第07講空間向量的數量積運算9種常見考法歸類

☆

學習目標

掌握空間向量的數量積，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直.

||雷基礎知識

知識點1空間向量的夾角

如圖，已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作(5X=a,O6=b,則NAOB叫做向量

a,b的夾角，記作〈a,b>

------r——

0<〈a,b)<n

向量垂直如果〈a,b)=?,那么向量a,5互相垂直，記作小方

知識點2空間向量的數量積運算

1.(1)空間向量的數量積

已知兩個非零向量a,b,則⑷網cos{a,b)叫做a,，的數量積,記作a協，即a協卜cos(a,b).零

向量與任意向量的數量積為0,即0也=0.

⑵運算律

數乘向量與數量積的結合律qayb=M(fb),1GR

交換律a?b=b?a

分配律a-(b+c)=a-b+a-c

2.投影向量及直線與平面所成的角

(1)如圖①，在空間，向量。向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平

面a內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量力共線的向量c,c=|fl|cos〈a,b)由，向量c稱為向量

a在向量6上的投影向量.類似地，可以將向量a向直線/投影(如圖②).

(2)如圖③，向量a向平面0投影，就是分別由向量a的起點A和終點5作平面/?的垂線，垂足分別為

A',B',得到向量AB，,向量4朋稱為向量。在平面”上的投影向量.這時，向量a,A'Br的夾角就是

向量a所在直線與平面/?所成的角.

注意點：

⑴向量“，》的數量積記為“協，而不能表示為ax方或者面.

⑵向量的數量積的結果為實數，而不是向量，它可以是正數、負數或零，其符號由夾角。的范圍決定.

①當，為銳角時，a-Z?O；但當時，。不一定為銳角，因為，也可能為0.

②當，為鈍角時，a-b<0；但當。巧<0時，，不一定為鈍角，因為，也可能為兀

(3)空間向量的數量積運算不滿足消去律和結合律.

知識點3空間向量數量積的性質

設力坂是非零向量，"是單位向量，則

①a?e=e-a=|4cos(a,e)；②aJ_Boa.B=0；

③=a-a或|a|=；④cos(a,=:?1；

1111、/卜陰

⑤限小同他當且僅當a,b共線時等號成立)

/■■

豳解題策略

---------------------iiiiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiin-----------------------

1、求空間向量數量積的步驟

(1)將待求數量積的兩向量的模長及它們的夾角理清；

(2)利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角余弦值的乘積;

(3)代入aS=|a||"cos(a,b)求解.

注：在幾何體中求空間向量的數量積，首先要充分利用向量所在的圖形，將各向量分解成已知模和夾

角的向量的組合形式;其次利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角的向量的數量積;最后利用

數量積的定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關系或特殊角.

2、求兩個向量的夾角有兩種方法:

①結合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意向量夾角的范圍;

a?b

②先求。小，再利用公式cos[a,b)=廠而'求出cos(a,b)的值，最后確定〈a,b)的值.

m

3、利用數量積求夾角或其余弦值的步驟

注：求兩向量夾角，必須特別關注兩向量方向，應用向量夾角定義確定夾角是銳角、直角還是鈍角.

4、利用空間向量解決垂直問題的方法

(1)證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數量積是否為0

來判斷兩直線是否垂直.

(2)證明與空間向量a,b,c有關的向量wz,〃垂直的方法：先用向量a,b,c表示向量wi,n,再求解

向量機，〃的數量積并判斷是否為0.

5、求兩點間的距離或線段長的方法

(1)將相應線段用向量表示，通過向量運算來求對應向量的模.

(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量；

(3)因為a?a=|a|2,所以⑷=JH，這是利用向量解決距離問題的基本公式.另外，該公式還可以

推廣為|a±"=而土4=y/a2±2a-b+b2，

I2—2，2一—一一,,

a+b+c^=^a+b+cf1

ya+b+c+2a-b+2a-c+2b-c-

(4)可用|a?e|=|a||cos，|(e為單位向量，8為a,e的夾角)來求一個向量在另一個向量所在直線上的投

影.

Q考點剖析

考點一：空間向量數量積的概念辨析

（-）空間向量的夾角

，1例1.（2023春?高二課時練習）如圖，在正方體4BC。一49中，求向量無心分別與向量R耳,

瓦T，AD>CD>萬萬的夾角?

【答案】45°；135°；60°；120°；90°

【分析】由圖形特征求向量夾角.

【詳解】連接3，則在正方體ABCD—49中，ACLBD,ZBAC=45°,AC=AD'=CD',

所以5,W）=（AC,AB）=45°,

（就，苑）=180°-（正，通）=135°,

阿，碼=NZZ4C=60。，

（記①）=120。，

/AC,W\=國,BD）=90°.

變式1.（2023春?高二課時練習）在正四面體ABC。中，起與前的夾角等于（）

A.30°B.60°C.150°D.120°

【答案】D

【分析】根據正三角內角為60。求解.

【詳解】由正四面體每個面都是正三角形可知，

<~BC,CD>=\80°-<CB,CD>=180°-60°=120°

故選：D

變式2.（2022.高二課時練習）如圖，在長方體ABCD-AB'C。'中:

A'D'

（1）哪些棱所在直線與直線A4'互為異面直線且互相垂直？

⑵若48=百,AY=1,分別求向量^^與&7‘jyc''8；"，的夾角.

【答案】⑴CD,C'D,BC,?C'；

（2）具體見解析.

【分析】（1）由長方體的性質及異面直線的定義即可求得答案；

（2）由空間向量夾角的定義并結合線面垂直的性質定理即可求得答案.

【詳解】（1）在長方體ABCD—AB'C'D中，易知A4U底面A8C￡>,則A4UCD,AA!LBC,而

C'D'//CD,B'C'//BC,所以于是與直線AA互為異面直線且互相垂直的直線有

CD,C'D',BC,B'C'.

（2）易知AAJ_AB,而AB=y/3,AA'=1,所以tanZ.AA'B=y/3nZAA'B=—,Z.ABA'=—.

36

jr

因為CC//A4',所以/，與cZ，的夾角為=

jr

因為DC//AB,所以原，與慶，的夾角為448A=K；

TT

因為8'C」平面ABQA,54七平面所以胡』3'C',所以忌，與此，的夾角為萬.

（二）空間向量的運算律

注2）例2?【多選】（2023春?高二課時練習）設Z,B為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確

的有（）

A-2門2a-bb

A.ci=\ci\B.~—~——

11a-aa

/-*—?\2—?2—?2/—?—?\2—?2—?—?-?2

C.[a-b]=a-bD.\a-b\-a-2a-b+b

【答案】AD

【分析】根據空間向量數量積的定義與運算律一一判斷即可;

【詳解】解：對于A：a=a-a=|a|-|a|cosO=|a|,故A正確；

對于B：因為向量不能做除法，即2無意義，故B錯誤；

a

對于C：(a%)=(忖卡卜0$(°,磯=|a|-|&|cos2(^a,b^,故C錯誤；

對于D：(a-B)=(q-B).(a-B)=a-2a-b+b,故D正確；

故選：AD

變式1.(2023春?高二課時練習)對于任意空間向量￡,b，c，下列說法正確的是()

A.若且切/",則Z//2B.a-(b+c^=a-b+a-c

C.若a?5=crc，且awO，則B=cD.(a-b^c=a(b-c^

【答案】B

【分析】根據空間向量共線的定義判斷A,由數量積的運算律判斷BCD.

【詳解】若半=6,則由M區且切無，不能得出2/1，A錯;

由數量積對向量加法的分配律知B正確；

若則a-(B-c)=。，當Z_L(B-K)時就成立，不一定有石=3，C錯；

rr、rr,rr、

z力卜是與之平行的向量，是與Z平行的向量，它們一般不相等，D錯.

故選：B.

變式2.(2022秋?湖北襄陽?高二校考階段練習)設商，b,都是非零空間向量，則下列等式不一定正確

的是()

A.(商+5)+e=a+(5+@

B.(ji+b^-c=a-c+b-c

c.(u-b^-e=(b-c^-a

D.^a+b^-{a+c^=\a^+(b+S^-a+b-c

【答案】C

【分析】本題考查空間向量加減法和數量積的運算律，根據運算律判斷即可.

【詳解】由向量加法的結合律知A項正確；由向量數量積的運算律知B項、D項正確；C項若萬，1不共

線且很氏5,不不垂直，則(1石)屯=同歸卜05(第5"#(5?辦萬=忖同8$(5@1，故c不一定正確.

故選：c.

考點二：空間向量數量積的運算

（2023春?江蘇鹽城?高二鹽城市大豐區南陽中學校考階段練習）已知向量￡，心向量"與￡石

的夾角都是60。，且同=1,但卜2,忖=3,試求

⑴（N+2B-C）；

（2）（3商-25）?（6一3T）.

【答案】（1）11

2）4

【分析】（1）計算灑B=0,H=：,5?=3,展開計算得到答案.

2

（2）（3a-2b）\b-3c）=3a-b-3a-3c-2b2+2b-3c,代入計算得到答案.

【詳解】（1）向量彼，向量，與Z石的夾角都是60。，且同=1,向=2,同=3,

a2=l,b2=4,c2=9,a-b=0,a-c=|a|?|c|cos60°=^,b-c=|/T|-|C|COS60O=3,

（5+2b-c^=a2+（2Z>j+c2+2a-2b-2a-c-4b-c=l+16+9+0-3-12=ll；

（2）（3a-2&）.（&-3c）=3a-^-3a-3c-2P+2^-3c=0-^-8+18=-1

變式1.（2023秋?廣東揭陽?高二統考期末）在空間四邊形A3CD中，荏.而+/.麗+和.而等于（）

A.-1B.0C.1D.不確定

【答案】B

【分析】令通=￡,衣=a布=入利用空間向量的數量積運算律求解.

【詳解】^-AB=a,AC=b,AD=c,

則AB>CD+AC-DB+AD>BC，

=a?c-a?b+b?a—b?c+cif-c<i=0?

故選：B

變式2.【多選】（2023春?高二課時練習）正方體ABCZ）-4B|GA的棱長為1,體對角線AC】與BD，相

交于點。，貝I（）

A.AB-4G=1B.ABAC[=-j2C.ABAO=^D.BCD^=1

【答案】AC

【分析】根據向量的線性運算的幾何表示，向量數量積的定義及運算律結合正方體的性質即得.

【詳解】方法一：IB-AG=AB.（AB+AD）=AF=I,故A正確；

~AB-AC[=AB-[AB+Ab+AA^=A^=1,故B錯誤；

—.―,—.1___.1

ABAO=AB—AC=-,故C正確；

2l2

BCD4=BC-（B^+CB）=-BC?=-1,故D錯誤；

方法二：

刀?箝=病?雷=|同1陪上05（病,*）=1*應*孝=1,故A正確；

由正方體的性質可知，AC]=6，3G=收，

AB-Aq=|AB||AG|cos（AB,Aq）=|AB||Aq|-^L=lxV3x-^=l,故B錯誤；

.—..1.1

ABAO=AB—AC=-,故C正確；

2l2

0.西=而?西=lxgx[—曰]=—1,故D錯誤.

故選：AC.

變式3.（2023春?江蘇常州?高二江蘇省漂陽中學校考階段練習）在棱長為1的正方體A8CD-A462中,

M為棱CG上任意一點，則；W.前=.

【答案】1

【分析】根據空間向量的線性運算及數量積的運算性質求解.

【詳解】如圖，在正方體中，/為棱CG上任意一點，則成=彳忑=彳可，。這NW1,

AMBC=（AC+CM）-AD=（AB+AD+/IA^）-AD=O+AD2+0=1.

故答案為：L

變式4.（2023?全國?高三專題練習）如圖，上4,面ABCD,ABCD為矩形，連接AC、5￡>、PB、PC、?￡>,

下面各組向量中，數量積不一定為零的是（）

P

A.1與加B.有與次

C.而與羽D.西與前

【答案】A

【分析】根據矩形的性質，利用線面垂直的性質及判定，易證尸B_LD4、ABLPD,PA1CD,而瓦）不

一定與PC垂直，再由向量數量積的垂直表示即可確定選項.

【詳解】由叢，面ABC。，A3CD為矩形，

A：4Du面ABCD,則R4_LAD,而AC與AD不一定垂直，不一定有面PAC,故不一定與PC垂

直，所以定與而數量積不一定為0,符合題意；

B：由A知以_LAZ）,又且ABp|Bl=A,則加_1面必由，又PBu面P4B,所以PB_LZM,即麗

與函數量積為0,不合題意；

C：由上易知R1_LAB,又ZM_LAB且D4n上4=4,則AS2面尸4￡）,又PDu面E4B,所以

即而與羽數量積為0,不合題意；

D：由上知而AB//CD,所以B4_LCD,即兩與前數量積為0,不合題意；

故選：A.

變式5.（2023春?江蘇常州?高二華羅庚中學校考階段練習）如圖，各棱長都為2的四面體ABCO中CE=

麗，/=2麗，則向量赤（

A

BD

E

【答案】A

__i_____.__i__,2__?

【分析】由向量的運算可得而=5（血+而k），CFk=-BAk-BC+-BD,由向量數量積的定義即可得到答案.

【詳解】由題得麗，或夾角，而，阮夾角,而，麗夾角均為三，

■.■CE=ED,AF=2FD,

__1_____>__kk2__?

:.BE=-(BC+BD),AF=^AD,

:.CF=BF-BC=BA+AF-BC

_2__,__k.2__?__?__?1__?__.2__?

=WL+-AD-BC=BA+-(BD-BA)-BC=-BA-BC+-W,

3333

:.BECF=^(BC+BD)-^BA-BC+^W}

X-------,,1---?21-------■-1---,----1---?2

=-BABC——BC——BCBD+—BABD+—BD

62663

=—1x2cx2cx-1-----1x2-2—1x2cx20x—1+—1x2^x2x—1+—「x222=—

2262623

故選：A.

變式6.（2023春?四川成都?高二四川省成都市新都一中校聯考期中）如圖，在平行六面體A8CQ-A4GA

JT九

中，E,尸分別為棱AA，C￡>的中點，記阮=￡,BA=b，BBx=c,滿足ZBIBC=jBA='，ZCBA^-,

\AB\=\BC\=2,|BB,|=3.

（D用a，b>c表示FE；

⑵計算反??麗.

、-.1一一1一

【答案】⑴尸6=53+<?-萬。

(2)1

【分析】(1)根據空間向量對應線段的位置關系，用麗，甌,正表示出苑；

(2)應用向量數量積的運算律得配.屈=：品?麗?甌-g而?南，結合己知即可求數量積.

___k1__________1_____________.]__]_

【詳解1(1)FE=FD+DD.+D[E=—BA+BBX—BC=—b+c—a；

112222

(2)BCFE=BC^BA+BB[-^BC^=^BCBA+BCBB^-^-BCBC

=||BC||BA|COS^+|BC||B<|COS^-1|BC|2=0+3-2=l.

變式7.(2023春?高二課時練習)如圖所示，已知正四面體04BC的棱長為1,點E,尸分別是。A,OC

的中點.求下列向量的數量積：

WOAOB

(2)EFCB

⑶(次+歷)?戶+國

【答案】(/

⑵-：

(3)1

【分析】(1)正四面體的每個面均為等邊三角形，夾角為60。，再結合空間向量數量積的運算法則，得解；

―.1—.

(2)由EF=]AC,代入運算，即可得解；

(3)取A3的中點D,連接DO,DC,可推出(函+礪>(E+國)=4而?。方，再在AOCD中，利用余弦

定理求出cos/ODC的值，從而得解.

【詳解】(1)OA-OB=|oA|-|OB|cosZAOB=lxlxcos600=1

----------1―.—.11

(2)￡F-CB=-AC-CB=-xlxlxcosl20°=——；

224

(3)取A8的中點。，連接DC,則兩+礪=2礪，CA+CB=2O5,

在AOCD中，DO=DC=—,OC=1,

2

由余弦定理知,cosZODC=

2DODC

V3V31

所以(函+函停+函=4EE=4X-------XX—=1.

223

變式8.(2023?全國?高三對口高考)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于°,點E、尸分別

是BC、的中點，則通的值為()

A.a2B.-a2C.-a2D.昱a1

244

【答案】C

【分析】根據向量的線性運算運算律可得荏?赤=”(麗?亞+正?同，在根據數量積的定義求其值.

4

【詳解】由題意，血,而和衣，赤之間夾角均為60。，結合平面向量線性運算有

AE-AF=^(AB+ACy^AD

=^(ABAD+ACAD)

=

—(a2cos60+12cos60)——Q2

44

D

故選：c

變式9.（2023春?江蘇鹽城?高二江蘇省響水中學校考階段練習）平行六面體ABC。-中，以頂點A

為端點的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60。，求西?彩的值是.

【答案】1

【分析】選定基底，根據空間向量的加減運算表示出國，衣，再根據空間向量的數量積的運算，即可求得

答案.

【詳解】由題意得的=麗+通+皿=而-通+M，AC=AB+AD,

則西./=（而-麗+麗）.（通+而）=而2-啟+環荏+環礪

=l-l+lxlxcos60°+lxlxcos60°=1,

故答案為：1.

r）ic

變式10.（2023春?高二課時練習）如圖，在直三棱柱ABC-4B|G（即平面ABC）,AC==明=應,

BC=2AE=2，求樂?卡

4C,

【答案】1

【分析】直三棱柱中可得4A，4B，AA，AC,根據AC=AB=A4J=A/2,由勾股定理可知AB人AC,由

向量的線性運算可得順=g（南+記，從而有理?辛轉化為荏+*）?（正-羽0化簡即可求得答案.

【詳解】平面ABC,.-.^AIAB^AIAC.

AC=AB=A4,=應,BC=2,:.AB2+AC2=BC2AC.

又2C=2AE=2,二￡為BC的中點，AE=-（AB+AC）.

2

相二應,?.AC=2,又福=0,通通=0,麗藍=0

.?.AE-4C=1（AB+AC）-（AC-A4I）=|AC2=1.

考點三：空間向量數量積的最值問題

例4.（2023?陜西西安?校考模擬預測）己知點P在棱長為2的正方體ABCD-A4G。的表面上運

動，則麗?麗的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】取A8中點0,連接尸。，利用向量的線性運算及數量積的運算性質可得.

【詳解】取A8中點。，連接尸。，如圖，

貝“麗?麗=（而+西.（而+礪）=防_次=后,

當p在正方體表面上運動時，運動到自或G處時，PO最大,

222

所以反瓢=D1D+DA+AO=9,

所以可?方的最大值為8.

故選：C

變式1.（2023春?山西運城?高二康杰中學校考階段練習）已知點尸在棱長為2的正方體表面上運動，AB

是該正方體外接球的一條直徑，則麗.麗的最大值為（）

A.-2B.-3C.-1D.0

【答案】D

【分析】根據空間向量的加減法運算和數量積的運算律求解.

【詳解】由題可得，正方體外接球的直徑|鉆|=2』，

設。為正方體外接球的球心，則。為AB的中點，

則有雙=_屈，且|詞=|西=百，

PAPB=（OA-OP）（OB-OP）=OAOB-（dA+OB）OP+OP2

=-|OA|.|OB|+|OP|2=|OP|2-3,

由于|礪|4手1=6，所以西.麗的最大值為0,

故選:D.

變式2.（2023春?四川資陽?高二統考開學考試）如圖，已知正方體的棱長為2,點尸是四

邊形4與GR的內切圓上一點，。為四邊形ABQ）的中心，則蘇?麗的最大值為（）

A.5B.6C.5+72D.5+A/3

【答案】C

【分析】運用向量加法、相等向量將而與而分別表示為麗=的+型，赤=4瓦+西+印，代入數

量積運算即可.

【詳解】由題意知，IQ尸|=1,

設正方形A4G2的中心為0,連接。。八DO、。4,如圖所示,

則加=羽，|西|=2,I竭|=&,oox1?ABCD,OQ_L面

OOi±O,B,,OOt±QP

.?.西?麗=0,西?即=0,

又；麗二西+印,DP=DO+OO^(\P=(\B.+OOl+(\P,

：.麗麗=(西+印)(加+西+印)

----------**?2*?????*2

=OO]+OO]+OO]-O,P+OiPO]B]+O]POO[+O]P

=o+22+o+iaxixia?icos<ax，a^>M)+i

=5+V2cos<O1B1,(91P>

*.*<O1B],O1P>G[0,TI],

當<O]B],O^P>=0時，cos<QBp印>3=1,

，（彼?蘇）1mx=5+"

故選：C.

變式3.（2023秋?江西萍鄉?高三統考期末）已知球。是棱長為1的正四面體的內切球，A8為球。的一條

直徑，點尸為正四面體表面上的一個動點，則而.麗的取值范圍為.

【答案】0,1

【分析】利用等體積法求出內切球的半徑，以及正四面體中內切球球心到頂點的距離，從而可得

萍尸。邛，再根據西?麗=（而+網?回+網即可求解.

如圖所示，在邊長為1的正四面體CD所中，設四面體內切球球心為。,

內切球半徑為人取跳'中點為G,

則DG=》。。1=^DG=^-,^^COt=J—=乎,

因為匕-DEF=^O-CDE+^O-CDF^Q-CEFO-DEF，

所以2xCQ=4、4皿/xOQ，所以。。|=，=逅，

3312

因為點尸為正四面體表面上的一個動點，

所以rWPOVCO,即尸O4』CO[=逅，

12414

因為西.旃=（附+旅）?（而+礪）=用。+而.況+而.9+次.歷，

因為48為球。的一條直徑，所以況=-歷.

所以所2+所.礪—而.弧—加=po2_J_,

因為如VPOV逅，所以

124248

所以OWPO2-J_VL

243

故答案為：of.

考點四：利用空間向量的數量積求夾角

例5.（2023秋?高二課時練習）如圖，已知正方體ABCD-AB'C'D'的棱長為a,設

AB=a,AD=b,AA=c,貝=（）

C.90°D.120°

【答案】D

【分析】根據題意取得口用=缶,|西=&。，且麗=-4,結合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】由題意，正方體ABCD-A4GA中，棱長為a,S.AB=a,AD=b,AA=c,

可得A'B=a—c,B'D'=b—a,可得1Aq='-c卜?S/2G,|B,Z）,|=|^—=,

且AB-B'D'=^a—c^-{b-a^=a-b-a-b-c—a-c=-a2,

貝1cos（赤師）=i

即|加|

因為0。“碇西）V180。，所以（碇麗）=120。.

故選：D.

變式1.（2023春?甘肅金昌?高二永昌縣第一高級中學校考期中）如圖，在平行六面體中,

AB=2,AD=2,M=2,ZBA4,=ZDAA,=60°,ZBAD=90°,則8G與C4所成角的余弦值為（）

D.叵

44

【分析】根據空間向量的基本定理和向量的數量積的定義即可求解.

【詳解】設通=3,AD=b，A^=c,

因為z石工向量不共面，故｛z,反斗可構成空間的一組基底,

結合忖=2,忖=2,卜卜2,ZBA4,=ZDA4,=60°,ZBAD^90°,

1--1

所以7B=0，a^c=2X2X-=2,b^c=2x2x-=2f

貝fjBq=。+c,=—a—Z?+c,

可得的."=e+。?-￡-石+2

=-a-b—a'C—b-b-c+c-b+c

=0-2-4+4=-2,

yjb2+2b-c+^2=J4+2/2+4=2出,

―2—2——————

+b+c+2a'b-2a-c-2b-c

=-x/4+4+4+0—4—4=2,

甌4__2_

函叵「2@2一6

又因為異面直線所成角的范圍是（o,,

所以8G與CA,所成角的余弦值為由.

6

故選：B.

變式2.（2023?河南鄭州?洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，底面邊

長和側棱長均相等，ZBA41=ZCM=60°,則異面直線A片與BG所成角的余弦值為（）

G

3

A

rV2

A

-T34D.4

【答案】A

【分析】先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向

量用基底表示，然后利用夾角公式求異面直線A片與BG所成角的余弦值即可.

【詳解】設AB=a,~AC=b,棱長均為1,

由題意，tz-^=1x1xcos60°=—,b-c=—,a-c=—,

222

,,,ABX=a+c,Bq=b-a+c,

???異面直線A片與BC1所成角的余弦值為逅,

6

故選：A.

變式3.（2023?河北?統考模擬預測）點“、N分別是正四面體ABC。棱BC、AD的中點，則cos（初,西）=

2

【答案】

【分析】以而，林，亞為基底，AM=1（AB+AC）,GV=1AD-AC,即可求解.

【詳解】解：以通，正，礪為基底，它們兩兩之間均為60°,設正四面體ABC。棱長為2,則

AM=1（AB+AC）,aV=|AD-AC,

加.西1（福+砌［而一回而";3恁”"正.正

=1(1+1-2-4)=-2

+2AB-AC+

22

|ov|=IQAO-ACJ=^AD-AD-AC+AC=73,

所以8S（加前”端向Y，

變式4.（2023春?江蘇鎮江?高二江蘇省鎮江中學校考階段練習）在平行六面體A3CQ-4301，中,

AB=AD=AAlf且NR4O=441AD=NAAB=60。，則/。仙區的余弦值是.

【答案】回《底

33

【分析】利用空間向量基本定理，得到離=陽+正+甌，求出|苑］,屬■?荏，再由向量夾角公式求“AB

的余弦值.

【詳解】由題設，可得如下示意圖，

：.Aq=AD+AB+Cq=AD+AB+AA^,

設網=a,則西卜|網=。，X^BAD=AA,AD=Z^AB=60°,

所以荏.布=1/,AB-AA=-a2,AD-AA=-a2,

222

所以以|蒲卜|通+礪+網

=^AB+AD+AA^

I222.

=++AD+離+2ABAD+2ABAA^+2ADAA^

=J/+〃2_|_42+2x—I2+2X—4+2X—Cl2

V222

=y[6a?

而.荏=(而+而+湎).南=#+/+#=2/,

所以c、Cs匹碼=啟瑞=及邛

故答案為：逅.

3

變式5.(2023春?江蘇揚州?高二統考期中)如圖：正三棱錐A3CD中，E/分別在棱AB、AD上,

AE:EB=AF:FD=1:2,且行.而=0，則/BAC的余弦值為.

【答案】|3

.1—.—.1—.

【分析】設ZBAC=e,由AE:E3=AF:FD=1:2可得AE=]A&AP=]A，又泰.麗=0,得

(CA+AE)-(BA+AF)=O,利用數量積的運算律可得cos6>=^.

【詳解】正三棱錐ABCD中，設ZR4C=e,且側棱長相等，

因為AE:EB=AF:FD=1:2,

—?1—?—.1―.

所以AE=5AB,AF=]A。，又屈.麗=0，

所以（場+荏）?（而+宿=0,

:.CABA+CAAF+AEBA+AEAF=Q

/.|CA|x|BA|cos6>+|CA|x||AD|COS（TI-6>）-||AB|x|BA|+1|AB|x||AP|cos^=0

即cos^-—cos^--+—cos^=0,

339

33

解得cos。==，即/B4C的余弦值為三.

77

3

故答案為：—

變式6.（2023春.山東淄博?高一山東省淄博實驗中學校考階段練習）已知空間向量=明=1,（謫=60。,

貝I使向量Z+彳石與-2石的夾角為鈍角的實數力的取值范圍是.

【答案】（-1-也,-1+上）

【分析】先利用空間向量的數量積運算性質求得0+篇）?（。-2歷，?+痛『，卜］2邛關于彳的表達式，

再由兩向量夾角為鈍角得到關于九的不等式組，解之即可得解.

【詳解】因為自=地=1,而〉=60。，

所以分否=忖卡卜05（4萬）=2xlx；=1,a=|a|=4,片=埠=1,

故+—2B）=2。+^A2-2^a-b—2A,b=44+（4——2）—24=4~+22—2,

1+/LZ?|=a~+22a?b+b~=%-+2彳+4,

|/la-2*|2=A2a2-42a-fe+452=422-42+4=4（A2-A+l）,

因為向量Z+'與茂-2石的夾角為鈍角，

(a+M)-(Aa-2b)<0（4+焉）,（4萬-25）<0

所以：二，即

cosa+Ab,Aa-2bw-1（a+Ab）?（2a—2b）w—卜+同以守一2.'

22+22-2<0

則2n--------n------，

U2+22-2^-2V22+22+4+l

解得一1—v2<—1+,BPZG（—1—>/3,—1+A/3）.

故答案為：（-1-A/3,-1+A/3）.

考點五：利用空間向量的數量積解決垂直問題

例6.（2023春?福建莆田?高二莆田第二十五中學校考期中）在空間，已知I,e；為單位向量，且

若￡=2^+3心Z=k4-短,a-Lby則實數左的值為（）

A.-6B.6

C.3D.-3

【答案】B

【分析】由￡和石的數量積為0,解出女的值.

【詳解】由題意可得2%=o,42=0,同=同=1,

所以（2q+3e2）?（左G-4或）=0,即2攵-12=0,得攵=6.

故選：B.

變式1.（2023?江蘇?高二專題練習）已知空間向量￡,石，同=1,忖=0,且與2垂直，則￡與石的

夾角為（）

A.60°B.30°C.135°D.45°

【答案】D

【分析】根據已知可得僅-分4=0,根據數量積的運算律即可求出cos卜,,進而求出結果.

【詳解】因為［刃與￡垂直,所以1詞?￡=（）,

即a_〃?/?="-16z|?|/?|cos=1-42cos（a,b^=0,

所以cos（Z,B）=

又0。源％180。,所以@,?=45°.

故選：D.

例7.（2023春?高二課時練習）已知：如圖，。8是平面a的斜線，。為斜足，ABLa,A為垂足，

CDua,且CD，Q4.求證：CDLOB.

【答案】證明見解析

【分析】要證CD_LQB,只要證說，麗，即證說.麗=0,結合空間向量分析運算.

【詳解】因為CD_LQ4,所以團?況=0，

因為ABLa,CDua,所以ABLCD,CDAB=0.

5LOA+AB=OB,所以①說=①?(函+通)=詼,函+E.通=。，

故CDLOB.

變式1.(2023?全國?高三專題練習)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，且"=2AD=2,

(D求線段PC的長度；

(2)求異面直線PC與50所成角的余弦值；

(3)若E為AB的中點，證明：PA±ED.

【答案】(1)6

⑵嚕

(3)證明見解析

【分析】(1)由已知角的三邊作為空間向量的一組基底，由基底表示定再進行模長計算即可；

(2)由基底表示正、BD，再代入向量夾角公式計算即可；

(3)由而.詼=衣.(亞-;W)計算即可得結果.

【詳解】(1)因為定=可+/=麗+南+而，

所以定2=PA+AB2+AD2+2PA-AB+2PA-AD+2AB-AD=4+4+l-2x2-2xl=3^

|PC|=A/3,

所以線段PC的長度為6.

(2)PCBD=(PA+AB+AD)(AD-AB)=PAAD-ABAB+Al5AD-PAAB+ABAl5-ADAB

=-1x2x——2x2+lxl+2x2x—F0-0-—2,|BD|=y/5,

_PCBD-2_25/15

,?.cos<PC,BD

"RR百x石一15

故異面直線PC與3。所成角的余弦值為近.

15

（3）因為E為的中點，所以A￡>=AE,

又:APDE=AP.(AE-AD)=APAE-AP-AD=2xlx^-2xlx^=0,

AP±DE<即上4J_ED-

考點六：利用空間向量的數量積求距離（即線段長度）

例8.（2023春?安徽?高二校聯考開學考試）已知31均為空間單位向量，且它們的夾角為60。，則

卜+20=

【答案】V7

【分析】根據條件可求出然后根據,+24=標可進行數量積的運算即可求解.

【詳解】因為同咽=1,僅%60。，

所以75=砸即伍?=J,口+2囚=,（￡+20=\la2+4a-b+4b2=J1+2+4=近,

故答案為：不

變式1.（2023春?四川成都?高二四川省成都市新都一中校聯考期中）已知￡,b,2均為空間單位向量,

它們之間的夾角均為90。，那么B-2B+34=（）

A.2B.y/13

C.714D.6

【答案】C

【分析】根據給定條件，利用空間向量數量積的運算律、垂直關系的向量表示求解作答.

【詳解】因為b,"均為空間單位向量，它們之間的夾角均為9