微專題16立體幾何經典題型精練

【典型例題】

例1.（2024?高三?湖南長沙?階段練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面

ABCD,PA=AB^BC=2,AD=CD,ZABC=120.

（1）求證：平面PAC_L平面尸BD；

（2）若點M為總的中點，線段PC上是否存在點N,使得直線肱V與平面PAC所成角的正弦值為它.若存

2

在，求案PN的值；若不存在，請說明理由.

【解析】（1）設AC的中點為0,因為AB=3C,所以3O1AC,

因為AD=CD,所以DOLAC,所以3,0,。三點共線，所以3D，AC,

因為PA_L平面ABCD,BDu平面A5CD,所以BD_LX4,

因為PAAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC,所以瓦平面PAC,

因為BDu平面P8D,所以平面B4c，平面PSD.

（2）以OCOD所在的直線為x軸和y軸，過。點作平行于AP的直線為z軸，建立空間直角坐標系，

如圖所示，則C（右,0,0）,尸卜白,0,2）,磯0,-1,0）,

因為M為尸3的中點，所以M,

設兩=彳叫04彳41）,所以N（2&-七,0,2-24）,

f26九—，不1-24

所以MN=

I22J

由（1）知30工平面PAC,所以平面PAC的一個法向量為〃=（。/,0）,

設直線與平面PAC所成角為6,

I.IMN-n\1

則sin。=cosMV,n\=---；一-=——/=-——,

11MN\\n\2.V16/12-102+22

PN1PN4B

即當正=1或拓時’直線MN與平面PA。所成角的正弦值為半.

例2.(2024?高三?全國?專題練習)如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，ZACB=90,CB=1,CA=退,

明=",M為側棱CG上一點，AM1BA,.

G

(1)求證：401平面ABC；

(2)求二面角3-AM-C的大小；

(3)求點C到平面ABM的距離.

【解析】(1)在直三棱柱ABC-A4c中，A4,，平面ABC,

3€:<=平面45。，，8(^_19，

又NACB=90。，:.BC±AC,

ACc441=A,ACu平面A41G。，4Alu平面A41G。，3C_L平面，

AA/u平面，「.AM_LJBC.

ABIBC=B,、BCu平面

.?.AM_L平面A5C；

(2)

方法一：設AMIA]C=。，連接。8,由(1)知，AM上平面ABC.

OB,OCu平面ABC,AM1OB,AMA.OC,

/BOC為二面角AM-C的平面角，

在Rt-ACAf和心△AAC中，Z（MC+ZACO=90°,ZAA.C=ZMAC,

.-.RtACM^RtAA.C,—=^-,/.AC2=MC-AA,,

MCAC

：.MC=^-=^-,在RtACM中，AM=^AC2+CM2=

/i/LL

Q-ACMC=-AMCO,/.CO=ACMC=1,

22AM

在Rt30c中，tanZBOC=—=1,ZBOC=45°.

因此，二面角5—AM—C的大小為45。；

方法二：以點C為坐標原點，CA,CB,cq所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系

C-xyz,

則A（60,0）,A（"。，&），3（0,1,。），

設點M（0,0,zj,則AM=卜石,0,zJ,%=（6,T,C3=（0,1,0）,

QAMIB^,.LZA=-3+扃=0,解得Z]=半，二加

設平面AMB的一個法向量為m=(%,y,z),

m-AM=-y/3x+z=Q,y=6x

由,2,可得＜

z=yflx

m-AB=-^3x+y=0

令x=l,貝！Jy=JLz=0,???平面AMB的一個法向量為血=(1,G,3)

/心、mCBV3V2

顯然，CB是平面⑷0c的一個法向量，cos儼CB)=W'CB廣向J=F,

結合圖形知，二面角B-AM-C為銳角，它的大小為45。；

(3)方法一：設點C到平面4啊的距離為九，易知80=0,

VM-ABC=~MC'SVABC=；義乎xgx百Xl=^,

可知又闞=累小2。=3孚xG：

r30

V4；

QK--ABM=M-ABC>即:"SVABM=Y,-h==X-

34

"SABM432

因此，點。到平面的的距離為YZ；

2

Im-CB|

方法二：易知點C到平面ABM的距離為=華*.

|m|V62

例3.(2024?高三?全國?專題練習)在棱長為2的正方體ABCD-44GA中，E、尸分別是BC、C。的中

點.

(1)求證：EF±ACt.

(2)求直線AG與平面EFD品所成角的正弦值;

⑶若點G、以分別為線段AC”上的動點，點尸為底面4qGA上的動點，求GH+GP的最小值.

【解析】(1)連接8。、AC,?；￡、/分別是BC、CD的中點，

EF//BD,又,：ACLBD,：.EFJ.AC,

又CG，平面ABC。，EFu平面ABC。，/.CCX±EF,

又ACACC,=C,ACu平面ACC,CGu平面AQC,

EF±平面ACG,又AGu平面ACQ,

：.EF1AC1.

(2)設點A到面及的距離為d,

?/正方體ABCD-^QD,的棱長為2,

11

?q—C_C_C923

??uAEF_uABCDuABE°ADF◎CEF=2----x2xlx2----xlxl

222

EF=>/2,BlE=BF=y/5,B〔F=pF?+BB：=把+(6『=3,

Bp+BE-EF?32+(A/5)-(應)2小

cos/FB[E=

2BFBE~

}X2x3x行一5

sinNFB'E=

5

/.SFBiE=1.B1F-B1￡.sinZ￡B1F=1x3x5/5x^=1,

又VA-EFBI~^8,-AEFf用到面AEF的距離為2,

：.d=2,又AE=加，

設直線At與平面EFD再所成角的大小為3,則sin。=矗='=亭,

直線AG與平面EED內所成角的正弦值為寺.

(3)連接8G，設8G，用C交于點H,貝IJBCJBC，

又AB工平面BCC]B1,4Cu平面BCC14，/.B.C1.AB,

又ABIBC[=B,AB,BCXu平面ABC1,；.B,C±平面ABC,,

二不論G在AC】上何處，都有GH_LZ?C，

而GP取最小值時必有GP_L平面421GA,止匕時PeAC且GP±AG，

將，AGA與aac出展平后如圖所示,

7/

B

則sin/AGA-sin/BC】A=,cosA=cos/.BCXA=

u,2\/2

故sin"GA=q-.

則GH+GP的最小值為H到線段AC的距離&x述=土

33

例4.(2024?天津?一模)如圖所示，在三棱柱ABC-A4G中，/里,平面ABC,

/姑C=90。,A8=AC=A41=2.。是棱CG的中點，M為棱BC中點，尸是4)的延長線與AG的延長線的

交點.

⑴求證：尸4〃平面灰)4；

(2)求直線MP與平面BDAt所成角的正弦值；

(3)求平面MPB｛與平面BD\夾角的余弦值.

【解析】(1)在三棱柱ABC-A4G中，AA，平面ABC,/B4c=90。，

則直線AkAG，AA兩兩垂直，

以點A為原點，直線44,AC，4A分別為尤,y,z軸建立空間直角坐標系，如下圖:

由AB=AC=AA=2,得4(0,0,0),4(2,0,0),3(2,0,2),0(0,2,1),4(0,0,2),C(0,2,2),M(l,l,2),

在11AAp中，AV/OG且。是棱CG的中點，則C1也是的中點，即4尸=4,P(0,4,0),

設平面BDA,的一個法向量〃=(x,y,z),則4臺=(2,0,2),4。=(0,2,1)

n-A,B=2x+2z=0/、

則，令y=i,得〃=（2,1,-2）,

m-AxD=2y+z=0

尸4=（2,7,0）,因為尸4）=2x2-4+0=0,所以PgLz,

又因為尸瓦（Z平面,所以戶耳〃平面8ZM].

（2）由（1）知平面的法向量力=（2,1,-2）,又皿？=（-1,3,-2）,

設直線與平面BDA所成的角為a,

I?\MP-H\1-2+3+415屬

貝Usina=cosA/P,n\=---1T=-------=---------,

11\MP\\n\V14x342

所以直線M尸與平面BDA所成角的止弦值為上叵.

42

（3）設平面加尸區的一個法向量根=（%，x，zj,4M=（-1,1,2），4尸=（-2,4,0）,

m?B、M=一再+%+2Z]=0

令4=1,得力2=(4,2,1)

B、P=-2%+4%=0

設平面MPBt與平面BDA夾角為凡

\m-n\|8+2-2|8721

則COS0=cos<m,n>\=i-目=.————1=----

mnV21x363

所以平面MPBt與平面BD\夾角的余弦值紅H.

63

例5.（2024?遼寧?一模）如圖，在平行六面體ABCD-4B￡Qi中，E在線段AQ1上，且

ZEDA=ZEAD,F,G分別為線段3C,AD的中點，且底面A3CD為正方形.

⑴求證:平面BCC^mEFG

（2）若砂與底面ABCD不垂直，直線EO與平面E3c所成角為45。,且E3=AB=2,求點A到平面

4B1CQ1的距離.

【解析】（1）因為NEA4=NE4D,G為AO中點，

所以E4=￡D,EGLAD,即EGL3C,

因為ABCD是正方形，所以3CLAB,

因為尸,G分別是3C,AD的中點，所以所以BCLGP,

又EGGF=G,EG,GFEGF,

二3。_1平面￡16/，又BCu平面8CG4,

■-.平面BCG4_L平面EGF.

UUklLILIU

(2)以尸為坐標原點，過F作與平面ABCD垂直的直線為z軸，以歹C,G歹的方向為XV軸的正方向，建

立如圖空間直角坐標系，

則。(l,-2,0),C(l,0,0),3(-l,0,0),設E(0,a,/?)(aH0,/2>0),

則_ED=(1,—2—a,—/z),EB=,C6=(—2,0,0),

設平面EBC的法向量為n=(x,y,z),

n?EB=—x—ay—hz=0

則《"，令y=-〃，則z=a,

n-CB=-2x=0

所以72=a),又EB=2,所以〃+外=3,

設直線ED與平面EBC所成角為。，

ED-n\\2h\V2

則sin6=-"=------,??,

ED\\n\"J/+(2+4+12

解得。=-3或a=0(舍)，h=—,

22

所以點E到平面ABC。的距離為走，則點A到平面的距離為也.

22

例6.(2024?圖二,山東荷澤,階段練習)已知二棱柱A5C-A4G，其中AC_LCG，CC\_LBg,點p是BB1

的中點，連接4C1，AC=CCl=BiCl=2,異面直線AC和耳G所成角記為8.

（1）若cosd=；,求三棱柱外接球的表面積;

（2）若cosd=0,則在過點P且與4G平行的截面中，當截面圖形為等腰梯形時，求該截面面積.

【解析】（1）

因為CG_LBG，B\C、〃BC,所以CG_LBC,

又因為AC_LCG，AC.3Cu平面ABC,ACrsBC=C,

所以CG，平面ABC,故三棱柱ABC-A4G為直三棱柱，

因為異面直線AC和4G所成角的余弦值為1,

所以COSZAC2=±LsinZACB=—,設該三棱柱外接球球心為點0，

33

①當cosNAC8=J時，

3

由余弦定理可得AB=^AC2+BC--2AC-BC-cosZACB=—,

3

4-

由正弦定理可得底面/IBC外接圓（“為圓心）的直徑2r=.=福=n,

smZACB2。2

而加。=苧=1,所以球。的半徑/=，漱。2+產=巫,

22

所以球。的表面積S=4;求2=10兀，

②當cos/AC2=_!時，AB=VAC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=,

33

同理可得球。的半徑R=2,所以球。的表面積S=4TTR2=16兀；

（2）分別取A4，AG，的中點E,F,G,連接FG,EP,EF,PG,

則FG//A耳且尸G=gA耳=0,

在直三棱柱ABC-A瓦G中，PE是A4向B的中位線,

:.PE!/AB、豆PE=：.FG〃PE,且尸G=；PE,

：.E,F,G,P四點共面，E,尸分別為44-A?的中點，

：.EF//AC,,又EFu平面￡FGP,AG<Z平面EFGP,

，AC"/平面￡FGP,且尸，G分別為AG，Bg的中點，

四邊形PEFG即為符合要求的等腰梯形，

當E不是AA的中點時，PE不平行于平面A4G，過E作E尸〃AG，

連接得到與AG平行的平面，,三棱柱ABC-ABIG底面三角形為直角三角形，

可以將三棱柱補成正方體，過尸作PK〃即，延長尸K與月片相交于S,

連接即交4G于點G,PE不平行于平面A4G，PE與FG共面，

則PE與尸G不平行，，此時四邊形PEFG不是等腰梯形，故等腰梯形有且僅有一個,

在等腰梯形PEFG中，EP=2FG=2顯,取FG,EP的中點”，N,

由圖可知，MNq,故S梯物好G=^x,=?，

所以該截面面積為還.

2

例7.(2024?高一?浙江紹興?期末)如圖1,在梯形ABCD中，AB//CD,E是線段48上的一點,

BE=CD=CE=插,BC=2,將VADE沿DE翻折到△PDE的位置.

(1)如圖2,若二面角尸-即-3為直二面角，M,N分別是BC,PE的中點，若直線MN與平面P3C所

成角為6,sin。>求平面PBC與平面PEC所成銳二面角的余弦值的取值范圍；

6

(2)我們把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，點K為線段CE的中點，G,H

分別在線段尸K,8上(不包含端點)，且GH為尸K,CO的公垂線，如圖3所示，記四面體CKG”的內

切球半徑為廠，證明：-＞2|-^-+—j.

rIKGCHJ

【解析】(1)由題意知/8￡^=/￡^。=〃￡^=90,/尸￡?=/4￡0=45,

而BE=CE,M是BC的中點，所以ME_LED,

又平面PED_L平面3。史，平面PED)平面361坦=小，MEu平面3CDE,

所以ME_L平面尸ED,

在平面PDE內作ED的垂直作為z軸，所以旌_Lz軸，

如圖以E為坐標原點，分別以應0,瓦＞分別為軸正半軸建立空間直角坐標系:

因為BE=CZ>=CE=V^,BC=2,設PE=t?>0),

所以E(0,0,0),M(1,0,0),3(10),C(l,l,0),￡>(0,2,0),

\)\\\P(0,—t,—t],Affo,—f,—A

I22JI44J

所以MN=-1與號,BP=-1,與t+,

(拒拒、一

BC=(0,2,0),EP=0,t,t,EC=(1,1,0),

設平面P3C的法向量勺=(%，x，zj,

2%=0

n,?BC=0fV2

1得

由VV2,V2c，取4=t,o,l,

2

nlBP=0-X[+(5-/+1)/+-^-fcj=0/

々?MN4

sin8二解得72<t<2-

l+:產

設平面PEC的法向量巧=(x2,y2,z2),

x2+y2=0

n2,EC=0

由＜得<672，取%=(1,-1,1),

+tZ

n2-EP=02~2=°

、乙乙

設平面P3C與平面PEC所成銳二面角為。，則

1(1+1)2_1I272(V2+1病

可丁r可“〔丁司

所以平面P3C與平面PEC所成銳二面角余弦值的取值范圍是［I把，崢

（2）S是四面體的表面積，VK_CCH令KG與面CGH所成角為a,

VK—CGH=-GHCHKGsina<-GHCHKG,

66

S.aiG=gcH2H,SKHG=gKGGH,

因為GH是公垂線，8上的點和PK上的點的最短距離是GH,

S、CKG〉SKGH，SCKH>SCHG（取不到等號，）

:.S>CHGH+KGGH^GH\CH+KG),

^GH-CH-KG>^GH(CH+KG)-r,

>2

r￡+4

例8.（2024?高三?重慶?階段練習）如圖所示，已知在四棱柱A8CD-AgGA中，所有的棱長均為2,側面

7T

^^12，底面48。,/￡>℃=/。48=3，￡為62的中點，歹為棱GC上的動點（含端點），過AH

三點的截面記為平面a.

（D是否存在點歹使得&_L底面ABCD?請說明理由；

（2）當平面a與平面ABCD所成二面角的余弦值為亞時，試求平面。截得四棱柱兩部分幾何體的體積之

11

比（體積小的部分作比值的分子）.

【解析】（1）連接2CBD,取QC中點為0,連接2。,。3,

JT

因為2￡>=￡>C=2,N2￡（C=3,故三角形DQC為等邊三角形，則D01DC；

因為面J"面ABCO,面ROCGc面ABCD=￡)C，2Ou面DQCC],故3。，面ABCD；

又O8,OCu面ABCD,故RO,OB,r)Q，OC；

在三角形8OC中，因為DC=3C=2,NOCB=N￡>AB=60。，三角形8DC為等邊三角形，則3OJ_DC；

綜上O2,OC,OR兩兩垂直，則以。為坐標原點，建立空間直角坐標系如下所示：

又OB=OD[=容2=6,故。（0,0,0）,。（0,1,0）,4（也,一2,0）,

R（0,0,73）,C,（0,2,⑹,A網0」，⑹，

設C/=；lCiC,Ae[0,l],

貝1]0戶=；1℃+（1-彳）0。1=（°，40）+（°，2-2尢若一后）=（0,2-/1,有一病），

即F（0,2-4石一及）；

因為。2，面ABCD，故取平面ABCD的法向量為〃=（0,0,1）；

又甌=（6,—2,0）,礪=（0,1-彳廠扇）,

設平面AE尸的法向量為加=（x,y,z）,

m-EA=0,\f3x-2y=0

m-EF=0則|(l-X)y-6z=0取X=A/5/1,則y=qx,z=—；

(T.R)

故平面AE尸的法向量為〃z=V32,-2,^(l-2)

I22J

若存在點尸使得a，底面ABC。，則向?方=0,即一刈=0,解得4=1；

故存在點尸，當其與C重合時，平面C底面ABCD.

（2）設平面。與平面ABC。所成二面角為。，

也（1—2）

由題可得|cose\=巫,即R=廠2=2叵,

11畫加+*和一411

整理得：3A2+22-l=0,解得力=-1（舍去）或2=（

故當下為CG上靠近G的三等分點時，平面a與平面ABCD所成二面角的余弦值為當；

此時，取CG上靠近C點的三等分點為G,取8片上靠近B點的三等分點為8,

連接。如下所示:

在三角形AGG中，瓦F分別為2G，GG中點，故跳7/2G,

又AD\〃BC〃HG,且AQ=8C=HG,故四邊形A?GR為平行四邊形，則4H〃2G〃所，

則平面A.HFE與平面吊￡廠是同一個平面；

又匕88-AMGR=^ABCDx。。1=2sABDx。口=2x義2?X^3=6;

1]、萬42x/3

SARH=-sin60oxAB,xB,H=-x^-x2x-=-^-

，W722233f

1.rrr口16i2A/3

Sc=—sinA60noxEC.xC.F=-x——xlx—=——，

.叼2112236

由（1）知，OBJ_OC,OB_LOD[,OCnODX=O,OC,ODXu面EFCi,

故QB,面￡/G，則棱臺A4"—EG廠的高為OB=6，

X

貝“以鳥”-g尸=§x（S+SECF+Js4速"xSEC〔F）OB

友+旦,

336V36

V7

7

77?9

兩部分體積分別為2和6-2=”，故體積之比為

666

T

例9.(2024?天津和平?一模)如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABC。是正方形，PC平面ABC。,

PD=AD=3,點反尸分別是棱％,PC的中點，點M是線段BC上一點.

(1)求證：總上平面后尸。；

(2)求平面EFD與平面A3CD的夾角的余弦值;

(3)若直線M尸與平面ABC。所成的角的正弦值為,求此時MC的長度.

22

【解析】(1)因為四棱錐P-ABCD的底面ASCD是正方形，平面ABCD,

所以以點。為坐標原點，以。C，。尸的方向分別為無軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如

圖，

則4（3,0,0）,2（3,3,0）,。（0,3,0）,￡＞（0,0,0）,「（0,0,3）,￡（|,0,|；/|（）,|,1

所以小[，。，|]?=[4|],

設平面石尸。的法向量為々=（x,y,z）,

’33

YI,,DE——xH—z=0

99

則33，令x=l，則4=（1，LT），

4?DF=—y+—z=0

、22

又因為尸3=(3,3,—3),則尸3=3%,即尸3〃4,

由〃_1_平面EFD,所以P3J_平面EFD.

(2)設平面EFD與平面ABCD的夾角為6,

平面EFD的法向量4平面A5CD的法向量%=(0,0,1),

所以，cos6=

則平面EFD與平面ABC。的夾角的余弦值為B.

3

(3)設MC長度為根(m＞。)，M(m,3,0),

設直線M廠與平面A3CD所成角為4，

rpja.3j22

因為sinqn=-------,MF

22

3

3_3_3后

解得m=1,此時MC的長度為1.

【過關測試】

1.(2024?高三?浙江寧波?階段練習)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC,

AB1BC,AB=6,BC=2AD=2,E為8的中點，PB±AE.

P

⑴證明：平面平面A5CD；

⑵若PB=PD,PC與平面ABCD所成的角為不過點8作平面PCD的垂線，垂足為N,求點N到平面

ABCD的距離.

【解析】(1)證明：由四邊形ABCD是直角梯形，且A8=后,8C=2A。=2,48_L8C,

---------------71

在直角△ABQ中，BD=JAB?+A￡>2=2,可得DC=2,/2CD=1,

從而△BCD是等邊三角形，8。=2,8少平分24可?，

因為E為C。的中點，所以DE=AD=1,所以3DLAE,

又因為PB±AE,PBcBD=3且尸氏8。u平面PBD,所以平面PBD,

又因為AEu平面A3CD,所以平面PBD_L平面A3CD.

(2)取BO的中點0,連接尸。，因為PB=PD,所以尸OLBD于0,

因為平面平面ABCD,平面尸3。平面ABCD=BD,所以尸01平面ABC。，

7T

連接OC,可得々CO為PC與平面ABCD所成的角，則NPCO=§,

在直角△A3D中，BD=slAB2+AD2=2，

在等邊△3CD中，可得OC=有，

在直角中，可得OP=OCtan/PCO=3,

又因為等邊△BCD,且。為8。的中點，所以OCLBD.

以。為原點，以O8,OC,OP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

如圖所示，則8(1,0,0),C(0,省,0),￡>(-1,0,0),尸(0,0,3),

可得PD=(-1,0,-3),PC=(0,區-3),

設PN=+juPC,可得3(/l+,

則BN=(-2-1,?—3(4+//-1)),

5NPC=3〃+9(2+〃—1)=0解得工〃=三，滿足題意,

由，2=

BA^PD=2+l+9(2+//-l)=0

所以N點到平面ABCD的距離為-3(彳+〃-1)=1.

2.(2024.遼寧.一模)如圖，在三棱柱ABC-A與G中，A41_1平面ABC,AB1AC,AB=AC=2,A4]=4,。

是線段8月上的一個動點，E,尸分別是線段BC,AC的中點，記平面DEF與平面A4G的交線為/.

(1)求證：EF//1-,

(2)當二面角。-EF-C的大小為120時，求BD.

【解析】(1)因為瓦歹分別是線段AC的中點，所以EF//AB.

在三棱柱ABC-A及G中，四邊形他與小為平行四邊形，

所以4用〃A3,則E///A瓦，

因為所u平面A4G,A耳U平面4瓦G,

所以E尸〃平面ABG.

因為EFu平面￡>￡產，平面DEFc平面AB|G=/,

所以E尸〃/.

(2)解法一：在直三棱柱ABC-aqq中，44,，平面ABC,

所以A4,，A民AA，AC,

又ACJ_AB,所以AB,AC,AA兩兩垂直.

以A為坐標原點，分別以AB,AC,AA所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

^BD=t,0<t<4,則A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),Z>(2,0,r),E(l,l,0),F(0,l,0)

所以=(T,0,0),叱=(-2,1,T).

設平面DEF的法向量為n=(x,y,z),

n?EF=-x=0

則

n?DF=-2x+y-tz=0

令z=1,得〃=(0/1).

易知平面CEF的一個法向量為陰=（0,0,4）,

?\n-AAA4

貝Ucosl20=----j-----r=/—

|n|-A4,V?2+1-42

解得/=若或t=一也（舍去）.

綜上，當二面角。-跖-C的大小為120時，BD=?.

解法二：作。G//A3,交A4于點G,連接G尸.

因為A8//E尸，所以。G//EF,

所以Z5,G,尸,E四點共面，

所以平面。砂c平面ACCM=GF.

因為A31AC,A31招,AA]cA。=A,

所以AB2平面ACC|A,

所以跖/平面ACC】A,

所以EF_LFC,EF±FG,

所以/GbC為二面角。-跖-C的平面角.

若上G/7c=120,則在RfZXAG/中，^GFA=60,

又AF=1,所以AG=g,

3.(2024?河北唐山?一模)如圖，三棱柱ABC-A4G中，側面28。°為矩形，底面ABC為等邊三角形.

⑴證明：=A1C；

(2)若AC_LA8,\A=AB=2,

①證明：平面ABC，平面ABC；

②求平面4BC與平面ABG的夾角的余弦值.

【解析】(1)取BC,與G的中點為O,M,連接。M,AO,AQ,

由于側面為矩形，所以851_LBC_OMHBBV:.OMYBC,

由于底面ABC為等邊三角形，所以AO1BC,

AOcOM=O,AO,MOu平面AW,

所以3C1平面AOM,

由于例//OM,AAX=OM,故四邊形AOMA為平行四邊形，

故AOu平面AOM,故BC_LA］。，

又。是BC中點，所以AB=AC,

(2)①由于AB=BC=AC=2,A。J_BC,。是BC中點，所以A。=CO=8。=1.

又AB=AC且AC’AB,所以ac=A3=應，AO=i

由于8C，A。，3(?，40,故4。4為4一8。一4的平面角，

由于402+AO2=AA?,所以ZAOA=',

故平面ABC，平面ABC；

zk

M

②由于。4，。4,。3兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系,

4(0,0,1),A(^,0,0),B(0,1,0),c(0,-1,0),

則ci=(73,1,0),45=(0,1,-1),GA=ci=(右,1,0),

設平面的法向量為m=(x,y,z),

則，取工=若，則根="一3,-3,

7

A}Bm=y—z=0'

由于平面ABC的法向量為3=(0,0,1),

故平面ABC與平面A8G的夾角的余弦值為姮

7

4.(2024?廣東江門?一模)如圖，四邊形ABCD是圓柱底面的內接矩形，是圓柱的母線.

(1)證明：在側棱如上存在點E,使P3〃平面AEC;

(2)在(1)的條件下，設二面角D-AE-C為60。，AP=1,AD=y[3,求三棱錐E-ACD的體積.

【解析】(1)取尸。的中點連接8。交AC于。，連接E。，

因為ABCD為矩形，所以。為加的中點，

所以EO//PB,又EOu平面AEC,PBN平面AEC,

所以PB〃平面AEC,

⑵設AB=《r>0),如圖建立空間直角坐標系，則4(0,0,0),C-6,0),40,百,0),E0,冬：

所以AC=，，君,0）,AD=（0,>/3,0）,AE=［。萬丹

又平面ADE的法向量可以為”=(1,0,0),設平面ACE的法向量為根=(x,y,z),

m?AC=tx+Cy=0

則、61，取m?T,0）

m-AE=—y+-z=0'7

I22

,「|m-n|V313

因為二面角。-AE-C為60。，所以cos60o=^^=J彳,解得廣二（負值舍去）,

網例,3+4/22

3

所以A3=CO=大，

2

所以SACD=-ADCD=-xy/3x-=^,

ACD2224

又點E到平面ACD的距離d=^PA=^,

1

所的以”41/-ACO-=§ScAc0qd=§*乙3幣—\、=區-

5.(2024.山東煙臺.一模)如圖，在三棱柱ABC-A4G中，ABlAC,AB=s/3AC=3,AD=2DB,。為

3c的中點，4。，平面ABC.

⑴求證：AA^OD.

⑵若A4,=26,求二面角8-9-。的余弦值.

【解析】（1）在三棱柱ABC-A4cl中，AB1AC,AB=^AC=3,]JPJ/ACB=60°,OA=；BC=A/^,

由AB=3,AD=2￡>3,得DB=1,在，。80中，ZDBO=30°,DB=l,OB=y/3,

由余弦定理。￡）2+（石）2-2xixgxcos30°=1,得0￡>=1,OA2+OD2-4=AD2,

于是AO_LOD,由4。，平面ABC,ODu平面ABC,得A0，O。,

而A。A。=0,A。,A0u平面AOA，因此8，平面AOA］，又A^u平面AOA1,

所以441J_。。,

（2）由（1）知，0A。2。4兩兩垂直，以0為原點，直線。4。2。4分別為％MZ軸建立空間直角坐標

系。一邙，

由A4,=26,40=6，得4。=3,則A（右,0,0），4（。,。,3）,8（-￥，|,0）,

于是網=（*,-g,3）,BA=（孚,-|,0）,設相=（x,y,z）為平面ABA,的一個法向量,

與3+3Z=0

22

則《取x=6，得機=（6,3,1）,顯然"=（0,1,0）為平面4。4的一個法向量,

姮/=0

〔22’

ryi.n33Jl3

因此cos〈私ri）==今=甯,顯然二面角B-AA.-O的大小為銳角,

|m||V1313

所以二面角B-AA.-O的余弦值為豆1.

13

6.（2024.陜西咸陽?二模）在幾何體中，底面ABC是邊長為2的正三角形.AEL平面A5C,若

AE//CD//BF,AE=5,CD=4,BF=3.

E

D

B

(1)求證：平面DEF_L平面AEFB；

(2)是否在線段AE上存在一點P,使得二面角尸尸-E的大小為三.若存在，求出AP的長度，若不存

在，請說明理由.

【解析】(1)證明：如圖，設分別為ERAS邊的中點，連接MN,DM,CN,

因為AE_L平面ABC,AE〃CD〃族,AE=5,CD=4,3P=3,

AF+BF

所以MN=---=4=CD,MN//BF—MN〃CD,

即四邊形CNME>為平行四邊形，可得ME>〃OV,

在底面正三角形ABC中，N為邊的中點，則CVLAB,

又AE_L平面ABC,且CNu平面ABC,所以AE_LC7V.

由于McABuA,且AE、ABu平面所以CN_L平面.

因為MD〃QV,CN_L平面則MD_L平面AB莊，

又A/E?u平面DEF,則平面￡>EF_L平面AEFB.

(2)如圖，以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系，

則E（O,O,5）,D（O,2,4）,F（?1,3）.

設點P（O,O,r）,則。尸=（外,一1,一1）,OE=（0,-2,1）,DP=（0,-2,r-4）.

設平面PDF的法向量為4=(占,x，zj,平面EDF的法向量為n2=(x2,%,z2).

nDF=0,石%--Z[=0,

由題意知＜l即＜

勺?DP=0,-2%+（^—4）Zj=0,

令Z]=2,貝I]%-4,%=,即％=,12,

“.。/一°'即＜性二::[。'取一則…⑷

n2-DE=0,

|2?-2|711

=cos—=—

由]/八、232,

2勺二

川+3+4

產+8r—29=0，解得：/=±3指一4,由于點尸為線段上一點，故OWfV5,所以r=3?-4,

當f=3&-4時，二面角尸—小—E所成角為銳角，即存在點尸滿足，此時AP=34-4.

7.(2024?高三?全國?專題練習)如圖，PO是三棱錐尸-ABC的高，PA=PB,ABLAC,E是P8的中點.

(1)求證：。￡〃平面B4C；

(2)若/A8O=NC2O=30。，尸。=3,B4=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

【解析】(1)證明：如圖