空間角與探索性問題(2種考法)(解析版)_第1頁
空間角與探索性問題(2種考法)(解析版)_第2頁
空間角與探索性問題(2種考法)(解析版)_第3頁
空間角與探索性問題(2種考法)(解析版)_第4頁
空間角與探索性問題(2種考法)(解析版)_第5頁
已閱讀5頁,還剩40頁未讀, 繼續免費閱讀

下載本文檔

版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領

文檔簡介

重難點08空間角與探索性問題(2種考法)

【目錄】

QB)。[即依據定義作平行線,作出異面直線所成的角i

即證明作出的角是異面直線所成的角':

‘解三|戒'箱i浦值而展:而薪電而*亮薪始

或直角,則它就是要求的角,如果求出的角是鈍:

角,則它的補角才是要求的角;

2.求直線和平面所成角的關鍵

作出這個平面的垂線進而斜線和射影所成角即為所求,有時當垂線較為難找時也可以借助于三棱錐的等體

積法求得垂線長,進而用垂線長比上斜線長可求得所成角的正弦值。

3.找二面角的平面角的常用方法

(1)由定義做出二面角的平面角

(2)用三垂線定理找二面角的平面角

(3)找公垂面

(4)劃歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角

4.用坐標法求異面直線所成角的一般步驟

(D建立空間直角坐標系;

(2)分別求出兩條異面直線的方向向量的坐標;

(3)利用向量的夾角公式計算兩條直線的方向向量的夾角;

(4)結合異面直線所成角的范圍求出異面直線所成的角.

5.利用向量法求兩平面夾角的步驟

(1)建立空間直角坐標系;

(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量;

(3)求兩個法向量的夾角;

(4)法向量夾角或其補角就是兩平面的夾角(不大于90°的角)

6.探求某些點的具體位置,使得線面滿足平行或垂直關系,是一類逆向思維的題目。一般可采用兩種方法:

一是先假設存在,再去推理,下結論;二是運用推理證明計算得出結論,或先利用條件特例得出結論,然后

再根據條件給出證明或計算。

[關鍵技巧》空間向量適合解決立體幾何中的探索性問題,它無需進行復雜的作圖、結論、推理,只需

要通過坐標運算進行判斷。解題時,把要成立的結論當作條件,據此列方程或方程組,把“是否存在”問題

轉化為“點的坐標是否有解,是否有規定范圍的解”等,能更簡單、有效地解決問題,應善于運用這一方法

解題。

U三、題型方法

考法1:空間角問題

L(2023?上海青浦?統考二模)如圖,在直三棱柱ABC-AUG中,底面AASC是等腰直角三角,

AC=BC=AAi=2,。為側棱A4的中點.

⑴求證:平面ACCM;

(2)求二面角B{-CD-C{的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

【分析】(1)證明出3c±AC,BCLCC,,利用線面垂直的判定定理可證得結論成立;

(2)以點C為坐標原點,C4、CB、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標徐,利用空間向

量法結合同角三角函數的基本關系可求得結果.

【詳解】(1)解:因為AABC是等腰直角三角形,B.AC=BC=2,則1AC,

因為在直三棱柱ABC-4與。]中,CQ1平面ABC,

因為BCu平面A3C,所以,BC1CC-

因為AcncG=c,AC、CC|U平面ACGA,故3C」平面ACGA.

(2)解:因為CG,平面ABC,AC±BC,

以點C為坐標原點,CA,CB、CG所在直線分別為x、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

z

則c(o,o,o)、0(2,0,1),4(022)、G(0,0,2),

設平面與。的法向量為前=(x,y,z),CD=(2,0,1),函=(0,2,2),

mCD=2x+z=0

則,取尤=1,可得機=(1,2,-2),

mCB[=2y+2z=0

易知平面CCQ的一個法向量為元=(0,1,0),

m-n22

cos(m,n

Ml=3^=3則sin

因止匕,二面角4-。-G的正弦值為

2.(2023?上海寶山?統考二模)四棱錐尸-的底面是邊長為2的菱形,/ZMS=60,對角線AC與

8。相交于點O,P01底面ABC。,PB與底面ABC。所成的角為60。,E是P8的中點.

⑴求異面直線OE與朋所成角的大小(結果用反三角函數值表示);

(2)證明:OE〃平面出。,并求點E到平面B4D的距離.

【答案】⑴arccosV2

4

(2)證明見解析,平

【分析】(1)建立空間直角坐標系,利用向量法求異面直線所成的角即可;

(2)根據中位線及線面平行的判定定理證明線面平行,再由點面距離的向量法公式求解.

【詳解】(1)由題意,兩兩互相垂直,以。為坐標原點,射線。2、OC、0P分別為x軸、y

軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系,如圖,

菱形ABC。中,ZDAB=600,所以班>=203=2,

在RtAAOB中Q4=>]AB2-OB2=,

因為底面ABCD,所以尸8與底面ABCD所成的角為NPBO=60。,

所以P0=31160°=g,

則點AB、D、P的坐標分別是A(0,-君,0),3(1,0,0),。(-1,0,0),尸(0,0,6),

1/7uunQ/QUUULI—

E是PB的中點,則七(右0,三),于是。石=(于0,三),AP=(0,^,V3).

3

ULUIlUL1U八97Z

設。及AP的夾角為a則有cosO=/=3--------=彳,

\4+4^+

故6=arccos,

4

團異面直線OE與公所成角的大小是arccos—.

4

(2)連接。E,

???E,。分別是的中點,

:.EO//PD,

。.?田仁平面以。,尸Du平面E4。,

EOH平面PAD.

UUULLf

因為AP=(0,g,白),AO=(-1,60),

設平面出。的法向量;=(x,y,z),

五.AD=-x+石y=0

令x=5則y=Lz=-1,

為?AP=6y+A/3Z=0

fUUDI3

所以〃=(后—1),又DE=q

__T?32/3_2/3

則點E到平面PAD的距離d=麻川=?―=蟲=叵.

I;I,3+1+1A/55

3.(2023?上海閔行?統考二模)如圖,在四棱錐P-A8C。中,底面ABC。為矩形,尸箱平面A8C。,

PD=AD=2,AB=4,點E在線段AB上,S.BE=-AB.

⑴求證:C£EI平面P8Q;

(2)求二面角P-CE-A的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵坦

21

【分析】(1)結合三角函數的定義證明3DLCE,然后由線面垂直的判定定理得證線面垂直;

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,用空間向量法求二面角.

【詳解】(1)設2D與“相交于點反,

因為尸平面ABC。,CEu平面ABC£),

所以PDLCE,

由AB=4,BE=-AB,得跳;=1,

4

因此tan/ECB=LtanZ.ABD=—,

-22

可得NECB=NAB£>,

因為NDBC=ZADB,

所以N3//C=NB4D=90°,即或)_LCE,

又因為PD_LCE,PDcBD=D,PD,BDu平面PBD,

所以C£0平面PBD;

(2)如圖,建立空間直角坐標系。-孫z,

則C(0,4,0),P(0,0,2),E(2,3,0),

所以PC=(0,4,-2),CE=(2,-l,0),

設平面PCE的一個法向量”=(x,y,z),

則n-—CE=0,即f/2_y;=0解

n-PC=0[4y-2z=0

令x=l,則>=2,z=4,于是“=(1,2,4),

平面ACE的一個法向量為正=(OQl),

--m-n445/21

則cos<m,n>=1T=—=———

|m||n|1.J1(+4+1621

由圖形可知二面角P—CE-A為銳角,

所以二面角P-CE-A的余弦值是拽I.

21

4.(2023?上海黃浦?上海市敬業中學??既?已知,正三棱柱ABC-4瓦£中,44,=2,AC=1,延長CB

至。,使CB=3D.

4G

⑴求證:CALD^.

(2)求平面BtAD與平面AOC所成銳二面角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

(唔

【分析】(1)通過底面的邊角關系可得/ZMC=90。,DA1CA,進而可證得平面A”,從而得證;

(2)法一:取中點E,聯結qE,可證得/BE用為二面角耳-AO-C的平面角,從而得解.

法二:建立空間直角坐標系用向量的方法求解.

【詳解】(1)因為是正三棱柱ABC-ABC-所以MLOL,

AB^BC,且2BAC=/36=60。,從而/DBA=120。

又CB=BD,所以AB=BD,/DAB=30。,

ZDAC-ZDAB+ZBAC=90°,即D4_LC4,

XDAflA4j=A,AA]、£>4<=面44£),

.?.C4L平面AAD,又。Au面AAO,

CA1DA,

(2)解法一:取AD中點E,聯結耳2所以3E〃AC,

又ZM_LC4,故

因為平面ABC,DAu面ABC,所以D4_LB8],

又BEcBB[=B,BB[、BEu面BgE,

所以ZM,平面8耳E,又B]Eu面BB】E,所以D4L片E,

所以ZBEB,為二面角8,-AD-C的平面角,

因為BE=-AC=-,BBx=2所以tan/5E8]=2=4,

22BE

平面BtAD與平面的)C所成銳二面角的余弦值為姮.

解法二:以直線AD為X軸,直線AC為y軸,直.線AA為z軸建立空間直角坐標系.

八Z

4r——

X

則4(0,0,0),耳[《。2],。(后0,0),而=便乂,0),用=害,;,2,

122JI227

設平面ABQ的一個法向量%=(w,v,w),

AD-%=乖tu=0

貝"一V31,

A.B,,YL=—UH—V+2W=0

[22

令vv=l,則v=—4,所以%=(O,T,1),

又平面ACB的一個方向量為=(0,0,1),

設二面角4-4。-C的大小為a,

平面BtAD與平面APC所成銳二面角的余弦值為手.

5.(2023?上海閔行?上海市七寶中學校考二模)已知正方體ABCD-A4G,,點E為4,中點,直線8。

交平面CDE于點E

⑴證明:點F為4G的中點;

(2)若點M為棱A耳上一點,且直線與平面CDE所成角的正弦值為鼠I,求黑的值.

25A4

【答案】⑴證明見解析.

(哈

【詳解】(1)在正方體ABC。-A4GA中,CD//C\D\,又CD仁平面且CIRU平面

ABd,

則c。//平面A8IG2,而耳G交平面CDE于點尸,即尸€平面。。及/€耳£,

又男Qu平面44。],,有歹e平面A4GA,因此平面CDEc平面4旦££>]=EF,

于是CE>//£F,而E為4。中點,

所以廠為與G的中點.

(2)以。為坐標原點,方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標系,

不妨設正方體的棱長為3,設怨=〃OV2W1),

則M(3,32,3),C(0,3,0),,0,3:/|1,3,3),

從而加=(T,3%_3,O],函=(0,3,0),而=13,°,3

設平面CDE的一個法向量為n=(x,y,z),貝l]

'3j=0x=2

n-CD^O

,即(3.八,不妨取x=2,則vy=0,即為=(2,0,—1),

n-ED=Q—x+3z=0

12z=-l

設直線叱與平面CDE所成角為e,

又直線叱與平面CDE所成角的正弦值為逑,

25

\MF-n\36A/5

sin。=解得;,

因此\MF\-\n\"25"2=

+(32-3)2.百

_1

所以

6.(2023?上海普陀?曹楊二中??既?如圖,在四棱錐C-ABED中,正方形ABED的邊長為2,平面

ABED_L平面ABC,且3C_LAC,AC=^/L點G,尸分另(J是線段EC,B。的中點.

⑴求證:直線Gf7/平面ABC;

⑵求直線GF與平面所成角的大小.

【答案】⑴證明見解析

【分析】(1)連接AE可得G尸為AC的中位線,再利用線面平行的判定定理即可得出證明;

(2)利用四棱錐C-A5即的結構特征以及線面垂直的判定定理,建立以3為坐標原點的空間直角坐標

系,利用空間向量和線面角的位置關系,即可求得直線G尸與平面3Z組所成角的大小為

【詳解】(1)根據題意可知,連接4E,則AE交8。與歹;如下圖所示:

在△ACE中,歹為AE的中點,又點G是線段EC的中點,

所以GF//AC,

又GPa平面ABC,ACu平面ABC,

所以直線Gf7/平面ABC;

(2)由平面ABED_L平面ABC,且平面ABEDc平面ABC=AS,

又四邊形Aft。是正方形,所以又3Eu平面ABED,

所以BEJ_平面ABC;

過點3作直線y平行于AC,又8CLAC,

所以以8為坐標原點,分別以直線3C,直線y,直線BE為%y,z軸建立空間直角坐標系;如下圖所示:

y

c

x

由正方形ABED的邊長為2,BC±AC,AC=/可得,BC=1;

所以B(0,0,0),C(l,0,0),E(0,0,2),£>(l,0,2);

BE=(0,0,2),ED=(1,73,0);

又點G,E分別是線段EC,皿的中點,所以6(;,0』;尸;,手,1

即喬=10,4,0;

設平面CDE的一個法向量為〃=(x,y,z);

n-BE=2z=Q「

所以—.,可得z=0,令x=6,解得y=-1;

ij-ED=x+dr3y=G

即元=(a-l,0)

設直線G尸與平面CDE所成的角為,則

所以直線G尸與平面所成角的大小為J.

6

7.(2023?上海長寧?上海市延安中學校考三模)已知AABC和VADE所在的平面互相垂直,ADYAE,

AB^2,AC=4,/R4c=120。,。是線段BC的中點,AD=6

⑴求證:ADLBE-,

(2)設AE=2,在線段AE上是否存在點尸(異于點A),使得二面角A-族-C的大小為45。.

【答案】⑴證明見解析

⑵不存在,理由見解析

【分析】(1)根據余弦定理計算BC=2近,根據勾股定理得到確定平面ABE,得到證

明.

(2)建立空間直角坐標系,計算各點坐標,平面A3尸的一個法向量為4=(0,1,0),平面CBP的一個法向

(2A\

量為后=詈,2,根據向量的夾角公式計算得到答案.

I3J

【詳解】(1)BC2=AC2+AB2-2AC-AB-cosl20°=4+16+8=28,故BC=2近,

BD=^,則BL)?=452+42)2,故的L,

又ADLAE,AE,A8u平面ABE,AEr>AB=A,故AD_L平面ABE,

3Eu平面ABE,故AD_LBE,

(2)AABC和△")£t所在的平面互相垂直,則平面ABCc平面ADE=AE>,

且AEu平面ADE,故AE_L平面ABC,

如圖所示:以A6AD,/山分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(-2,273,0),設尸(0,0,a),ae(0,2],

平面ABF的一個法向量為%=(0,1,0),

皿/、1%?BC=2A/3V-4x=0

設平面CBF的一個法向量為5=(x,y,z),則!____.'

%?BF=-2x+qz=0

口,口門一(26a_

取x=〃得至|J〃2=a,32

7

解得a=2有,不滿足題意.

綜上所述:不存在點尸,使二面角A-/-C的大小為45。.

8.(2023?上海浦東新?華師大二附中校考模擬預測)如圖,直三棱柱ABC-44G內接于圓柱,

AB=A\=BC=2,平面ABC_L平面AA4B

5

4G

⑴證明:AC是圓柱下底面的直徑;

(2)若M為4G中點,N為cq中點,求平面ABC與平面所成二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)連接A與,利用平面A8C,平面4414g可得到A瓦,平面4BC,繼而得到BC_L4耳,結合

4均可得到BC工平面所以AS人3C,即可求證;

(2)以{麗,而,西}為正交基底建立空間直角坐標系計算出平面ABC和平面的法向量,

然后用夾角公式進行求解即可

【詳解】⑴連接破,在直三棱柱ABC-A4G中,AB=AAt=2,

二.四邊形A44B為正方形,

又平面ABC±平面AA^B.B,平面48cc平面AA.B^B=\B,A瓦u平面A^B.B,

AB.1平面\BC,又3Cu平面BC1ABt

又叫_L平面ABC,3Cu平面ABC,/.,

又AB】nA^=A,ABi,AA[u平面的4臺,

.?.3C_L平面又ABu平面

AB±BC,:.AC為圓柱底面的直徑.

(2)由已知耳8,平面ABC,ABLBC,

.?.以{麗,而,西}為正交基底建立空間直角坐標系3-孫z,

*0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),4(O,O,2),A(2,0,2),Q(0,2,2),

M,N為AG,C(中點,M(1,1,2),N(0,2,1),

設平面ABC的一個法向量為克=(百,%,4),

-m=0——?/、一?/、

,又3=(2,0,2),3C=(0,2,0),

-m=0

f2x,+2z,=0/、

...eJc,取4=-1,得玉=1,%=0,.■.玩=(l,0,—l),

12%=0

設平面BAW的一?個法向量為專4%,%"?),

BM-n—0----.—.

則一,又3M=(l,l,2),BN=(O,2,l),

BN-H=0

心f+二y,+=2Z?!?=0取Z—,得…E,

八1八/、m-n3+25s

,元=(3,1,-2),二cos(加㈤=麗=70rH

所以平面ABC與平面BMN所成二面角的余弦值為紅,對應的正弦值為J1-V21

14\

9.(2023?上海金山?統考一模)如圖,在四棱錐尸-98中,已知PAL底面A3C。,底面ABCO是正方

形,PA=AB.

⑴求證:直線班平面PAC;

⑵求直線PC與平面PBZ)所成的角的大小.

【答案】⑴證明見解析

,、

(2)arcsm,—1

【分析】(1)由線面垂直的判定定理即可證明;

(2)以A為坐標原點,分別以破為XXZ軸,建立空間直角坐標系.分別求出直線PC的方向向量

與平面PBD的法向量,由線面角的向量公式代入即可求解.

【詳解】(1)因為PA_L平面ABCD,且BDu平面ABCD,

所以

在正方形ABCD中,ACJ.BD.

而PAnAC=A,2,ACu平面PAC,

故平面PAC.

(2)以A為坐標原點,分別以A&ARAP為乂乂z軸,

建立空間直角坐標系.

設AB=1,則以1,0,0),。(0,1,0),尸(0,0,1),C(1,1,0),

從而麗=(1,?!?),力=(0,1,—1),定=(1,1,—1).

設平面PB£>的法向量為專=(x,y,z),

PB-fi-0[x—z-0fx-z

PDn=01y-z=01y=z,

令z=l,貝!J〃=

設直線PC與平面刊犯所成的角為e,

,一馬正川1

則sin。=|cosPC,n\=?.八—r=—,

附卜1a3

故PC與夾面PBD的所成角大小為arcsinj.

10.(2023?上海?統考模擬預測)如圖,在正三棱柱ABC-AgG中,AA=AC=2,分別為CQ,A,B

⑴證明:ED/mABC-,

⑵求直線CC,與平面ABD所成角的大小.

【答案】⑴證明見解析

【分析】(1)取A8中點/,連接CF,所,證明。E〃B,根據線面平行的判定定理即可證明DE〃平面

ABC.(2)分別取AC,AG中點O,。,連接。。,08,以。為原點,。民。。,。。1所在的直線分別為x軸,

y軸,z軸建立空間直角坐標系,利用空間向量的方法計算即可求出結果.

【詳解】(1)證明:

取AB中點F,連接CP,。,

因為正三棱柱ABC-4月G,

所以CC//A4],且CC]=A4[=2,

因為E為線段48的中點,

所以EP/MA且歷=1例.

所以所〃CG且跖=1,

因為。為CG中點,所以C£>=1.

所以EF〃CE>且砂=8.

所以四邊形CDEF是平行四邊形.

所以DE//CF.

又因為平面ABC,CPu平面ABC,

所以DE〃平面ABC.

(2)解:

分別取AC,AG中點。,。一連接Oq,O3,

因為ABC-44G是正三棱柱,

所以。01//A4,A4,_L平面A3C,0B1AC.

所以。OJ平面ABC.

所以OO^OC.

以。為原點,。8,。。,。。1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.

所以率=("1,-2),匿=(0,0,2),麗=卜石,1,1).

設平面42。的法向量為7=(x,y,z),

“席=06x+y-2z=0

所以即<

BDn=0-y/3x+y+z=0

令y=l,解得X=0,z=2,所以5=(G,1,2).

IT

設直線CG與平面4瓦)所成角為,,0<^<p

|cq.?||V3xO+lxO+2x2|近

貝Usin8=cos

國桐-2xj3+l+4.2

所以0=£.

4

即直線CG與平面48。所成角為:.

11.(2023下?上海浦東新?高三華師大二附中校考階段練習)如圖,A8為圓。的直徑,點E尸在圓。上,

AB//EF,矩形ABC。所在平面和圓。所在的平面互相垂直,已知A3=2,班'=1.

⑴求證:平面ZMF_L平面CBF;

(2)當AD的長為何值時,二面角C-EF-3的大小為60°?

【答案】(1)證明見解析

3

(2)AD=-

【分析】(1)由題意可知C3_L平面ABEF,AF1CB,再證AF_1平面CBF,即可證平面IMF_L平面

CBF-,

(2)設E尸中點為G,以。為坐標原點,礪,礪,力的方向分別為尤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標

系,設AT>=(f>0),求出平面CEF的法向量,并取平面EFB的一個法向量為元=(0,0,1),由題意可得

|cos(m,M)|=cos60°,即可求解.

【詳解】(1)證明:回平面ABCDJL平面CBLAB,平面ABCDc平面=,

I3CB_L平面AB£F.

ElAFu平面ABEF,EAF±CS,

又AB為圓。的直徑,SAF±BF,

而CSPlBb=8,。氏8尸(=平面03/,EIAFJ_平面CBF\

ElAFu平面ADb,回平面尸_L平面CB廠.

(2)設E尸中點為G,以。為坐標原點,次,礪,而的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標

系,

設AD=(>0),則C(T,0,r),E|,F-,^-,0,B(-l,0,0),

0EF=(1.0,0),CF=

22

m-EF=Q

設平面CEF的法向量為沅=(x,y,z),則<_.

m-CF=Q

x=0

即‘3^3,令z=粗,可得沅=(O,2f,J5)

一xH---y-tz=O

[22'

取平面EFB的一個法向量為n=(0,0,1),

Icos<m,?>|=cos60\即1=唧=

,解得r=;3,

12|m||n|府三

3

則當AD的長為萬時,二面角C-砂的大小為6限

12.(2023?上海楊浦?統考二模)四邊形ABC。是邊長為1的正方形,AC與80交于。點,出,平面

ABCD,且二面角尸—3C-4的大小為45。.

⑴求點A到平面PBD的距離;

(2)求直線AC與平面PCD所成的角.

【答案】(欄

(嗎

【分析】(1)建立空間直角坐標系,設|上4|=。,利用空間向量法及二面角尸-3C-A的大小求出。的值,

即才

再求平面PBD的法向量7,根據點A到平面PBD的距離d求解即可;

H

(2)先求出平面尸CD的法向量,利用空間向量法求解即可.

【詳解】(1)因為四邊形ABCD是正方形,PA_L平面ABCD,AB,ADu平面ABCD,

所以AP,A氏AD兩兩垂直,

以A為原點,AB,AD,AP所在直線為x軸,V軸,z軸建立如圖所示坐標系,

ZA

設|B4|=a,a>0,則尸(0,0,a),3(1,0,0),C(l,l,0),A(0,0,0),£>(0,1,0),

所以麗=(l,0,-a),BC=(0,1,0),荏=(1,0,0),

設平面P3C的法向量4=(下,%,zj,

4-PB=&-azl=0

則<取4=(a,0,l),

-BC=Ji=0

取平面BCA的法向量%=(0,0,1),

因為二面角P-BC-A的大小為45。,

所以cos(%,%)=,匕口=~^—=號,解得0=1,即尸(0,0,1),

'/悶悶Jra+1x12

所以麗=(1,0,-1),PD=(O,l,-l),通=(0,0,1),

設平面尸BD的法向量;=(%,%,Z。),

n.PB=x(}-z(}=0

則_,取〃=(1,1,1),

n-PD=yo-zo=O

AP-n1_73

所以點A到平面PBD的距離d=,,

川?3"T

(2)由(1)^PC=(l,l,-l),PD=(O,l,-l),AC=(l,l,O),

設平面PCD的法向量機=(羽y,z),

m?PC=x+y-z=0

則,取加=(0,1,1),

m?PD=y-z=0

7T

設直線AC與平面PCD所成的角為,,0^0,-

所以sin*.配碼|=/=我%4

所以直線AC與平面PCD所成的角為;7T.

6

13.(2023?上海寶山?上海交大附中校考三模)如圖,PD_L平面A3CD,四邊形A3CD為直角梯形,

AB//CD,ZADC=90°,PD=CD=2AD=2AB=2.

⑴求異面直線AB與PC所成角的大??;

⑵求二面角5-PC-D的余弦值.

【答案】⑴:7T

4

(2)如

3

【分析】(1)根據可得異面直線所成的角,利用直角三角形求解即可;

(2)以點。為坐標原點,建立坐標系,再由向量法得出二面角8-尸C-D的余弦值.

【詳解】(1)由AB/CD,

則異面直線AB與PC所成角即為一PCD,

由題意知,PD_L平面ABC。,又CDu平面ABC。,

故PDJ_CD,所以tan/PCO=£2=l,即/PC£>=工,

CD4

TT

即異面直線A3與PC所成角為7.

4

(2)因為PD_L平面ABC。,">u平面ABCD,

所以又PDLDC,ADLDC,

所以以。為原點,ZM.DC,DP分別為x,%z軸建立空間直角坐標系:

則D(0,0,0),4(1,0,0),3(1,1,0),C(0,2,0),尸(0,0,2),

則正=(0,2,-2),沅=(-1,1,0),麗=(0,0,2),可=(1,0,-2),

設平面PJ5c的法向量為。=(x,y,z),

£5.PC=,v—0/—Q

則一,取X=l,得y=Lz=i,得為=。,1,1),

聲?BC=-;c+y=0

取平面尸DC的法向量為次=(1,0,0),

設二面角8-尸C-D的大小為0,由圖形知,。為銳角,

\n-DA1>/3

所以cos0=^^

同網A/3xl3

所以二面角B-尸。-。的余弦值為無.

3

14.(2017?上海黃浦?統考二模)如圖,在直棱柱ABC-AB。1中,AAl=AB=AC=2,ABJ.AC,D,E,F

分別是AA,CG,3c的中點.

(1)求證:AE±DF;

(2)求AE與平面DEF所成角的大小及點A到平面DEF的距離.

【答案】(1)見解析(2)^-714

【詳解】試題分析:直三棱柱底面為AABC,AB,AC,建立空間直角坐標系,寫出相關點的坐標,利用向

量數量積為0,易證尸;再借助求平面的法向量,利用線面角公式及點到平面的距離公式求出對應

的值.

試題解析:(1)以A為坐標原點、AB為x軸、AC為y軸、AA為z軸建立如圖的空間直角坐標系.

由題意可知4(0,0,0),以0,1,2),磯—2,0,1)1(—1,1,0),

故通=(-2,0,1)"=(-1,0,-2),

由通?而=-2x(-l)+lx(-2)=0,

可知荏_L"T,即AELDR.

(2)設為=(x,y/)是平面DEF的一個法向量,

又麗=(一1,0,-2)麗=。,1,—1),

n-DF=—x—2=0,x=-2,

故由{解得§=3,=(-2,3,1).

n-EF=x+y-l=0,

\n-AB]5J70

設AE與平面。斯所成角為,,則sin6=^^=后=%,

\n\-\AE\J14.J514

所以AE與平面DEF所成角為arcsin—,

14

點A到平面DEF的距離為AE?sin。=』年.

14

【點睛】根據幾何體的特征建立適合的空間直角坐標系,寫出相關點的坐標,證明線線垂直,只需說明數

量積為零,求點到平面的距離,只需求出平面的法向量,利用點到平面距離公式計算出結果.證明線面、面

面的平行或垂直問題,要把握平行與垂直的判定定理和性質定理,嚴格根據定理進行邏輯推理,有關角和

距離的計算大多使用空間向量,借助法向量進行計算.

考法2:探索性問題

1.(2022上?上海虹口?高二華東師范大學第一附屬中學??计谀┤鐖D,在三棱柱ABC-A與G中,底面

ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,側面A4CC為菱形,點A在底面上的投影為AC的中點。,且

⑴若加、N分別為棱A8、用G的中點,求證:為W||平面CDN;

⑵求點C到側面的距離;

⑶在線段A片上是否存在點E,使得直線。E與側面相2小所成角的正弦值為包?若存在,請求出人也

7

的長;若不存在,請說明理由.

【答案】⑴證明見解析

d

7

⑶存在,且|4國=1

【分析】(1)由已知利用中位線性質分別得出MDIIBC且2|MD卜忸C|,與且|MD|=|4N],證明

四邊形用NZW為平行四邊形,gpB{M||ND,即可證明結論;

(2)由已知結合投影性質與等腰直角三角形性質,證明直線。8,DC,0A兩兩垂直,并得出需要線段

長,再建立空間直角坐標系,求出平面的一個法向量與蔗,即可代入公式求解答案;

(3)假設存在,并設出關系,得到乖,再由向量運算得到正,即可由線面角公式結合已知列式求解.

【詳解】(1)證明:連接

4

NG

1

B

?.?M為AB的中點,。為AC的中點,

.?.MD||BC^2|MD|=|3C],

QN為4G的中點,

則在三棱柱ABC-44G中,,與N||BC且2禺時=忸。|,

.?.40|8戶且|岫=|甲7|,

.?.四邊形與NDM為平行四邊形,

BXM||ND,

NDu平面CDN,且N平面CDN,

BtM||平面CON;

(2)???點A】在底面上的投影為AC的中點。,

.?.AQ_L平面ABC,

AO_LAC且AO_LBD,

底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,

:.BDLAC,

■.?側面A41cle為菱形,且A。LAC,

AC=AA=AC,

-,-AB=2,

:.DB=DA=DC=42,且%=而,

,直線。2,DC,兩兩垂直,

故以點。為坐標原點,直線。8,DC,分別為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,

則0(0,0,0),A(o,-V2,o),B(A/2,0,0),C(0,應,0),A(0,0,網,

則通=(加,夜,0),AC=(0,25/2,0),麗=(0,忘,布),

設平面AA.B.B的一個法向量為n=(x,y,z),

.n=y/2x+V2y=0(x+y=0

廠」,即/?A

S?為=肉+濕=01y+j3z=0

取z=l,則為=(若,一近,1),

則點C到側面①與小的距離為:

,國?為|2.2^42

(3)假設存在滿足條件的點E,并設4豆=2?硒=2?芯=(&,忘40),2e[0,l],

貝1」瓦=西+/=(立I,仞,網,

???直線DE與側面A41AB所成角的正弦值為旦,

7

.諉-\COJ-DEn\~屏臼-廣疵_

,,R''州-刖""6x>'

解得儲=;,1--2G[0,1],則2=;,

故存在滿足條件的點E,且|AE|=TAB|=I,

2.(2023上?上海普陀?高二上海市晉元高級中學??计谀┱?5C的邊長為4,CO是A8邊上的高,E、F

分別是AC和BC邊的中點,現將AA6C沿8翻折成直二面角A-OC-3.

⑴求證:直線AB〃平面DEF;

(2)求二面角E—。尸—C的余弦值;

⑶在線段BC上是否存在一點P,使APLDE?若存在,請指出P點的位置,若不存在,請說明理由.

【答案】⑴證明過程見詳解

⑵手

⑶存在,靠近B的三等分點

【分析】(D判定線面關系,可以從線線關系尋找,由線段中點,可利用中位線性質的線線平行,再利用線

面平行判定定理確定;

(2)求二面角,一般利用空間直角坐標系,結合空間向量的數量積解決:先建立空間直角坐標系,再分別計

算兩平面的法向量,最后利用空間向量數量積求夾角的余弦值,經判斷所求二面角為銳角即可得出結論;

⑶確定點的位置,一般利用空間直角坐標系求出點的坐標,再明確位置關系.要求點尸的坐標,只需列兩個

獨立條件,一個為在直線上,另一個為垂直,利用這兩個條件可得點P的位置,進而求解.

【詳解】(1)如圖,在中,由分別是AC、BC中點,得EF//AB,

又AB平面DEF,EFu平面DEF,AB〃平面DEF.

(2)由題知,AD±CD,平面ADC_L平面且交線為DC,

平面3OC,因為BOOCu平面3OC,所以AD_LBD,AD,OC,

又已知如,CD,.?.AD,應>,CD兩兩垂直,以點。為坐標原點,直線D&DCDA為x軸、y軸、z軸,建立

空間直角坐標系,如圖所示,

則A(0,0,2),5(2,0,0),C(0,2后0),網0,后1),尸(1,60,

平面CD尸的法向量為屈=(0,0,2),設平面EZ)廠的法向量為。=(x,y,z),

DFn=0x+y/iy=0

即<取為=(3,一0,3),

DEn=06y+z=0

國同7,

???二面角石-。尸-C的余弦值為叵.

7

(3)設尸(x,y,0),因為AP_LDE,貝II??瓦=^y-2=0,;.y=竿,

又麗=(尤-2,y,0),定=卜天2石-y,0),

?/BP//PC,:.(%-2)^2^3-=-xy,:.-J3x+y=2y/3,

DG4—?1——?

把y=把代入上式得x=-,/.BP=-BC,

333

/yr-\

在線段BC上存在點尸才平,0,即靠近B的三等分點,使APLDE.

3.(2022上?上海浦東新?高二校考期末)如圖,正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2,側棱長是2&,點、P

為側棱SD上的點.

⑴求正四棱錐S-ABCD的體積;

⑵若平面PAC,求二面角尸—AC—D的大小;

⑶在(2)的條件下,側棱SC上是否存在一點£,使得BE//平面E4c.若存在,求跖:EC的值;若不

存在,試說明理由.

【答案】⑴逑

3

(2)30°

(3)當5E:EC=2:1時,3£7/平面PAC.

【分析】(1)作出輔助線,找到正四棱錐的高,并求出長度,利用錐體體積公式求出答案;

(2)建立空間直角坐標系,利用空間向量求解二面角的大?。?/p>

(3)在第二問的基礎上,設詼=r氐,通過詼=配+/息得到面的坐標,結合詼.旃=0求出/的值,

求出答案.

【詳解】(1)連接8。與AC相交于點。,連接S。,

因為正四棱錐S-MCD的底面邊長為2,側棱長是2萬,

所以SO回平面ABC。,AO=BO=CO=DO=y/2,

即SO為正四棱錐的高,

故正四棱錐的高6=J(2揚2-(42=",

正方形ABCD的面積為22=4,

所以正四棱錐S-A5CD的體積V=L4XB=M區;

33

(2)以。為坐標原點,無,雙,礪分別為x軸、>軸、z軸正方向,

建立坐標系。-孫z如圖.由(1)知高50=".

于是5(0,0,病),。(-也,0,0),以0,應,0),

OC=(0,72,0),5D=(-V2,0,-A/6),OC-W=0>

故OC_LSD,從而AC_LSD,

所以平面PAC的一個法向量麗=(3,0,后),

平面DAC的一個法向量漏=(0,0,76).

由圖可知二面角P-AC-。為銳角,設所求二面角為凡

I蕾麗[不

則cos。=

|網網-2

所求二面角的大小為30。;

(3)在棱SC上存在一點E使BE〃平面PAC.

由(2)得麗是平面PAC的一個法向量,

且麗=(四,0,"),底=(0,-應,而),設醞.息,

貝|]麗=配+/=初+3=(_0,后_",癡/),

而麗?旃=0ot=;,即當SE:EC=2:1時,BE±DS,

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論