人教版九年級數學下冊《第二十八章銳角三角函數》單元測試卷-附

答案

學校:班級：姓名：考號：

一、單選題

1.在RtAABC中，ZC=90°,/A的余弦是（）

ABrBC-ACrAC

A4?B.C.D.

ACABABBC

2.一座樓梯的示意圖如圖所示，3。是鉛垂線，C4是水平線，5A與C4的夾角為。.現要

在樓梯上鋪一條地毯，已知CA=4米，樓梯寬度1米，則地毯的面積至少需要（）

444

A.——米2B.——米2C.(4+——)米2D.(4+4tan6)米2

sin0cos6tan。

3.若tanc=石，則銳角a的度數是（）

A.20B.30C.45D.60°

4.如圖，已知“8C內接于半徑為1的。。，NBAC=6（6是銳角），則AABC的面積的最大

A.cose(l+cos。)B.cosd(l+sin。)

C.sin6(1+sin。)D.sin9(1+cos9)

5.在AABC中，已知NA、NB都是銳角，|sinA-||+(1-tanB)2=0,那么NC的度數為

()

A.75°B.90°C.105°D.120°

6.小明想測一棵樹的高度，他發現樹的影子恰好落在地面和一斜坡上，如圖，此時測得地

面上的影長為16米，坡面上的影長為8米.已知斜坡的坡角為30。，同一時刻，一根長為1

米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為()

X..............

A.(12+26)米B.24米C.(8+46)米D.20米

二、填空題

.的對邊

7.把/A的對邊與鄰邊的比叫做的____,記作―一’即0n「,便一斜邊=一

B

斜邊的對邊

4---------------「

NN的鄰邊bC

8.計算：—cos300-sin245°=____.

2

9.如圖，于點0,0A=4,A的半徑是2,將08繞點。按順時針方向旋轉，當

08與。A相切時，08旋轉的角度為____.

fe

10.正六邊形的邊長為8cm,則它的面積為—cm2.

11.計算：\/8—(―)1+2sin45________.

An

12.如圖，在四邊形ABC。中，AD=CD,ZO=60°,ZA=105°,ZB=120°,則——的值

BC

為

D

三、解答題

13.如圖，在AABC中，/B=30o,NC=45o,AC=2,求AB和BC.

14.如圖，ZC=90°,ZDBC=30°,AB=BD,根據此圖求tanl5。的值.

15.如圖1,定義：在直角三角形ABC中，銳角a的鄰邊與對邊的比叫做角a的余切，記

告”的況］力AC

作ctana,即ctana=磬若言=R,根據上述角的余切定義，解下列問題：

角a的對邊BC

（1）如圖1,若BC=3,AB=5,則ctanB=；

(2)ctan60°=

(3)如圖2,已知：△ABC中，NB是銳角，ctanC=2,AB=10,BC=20,試求NB的

余弦cosB的值.

16.為了測量豎直旗桿AB的高度，某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標桿CD,并在地

面上水平放置個平面鏡E,使得B,E,D在同一水平線上，如圖所示.該小組在標桿的F處

通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A（此時NAEB=NFED）.在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3。,

平面鏡E的俯角為45°,FD=1.8米，問旗桿AB的高度約為多少米？（結果保留整數）（參考數

據：tan39.3P0.82,tan84.3°?10.02）

二一9.歹‘

r'」r~_

DEB

參考答案

題號123456

答案CDDDCA

1.c

【分析】根據角的余弦可進行求解.

【詳解】解：在RtAABC中，ZC=90°,則cos/A=——；

AB

故選C.

【點睛】本題主要考查角的余弦，熟練掌握求一個角的余弦是解題的關鍵.

2.D

【詳解】解：在RtAABC中，BC=ACxtan/CAB=4tanO,

，所需地毯的長度為AC+BC=4+4tanq（米）.

面積為：（4+4tanq）xl=4+4tan0（米2）.

故選：D.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用.

3.D

【分析】根據tan60*石，計算判斷選擇即可.

【詳解】因為tan60°=君，tana=V^,

所以銳角a=60。，

故選D.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值，熟練掌握特殊角的三角函數值是解題的關鍵.

4.D

【分析】要使△ABC的面積的最大，則力要最大，當高經過圓心時最大.

【詳解】解：當△ABC的高AO經過圓的圓心時，此時△ABC的面積最大，

如圖所示，

VArZ)±BC,

:?BC=2BD,ZBOD=ZBAC=0,

在放△30。中，

BD=sinO,OD=cos0,

：.BC=2BD=2sm6f

AD=4O+OQ=l+cosa

SAA'BC=—AD*BC=-*2sin^(1+cos^)=sin0(1+cos^).

22

故選：D.

【點睛】本題主要考查銳角三角函數的應用與三角形面積的求法.

5.C

【分析】直接利用絕對值的性質以及偶次方的性質得出sinA=1,tanB=l,進而得出NA=30。,

NB=45。，即可得出答案.

【詳解】V|sinA-^-|+(1-tanB)2=0,

|sinA-g1=0，(1-tanB)2=0,

sinA=,tanB=l,

ZA=30°,ZB=45°,

???NC的度數為：180o-30°-45o=105°.

故選c.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值以及偶次方的性質，正確得出sinA=g,tanB=l是

解題的關鍵.

6.A

【分析】延長AC交BF延長線于D點，則BD即為AB的影長，然后根據物長和影長的比

值計算即可.

【詳解】解：如圖，延長AC交8尸的延長線于點。，作CEL8D于E

E/=8-cos30°=46米，

在RtACED中，同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，

CE:DE=1:2,

;.￡>E=8米，

BD=BF+EF+ED=16+4y/3+S=(24+443^.

在中，AB=1BD=1x(24+4V3)=(12+273)^.

故選：A.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用以及相似三角形的性質.解決本題的關鍵是作出輔

助線得到AB的影長.

b

7.正切；；tanA—

c

【解析】略

8-;

【分析】將銳角三角函數值代入求值即可.

【詳解】解:—cos300-sin245°

2

=旦迫也

222

_3_2

~4~2

~4

故填：；

【點睛】本題考查銳角三角函數值的混合運算，熟記特殊角三角函數值正確計算是本題的解

題關鍵.

9.60°或120°

【分析】分兩種情況求解：當。2與<A相切于C點時和當02與，A相切于。點時，作圖

求解即可.

【詳解】解：當與〈4相切于C點時

如圖，連結AC,則ACLOC

???Q4=4,AC=2sinZAOC=-^

fOA

：.ZAOC=30°

???ZBOC=ZBOA-AOC=60°

當OB與A相切于。點時，如圖，同樣可得到NA8=30°

，ZBOC=ZBOA+AOC=120°

當02與相切時，OB旋轉的角度為60。或120。

故答案為：60。或120。.

【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系：設。的半徑為廣，圓心。到直線/的距離為d,

則直線/和：。相交。d<r；直線/和。相切=d=r；直線/和.。相離od>r.

10.9673.

【詳解】如圖所示，正六邊形ABCDEF中，連接OC、OD,過O作OHLCD；

:此多邊形是正六邊形，

???ZCOD=60°；

VOC=OD,

??.△COD是等邊三角形，

o

OH=CH?tan60°=—x^3=4^3cm,

2

2

.'.SAOCD=1€0^=1x8x473=165/3cm.

S正聲也形=6SAOCD=6X1673=96^/3cm2.

CHD

考點：正多邊形和圓

ii.6

【分析】根據實數的性質進行化簡即可求解.

【詳解】^/8-（1）-'+2sin45

=2-2+2又顯

2

=y/l.，

故答案為：72.

【點睛】此題主要考查實數的運算，解題的關鍵是熟知特殊角的三角函數值.

12.顯

2

【分析】沿A3作垂線與C的延長線相交于M點，可得到等邊直角三角形和銳角為30。的直

角三角形，根據三角函數求解即可.

【詳解】解：如圖

D

連接AC并過B點作3”，CM,設BM=k,

9：AD=CD,ZZ)=60°,

???△ACT)是等邊三角形，AD=AC,

VZA=105°,ZB=120°,NZMC=60。，

ZMBC=60°,ZBCM=30°,ZBAC=45°,

,:BM=k,

BC=2k,MC=BM=J^k,

tan30°

VZBAC=45°,ZMCA=45°,

MCV3k

.*.A￡>=AC=sin45°-叵=&k,

~T

,AD瓜娓

，9^C~~2k~~T'

故答案為：好.

2

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值和公式的應用，正確應用公式和作出輔助線是解題

的關鍵.tan3()o=走，sin450二也.

32

13.AB=272,BC=V2+A/6.

【分析】要求AB和BC,由已知/B、/C為特殊角，故可構造直角三角形來輔助求解.過

點A作AD_LBC于D,首先在RtAACD中求出CD和AD,然后在RtAABD中求出BD和

AB,從而BC=BD+DC可求.

【詳解】

解：作三角形的高AD.

在RtAACD中,NACD=45。,AC=2,.^.AD=CD=點.在RtAABD中,NB=3(F,AD=0，

ADAD

；.BD==瓜，AB=--------=2A/2.

tan300sin300

CB=BD+CD=yf2+a.

故答案為AB=2&\BC=V2+V6.

【點睛】本題考查解直角三角形，解答本題的關鍵是熟練掌握勾股定理與特殊角的三角函數

值.

14.2一6

【分析】設A8=8O=2,由/。8。=30。，可知CO=1,CD=出,最后求出的值即可.

【詳解】設AB=BO=2,

AZA=-(180°ABD)=-ZDBC=15°,

22

VZ￡)BC=30o,

.'.CD=lf

，由勾股定理可求出：BC=\JBD'-(力'=不，

：.AC=AB+BC=2+^,

???tanl5o=士CD=2-、心r.

【點睛】本題主要考查了角的正弦值的計算，解題的關鍵是知道NA=15。并求出AC的長.

15.(1)—；(2)；(3)一.

435

【分析】(1)先利用勾股定理計算出AC=4,然后根據余切的定義求解；

(2)根據余切的定義得到ctan6(T=—H，然后把tan6(F=百代入計算即可；

tan60

(3)作AHJ_BC于H,如圖2,先在RSACH中利用余切的定義得到ctanC=g§=2,則

AH

可設AH=x,CH=2x,BH=BC-CH=20-2x,接著再在RtAABH中利用勾股定理得到(20

-2x)2+x2=102,解得xi=6,X2=10(舍去)，所以BH=8,然后根據余弦的定義求解.

【詳解】解：(1)VBC=3,AB=5,

.?.AC=/2—32=4,

?cBC3

..ctanB=-----=—

AC4

(2)ctan60°=——-r=~n==^~；

tan60J33

(3)作AH_LBC于H,如圖2,

HC

在RtAACH中，ctanC=----=2,

AH

設AH=x,貝!JCH=2x,

.'.BH=BC-CH=20-2x,

在RtAABH中,BH2+AH2=AB2,

(20-2x)2+x2=102,解得xi=6,X2=10(舍去),

ABH=20-2x6=8,

考點：解直角三角形.

16.旗桿AB高約18米.