=Smm,由]皿=],得=則￥生=；,因此點

、入。EF4MDOE/'ADOC'77

因此5。=3,解得/=±

由5=3得也=3

S.DOE7'付IQEI7

~XQ+4%g7

4

所以點C的橫坐標為一.

3

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.小明周六從家出發沿一條路勻速步行去圖書館查閱資料，資料查閱完畢后沿原路勻速返回，速度與來時

相同，途中遇到同學小亮，交談一段時間后以相同速度繼續行進，直至返回家中，如圖是小明離家距離y

(km)與時間x(h)的關系，則()

A.小明家與圖書館的距離為2km

B.小明的勻速步行速度是3km/h

C.小明在圖書館查閱資料的時間為1.5h

D.小明與小亮交談的時間為0.4h

【答案】AD

【解析】

【分析】由圖象可判斷A選項；結合圖象可求小明的勻速步行速度，可判斷B選項；通過計算點C到。所

需的時間，可判斷C選項；通過計算點￡到F所需的時間，可判斷D選項.

【詳解】對于A：由圖象可知小明家與圖書館的距離為2km,故A正確；

對于B：因為小明沿一條路勻速步行去圖書館查閱資料，

所以小明的勻速步行速度是W=4（km/h）,故B錯誤；

對于C：小明返回的路上走2—0.8=1.2（km）后遇到小亮，

1?

則走1.2km所需的時間為一=0.3(h),

4

所以小明在圖書館查閱資料的時間為2.6—0.5—0.3=1.8（h）,故C錯誤;

08

對于D：走0.8km所需的時間為—=0.2(h),

4

所以小明與小亮交談的時間為3.2—2.6—02=0.4（h）,故D正確.

故選：AD.

10.如圖，點B在線段上，分別以線段和線段BD為邊在線段AD的同側作等邊三角形ABC和等

邊三角形BDE,連接AE,AE與8c相交于點G,連接CDCD與AE,BE分別相交于點RH,連接

A.GH//ADB.FB平分NGFH

C.GE=BDD.Z^ABE=Z\CBD

【答案】ABD

【解析】

【分析】結合圖形和題設條件，易得△ABEvaCBD,可推得D項；由此得到=可證

AGBE=^HBD,可得GB=HB,從而得到正三角形BGH,由ZGHB=60°=ZHBD易得A正確；再

由全等三角形的對應邊上的高相等，易得點3到NAED的兩邊距離相等，故得B項正確；對于C項，可采

用反向推理，假設結論正確，經過推理產生矛盾，即得原命題不成立，排除C項.

【詳解】因VABC和△BED都是正三角形，故AB=BC,BE=BD,NABC=ZEBD=60。，

則ZABC+NCBE=ZFBD+ZCBE,即ZABE=ZCBD,

AB=BC

由<ZABE=ZCBD可得△ABE=Z\CBD,故D正確；

BE=BD

由AABE=△CB￡>可得，ZAEB=ZCDB,HNCBE=180°-2x60°=60°，

NCBE=ZEBD

由|BE=BD可得，2BE三JiBD則有GB=HB,

NAEB=NCDB

故為正三角形，則/6〃5=60°=/〃3￡),故67///4。，即A正確；

如圖，分別作碗，AE,3N，CD,垂足分別是M,N,

由上知，AABE旦XCBD,故BM=BN,由角平分線的性質定理，可得FB平分NGFH,

故B正確；

對于C項，假設=則GE=5E,故ZEG5=NEBG=60°，

而在AACG中，ZACG=60°,ZCAG<ZCAB=60°，故ZCGA=ZEGB>60°

產生矛盾，故假設不成立，即C錯誤.

故選：ABD.

11.如圖1,在中，ZABC=9Q°,BC=4,動點。從點A開始沿A8邊以每秒0.5個單位長

度的速度運動，同時，動點E從點8開始沿8c邊以相同速度運動，當其中一點停止運動時，另一點同時

停止運動，連接OE,F為DE中點,連接ARCF,設時間為t(s),°石2為、，>關于，的函數圖象如圖

2所示，貝U()

圖1圖2

A.當/=1時，DE=2.5B.AB=2

C.OE有最小值，最小值為2D.AF+C尸有最小值，最小值為J記

【答案】BD

【解析】

【分析】設4?=。，列出y關于f的函數式，結合圖2,列方程求出。的值，判斷B項，繼而代值檢驗A項；

利用二次函數的圖象性質，即可得到。E的最小值，判斷C項；最后通過建系，將AE+CR轉化為

；函+4）2+/+而—4）2+（516）2],利用距離的幾何意義，借助于點的對稱即可求得其最小值.

【詳解】設=則AD=0.5f,5￡>=a—0.5/\3石=0.5/,則

y—DE~=(a—0.5f)2+(0.5?)"=0.5t~—at+tz2(*),

2

由圖2知，函數y=0.5/—at+/經過點（1,2.5）,整理得，a-a-2=0,解得a=2或a=—1（舍

去），故B正確；

由B項知，y=0.5產一2f+4,當/=1時，y=0.5—2+4=2.5,即DE?=2,5,故A錯誤；

對于C,由題意易得，0WfW4,由y=0.5產一2。+4=0.5?-2）2+2可得，當/=2時，”^=2，

即OE有最小值，最小值為&，故C錯誤；

對于D,如圖，以點3為原點，OAOC所在直線分別為陽丁軸建立直角坐標系.

則42,。）。。,4）,—）,￡（。。5，），因尸為"點，故爪；山），

于是AF+CF(1+3+山y+jaT)2+(4_%)2

=1[](/+4)2+廣+J(f_4)2+(…16)-]

結合此式特點，設P(，/),M(-4,0),N(4,16)，則AF+CF=-(PA/+PN)，作出圖形如下.

作出點M(-4,0)關于直線V=%的對稱點%(0,-4),連接MN，交直線V=%于點尸，

則點P即為使PM+7W取得最小值的點.

(理由：可在直線V=x上任取點尸利用對稱性特點，即可證明。四+尸可＞"欣+。、,即得)，

此時(PM+PN)^=M[N=,42+(16+4)2=4726,HPAF+CF的最小值為726.

故選：BD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在平面直角坐標系中有五個點，分別是4(1,3),8(—3,4),C(-2,-3),。(4,3),￡(3,-5),從中

任選一個點，選到的這個點恰好在第一象限的概率是.

2

【答案】§##0.4

【解析】

【分析】利用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】五個點中在第一象限的點有A和。兩個，

從中任選一個點共有5種等可能的結果，這個點恰好在第一象限有2種結果，

所以從中任選一個點恰好在第一象限的概率是二.

-,2

故答案為：y.

13.在RtZiABC中，ZACB=90°,AB=6,VABC的周長為14,則A3邊上的高為.

71

【答案】一##2—

33

【解析】

【分析】利用勾股定理和完全平方公式以及三角形面積可得結果.

【詳解】根據題意可設5C=a,AC=b,所以5。+人。+43=6+。+》=14,

可得a+b=8,

又NACB=90。，利用勾股定理可得BC2+AC2=/+〃=62；可得/+32=36；

所以/+/=（0+3）2—206=82—2。）=36,即"=14；

設AB邊上的高為h,由三角形面積可得ab=ABh=6h,

147

解得//=—=—.

63

7

故答案為：一

3

14.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=6,E為A。中點，/為邊CD上一點，連接所，

將ADEF沿所翻折，點。的對應點為。C,G為邊5c上一點，連接AG,將AASG沿AG翻折，點5

【答案】6-2A/5

【解析】

【分析】過。祚交A￡）于S,交.BC于U,過后作利用等積法可求

D'S=逑，再根據RtAD'GU可求BG的長度.

3

由題設AE=D'E=3,AD'=AB=4,

過。，作SULAD,交AD于S,交BC于U,過￡作瓦/LAD',

則AH=HD'=2,則EH=的-4=&，故JAD'XV?=gAE><r>'S,

所以。'5=逑，故AS=

3

設6G=x,則O'G=x,故

故x=6-2君，

故答案為：6—2^5

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.先化簡再求值：

YY—1X?—1

(1)求「——二+,的值,其中％=3；

x+1x—2x—4x+4

2

(2)求--------——二~7的值，其中2=2.

x-yx+yx-yy

【答案】(1)-

2

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)先因式分解進行化簡，進而代入x=3即可求解;

JQ%

(2)先同分母進行化簡并轉化一的表達式，進而代入一二2即可求解.

yy

【小問i詳解】

xx-1x2-1_xx-1(x-2)

x+1x—2%2—4%+4x+1x—2(%—+

xx-2

x+1x+\

x—(冗一2)

x+1

2

x+1

即x=3代入可得？一=」.

3+12

小問2詳解】

x__/=x(x+y)-小-y)_/

x—yx+yx2-y2(x—y)(x+y)%2-y2

x2+xy-xy+y2-y2

~22

%一y

/、2

X

=—2―

--1

X,24

即一=2代入可得^—=2.

y22-l3

16.某超市銷售兩種品牌的牛奶，購買3箱A種品牌的牛奶和2箱3種品牌的牛奶共需285元；購買

2箱A種品牌的牛奶和5箱B種品牌的牛奶共需410元.

（1）求A種品牌的牛奶，3種品牌的牛奶每箱價格分別是多少元？

（2）若某公司購買A3兩種品牌的牛奶共20箱，且A種品牌牛奶的數量至少比3種品牌牛奶的數量多6

箱，又不超過3種品牌牛奶的3倍，購買A3兩種品牌的牛奶各多少箱才能使總費用最少？最少總費用為

多少元？

【答案】（1）A種品牌的牛奶，5種品牌的牛奶每箱價格分別是55元、60元.

（2）最小費用為1200—5x15=1125（元），此時購買A3兩種品牌的牛奶分別為15箱、5箱.

【解析】

【分析】（1）設A種品牌的牛奶，B種品牌的牛奶每箱價格分別是無,V元，根據題設列方程組后可求各自

的單價；

(2)購買A品牌的牛奶。箱，則購買總費用C=1200—5a,由題設條件可得?？蔀?3,14,15中的某個數,

故可求最小費用及相應的箱數.

【小問1詳解】

設A種品牌的牛奶，3種品牌的牛奶每箱價格分別是蒼丁元，

[3x+2y=285fx=55

則4，故《

[2x+5y=410[y=60

故A種品牌的牛奶，3種品牌的牛奶每箱價格分別是55元、60元.

【小問2詳解】

設購買A品牌的牛奶。箱，則購買3品牌的牛奶20-。箱，

此時總費用C=55a+60(20-a)=1200-5a,

a>20—a+6

而《、，故13WaW15,而。為整數，故?？蔀?3,14,15中的某個數，

a<3[20-a)

故C的最小費用為1200—5x15=1125(元)，

此時購買A3兩種品牌的牛奶分別為15箱、5箱.

17.如圖，在。。中，AB是直徑，點C是。。上一點，AC=9,3C=3,點石在AB上,

AE=2BE,連接CE并延長交。。于點。，連接AD,AFLCD,垂足為尸.

(1)求證：AADF-AABC；

(2)求。尸的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)—

13

【解析】

【分析】(1)利用直徑所對的圓周角為直角可判斷ZAFD=NACfi=90°，再利用同弧所對的圓周角相等,

可得NADE=NABC,從而證明△AE*~AABC；

(2)在RtZkABC中，求出tan/ABC=3,AB=3A/10?利用tanNABC=tanNAD尸=3,設

DF=x,把Rt△AD尸的三邊表示出來，再利用△CBE~AADE求出。E=—x,最后在Rt^A即中求

3

出x的值，也即是。尸的長.

【小問1詳解】

?.?AB是。。的直徑，.,.BCLA5,

ZAFDZACB^90°?

又?：NADF=NABC,

.\^ADF—△ABC.

【小問2詳解】

AC9/__________

在RtZXABC中，tan/ABC=^=￡=3,AB=y/AC-+BC-=3^/10-

nC3

又AE=2BE,則AE=2A/I5，BE=屈，

又ZABC=ZADF,/.tanZABC=tanZADF=3,

在RUADF中，設DF=x,則AF=3x,故AD=7AF2+DF2=yflOx-

又/CEB=ZAED,:.ACBEfADE,

BC_BE血3回到，日nzr—10

--------,即一,——=-----，解倚DE=-x,

DADE710%DE3

107

:.EF=DE-DF=—x-x=-x,

33

在RdAEF中，AF2+EF2=AE2>

即(3x)2+gx)=(2而『，解得x=49，

即。尸=9萬.

13

18.

閱讀材料：直線y=Ax+b(左00)上任意兩點MOi,%),w(x2,y2),x^x2,線段

MN的中點P(*3,%)，P點坐標及人可用公式：w=%；*2,%=%；%；

左=七生計算.例如：直線y=2x+l上兩點"(1,3),N(3,7),則%=三=2,

國一九22

3+73—7

%=——=5,即線段MN的中點P(2,5),k=——=2.

21-3

已知拋物線丫=相f-2/加-3(爪>0),根據以上材料解答下列問題:

圖1圖2

(1)若該拋物線經過點A(3,0),求m的值;

(2)在(1)條件下，B,C為該拋物線上兩點，線段的中點為。，若點。(2,1),求直線8C的表達

式；以下是解決問題的一種思路，僅供大家參考：設直線BC的表達式為：y=kx+b,

B(xB,yB),C(xc,yc),則有為=必；一2"八-3①，%=s"一2蛆°一3②?①-②得：

yB-yc=〃2(君-xc)=m(xB+xc)(xB-xc)-2m(xs-xc),兩邊同除以(乙-xc),

得2By§=k=m(xB+xc)-2m.

X

^B-C，

(3)該拋物線上兩點E,F,直線EF的表達式為：y=(5y/2-2^nvc+n(w>0).

(i).請說明線段斯的中點在一條定直線4上；

(ii).將i中的定直線4繞原點。順時針旋轉45。得到直線心當l<x<3時，該拋物線與4只有一個交

點，求機的取值范圍.

【答案】(1)m=l

(2)y=2x—3

(3)i.線段斯的中點在定直線/：%=逑上；ii.或加=4或

1223

【解析】

【分析】(1)將點坐標代入函數解析式，計算即得加的值；

(2)按照題中的思路先求出左=》B+XC—2,再由線段8c的中點為。(2,1)求得左的值，利用直線5C經

過點D(2,l)即可求得直線BC的表達式;

(3)(i)由［y=(5f—2)〃a+〃消去y,利用韋達定理即可得到線段E尸的中點在定直線4：X=逑上;

y—mx—2mx-32

(ii)根據題意，作出圖形，利用平面幾何知識即可求得4：y=x—5；根據函數>=如2-2如—3與

-777_3<—4

，2：丁二%-5在1<%<3時的圖象特點，依題意可得4。。C，解之即得.

3m-3>-2

【小問1詳解】

因y=一2仙:一3經過點A(3,0),則9m-6帆一3=0,解得，m=l；

【小問2詳解】

22

機=1時，y=x-2x-3=(x-l)-4,設直線8C的表達式為：y=kx+b,B(xB,yB),C(xc,yc),

則yB=m端-lmxB—3①，yc=_2mxe_3②.

=xxX

由①-②：yB-ycl-c-2(4-%)=(B-%)(/+XC-2),

兩邊同除以(/_2),則為：至=%=4+%—2,

XB-XC

因線段BC的中點為。(2,1),則/+左=2,即左=2x2—2=2,

2

則y=2x+b,將點。(2,1)代入解得，b=-3,故直線BC的表達式為：y=2x—3；

【小問3詳解】

,y=(5A/2-2)rwc+n,,士人,口.i—

(i)由12消去y,整理得,rwc2—5y/2mx—n—3=0f

y-mx-2mx-3

依題意，設E(xE,yE),F(xF,yF),EF的中點為

則XE+》F=50,工歷=工后廣=孚,即線段E尸的中點在定直線4：了=亭上；

如圖，將定直線/]：X=孚繞原點。順時針旋轉45。得到直線12，則點A(孚,0)轉到了點A，

則04=04,=還，設點4（%,%），5（修,0）貝I]%=^cos45o=-,y.=—述sin45°=—°,

、2122122

x2—y/20^=5,

5m+n=Q

即A(?m=1

3(5,0),設右：y="a+〃，則得,55，解得,u，即得

—m+n=——n=-5

122

l7:y-x-5?

因拋物線y=mx1-2mx-3=m（x-1）2-m-3的對稱軸為x=1,

故該函數在l<x<3時，V隨著x的增大而增大，且x=l時，y=-m-3,%=3時，y=3加一3,

要使拋物線與乙：V=x-5只有一個交點，可分以下種情況討論:

一rn_3<-4

①當拋物線頂點在直線下方時，如上圖可得，cC，解得加>1；

3m-3>-2

y=x2—2x—3

②拋物線頂點在直線上，如上圖，即加=1時，由<，解得x=l或x=2,因l<x<3,

、y=x-5

故符合題意;

y=JWC2-2mx-3

③拋物線與直線相切，且切點橫坐標滿足l<x<3,如上圖，由

y=x-5

消去V,可得MU?-（2根+l）x+2=0,由A=（2根+1）2—8根=0解得，m=；,

代入方程可得4x+4=0,解得x=2,符合題意；

—m—3>-4

④如上圖，拋物線頂點直線上方，但在1<%<3內只有一個交點,須使《