專題18三角恒等變換

【考點預測】

知識點一.兩角和與差的正余弦與正切

①sin（a土尸）=sinacos分土cosasin分；

②cos（6r±仍=coscos（3.sinersin/3；

③tan(a±￡)J

1.tanatanp

知識點二.二倍角公式

①sin2a—2sincrcosa；

②cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a；

③tan2。=用吟

1-tana

知識點三：降次(然)公式

.1.小.21-cosla1+cos2a

sinacosor=—sin2cif;sina=------------;cos2a=------------

222

知識點四：半角公式

1-COS6Za.1+COS6Z

sin一=±;cos——=±.

2222

asma1-costz

tan—=----------=-----------

21+cosasina

知識點五.輔助角公式

2b血上）.

asina+Z7cosa=J/+Z?sin(a+cp)(其中sin。=COS(P=.,t0

yla2+b2yja2+b2a

【方法技巧與總結】

1.兩角和與差正切公式變形

tana±tan/?=tan(a±0)Q+tanatanp)；

八rtancr+tan>0tan<7-tan>0,

tana?tan/7=l-----------------=----------------1.

tan(a+/3)tan(a-/3)

2.降暴公式與升暴公式

.21—cosla21+cosla.1.

sin<2=------------；cosa=-------------；sinacosa=—sin2a；

222

1+cos2a=2cos2a；1-cos2a=2sin2。；1+sin2a=(sincjf+coscr)2；l-sin2cr=(sinor-coscr)2.

3.其他常用變式

.八2sinacosa2tancr小cos2cr-sin2cr1-tan2aasin。1-cosa

sin2a=——----------石-=------5；cos2。=——5------5=------5；tan—=-------=:----

sina+cosa1+tanasin+cosa1+tana21+cosasina

zy|

3.拆分角問題：@a=2--；a=（a+/3）-/3；②a=0-10-a）；@a=-［（?+/?）+（?-/?）］；

④￡=：［（（/+￡）一（（/—尸）］；⑤?+c=g_（?_a）.

注意特殊的角也看成已知角，如夕=工-（工-a）.

44

【題型歸納目錄】

題型一：兩角和與差公式的證明

題型二：給式求值

題型三：給值求值

題型四：給值求角

題型五：正切恒等式及求非特殊角

【典例例題】

題型一：兩角和與差公式的證明

例1.（2022?山西省長治市第二中學校高一期末）（1）試證明差角的余弦公式Cgm：

cos（cr—0）=cosacos0+sinasinp；

⑵利用公式推導：

①和角的余弦公式C-m，正弦公式兀+m，正切公式幾+0；

②倍角公式S（2a），。（20），T（2a）.

例2.（2022.云南.昭通市第一中學高三開學考試（文））已知以下四個式子的值都等于同一個常數

sin226+cos234一石sin26cos34；

sin239+cos221-A/3sin39cos21；

sin2（-52）+cos2112sin（—52）cos112；

sin230+cos230-A/3sin30cos30.

（1）試從上述四個式子中選擇一個，求出這個常數.

（2）根據（1）的計算結果，推廣為三角恒等式，并證明你的結論.

例3.（2022?陜西省商丹高新學校模擬預測（理））如圖帶有坐標系的單位圓O中，設/A0x=a,4BOx=/3,

AAOB=a-/3,

(1)利用單位圓、向量知識證明：cos(6Z-J3)=cos6Zcos+sinasin

45、

(2)若)￡仁，兀｝cos(<7—/?)=——,tancr=——,求cos/的值

例4.(2022?全國?高三專題練習)如圖，考慮點4L0),[(cosa,sina),7^(cos/?,-sin/7),

P(cos(a+P),sin(tz+0)),從這個圖出發.

(1)推導公式：cos(cr+/3)=cosacos—sinorsin(3；

(2)利用(1)的結果證明：cosecos〃=：[cos(e+￡)+cos(a-￡)],并計算sin37.5°-cos37.5°的值.

【方法技巧與總結】

推證兩角和與差公式就是要用這兩個單角的三角函數表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數

量積建立它們之間的關系，這就是證明的思路.

題型二：給式求值

例5.（2022.全國.高三專題練習）已知su當，…一味羋，且。.與，寸，則si

（）

D,巫

A9小口llVior屈

35353535

：15。-3=tan210°,貝Ijsin（60°+a）的值為（）

例6.（2020?四川?樂山外國語學校高三期中（文））已知sin

A.-B.--C.|D.二

3333

TT77T

例7.（2020?全國?高三專題練習）若cos（g-2?=-！，則sin（x+g）的值為（）

383

ABC-士:

-1-ID-

（多選題）例8.（2022.全國?高三專題練習）設sin（￡+工）+sin〃=心過，則sin（』-g）=（）

623

A.立B.1C.--D._昱

2222

（兀、34

例9.（2022?全國?模擬預測（文））已知名/e[0,不J,cos2^=-,cos（?+/?）=-,貝!jcosa=.

例10.（2022?上海靜安?模擬預測）已知sin（a+?）=-日，則sin2a的值為

例11.（2022?江蘇泰州?模擬預測）若。=珞時，/（e）=sin2e-cos2。取得最大值，則sin

【方法技巧與總結】

給式求值：給出某些式子的值，求其他式子的值.解此類問題，一般應先將所給式子變形，將其轉化成

所求函數式能使用的條件，或將所求函數式變形為可使用條件的形式.

題型三：給值求值

I1-tan一a

例12.（2022?福建省福州第一中學三模）若sina=-|,且。相兀，1）

則——?=（）

l+tan-

2

A?1B.C.2D.-2

2

7tc冗

例13.（2022?湖北武漢?模擬預測）已知sin--X=:，則cos2x----)

43

7屈

A-4B.-C.D.叵

844

7171

例14.（2022?湖北?模擬預測）已知f｝且cosa—,則cos2a=(

~22

D.B

A.及B.土±C

22-I2

71c兀

例15,（2022?全國?模擬預測）已知sin—Fa則cos2a----()

33

A23「2也2A/5

A.——D.

25-ll55

3

例16.（2022.黑龍江?哈師大附中三模(文))已知sin(45°+a)=5,45°<cr<135°,則cos2a=(

247

A,江B.——D.

2525cA25

例（.廣東茂名.模擬預測）已知、1

17.2022sinp.J，則cos[e+g卜)

2

D.B

A.-在B-4C

2-I2

jr4/o

(多選題)例18.(2022?江蘇?IWJ二專題練習)已知兀4B,sin2a=—,cos(a+(3)——,

則()

Vio

A.cosa=-------B.sina-cosa=—

105

.3萬D.cosacos￡=一日

C.…=7

【方法技巧與總結】

給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角

相同或具有某種關系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數表示；②將已知條件轉化而推出結

論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結論中各種角之間的相互關系,

并根據這些關系來選擇公式.

題型四：給值求角

例（?全國?模擬預測）已知工〈女，71..7171

19.2022473sinsina---+-4sin——cosa+tan—=,

6315315J15

貝！Ja=

例20.（2022?河南?南陽中學高三階段練習（文））已知sin（t-“=-g,sin[?+4=^,且

ae[rT）,/7ef0,zy求a4的值為-

..71

/\sma—sin——

例21.（2022?河北石家莊?一模）已知角二￡0,弓，tan-^-=--------------—,則0=.

?'cosa+cosM

12

例22.（2022?上海市大同中學高三開學考試）若ae（O,i）,且cos2a=sin]?-“，則a的值為.

例23.（2022?全國?高三專題練習）若sin2a=@,sin（尸-0=巫，且ae,/3w兀?兀，則a+￡

5v710142」2_

的值是.

例24.（2022?吉林?延邊州教育學院一模（理））若sin2a=,sin（尸-a）,且。￡I兀,P邑兀兀，

5V71014」]2」

則"=（）

7兀-兀-4兀-5兀

AA.一B.-C.一D.一

4433

例25.（2022?上海交大附中高三開學考試）已知。、夕都是銳角，且34112。+25而4=1,30泡20-2$皿2尸=0,

那么。、夕之間的關系是（）

.C兀cC兀

A.cc/3=-B.a-0=]

JT?rr

C.a+2/3=—D.a+2/3=^

例26.（2022?江蘇省江陰高級中學高三開學考試）已知tana=g,tan〃=,且%#e（0,萬），則2a-力=（）

【方法技巧與總結】

給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數值，再確定“所求角”的范圍，最

后借助三角函數圖像、誘導公式求角.

題型五：正切恒等式及求非特殊角

例27.（2022?湖北?襄陽四中模擬預測）若角a的終邊經過點P（sin70。,cos70。），且

tana+tan2a+mtana-tan2a=A/3,則實數加的值為（）

A.—百B.一如C.立D.73

33

例28.（2021?重慶八中高三階段練習）sin10°+—tan10°=（）

4

A.1B.3C.|D.立

4422

例29.（2020.重慶一中高三階段練習）求值：l：、tanl0=（）

VI-cos20°

A.1B.V2C.73D.2忘

例30.(2022?全國?高三專題練習)(tan300+tan70°)sin10°=___________.

（2022.江蘇南通?高三期末）若1+」!—=」—，則a的一個可能角度值為_________.

例31.

tan80sina

i_750

例32.(2022?江蘇揚州?模擬預測)::。=_____.

1+tan75°

11

例33.(2022?貴州黔東南?一模(文))若tan(a+/?)=§,tan(?-y0)=—,貝！Jtan2a=___________.

例34.(2022-山東?青島二中高三開學考試)tan100+tan350+tan10°tan35°=_____.

【方法技巧與總結】

正切恒等式：當A+5+C=左萬時，tanA+tan5+tanC=tanAtan5?tanC.

證明：因為tan(A+5)=3"A+tan',tanC=-tan(A+5),所以tanA+tanB二-tanC(l-tanAtanB)

1-tanAtanB

故tanA+tan8+tanC=tanA-tanb-tanC.

【過關測試】

一、單選題

1.（2022.四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知角。與角夕的頂點均與原點。重合，始邊均與x軸的非

負半軸重合，它們的終邊關于x軸對稱.若cosa=《，貝Ucos（a+/7）cos（a-/7）=（）

A-B-1c-4D-1

2.(2022?全國?模擬預測(理))已知sina+cos/?=l,cosa+sin4=6，則cos(a—￡)=()

A.0B.1

C-TD1

3.（2022?青海?大通回族土族自治縣教學研究室三模（文））已知tan（a+"=3,tan（a+￡）=g,則tan￡=

（）

A.—B.-C.1D.2或6

77

4.（2022?湖北.黃岡中學模擬預測）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的

作圖，發現了黃金分割約為0.618,這一數值也可以表示為加=2sinl8。，若病+"=4,則一邛一=（）

2sin2270-1

A.-4B.-2C.2D.4

5.（2022?山東煙臺?三模）若2cos21”3=l+cos2c,則tan2a的值為（）

A.一且B.BC.-73D,出

33

6.（2022?全國?模擬預測（文））設角a,夕的終邊均不在坐標軸上，且tan（a-p）+tan/7=taim,則下列

結論正確的是（）

A.sin（a+/7）=0B.cos（?->0）=1

C.sin2tr+sin2/?=1D.sin2<7+cos2=1

1+tana+tan°-tanatan[3

7.（2022.河南.通許縣第一高級中學模擬預測（文））已知￡=15,則

1-tana一tan0-tanatan/3

A.-也B.且C.1D.6

33

8.(2022?全國?高三專題練習)若尸＜0,cos[7+a)=；,cos](-,則cos(a+fj=

()

A,顯R布

33

「5心D.一逅

99

二、多選題

已知。(，ta貝|()

9.（2022.海南海口?二模）￡?,21)sina=^=tany,

cosa=gC.tan/?=473D.cosP=~

A.tana=A/3B.

10.（2022.河北邯鄲.二模）下列各式的值為的是（）.

.17K

A.sin----B.sin—cos—

61212

71

tan—

兀

c.cos2--71---si.n2——D.-------^―

12121-tan*2-

8

11.（2022?重慶?西南大學附中模擬預測）已知夕，且7=貝|（)

A.若sincr+cosi=0，則tana=1

B.若tana=2,則sin（'+/）=且

C.tana,tan分可能是方程％2一6^+7=。的兩根

D.tanatan/3+tan/3tany+tanf3tana=1

12.(2022?重慶巴蜀中學高三階段練習)已知cos(a+/)=-*cos2a=-g,其中a,尸為銳角，則以下命

題正確的是()

A.sin2a=]B.cos(a—/)=^^

C.cosacos/3=D.tanatan/3=-

三、填空題

13.（2022?浙江考真題）若3sin。—sin，=a+，=,，貝!Jsina=,cos2￡=

14.（2022?山東師范大學附中模擬預測）已知0<&<二,sin（乃-&]=變