2.3.4圓與圓的位置關(guān)系

0常考題型目錄

題型1圓與圓的位置關(guān)系............................................................................3

題型2由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)......................................................................5

題型3圓與圓公共弦問題............................................................................9

?類型1圓的公共弦問題.....................................................................10

?類型2最值與范圍問題.....................................................................14

題型4公切線問題..................................................................................18

?類型1公切線條數(shù)問題.....................................................................18

?類型2公切線方程問題.....................................................................23

?類型3公切線長度問題.....................................................................28

?類型4最值取值范圍問題...................................................................33

題型5圓系問題....................................................................................35

題型6兩圓相關(guān)最值問題...........................................................................38

Q知識梳理

知識點一.圓與圓的位置關(guān)系

圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。

知識點二.圓與圓位置關(guān)系的判定

1.幾何法

若兩圓的半徑分別為/1,Z2,兩圓的圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：

位置

外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

關(guān)系

0?

圖示電

d與忻二閡d-G<d<

d>d-

M1的<d<--閡仿二句

/1+色/1+"

關(guān)系?+乃(2㈤(/1*/2)

2.代數(shù)法

通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行判斷.

>0,相交;

圓G方程

>消4一元二次方程</=0今內(nèi)切或外切;

圓G方程

./<0今內(nèi)含或外離W.

注意：涉及兩圓相切時，沒特別說明，務(wù)必要分內(nèi)切和外切兩種情況進行討論.

注意：L圓與圓相離，兩圓無公共點，它包括外離和內(nèi)含；

2.圓與圓相交，兩圓有兩個公共點；

3.圓與圓相切，兩圓有且只有一個公共點，它包括內(nèi)切和外切.

知識點三.兩圓的公切線

兩圓的公切線是指與兩圓都相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.兩圓的公切線有如圖所示的五種情況：

位置關(guān)系兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含

圖示

&蘇

公切線條數(shù)43210

1.外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線;

2.外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；

3.相交時，有2條公切線，都是外公切線；

4.內(nèi)切時，有1條公切線；

5.內(nèi)含時，無公切線.

知識點四.兩圓相交時公共弦所在直線的方程：

圓G:M+_/+Dix+Eiy+A=0與G：彥+〃+>x+￡y+E=0相交時：

1.將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；

2.兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；

3/+〃+2x+8y+月+/（必+必+Ehx+￡y+￡）=0表示過兩圓交點的圓系方程（不包括G）.

知識點五.圓系方程

1.過直線Ax+By+C-0與圓必+_/+Dx+Ey+F=0交點的圓系方程為必+_/+Dx+Ey+F+A[Ax+By

+0=O（/lGR）;

2.過圓G:必+必+DYX+Evy+6=0和圓G：必+必+Dzx+E2y+￡=0交點的圓系方程：必+〃+Dyx

+E1y+Fi+A^+/+D2X+￡y+￡）=0（/1/-1）（該圓系不含圓G解題時注意檢驗圓G是否滿足題意，

以防漏解）.

3.當(dāng)人=1時，變?yōu)椋―iD2）x+（EiE2）+FiF2=0表示過兩圓的交點的直線（當(dāng)兩圓是同心圓時,此直線

不存在），當(dāng)兩圓相交時，此直線為公共弦所在直線；當(dāng)兩圓相切時，此直線為兩圓的公切線；當(dāng)兩圓相

離時，此直線為與兩圓圓心連線垂直的直線.

但題型分類

題型1圓與圓的位置關(guān)系

【方法總結(jié)】圓與圓的位置關(guān)系求解策略

0判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采

用代數(shù)法.

0若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去X?項得到.

【例題1]（2023春?江西萍鄉(xiāng)?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓O：好+y2=1與圓C：/+儼+6y+5=0的位

置關(guān)系是（）

A.相交B.相離C.外切D.內(nèi)切

【答案】C

【分析】利用兩圓外切的定義判斷即可.

【詳解】圓。是以。(0,0)為圓心，半徑勺=1的圓，

圓C：/+儼+6y+5=。改寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為/+(y+3)2=4,則圓C是以C(0,-3)為圓心，半徑「2=2的圓，

則10cl=3,+72=3,所以兩圓外切，

故選：C.

【變式11]1.(2022秋?福建寧德?高二統(tǒng)考期中)圓0-2)2+(y-2)2=1與圓(久+1)2+(y+2)2=25的

位置關(guān)系是()

A.相切B.相交C.內(nèi)含D.外離

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求出兩圓的圓心和半徑，并計算兩圓的圓心距即可判斷作答.

【詳解】圓(%—2)2+(y—2)2=1的圓心的(2,2),半徑勺=1,

圓(x+I)2+(y+2)2=25的圓心。2(-1,—2),半徑q=5,

22

于是|。道2|=7(-1-2)+(-2-2)=56(r2-r1(r2+勺),

所以兩圓相交.

故選：B

【變式11]2.(2023春?安徽?高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))圓的：/+必_6乂-7=。與圓+

產(chǎn)+277y+6=0的位置關(guān)系是()

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

【答案】C

【分析】先將兩圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判定即可.

【詳解】兩圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得的:(x-3)2+y2=16與圓C2：/+(y+V7)2=1,

可知半徑=4,r2=1，于是IC1C2I=J(3-0)2+(0+V7)2=4,

而3=勺一「2<4<n+72=5,故兩圓相交，

故選：C.

【變式11】3.(多選)(2023春?浙江?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓的方程為了+產(chǎn)一軌+2=0,下列

結(jié)論正確的是()

A.該圓的面積為4TtB.點(a,1)在該圓內(nèi)

C.該圓與圓*2+=1相離D.直線x+y-4=。與該圓相切

【答案】BD

【分析】首先將圓的方程寫為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心坐標(biāo)和半徑，對于A,根據(jù)圓的面積公式即可判斷；對

于B,將點(VX1)代入(％-2)2+y2,判斷與2的大小，即可得出結(jié)論；對于C,求出兩圓心之間的距離，

判斷是否大于兩圓半徑之和；對于D,根據(jù)點到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離是否等于半徑，

即可判斷.

【詳解】*2+解_4%+2=(x-2)2+y2=2,可知圓心為(2,0),半徑r=V2；

對于A：由圓的半徑r=V2，得該圓的面積為TTd=2TT,故A錯誤；

對于B：因為(魚-2)2+I?=7-4/<2,所以點(e,1)在該圓內(nèi)，故B正確；

對于C：圓/+必=1的圓心為(0,0),半徑為1,

因為兩圓心距離為J(2—0)2+(0—0)2=2+1,且2>/-1,所以兩圓相交，故C錯誤；

對于D:圓心(2,0)到直線x+y-4=0的距離d==V2=r,

VI+lz

所以直線X+y-4=。與該圓相切，故D正確,

故選:BD.

題型2由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)

【例題2](2022秋?高二課時練習(xí))若圓/+y2=。與圓%2+y2+2%一4y+4=0有公共點，則r滿足的

條件是()

A.r<V5+1B.r>V5+1

C.|r—V5|<1D.|r—V5|<1

【答案】C

【分析】根據(jù)兩圓之間的位置關(guān)系，由圓心距和半徑之間的關(guān)系即可求解.

【詳解】由久,+V+2%—4y+4=0得(％+I)2+(y—2)2=1,

兩圓圓心之間的距離為J(-1)2+22=V5.

,二兩圓有公共點,.'.\r-1|<V5<r+1,

-,-V5—1<r<V5+1,

即-1<r-V5<1,.-.|r-V5|<1,

故選：C.

【變式21]1.(2023春?安徽?高二校聯(lián)考期末)已知圓C:(x-3尸+(y-4)2=「2+25(rGN*),M(-l,0),

N(l,0),若以線段MN為直徑的圓與圓C有公共點，貝什的值可能為.(寫出一個即可)

【答案】1(2,3均可)答案不唯一

【分析】根據(jù)題意，由已知利用圓與圓的位置關(guān)系即可求解.

【詳解】由題意得，圓/+必=1與圓c：(x-3)2+(y-4尸=r2+25有公共點，

：止2+25-1<732+42<7T2+25+1,.上源+25>4，目廠>0,

I，/+25<6

解得0<rWV11；故r=1,2,3均可.

故答案為：1(2,3均可)

2222

【變式21】2(2023?河北衡水?衡水市第二中學(xué)?？既８蹐A的:x+y=lfflC2:%+y-2^3ax-2ay-

5a=0(a>與有且僅有一條公切線，則a=；此公切線的方程為

【答案】1V3x+y+2=0

【分析】根據(jù)兩圓內(nèi)切由圓心距與半徑關(guān)系列出方程求a,聯(lián)立圓的方程求出切點，根據(jù)圓的切線性質(zhì)得出

斜率即可求解.

【詳解】如圖,

由題意得的與。2相內(nèi)切，又。2：0-V3a)2+(y-a)2=4a2+5a(a>0

所以ICiC21=V3a2+a2=V4a2+5a—1,

所以2a+1=v4a2+5a,解得a=1,

所以。2（祗1），keg=美=6*

r

V3

22IX--T

聯(lián)立［((萬一舊%)24-+yg_=11)2=91

,解得＜I--

y一

k2

所以切點的坐標(biāo)為（-今，

故所求公切線的方程為y+H-遍（x+苧），即昌+y+2=0.

故答案為：1；島+y+2=0

【變式21]3.（2023秋?高一單元測試）已知圓。1：（%-叫2+⑶+2）2=9與圓O2：(x+n)2+(y+2)2=1

內(nèi)切，則m2+小的最小值為

【答案】2

【分析】計算兩圓的圓心距，令圓心距等于兩圓半徑之差，結(jié)合基本不等式求解最小值即可.

【詳解】圓。1的圓心為（皿一2）,半徑為勺=3,圓棚的圓心為（f,-2）,半徑為萬=1,

???兩圓的圓心距d=\m+n\,

,兩圓內(nèi)切，；.+?i|=2,可得Hi?+幾2+2mn=4=>4—(m2+n2)=2mn<m2+n2,

所以爪2+n2>2.當(dāng)且僅當(dāng)=|n|=1時，取得最小值，m2+"的最小值為2.

故答案為：2.

【變式21]4.(2022?湖南常德?常德市一中?？级?已知圓C：Q-4)2+(y+3)2=4和兩點

4(-a,0),B(a,0)(a>0),若圓C上存在點P,使得乙4PB=90°,則a的最小值為()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成圓/+必=a2與圓c有公共交點，再利用圓與圓的位置關(guān)系即可求出結(jié)

果.

【詳解】由乙4PB=90。，得點P在圓/+必=上，故點P在圓/+/=上，又點P在圓C上，所以，

兩圓有交點，

因為圓/+y2=的圓心為原點O,半徑為a,圓C的圓心為(4,-3),半徑為1,

所以|a-1|<OC<a+1,又。C=_^42+(―3)2=5,所以|a—l|<5<a+l,

解得4SaW6,所以a的最小值為4.

故選：C.

【變式21]5.(2023春?江西宜春?高二統(tǒng)考階段練習(xí))已知圓C：爐+產(chǎn)一6%―8y+21=0.

⑴若直線匕過定點4(1,1),且與圓C相切，求直線21的方程；

(2)若圓D的半徑為3,圓心在直線?：久-y+2=0上，且與圓C外切，求圓D的方程.

【答案】⑴x=1或5%-12y+7=0

(2)(x+l)2+(y—l)2—9或(x—6)2+(y—8)2=9

【分析】(1)由點到直線的距離等于半徑，即可分情況求解，

(2)由兩圓外切圓心距與半徑之和的關(guān)系，即可列方程求解.

【詳解】（1）圓C：/+y2-6X-8y+21=0

化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-4)2=4,

所以圓C的圓心為(3,4),半徑為2.

①若直線。的斜率不存在，即直線為x=1,符合題意.

②若直線人的斜率存在，設(shè)直線匕的方程為y—1=-1).gpfcx-y-k+1^0.

由題意知，圓心(3,4)到已知直線匕的距離等于半徑2,

所以f=2,即舄=2,

解得k=(,所以直線方程為5x-12y+7=0.

綜上，所求直線匕的方程為x=1或5乂-12y+7=0.

(2)依題意,設(shè)。(a,a+2).

又已知圓C的圓心為(3,4),半徑為2,

由兩圓外切，可知|CD|=3+2=5,

所以J(a—3)2+(a+2—=5,

解得a=-1或a=6.所以或D(6,8),

所以所求圓D的方程為(x+I)2+(y-I)2=9或(x-6)2+(y-8)2=9.

【點睛】本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

(1)先求出圓心和半徑，然后分成直線斜率存在或不存在兩種情況，利用圓心到直線的距離等于半徑列方

程可求得直線的方程.

(2)設(shè)出圓D圓心坐標(biāo)，利用兩圓外切，連心線等于兩圓半徑的和列方程，可求得a的值，從而求得圓D

的方程.

題型3圓與圓公共弦問題

【方法總結(jié)】兩圓公共弦所在直線方程

圓2

C]:x+y~+Dxx+Exy+Fx=0,

圓&:x2+y2+D2x+E[y+B=0,

貝U(A—2)X+(4—耳)y+(E—耳)=0為兩相交圓公共弦方程.

補充說明：

①若。與G相切，則表示其中一條公切線方程；

②若G與。2相離，則表示連心線的中垂線方程.

?類型1圓的公共弦問題

【例題31](2022秋?高二課時練習(xí))已知圓的：*2+y2+2乂一6y+1=。與圓。2:x2+y2-4x+2y-

11=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程()

A.3x+4y+6=0B.3x+4y—6=0

C.3x—4y—6—0D.3x—4y+6=0

【答案】D

【分析】由兩圓方程相減即可得公共弦的方程.

【詳解】將兩個圓的方程相減，得3x-4y+6=0.

故選：D.

【變式31]1.(2023春?全國?高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)圮知圓Ci：(x+I)2+y2=產(chǎn)過圓C2：(%-4)2+

(y-I)2=4的圓心，則兩圓相交弦的方程為.

【答案】5x+y-19=0

【分析】求出M,得到圓的，兩圓相減得到相交弦方程.

【詳解】圓。2：(%-4)2+(y-I)2=4的圓心坐標(biāo)為(4,1),

因為圓的過圓Q的圓心，所以(4+I)2+乎=

所以「2=26,所以Ci：(x+l)2+儼=26,

兩圓的方程相減可得相交弦方程為5x+y-19=0.

故答案為：5x+y-19=0.

【變式31】2.（多選）（2022?高二課時練習(xí)）圓Qi：/+儼—2乂=0和圓Q2：/+產(chǎn)+2x—4y=0的交點為

A,B,則（）

A.公共弦AB所在直線的方程為x-y=。

B.線段AB中垂線方程為x+y-l=0

C.公共弦AB的長為了

D.P為圓Qi上一動點，則P到直線AB距離的最大值為日+1

【答案】ABD

【分析】兩圓方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A的正誤，求出圓％的圓心坐標(biāo)后求出垂直平分線

的方程后可判斷B的正誤，利用垂徑定理計算弦長后可判斷C的正誤，求出％到直線的距離后可求動點到

直線距離的最大值，從而可判斷D的正誤.

2222

【詳解】對于選項A,因為圓Qi：%+y-2%=0,Q2：%+y+2x-4y=0,

兩式作差可得公共弦AB所在直線的方程為4x-4y=0,即x-y=0,故A正確；

對于選項B,圓明：%2+y2-2%=0的圓心為（1,0）,心8=1,

則線段AB中垂線的斜率為-1,即線段AB中垂線方程為y-0=-lx（x-l）,

整理可得x+y—1=0,故B正確；

對于選項C,圓心/（I,。）到x-y=0的距離為d=占嘰=f,

Ji2+(-i)2

又圓Qi的半徑r=1，所以|2B|=211-(y)2=A/2,故C不正確；

對于選項D,P為圓明上一動點，圓心明（1,0）到x-y=。的距離為d=y

又圓％的半徑r=1,所以P到直線AB距離的最大值為*+1,故D正確.

故選:ABD.

【變式31]3.(2023河南統(tǒng)考二模)若圓的：/+y2=1與圓Q：(%-a)2+(y-h)2=1的公共弦AB的

長為1,則直線AB的方程為()

A.2ax+by—1—0B.2ax+by-3=0

C.2ax+2by—1=0D.2ax+2by-3=0

【答案】D

【分析】將兩圓方程相減得到直線4B的方程為a?+必_2ax-2by=0,然后再根據(jù)公共弦AB的長為1即可

求解.

【詳解】將兩圓方程相減可得直線4B的方程為a?+b2-2ax-2by=0,

即2ax+2by—a2—b2=0,

因為圓Ci的圓心為(0,0),半徑為1,且公共弦力B的長為1,

則Ci(0,0)到直線2ax+2by-a2-b2=0的距離為弓,

所以獸工=日,解得a?+房=3,

，4儲+廬)

所以直線4B的方程為2ax+2by-3=0,

故選：D.

【變式31】4.(2021秋?高二課時練習(xí))若圓O:x2+y2=5與圓01:(x-m)2+y2=20(mwR)相交于A,

B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則直線AB的方程為；線段AB的長為.

【答案】x=±l4

【分析】連接001，記AB與001的交點為C,利用勾股定理和等面積法，求出戰(zhàn)|,進而求出|4B|,根

據(jù)|。。11,求出小，進而聯(lián)立求出直線4B的方程.

【詳解】連接001，記AB與0。1的交點為C,如圖所示，在Rt^OOlA中,|0A|=V5,|01A|=2V5,

.'.|001|=5,/.|AC|=^y^=2,/.|AB|=4.

由|001|=5,得m=±5,所以，聯(lián)立可得

%2+y2—(%±5)2—y2=5—20,解得

直線AB的方程為*=±1.

故答案為：①x=±1；②4.

【變式31]5.(2021秋?廣東深圳?高二深圳中學(xué)校考期中)已知圓C的圓心為(2,-2),且與直線x+y+

2V10=0相切.

(1)求圓C的方程；

(2)求圓C與圓/+產(chǎn)=4的公共弦的長.

【答案】(1)0-2)2+(y+2)2=20

(2)272

【分析】(1)由題意求得圓的半徑，即可求得答案；

(2)將兩圓方程相減，求出兩圓的公共弦方程，根據(jù)弦長、弦心距以及圓的半徑之間的關(guān)系即可求得答案.

【詳解】(1)由題意得圓C的半徑為「=巴等到=2西，

故圓C的方程為。-2)2+(y+2)2=20；

(2)圓久2+y2=4和(％_2)2+(y+2)2=20的圓心距為2近,

而2遙-2<2V2<2V5+2,即兩圓相交，

將/+y2=4和(％-2)2+(y+2)2=20相減得x-y+2-0,

圓/+產(chǎn)=4的圓心到％-y+2=。的距離為d=套=或，

故兩圓的公共弦長為214-(夜尸=2V2.

?類型2最值與范圍問題

【例題3212021秋?高二課時練習(xí)膽]Ci：久2+y2+2ax+2ay+2a2—1=。與圓C2:/+y2+2bx+2by+

2b2-2=。的公共弦長的最大值是()

A.iB.1C.-D.2

22

【答案】D

【分析】將兩圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程得出兩圓圓心均在直線y=%±,再利用幾何關(guān)系即可求出

結(jié)果.

【詳解】由d+y2+2ax+2ay+2a2—1=0,得(x+a)2+(y+a)2=1,圓心C\(—a,—a),半徑勺=1；

由。2：/+y2+2bx+2by+2b2-2=0,得(x+b)2+(y+b)2=2,圓心。2(—b,—b),半徑寶=V2,

所以兩圓圓心均在直線y=x±,半徑分別為1和夜，

如圖，當(dāng)兩圓相交且相交弦經(jīng)過小圓圓心，也即大圓圓心在小圓上時，兩圓公共弦長最大，最大值為小圓

的直徑，即最大值為2.

故選：D.

【變式32]1.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知圓C：(x-I)2+(y—2A=5,圓C’是以圓/+必=i上任意一

點為圓心，1為半徑的圓.圓C與圓C,交于4,B兩點，則sinNACB的最大值為()

A-R-c-D-

,2■3,4,5

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得到當(dāng)公共弦4B最大，即4B為圓C'的直徑時，乙4cB最大，即sin/ACB取得最大值，再結(jié)

合余弦定理求解即可.

【詳解】在△4BC中,MC|=\BC\=V5.如圖所示：

當(dāng)公共弦4B最大，即48為圓C'的直徑時,

N4CB最大,又|北|>可得N4CB為銳角，即sinNACB取得最大值.

此時cosNACB=產(chǎn)=|,則sinNACB=1

￡\AC\-\DC\33

故選：D

【變式32]2.(2023?四川成都?四川省成都列五中學(xué)?？既?過直線x+y+l=。上任一點P作直線PA,

PB與圓/+y2_2%=0相切,A,B為切點,貝力ABI的最小值為

【答案】V2

【分析】求出圓/+/一2刀=0的圓心C(l,0),半徑r=1.然后根據(jù)已知可推得，P,B,C,4四點共圓，進而

得出力B是兩圓的公共弦，根據(jù)四邊形PBCA的面積，即可推得=2J1-六.然后求出|PC|的最小值,即

可得出答案.

【詳解】

由已知可得，圓心。(1,0),半徑r=1.

因為P4PB為切線,所以NP"=NPBC='

所以,P,B,C,4四點共圓，PC過圓心，

所以，力B是圓C與圓。的公共弦，所以4B1PC,

且|P4|=yJ\PC\2-r2=J\PC\2-1.

設(shè)四邊形PBC4面積為S，貝[|S=2X/川?r=J|PC|2-1.

又5=；伊。"48|,

所以，1的二暗^2葭2

顯然，當(dāng)|PC|增大時，|48|也增大,

所以，當(dāng)|PC|最小時，|4引有最小值.

當(dāng)PC1的，|PC|最小，|PC|=嚶=e，此時|28|=2Jl^l=V2.

故答案為：V2.

22

【變式32]3.(2023?浙江?高三專題練習(xí))已知圓Ci：(%-a)+y=4與C2：/+(y—4=l(a,bGR)交

于48兩點.若存在a，使得|4B|=2,貝!]b的取值范圍為.

【答案】[-

【分析】根據(jù)圓與圓相交弦所在直線方程性質(zhì)求得直線4B的方程，利用直線與圓相交弦長公式，求得a,b滿

足的等式關(guān)系，根據(jù)方程有解，即可得b的取值范圍.

【詳解】圓的:。-a)2+y2=4的圓心Q(a,0),半徑勺=2,圓Q：/+(y-Z?)2=1的圓心。2(。，。)，半徑

Q=1

若兩圓相交，則|勺一加<cic2<勺+r2，所以1<-\la2+b2<3,BPI<a2+b2<9,

又兩圓相交弦AB所在直線方程為：(x—a)2+y2—x2—(y—b)2—4—1即2ax—2by—a2+b2+3-0

所以圓心Cl3,0)到直線AB的距離心=12a2;。-：2+十3|,圓心C2(0,b)到直線4B的距離d2=W-2+3],

v4a2+4b2v4a2+4b2

____________（,2+廬+3］_遮

則弦長MBI=2Jr?-dl=2J落一點=2,所以｛22；N，貝”雋，所以。2+B=3,

VV4a2+4b2

若存在a，使得MB|=2,則必＜3,即-遍＜b＜V3,所以6的取值范圍為［-8，碼.

故答案為：［-舊,VT|.

【變式32］4.（2022秋?江蘇常州?高二華羅庚中學(xué)校考階段練習(xí)）圓的：/+y2+2x+2y-8=。與C2：

x2+y2—2x+lOy—24-0相交于A、B兩點.

Q）求圓心在直線y=-x上，且經(jīng)過A、B兩點的圓的方程；

（2）求經(jīng)過A、B兩點且面積最小的圓的方程.

【答案】Q）/+y2+6刀-6y+8=0

（2）（x+2）2+（y—l）2=5

【分析】（1）首先設(shè)圓系方程/+y2+2久+2y-8+4（/+產(chǎn)一2久+10y-24）=0（%為常數(shù)），根據(jù)

圓心在直線y=-%上,求4,即可求得圓的方程；

（2）面積最小的圓，就是以線段AB為直徑的圓，求出該圓的圓心和半徑可得圓的方程.

【詳解】（1）因為圓。2的圓心。2（1，-5）不在直線y=-久上，所以所求圓不是圓Q，

故可設(shè)經(jīng)過A、B兩點的圓的方程為/+y2+2%+2y-8+A(x2+y2-2x+lOy-24)=0(%為常數(shù))，

BonP%24I-y2+I—2——24x+2—+1—0A8+24A

/1+A1+A1+A

則圓心坐標(biāo)為（W，甯）；又圓心在直線y=-x上，故m+彳善=0,

解得4=一］故所求方程為/+產(chǎn)+6%一6y+8=0.

（2）因為圓Ci的圓心Q（-1,一1）,半徑勺=V10,圓C2的圓心C2（L—5）,半徑寶=5V2,

所以直線的。2的方程為得=言，即2x+y+3=0,

—b+l1+1

由題意可知以線段AB為直徑的圓的面積最小，

由兩個圓的方程相減可得直線AB的方程為x-2y+4=0,

聯(lián)立《巴；+4=0<解得[J],則所求圓的圓心為(—2,1),

圓心g(-l,-1)到直線力B:x-2y+4=0的距離d=年戶=V5,

V1+4

所以|力用=2J以一片=2710^5=2V5,所以所求圓的半徑為小.

故面積最小的圓的方程為0+2)2+(y-1尸=5.

題型4公切線問題

【方法總結(jié)】兩圓公切線條數(shù)與兩圓位置關(guān)系的相關(guān)結(jié)論如下：

?類型1公切線條數(shù)問題

【例題41](2022秋?貴州遵義?高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末)圓Ci：(x+2)2+(y+4)2=25與圓

22

C2：(x+l)+y=9的公切線的條數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】先判斷圓與圓的位置關(guān)系，從而可確定兩圓的公切線條數(shù).

【詳解】圓的：(%+2)2+(y+4)2=25的圓心坐標(biāo)為(—2,—4),半徑為5；

圓C2：(X++產(chǎn)=9的圓心坐標(biāo)為(-1,0),半徑為3,

所以兩圓的圓心距為d=71+16=V17,

因為5-3<V17<5+3,所以兩圓相交，

所以兩圓的公切線有2條.

故選：B.

【變式41]1.(2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考三模)已知直線[是圓C:("-2)2+(y-I)2=1的切線，并且點B(3,4)

到直線/的距離是2,這樣的直線/有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】D

【分析】由已知可推得，直線最圓C與圓B的公切線根據(jù)兩圓的圓心、半徑，推得兩圓的位置關(guān)系，即可得

出答案.

【詳解】由已知可得，圓心C(2,l),半徑n=1.

由點8(3,4)到直線1的距離是2,所以直線1是以8(3,4)為圓心，2=2為半徑的圓的切線，

又直線[是圓C：0-2)2+(y-l)2=1的切線，

所以,直線/是圓C與圓8的公切線.

22

因為|BC|=V(3-2)+(4-l)=VlO>3=ri+r2,

所以，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，

即滿足條件的直線1有4條.

故選：D.

【變式41]2.侈選)(2023?湖南邵陽?邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知圓A/+儼=1,圓B：x2+y2-

4%-4y+4=0,直線I:mx-y+l-m-0,則下列說法正確的是()

A.圓B的圓心為(2,2)

B.圓A與圓B有四條公切線

C.點M在圓月上，點N在圓B上,則線段MN長的最大值為3+2V2

D.直線/與圓B一定相交，且相交的弦長最小值為2企

【答案】ACD

【分析】將圓B的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可判斷A選項；判斷圓4與圓B的位置關(guān)系，可判斷B選項；求出圓

心距，利用圓的幾何性質(zhì)可判斷C選項；求出直線甲斤過定點C的坐標(biāo)，分析出點C與圓B的位置關(guān)系，并求

出直線/截圓所得弦長的最小值，可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，圓B的標(biāo)準(zhǔn)方程為(久-2)2+(y-2>=4,圓B的圓心為(2,2),故A正確；

對于B選項，圓4的圓心為4(0,0),半徑為勺=1,圓B的半徑為竊=2,

圓心距為=J(2—0)2+(2-0)2=2V2e(1,3),即|勺-加<\AB\<r1+r2,

所以,圓4與圓8相交，故圓4與圓B有兩條公切線，故B錯誤；

對于C選項，因為兩圓圓心距為=2V2,

又因為M在圓4上，點N在圓B上，則線段MN長的最大值為|48|+勺+上=3+2企，故C正確；

對于D選項，直線伯勺方程可化為-1)-(y-1)=0,

由仁;U得｛；二;，所以，直線/過定點C(l,l),

因為(1-2/+(1-2)2<4,故點C在圓B內(nèi)，所以直線/與圓B相交，

當(dāng)Z1BC時，圓心B到直線(的距離取得最大值，且最大值為=V(1-2)2+(1-2)2=V2,

此時，直線/截圓8所得弦長最小，且最小值為2J4-IBC—=2/，故D正確.

故選：ACD.

【變式41]3.(2023?湖北?模擬預(yù)測)已知圓批(久+3k)2+(y+4k+2)2=1+/與圓Q：(X+3k)2+y2=

4廿有三條公切線，則k=.

【答案】"或二浮

【分析】根據(jù)兩圓有三條公切線可知兩圓外切，然后由兩圓心距等于兩半徑之和列式，分類討論可得.

【詳解】圓的的圓心為(-3乂-4k-2),半徑為+廿,

圓Q的圓心為(一3匕0),半徑為2|川，kH0

因為圓的與圓C2有三條公切線，所以兩圓外切，

所以J1+廿+2優(yōu)|=J(—3k+3k)2+(4k+2)2=|4k+2|

即J1+/=|4fc+2|-2|/c|

當(dāng)kW—5時,Jl+I=—2k—2,即3/+8k+3=0

解得k=*或k=笞（舍去）

當(dāng)一：<k<0時，Vl+fc2=6k+2,即35k2+24fc+3=0

解得上=蕊竺或卜=天絲

（舍去）

當(dāng)k>0時，V1+fc2=2k+2,即3k2+8k+3=0

解得k=卓（舍去）

綜上，上二三4卜=上場

故答案為：耳或二等

【變式41]4.（多選）（2023秋?高一單元測試）已知圓Cid+y2=9與圓C2：（x-3）2+（y-4）2=16,

下列說法正確的是（）

A.Ci與C2的公切線恰有4條

B.的與C2相交弦的方程為3久+4y-9=0

C.Cl與C2相交弦的弦長為葭

D.若P,Q分別是圓的,。2上的動點,則|PQ|max=12

【答案】BD

【分析】由根據(jù)兩圓之間的位置關(guān)系確定公切線個數(shù)；如果兩圓相交，進行兩圓方程的做差可以得到相交

弦的直線方程；通過垂徑定理可以求弦長；兩圓上的點的最長距離為圓心距和兩半徑之和，逐項分析判斷

即可.

【詳解】由已知得圓好的圓心的（0,0）,半徑q=3,

圓。2的圓心。2（3,4）,半徑「2=4,

|CiC2|=J（3-0）2+（4-0）2=5,r2-r1<d<r1+r2,

故兩圓相交，所以Cl與。2的公切線恰有2條，故A錯誤；

做差可得的與。2相交弦的方程為3x+4y-9=0,

的到相交弦的距離為看,故相交弦的弦長為219-田丫=g，故c錯誤；

若P,Q分別是圓的,。2上的動點，則由Qlmax=\C1C2\+勺+「2=12,故D正確.

故選:BD

【變式41]5.(多選)(2023秋?高一單元測試)如圖所示，該曲線W是由4個圓：o-1)2+產(chǎn)=1,

(x+I)2+y2=1,X2+(y+I)2=1,X2+(y-I)2=1的一部分所構(gòu)成，則下列敘述正確的是()

A.曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2n

B.若圓/+產(chǎn)=r2(r>0)與曲線W有8個交點，則&<r<2

C.如與阿的公切線方程為久+y-l-V2=0

D.曲線W上的點到直線x+y+5&+1=。的距離的最小值為4

【答案】ACD

【分析】A選項可將曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的半圓，

即可判斷；

B選項可直接由圖討論判斷對錯；

C選項可由圓心到直線的距離等于半徑，求出公切線；

D選項可先找到,月5的公切線方程為x+y+l+&=0,曲線W上的點到直線x+y+5a+1=0的

距離的最小值即為平行線間的距離.

【詳解】曲線w圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的半圓，

所以其面積為2X2+2XTTX12=4+2兀，故A選項正確.

當(dāng)r=&時，交點為B,D,F,H;當(dāng)r=2時，交點為A,C,E,G；

當(dāng)0<r<魚或r>2時，沒有交點；當(dāng)魚<r<2時，交點個數(shù)為8,故B選項錯誤.

設(shè)的與切&的公切線方程為y=fcx+t(fc<0,t>0),

由直線和圓相切的條件可得照=1=受，

解得k=-1,t=l+V2(1-魚舍去)，

則其公切線方程為y=—x+1+/，即x+y—&-1=0,故C選項正確.

同理可得,京5的公切線方程為x+y+l+V2=0,

則兩平行線的距離d=-周=4,故D選項正確.

V2

故選:ACD.

?類型2公切線方程問題

222

【例題422多選I2022秋?高二單元測試)已知圓的:(%-2)2+(y-I)=1,?C2:(%+2)+(y+l)=l,

則下列是圓的與圓C2的公切線的直線方程為()

A.y=0B.4%—3y=0

C.x—2y+V5=0D.x+2y—V5=0

【答案】ABC

【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩圓圖象，由兩圓相離可知共有4條切線，再利用對稱性設(shè)出直線方程，由

點到直線距離公式即可求得切線方程.

【詳解】根據(jù)題意可知，兩圓心的(2,1),0(-2,-1)關(guān)于原點對稱，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩圓圖象，如下圖所示：

顯然,圓心距IC?|=2V5>1+1,即兩圓外離,共有4條切線;

又兩圓心到x軸的距離都等于其半徑，所以x軸是其中一條公切線，即A正確；

利用對稱性可知，其中一條切線匕過原點，設(shè)其方程為y=kx,

又如（2,1）到切線"的距離為1,即同=1,解得k=0或k=g；

當(dāng)k=。時,切線即為久軸,當(dāng)k=爭寸,切線方程為y=|x,即4x-3y=0,B正確；

由對稱性可知，切線以％與直線。道2平行，

易知。心=墨=1所以直線的。2的方程為V=|x,

可設(shè)以匕的方程分別為丫=+c,y=|x-c,（c>0）

由兩平行線間距離公式可得=1,解得c=v，

K2

即切線以的方程分別為y=+y,y=|%-y；

整理可得兩切線方程為x-2y+V5=。和x-2y-芯=0,故C正確，D錯誤；

故選：ABC

【變式42]1.（2023春?重慶沙坪壩?高三重慶八中校考階段練習(xí)）已知圓的:/+必_6久+2ay+10=0關(guān)

于直線x+y=。對稱，圓。2：/+必=2,請寫出一條與圓的,。2都相切的直線方程：.（寫一條

即可）

【答案】y=X-2（或、=-9+*X+-6+；，或y=7-yx_6+：夜,答案不唯一，寫一條即可）

【分析】根據(jù)圓與直線對稱求得a,進而判斷兩圓外切，從而確定公切線有三條.根據(jù)直線與圓相切的幾何條

件建立方程從而可解.

【詳解】因為圓Ci：(x-3)2+(y+a)2=a2-1關(guān)于直線x+y=。對稱,

故圓心Ci(3,—a)在直線久+y=0上，得3-a=0,解得a=3,

故圓小(%-3)2+(y+3)2=8,圓心(3,-3)泮徑勺=2疸

而圓的：％2+y2=2的圓心(0,0),半徑2=V2

所以兩圓的圓心距為。(3—0)2+(-3-0)2=3/=勺+萬

所以兩圓外切，公切線有三條.

顯然公切線的斜率存在，設(shè)方程為y=