模塊05立體幾何與空間向量

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（2024?安徽合肥?三模）設以民7是三個不同平面，且,則&〃/是/〃用的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用面面平行的性質定理，及它們之間的推出關系，即可以作出判斷.

【詳解】由于a〃夕，。八7=/,尸n7=加，由平面平行的性質定理可得：IIIm,

所以a〃6是/〃加的充分條件；

但當/〃根，a^y=l,/3^r=m,并不能推出a〃夕，也有可能a,力相交，

所以a//p是/〃加的不必要條件；

故選:A.

2.（24-25高三上?重慶?期末）如圖，在正四棱錐P-48co中，E為棱產工的中點，設

DA=a,DC=b,DP=c,則用落瓦萬表示而為（）

【分析】由圖及空間向量加減法可得答案.

【詳解】由圖可得：礪為+Z-覺+；江-覺+；（赤-可

一

=t1。_——1a_=——1_a-bt+—1c.

2222

故選：C

3.（24-25高三上?天津北辰?期末）已知血￡是空間中的兩個不同的平面，I,加，"是三條不同的直線.下列

命題正確的是（）

A.若機uua,/_L加J_L〃，貝!!/_LaB.若mua,nu0,mLn,則

C.若///私機ua,貝！|///aD.若///加,掰//〃,/1c,貝！|〃J.a

【答案】D

【分析】對于A：根據線面垂直的判定定理分析判斷；對于B：根據面面垂直的判定定理分析判斷；對于

C：根據線面平面的判定定理分析判斷；對于D：根據平行關系可知///〃，再結合線面垂直的性質分析判斷.

【詳解】對于選項A：根據線面垂直的判定定理可知：需保證%,〃相交，故A錯誤；

對于選項B：根據面面垂直的判定定理可知：需推出線面垂直，現有條件不能得出，故B錯誤；

對于選項C：根據線面平面的判定定理可知：需保證/aa,故C錯誤；

對于選項D：若///加,加//〃，則///〃，

且/_La,所以〃_La,故D正確；

故選：D.

4.（24-25高三上?湖北武漢?期中）如圖，四邊形/BCD的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形48'C'。'.已知

A'B'=4,CD,=2,則下列說法正確的是（）

A.AB=2

B.A'D'=2y/2

C.四邊形/BCD的周長為4+2上+2月

D.四邊形的面積為60

【答案】D

【分析】利用斜二測畫法將圖形還原計算幾何圖形的面積與周長以及相關.

【詳解】如圖可知48=4,/，。=也，AD=2近,

四邊形ABCD的周長為6+2夜+273,四邊形ABCD的面積為1x（4+2）x2收=60.

故選:D.

5.（24-25高三上?天津紅橋?期末）球面上有三點48,C,若N8=6,J8C=8,/C=10,且球心到△4BC所在

平面的距離，等于球的半徑的一半，則該球的球面面積為（）

400兀

A.-------B.300TIC.1200兀D.160071

3

【答案】A

【分析】根據給定條件，求出△/BC的外接圓半徑，再利用球面的截面小圓性質求出球的半徑，可求表面

積.

【詳解】令△/2C外接圓的半徑為，，球的半徑為火，

由/8=6,3C=8,NC=10,^AB2+BC2=36+64=100=AC2,

所以△/BC為直角三角形，則"=10,即r=5,

因為球心到△/3C所在平面的距離，等于球的半徑的一半，

所以爐一解得尺=罷，所以球的表面積為4a2=竿.

故選：A.

6.（24-25高三上?四川成都?期中）已知正方體45cz）-4夕￡2的棱長為2,且滿足或＞皮+z可

且x+y+z=l,則目的最小值是（）

A.迪2.J324

B.上HC.-D.-

3333

【答案】B

【分析】由正=xl%+y詼+Z的且x+y+z=l,得到'，E,A,C四點共面，即點￡在平面口工。上,

從而|力耳的最小值為點D到平面2/C的距離求解.

【詳解】由題意得，DE=xDA+yDC+（\-x-y）DDl,

：.DE-1^=x[DA-DD^+y(l)C-DD^,即取=屹1+＞麻,

由共面向量定理得，4,E,A,C四點共面，即點E在平面。/C上,

則用的最小值為點D到平面。/C的距離.

以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,

則。(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),"(0,0,2),

：.AC=(-2,2,0),西=(-2,0,2),E?=(2,0,0),

設平面O/C的法向量為五=（x,y,z）,

—2x+2y=0

取為=(1,1,1),

—2x+2z—0

\DA-n\7o/a

D到平面DXAC的距離d==二=包

\n\V33

即叵目的最小值為手.

故選：B

7.（24-25高三上?黑龍江?期末）已知三棱錐尸-OMN的四個頂點滿足：PQ,分別是圓柱的上，下

底面的兩條直徑，且該三棱錐體積的最大值為6,則圓柱的體積為（）

A.2兀B.6兀C.9nD.12兀

【答案】C

【分析】先應用到平面PO。的距離相等“，再應用三棱錐體積公式計算結合不等關系計算圓柱體積即

可.

【詳解】設圓柱。。的底面圓半徑為『，圓柱的高為人

設點M到平面尸。。的距離為“，因為。是河的中點，所以N到平面尸。。的距離也為d,

故Vp-QMN=VM-POQ+VN-POQ=；x2dXSAPOQ=三乂：X2丫Xh=3<irh&3r?h=6nNh=9,

所以圓柱。Q的體積為兀戶力=9兀.

8.(24-25高二下?福建南平?期末)如圖，正方體N8CZ)-/￡G，中，新=麗，~A^M=MDX,

率二處,當直線與平面M2VE所成的角最大時，2=()

1

D.-

【答案】C

【分析】利用坐標法，利用線面角的向量求法，三角函數的性質及二次函數的性質即得.

【詳解】如圖建立空間直角坐標系，不妨設正方體/BCD-的棱長為1.

則N(I,O,￡|,C(O,I,O),4(1,1,1),￡>(0,0,0),"(0,0,1).

所以率=4窕=(一40,_#，￡(1-2,1,1-2),7W=|1,0,-1|,=

設平面ACVE的法向量為而=（x,%z）,

m-MN-—x—z=0

e22

則—fl)

m-ME=1--2lx+j-Az=0

令x=l,則—z=1,可得身=[1,22_/,l

又西=（0,0,1）,設直線。R與平面AWE所成的角為a,則

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（24-25高三上?內蒙古鄂爾多斯?期末）已知直線〃2,n,平面a,夕，則下列說法正確的是（）

A.若機〃”，nua,則加〃aB.若機〃/?,mua,a^\（3=n,則機〃”

C.若a〃￡,mLa,m//n,則■/D.若a_L/?,mLa,nV（3,則〃?〃〃

【答案】BC

【分析】由線面平行的判定定理和性質定理可得A錯誤，B正確；由線面垂直的的性質可得C正確，D錯

誤；

【詳解】選項A中，〃?可能在a內，也可能與a平行，故A錯誤；

選項B中，因為機〃力，mua,a^\p=n,所以加〃〃，故B正確；

選項C中，因為a〃4，mla,所以比_L4，又〃?〃〃，所以〃故C正確;

選項D中，因為aJ■尸，7〃_l_a,“，B,所以故D錯誤.

故選：BC.

10.（24-25高三上?河北廊坊?期末）如圖所示，棱長為2的正方體N5CO-44GA中，點E是棱C。的中點,

則下列結論中正確的是（）

A.點回到平面BDE的距離是A到平面BDE的距離的2倍

TT

B.若點〃€平面/BCD,且GM與所成角是彳，則點別■的軌跡是雙曲線的一支

C.三棱錐4-2DE的外接球的表面積為1E

D.若Me線段BE,則+|/叫的最小值是2小+口『

【答案】ACD

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷A；利用坐標法，列出關于異面直線所成角的余弦

值的式子，即可判斷B；利用坐標法，求三棱錐4-的外接球的球心坐標和半徑，即可判斷C；利用

坐標法，表示兩點間的距離，轉化為平面幾何問題，即可求最值.

【詳解】對于A選項，以點。為坐標原點，DA、DC、。，所在直線分別為x、丁、z軸建立如下圖所示

則4（2,0,0）、8（2,2,0）、D（0,0,0）,￡（0,2,1）、4（2,2,2）,

設平面取用的法向量為方=（xi,yi,zi）,麗=（2,2,0）,D￡=（0,2,1）,

m?DB=2x+2y,=0（、---?/.

則—,取再=1,則應=LT2,2,2,2,

m-DE=2yl+zi=0

成|_4_276

所以，點用到平面BOE的距離為4=,,_廣_，

1\m\763

\DA-rn\0、片

點A到平面3DE的距離為%空，所以，4=2右，故A正確;

\m\463

對于B選項，設點河（龍/,0）,刀=（0,2,0）,QM=（x,y-2,-2）,

7T

若0眼與居所成角是7

_V2

則ME斗標4=

一2，

整理為（y-2『--=4,為雙曲線方程,

所以點M的軌跡是雙曲線，故B錯誤;

對于C選項，4（2,0,2）、8（2,2,0）、￡＞（0,0,0）、￡（0,2,1）,

設三棱錐4的外接球的球心坐標為（見4。），半徑為R,

2222

(a-2)+Z>+(C-2)=7?

(:一號+'2=*,方程組中前2個式子和后2個式子相減,

則

a+b+c=R

a2+(Z)-2)2+(c-l)2=R2

\b-c=057oil

得46+27=0,得”%再回代方程組得。二，小了，

所以三棱錐4-BDE的外接球的表面積為4成z=1E,故C正確;

EC_可設點wQ,2,g(2_x)),即河Q,2,1

對于D選項,0<x<2,

~BC~2

\DM\+\AM\=%2+4+

，|x2-x+5+J|%2-5x+9=+。/*-2)2+4

上式的意義可以理解為平面直角坐標系中,

的距離和的心倍,

動點（x,0）到定點

2

74⑻

顯然，動點（x,0）到定點的距離和的最小值是兩定點間的距離,

距離為+[警+?]=京15+2廊,

所以叫+函的最小值是小抖5+2而=2小+等，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是坐標法的使用，不僅可以表示角，距離，還可以求解軌跡方程，球心

坐標等問題.

11.（24-25高三上?貴州貴陽?開學考試）如圖，在長方體/BCD-4片中，4B=AD=2,A4=1,

為線段用。上動點（包括端點），則下列結論正確的是（）

A.當點M為中點時，平面網DQ

B.當點M為8Q中點時，直線與直線8C所成角的余弦值為YZ

3

c.當點〃在線段8a上運動時，三棱錐G-BDM的體積是定值

D.點M到直線BG距離的最小值為亞

3

【答案】ACD

【分析】根據給定條件建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明判斷A；利用空間向量求出向

量夾角余弦判斷B；利用三棱錐體積公式判斷C；利用空間向量求出點到直線的距離最小值判斷D.

【詳解】在長方體/BCD-4瓦GA中，以點。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,

z,

則D(0,0,0),BQ,2,0),C(0,2,0),Q(0,2,1),Q(0,0,1),Bx(2,2,1),設f,1),0VfV2,

對于A,t=l,MQ=(-1,1,0),函=(0,0,1),礪=(2,2,0),

MCl-DDi=0,MCl-DB=0,即MC；_L曲也6_LD3,

而。〃n02=。,。〃,u平面BBQ。，因此C|A/_L平面SB4。，A正確;

一灰卜2…

對于|COS(Z)A7,SC)|

B,ZM7=(1,1,1),SC=(-2,0,0),DM^BC73x23'B錮厭；

對于C,由選項A知，點G到平面四。Q的距離為應，而的面積（瓦＞。2=后,

因此三棱錐0-瓦亞的體積|是定值，C正確；

對于D,BCX=(-2,0,1),QM=(t,t-2,0),則點M到直線BC］的距離d=y

1+"2）2_?=新_4+4=松—邛,當且僅當時取等號，D正確.

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（24-25高二上?江蘇徐州?期中）已知空間四邊形/3CD的每條邊和對角線的長都等于1,點E,尸分別

是BC,ND的中點，則瓦.赤的值為.

【答案】-1/-0.5

【分析】BC,BD，曲兩兩成60。角，模都為1,以這三個向量為基底，進行向量數量積運算.

【詳解】

A

根據題意ABCD為正四面體，

BC-BD>第兩兩成60°角，BA-BC=BA-BD=BC-BD=^,

由於=麗一加=；瑟-雙

CF=RF-BC=-BA+-RD-JC,

22

故答案為：-g

13.（2025高三?全國?專題練習）已知甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為弓和4,母線長分別為2化-4）和

3日-4）,則兩個圓臺的體積之比白=.

【答案】國

4

【分析】利用圓臺的體積公式，得到3=*=理”4=乎，求解答案即可.

吃h乙2收伍-々）4

【詳解】由己知結合圓臺的體積公式即可求解.

因為甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為々和6，母線長分別為2（4-々）和3（八-々）,

則兩個圓臺的體積之比孑=*=

吟吃2&億-々）4

故答案為：近.

4

14.（2025?上海?模擬預測）己知尸是一個圓錐的頂點，尸4是母線，PA=2,該圓錐的底面半徑是1.B、C

分別在圓錐的底面上，則異面直線尸/與8C所成角的最小值為.

【答案】|

【分析】過A作4。//3c交底面圓錐于。點，則/尸/。為異面直線尸/與8C所成角，結合余弦定理與余弦

函數的性質即可得NP4。的取值范圍，從而得所求最值.

【詳解】

如圖，過A作4D//8C交底面圓錐于。點，連接尸。，

因為PN=PD,ADHBC,則/P4D為異面直線PA與BC所成角,

\P^\+\AD2-\PD[22+\AD\^-22_\AD\

所以cosNPAD=

21p4皿4M一4

又0＜|/以42,所以0＜町＜；，即0＜cos/P4Dvg,

因為NPNOe[。,]],函數＞=cosa在上單調遞減，所以

7T

故異面直線方與2c所成角的最小值為

TT

故答案為：y.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(23-24高二上?湖北武漢?階段練習)如圖，在三棱錐P-48c中，ABLBC,AB=2,BC=2也,

PB=PC=&,AP,/P,2C的中點分別為。,￡,。，NO=石。O,點尸在/C上，BFVAO.

(1)證明：￡尸//平面40(9；

(2)證明：平面平面BE尸;

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)設/=彳就(0<文<1)，得到而=(1-幾)詼+2前，再由。為BC的中點，得到

__.1—.—.1

AO^-BC-BA,結合濟.而=0,列出方程求得彳=5,得到尸為/C的中點，進而證得所//PC,得到

EF//DO,結合線面平行的判定定理，即可求解.

(2)根據題意，求得/。2+。。2=《。2,得到進而得到/。1跖，結合NO_LNF,利用線面

垂直的判定定理，證得/O_L平面3EF,即可證得平面/DO_L平面麻尸.

【詳解】(1)證明：設/=彳刀(0<4<1),則帝一筋=2(就一直)，

所以旃瓦5+2前，

因為。為8C的中點，則的=」就，所以15=麗-茄=,前-茄，

22

又因為48_L8C,則刀.前=0，

因為=2,5C=2拒,8尸_L49,

---?---??1??1?2---?2

貝I」?力O=[(1-A)BA+25C]-(5C-BA)=-ABC-(1-A)BA

=42-4(1-2)=82-4=0,解得4=g,所以尸為/C的中點，

又因為E為尸/的中點，所以EF//PC,

因為。,。分別為尸瓦尸C的中點，所以。。〃尸C,所以EF//DO,

又因為斯2平面，DOu平面4。。，所以斯//平面400.

(2)證明：因為2。分別為尸民尸C的中點，所以。o=Lpc="，

22

所以AD=?DO=0^=叵,

22

因為//8C=90。"=2,5。=與。=也，

2

所以/0==(4+2=逐，所以/。2+。。2=/。2,所以/O_LOD,

因為￡尸//。。，則/O_L￡7"

又因為尸，BFcEF=F,且8尸，斯u平面尸，

所以NO_L平面AEF,

因為/Ou平面4。。，所以平面4OO_L平面5E77.

16.(24-25高三上?江蘇南通?階段練習)如圖，在△/3C中，點。在邊5。上，且。。=2助，￡為邊45的

中點.s是平面/8C外的一點，且有便+網?而=(在+2元).而=0

(1)證明：SC1SD；

⑵已知。￡=1,SD=瓜,SE=3,直線2C與平面SAE所成角的正弦值為逆.

3

(i)求ASDE的面積；

(ii)求三棱錐S-/8C的體積.

【答案】(1)證明見解析；

⑵(i)好；(ii)2V15.

2

【分析】(1)由空間向量的運算可得SELSC,ED1SC,再由線面垂直的判定定理與性質定理即可證明;

(2)(i)由余弦定理求cos/SED,根據同角的平方關系求出sin/S即，再由三角形面積公式即可求解；

(ii)由⑴得NSDC即為與平面SED所成角，根據VS_DEC=VC_SDE及%_則=|R_ABC即可求解.

【詳解】(1)因為E為邊的中點，所以江+而=2豆.

又母+網?五=0,BP2SE-SC=0,即SELSC.

ED=AD-A￡=AB+BID--AB=-AB+-BC

223

]]

=LAB+-AC--AB=-AB+-AC,

23363

所以6而=益+2%.

又因為(次+2X)?而=0,所以6而?而=0，即ED_LSC.

因為S￡C|m=E,SE,EDu平面SED,

所以SC_L平面SED.

因為⑼u平面SE。，所以SC_L也.

ES?+ED2-SD21+9-62

(2)(i)由余弦定理可得cos/S￡D=

2ES?ED2x1x3-3

所以sinNSED=

所以ks"=gxlx3x*=#

（ii）由（1）可知，SC，平面SEZ）,

所以NSDC即為BC與平面SED所成角.

因為sin/SDC=2^2

所以cosNS￡>C=tanNSDC=20，

3

sc

所以-=2痣，得SC=2及SD=2?*a=.

設S到平面ABC的距離為d,點A到直線BC的距離為h,

/則、7匕o-DFC=一3SZ八A口U司￡C。.d——3x—2x—3BC—2h?d

=^^^BC'h'd=^S^ABC'd=^S-ABC-

因為七DEC=九SDE=~X~~~*46=2I），

b—DELC—o￡/￡32,3

==X

又Z-DEC=T-S-ABC，所以VS-ABC^S-DEC=2^/1?.

，J

17.（24-25高三上?天津北辰?期末）如圖，在四棱柱中，平面

ABCD,ABUCD,ABVAD,其中N8==/。=2,DC=1,E是AA,的中點.

⑴求證：OE〃平面48C；

（2）求平面A.BC與平面3CG夾角的余弦值;

⑶求點G到平面48c的距離.

【答案】（1）證明見解析

4

⑶3

【分析】（1）以/為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證得￡>￡//平面43C；

（2）求出平面的法向量，結合（1）中的信息，利用面面角的向量求法計算可得結果;

（3）利用空間中點到平面距離公式計算即可得解.

平面/BCD,NBu平面N5CD,/Du平面ABCD,

AXA1AB,4/±AD，又；ABVAD,

以N為原點，分別以而，五1方的方向為x軸，V軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖），可得

/(0,0,0),5(0,0,2),Z>(2,0,0),C(2,0,l),￡(0,1,0),4(0,2,0),G(2,2,1),

...港=(0,-2,2),蘋=(2,-2,1),

設平面48c的一個法向量為拓=(再,W4),

n-A,B=-2y,+2z,=0

則_L，不妨設再=1,得4=2,必=2,

n-AtC=2x1-2必+Z[=0

所以平面AXBC的一個法向量為萬=(1,2,2),

=(-2,1,0),有無?萬=0，故詼_L萬.

又平面43C,所以DE〃平面48c.

(2)由(1)可知元=(2,0,-1),%=(2,2,-1),

設平面8CC]的一個法向量為應=心，為0),

m?BC=2x?-z9=0

貝―?,不妨設工2=1，得Z2=2/2=。，

m?BCX=2X2+2y2-z2=0

所以平面8CG的一個法向量為而=(1，°，2),

m-nlxl+2x0+2x2

于是cos〈玩，方〉=

元I712+22+22-Vl2+223

所以‘平面42c與平面3CG的夾角余弦值為7.

(3)由西=(2,2,-1),平面48c的一個法向量為為=(1,2,2),

設點￡到平面4BC的距離為d,則d=當世=|2xl：2x2+(一l)x2|=4；

|?|Vl2+22+223

4

所以，點￡到平面43c的距離為g.

18.(24-25高三上?天津紅橋?期末)在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，/尸，平面/8CD,所〃

AB,其中=/尸=2E尸=1,P是棱。尸的中點.

⑴求證：8尸〃平面4PC；

(2)求直線DF與平面APC夾角的正弦值；

(3)求點E到平面APC的距離；

【答案】(1)證明見解析

(2)晅

15

(3)1

【分析】(1)連接3。交NC于點。，連接0P,則由三角形的中位線定理可得B尸〃PO,然后利用線面平

行的判定定理可證得結論；

(2)由已知可證得,且4F_L4D,/B_L4D,所以以A為原點，尸所在直線為x/,z軸,

建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角公式即可求解；

(3)利用空間向量中的距離公式可求點￡到平面/PC的距離.

【詳解】(1)連接3。交/C于點。，連接OP,

因為己。分別為。尸的中點，所以B尸〃P。，

又尸Ou平面4PC,3尸(Z平面/PC,

則BF//平面APC；

（2）直線NEJ"平面48co,48u平面/BCD,

所以/尸_L48,且/尸_L4D,/8_L4E),

則以A為原點，/用/。,/尸所在直線為x/,z軸，建立空間直角坐標系;

5（l,0,0）,D（0,2,0）,￡f1,0,Ac（l,2,0）,F（0,0,l）,pfo,l,1

所以后=（0,1,g）,就=（1,2,0）,

設平面APC的法向量為萬=(x,y,z),

n-AP=Qy+—z=0

由＜，得2

n-AC=Qx+2y=0

令x=2,得萬=（2,-1,2）,且麗=（0,-2,1）,

所以卜os(而?。卜皆三=卓,

1'71|￡?F||H|15

直線小與平面4PC夾角的正弦值為述;

15

(3)因為西=‘也"，

且平面/PC的法向量為萬=(2,-1,2),

\EA-n\

則點E到平面APC的距離d==1.

1?1

19.(24-25高三上?內蒙古鄂爾多斯?期末)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，BCHAD,ABLAD,

AB=BC=1,△P4D是邊長為2的等邊三角形，且平面平面A8C。，點E是棱PD上的一點.

(1)若PE=ED,求證：CE〃平面PAB；

(2)若平面E/C與平面PBC的夾角的余弦值為乎，求PE的值；

⑶求點B到直線CE的距離的最小值.

【答案】(1)證明見解析

⑶且

2

【分析】(1)取尸/的中點R可得CE//BF,再由線面平行的判定定理可得答案；

(2)取40的中點。，由面面垂直、線面垂直的性質定理得P0_L0C,PO1OD,以O為坐標原點，直

線OC,0D,。尸分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，設西=彳而，求出平面E/C、平面P5C的法

向量，由二面角的向量求法求出2可得答案；

(3)設方=〃麗，〃目0川，求出點B到直線CE的距離J1一一4——，分〃=0、0<〃41、必=1可

\4〃--6〃+4

得答案.

【詳解】(1)取尸/的中點尸，連接