重難點08空間角與探索性問題(2種考法)

【目錄】

QB)。［即依據定義作平行線，作出異面直線所成的角i

即證明作出的角是異面直線所成的角'：

‘解三|戒'箱i浦值而展:而薪電而*亮薪始

或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍:

角，則它的補角才是要求的角；

2.求直線和平面所成角的關鍵

作出這個平面的垂線進而斜線和射影所成角即為所求，有時當垂線較為難找時也可以借助于三棱錐的等體

積法求得垂線長，進而用垂線長比上斜線長可求得所成角的正弦值。

3.找二面角的平面角的常用方法

(1)由定義做出二面角的平面角

(2)用三垂線定理找二面角的平面角

(3)找公垂面

(4)劃歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角

4.用坐標法求異面直線所成角的一般步驟

(D建立空間直角坐標系；

(2)分別求出兩條異面直線的方向向量的坐標；

(3)利用向量的夾角公式計算兩條直線的方向向量的夾角；

(4)結合異面直線所成角的范圍求出異面直線所成的角.

5.利用向量法求兩平面夾角的步驟

(1)建立空間直角坐標系；

(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量；

(3)求兩個法向量的夾角；

(4)法向量夾角或其補角就是兩平面的夾角(不大于90°的角)

6.探求某些點的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關系，是一類逆向思維的題目。一般可采用兩種方法:

一是先假設存在，再去推理，下結論；二是運用推理證明計算得出結論，或先利用條件特例得出結論，然后

再根據條件給出證明或計算。

［關鍵技巧》空間向量適合解決立體幾何中的探索性問題，它無需進行復雜的作圖、結論、推理，只需

要通過坐標運算進行判斷。解題時，把要成立的結論當作條件，據此列方程或方程組，把“是否存在”問題

轉化為“點的坐標是否有解，是否有規定范圍的解”等，能更簡單、有效地解決問題，應善于運用這一方法

解題。

U三、題型方法

考法1:空間角問題

L（2023?上海青浦?統考二模）如圖，在直三棱柱ABC-AUG中，底面AASC是等腰直角三角，

AC=BC=AAi=2,。為側棱A4的中點.

⑴求證：平面ACCM；

（2）求二面角B{-CD-C{的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

喈

【分析】（1）證明出3c±AC,BCLCC,,利用線面垂直的判定定理可證得結論成立；

（2）以點C為坐標原點，C4、CB、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標徐，利用空間向

量法結合同角三角函數的基本關系可求得結果.

【詳解】（1）解：因為AABC是等腰直角三角形，B.AC=BC=2,則1AC,

因為在直三棱柱ABC-4與。］中，CQ1平面ABC,

因為BCu平面A3C,所以，BC1CC-

因為AcncG=c,AC、CC|U平面ACGA，故3C」平面ACGA.

（2）解：因為CG，平面ABC,AC±BC,

以點C為坐標原點，CA,CB、CG所在直線分別為x、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

z

則c(o,o,o)、0(2,0,1),4(022)、G(0,0,2),

設平面與。的法向量為前=（x,y,z）,CD=（2,0,1）,函=（0,2,2）,

mCD=2x+z=0

則,取尤=1,可得機=（1,2,-2）,

mCB[=2y+2z=0

易知平面CCQ的一個法向量為元=（0,1,0）,

m-n22

cos(m,n

Ml=3^=3則sin

因止匕，二面角4-。-G的正弦值為

2.（2023?上海寶山?統考二模）四棱錐尸-的底面是邊長為2的菱形，/ZMS=60,對角線AC與

8。相交于點O,P01底面ABC。，PB與底面ABC。所成的角為60。，E是P8的中點.

⑴求異面直線OE與朋所成角的大小（結果用反三角函數值表示）;

（2）證明：OE〃平面出。，并求點E到平面B4D的距離.

【答案】⑴arccosV2

4

（2）證明見解析，平

【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求異面直線所成的角即可;

(2)根據中位線及線面平行的判定定理證明線面平行，再由點面距離的向量法公式求解.

【詳解】(1)由題意，兩兩互相垂直，以。為坐標原點，射線。2、OC、0P分別為x軸、y

軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系，如圖，

菱形ABC。中，ZDAB=600,所以班>=203=2,

在RtAAOB中Q4=>]AB2-OB2=，

因為底面ABCD,所以尸8與底面ABCD所成的角為NPBO=60。，

所以P0=31160°=g,

則點AB、D、P的坐標分別是A(0,-君,0),3(1,0,0),。(-1,0,0),尸(0,0,6),

1/7uunQ/QUUULI—

E是PB的中點，則七(右0,三)，于是。石=(于0,三)，AP=(0,^,V3).

3

ULUIlUL1U八97Z

設。及AP的夾角為a則有cosO=/=3--------=彳，

\4+4^+

故6=arccos,

4

團異面直線OE與公所成角的大小是arccos—.

4

(2)連接。E,

???E,。分別是的中點，

：.EO//PD,

。.?田仁平面以。，尸Du平面E4。，

EOH平面PAD.

UUULLf

因為AP=(0,g,白)，AO=(-1,60)，

設平面出。的法向量；=(x,y,z)，

五.AD=-x+石y=0

令x=5則y=Lz=-1,

為?AP=6y+A/3Z=0

fUUDI3

所以〃=（后—1），又DE=q

__T?32/3_2/3

則點E到平面PAD的距離d=麻川=?―=蟲=叵.

I；I,3+1+1A/55

3.（2023?上海閔行?統考二模）如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面ABC。為矩形，尸箱平面A8C。,

PD=AD=2,AB=4,點E在線段AB上，S.BE=-AB.

⑴求證：C￡EI平面P8Q；

（2）求二面角P-CE-A的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵坦

21

【分析】（1）結合三角函數的定義證明3DLCE,然后由線面垂直的判定定理得證線面垂直;

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角.

【詳解】（1）設2D與“相交于點反，

因為尸平面ABC。，CEu平面ABC￡）,

所以PDLCE,

由AB=4,BE=-AB,得跳;=1,

4

因此tan/ECB=LtanZ.ABD=—,

-22

可得NECB=NAB￡>,

因為NDBC=ZADB,

所以N3//C=NB4D=90°,即或）_LCE,

又因為PD_LCE,PDcBD=D,PD,BDu平面PBD,

所以C￡0平面PBD；

（2）如圖，建立空間直角坐標系。-孫z,

則C（0,4,0）,P（0,0,2）,E（2,3,0）,

所以PC=（0,4,-2）,CE=（2,-l,0）,

設平面PCE的一個法向量”=（x,y,z）,

元

則n-—CE=0,即f/2_y；=0解

n-PC=0[4y-2z=0

令x=l,則>=2,z=4,于是“=（1,2,4）,

平面ACE的一個法向量為正=(OQl),

--m-n445/21

則cos<m,n>=1T=—=———

|m||n|1.J1(+4+1621

由圖形可知二面角P—CE-A為銳角，

所以二面角P-CE-A的余弦值是拽I.

21

4.(2023?上海黃浦?上海市敬業中學?？既?已知，正三棱柱ABC-4瓦￡中，44,=2,AC=1,延長CB

至。，使CB=3D.

4G

⑴求證：CALD^.

(2)求平面BtAD與平面AOC所成銳二面角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

(唔

【分析】(1)通過底面的邊角關系可得/ZMC=90。，DA1CA,進而可證得平面A”，從而得證;

(2)法一：取中點E,聯結qE,可證得/BE用為二面角耳-AO-C的平面角，從而得解.

法二：建立空間直角坐標系用向量的方法求解.

【詳解】(1)因為是正三棱柱ABC-ABC-所以MLOL,

AB^BC,且2BAC=/36=60。，從而/DBA=120。

又CB=BD,所以AB=BD,/DAB=30。，

ZDAC-ZDAB+ZBAC=90°,即D4_LC4,

XDAflA4j=A,AA］、￡>4<=面44￡),

.?.C4L平面AAD,又。Au面AAO,

CA1DA,

(2)解法一：取AD中點E,聯結耳2所以3E〃AC,

又ZM_LC4,故

因為平面ABC,DAu面ABC,所以D4_LB8],

又BEcBB[=B,BB[、BEu面BgE,

所以ZM,平面8耳E,又B]Eu面BB】E,所以D4L片E,

所以ZBEB,為二面角8,-AD-C的平面角，

因為BE=-AC=-,BBx=2所以tan/5E8]=2=4,

22BE

平面BtAD與平面的）C所成銳二面角的余弦值為姮.

解法二：以直線AD為X軸，直線AC為y軸，直.線AA為z軸建立空間直角坐標系.

八Z

4r——

X

則4（0,0,0）,耳[《。2],。（后0,0）,而=便乂,0）,用=害,；,2,

122JI227

設平面ABQ的一個法向量％=（w,v,w）,

AD-%=乖tu=0

貝"一V31，

A.B,,YL=—UH—V+2W=0

[22

令vv=l,則v=—4,所以％=（O,T,1）,

又平面ACB的一個方向量為=（0,0,1）,

設二面角4-4。-C的大小為a,

平面BtAD與平面APC所成銳二面角的余弦值為手.

5.（2023?上海閔行?上海市七寶中學校考二模）已知正方體ABCD-A4G，，點E為4,中點，直線8。

交平面CDE于點E

⑴證明：點F為4G的中點；

（2）若點M為棱A耳上一點，且直線與平面CDE所成角的正弦值為鼠I,求黑的值.

25A4

【答案】⑴證明見解析.

（哈

【詳解】（1）在正方體ABC。-A4GA中，CD//C\D\,又CD仁平面且CIRU平面

ABd,

則c。//平面A8IG2，而耳G交平面CDE于點尸，即尸€平面。。及/€耳￡,

又男Qu平面44。]，，有歹e平面A4GA，因此平面CDEc平面4旦￡￡>]=EF,

于是CE>//￡F,而E為4。中點，

所以廠為與G的中點.

（2）以。為坐標原點，方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標系,

不妨設正方體的棱長為3,設怨=〃OV2W1),

則M(3,32,3),C(0,3,0),,0,3：/|1,3,3),

從而加=(T，3%_3,O],函=(0,3,0),而=13，°，3

設平面CDE的一個法向量為n=(x,y,z),貝l]

'3j=0x=2

n-CD^O

，即(3.八,不妨取x=2,則vy=0,即為=(2,0,—1),

n-ED=Q—x+3z=0

12z=-l

設直線叱與平面CDE所成角為e,

又直線叱與平面CDE所成角的正弦值為逑,

25

\MF-n\36A/5

sin。=解得；,

因此\MF\-\n\"25"2=

+(32-3)2.百

_1

所以

6.(2023?上海普陀?曹楊二中?？既?如圖，在四棱錐C-ABED中，正方形ABED的邊長為2,平面

ABED_L平面ABC,且3C_LAC,AC=^/L點G,尸分另(J是線段EC,B。的中點.

⑴求證：直線Gf7/平面ABC；

⑵求直線GF與平面所成角的大小.

【答案】⑴證明見解析

嗚

【分析】（1）連接AE可得G尸為AC的中位線，再利用線面平行的判定定理即可得出證明；

（2）利用四棱錐C-A5即的結構特征以及線面垂直的判定定理，建立以3為坐標原點的空間直角坐標

系，利用空間向量和線面角的位置關系，即可求得直線G尸與平面3Z組所成角的大小為

【詳解】（1）根據題意可知，連接4E,則AE交8。與歹；如下圖所示：

在△ACE中，歹為AE的中點，又點G是線段EC的中點，

所以GF//AC,

又GPa平面ABC,ACu平面ABC,

所以直線Gf7/平面ABC；

（2）由平面ABED_L平面ABC,且平面ABEDc平面ABC=AS,

又四邊形Aft。是正方形，所以又3Eu平面ABED,

所以BEJ_平面ABC；

過點3作直線y平行于AC,又8CLAC,

所以以8為坐標原點，分別以直線3C,直線y,直線BE為％y，z軸建立空間直角坐標系；如下圖所示:

y

c

x

由正方形ABED的邊長為2,BC±AC,AC=/可得，BC=1；

所以B（0,0,0）,C（l,0,0）,E（0,0,2）,￡＞（l,0,2）；

BE=（0,0,2）,ED=（1,73,0）；

又點G,E分別是線段EC,皿的中點，所以6（；,0』；尸；,手,1

即喬=10,4,0；

設平面CDE的一個法向量為〃=（x,y,z）；

n-BE=2z=Q「

所以—.，可得z=0,令x=6,解得y=-1；

ij-ED=x+dr3y=G

即元=（a-l,0）

設直線G尸與平面CDE所成的角為，則

所以直線G尸與平面所成角的大小為J.

6

7.（2023?上海長寧?上海市延安中學校考三模）已知AABC和VADE所在的平面互相垂直，ADYAE,

AB^2,AC=4,/R4c=120。，。是線段BC的中點，AD=6

⑴求證：ADLBE-,

（2）設AE=2,在線段AE上是否存在點尸（異于點A）,使得二面角A-族-C的大小為45。.

【答案】⑴證明見解析

⑵不存在，理由見解析

【分析】（1）根據余弦定理計算BC=2近，根據勾股定理得到確定平面ABE,得到證

明.

（2）建立空間直角坐標系，計算各點坐標，平面A3尸的一個法向量為4=（0,1,0）,平面CBP的一個法向

(2A\

量為后=詈,2，根據向量的夾角公式計算得到答案.

I3J

【詳解】(1)BC2=AC2+AB2-2AC-AB-cosl20°=4+16+8=28,故BC=2近,

BD=^,則BL)?=452+42)2,故的L,

又ADLAE,AE,A8u平面ABE,AEr>AB=A,故AD_L平面ABE,

3Eu平面ABE,故AD_LBE,

(2)AABC和△")￡t所在的平面互相垂直，則平面ABCc平面ADE=AE>,

且AEu平面ADE,故AE_L平面ABC,

如圖所示：以A6AD,/山分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(-2,273,0),設尸(0,0,a),ae(0,2],

平面ABF的一個法向量為%=(0,1,0),

皿/、1%?BC=2A/3V-4x=0

設平面CBF的一個法向量為5=(x,y,z),則!____.'

%?BF=-2x+qz=0

口,口門一(26a_

取x=〃得至|J〃2=a,32

7

解得a=2有，不滿足題意.

綜上所述：不存在點尸，使二面角A-/-C的大小為45。.

8.（2023?上海浦東新?華師大二附中校考模擬預測）如圖，直三棱柱ABC-44G內接于圓柱,

AB=A\=BC=2,平面ABC_L平面AA4B

5

4G

⑴證明：AC是圓柱下底面的直徑；

（2）若M為4G中點，N為cq中點，求平面ABC與平面所成二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）連接A與，利用平面A8C，平面4414g可得到A瓦，平面4BC,繼而得到BC_L4耳，結合

4均可得到BC工平面所以AS人3C,即可求證；

（2）以｛麗，而，西｝為正交基底建立空間直角坐標系計算出平面ABC和平面的法向量，

然后用夾角公式進行求解即可

【詳解】⑴連接破，在直三棱柱ABC-A4G中，AB=AAt=2,

二.四邊形A44B為正方形，

又平面ABC±平面AA^B.B,平面48cc平面AA.B^B=\B,A瓦u平面A^B.B,

AB.1平面\BC,又3Cu平面BC1ABt

又叫_L平面ABC,3Cu平面ABC,/.,

又AB】nA^=A,ABi,AA[u平面的4臺，

.?.3C_L平面又ABu平面

AB±BC,:.AC為圓柱底面的直徑.

(2)由已知耳8,平面ABC,ABLBC,

.?.以｛麗，而，西｝為正交基底建立空間直角坐標系3-孫z,

*0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0），4（O,O,2），A（2,0,2）,Q（0,2,2）,

M,N為AG，C（中點，M（1,1,2）,N（0,2,1）,

設平面ABC的一個法向量為克=（百,％，4）,

-m=0——?/、一?/、

,又3=（2,0,2）,3C=（0,2,0）,

-m=0

f2x,+2z,=0/、

...eJc，取4=-1,得玉=1,%=0,.■.玩=（l,0,—l）,

12%=0

設平面BAW的一?個法向量為專4%,%"?）,

BM-n—0----.—.

則一，又3M=（l,l,2）,BN=（O,2,l）,

BN-H=0

心f+二y,+=2Z?！?=0取Z—,得…E，

八1八/、m-n3+25s

，元=（3,1,-2）,二cos（加㈤=麗=70rH

所以平面ABC與平面BMN所成二面角的余弦值為紅,對應的正弦值為J1-V21

14\

9.(2023?上海金山?統考一模)如圖，在四棱錐尸-98中，已知PAL底面A3C。，底面ABCO是正方

形，PA=AB.

⑴求證：直線班平面PAC；

⑵求直線PC與平面PBZ）所成的角的大小.

【答案】⑴證明見解析

，、

（2）arcsm,—1

【分析】（1）由線面垂直的判定定理即可證明；

（2）以A為坐標原點，分別以破為XXZ軸，建立空間直角坐標系.分別求出直線PC的方向向量

與平面PBD的法向量，由線面角的向量公式代入即可求解.

【詳解】（1）因為PA_L平面ABCD,且BDu平面ABCD,

所以

在正方形ABCD中，ACJ.BD.

而PAnAC=A,2,ACu平面PAC,

故平面PAC.

（2）以A為坐標原點，分別以A&ARAP為乂乂z軸，

建立空間直角坐標系.

設AB=1,則以1,0,0）,。（0,1,0）,尸（0,0,1）,C（1,1,0）,

從而麗=（1,?！?）,力=（0,1,—1）,定=（1,1,—1）.

設平面PB￡＞的法向量為專=（x,y,z）,

PB-fi-0[x—z-0fx-z

PDn=01y-z=01y=z，

令z=l,貝!J〃=

設直線PC與平面刊犯所成的角為e,

,一馬正川1

則sin。=|cosPC,n\=?.八—r=—,

附卜1a3

故PC與夾面PBD的所成角大小為arcsinj.

10.（2023?上海?統考模擬預測）如圖，在正三棱柱ABC-AgG中，AA=AC=2,分別為CQ,A,B

⑴證明：ED/mABC-,

⑵求直線CC,與平面ABD所成角的大小.

【答案】⑴證明見解析

嗚

【分析】（1）取A8中點/，連接CF,所，證明。E〃B,根據線面平行的判定定理即可證明DE〃平面

ABC.（2）分別取AC,AG中點O,。，連接。。,08,以。為原點，。民。。,。。1所在的直線分別為x軸,

y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法計算即可求出結果.

【詳解】（1）證明:

取AB中點F，連接CP,。,

因為正三棱柱ABC-4月G，

所以CC//A4],且CC]=A4[=2,

因為E為線段48的中點，

所以EP/MA且歷=1例.

所以所〃CG且跖=1,

因為。為CG中點，所以C￡>=1.

所以EF〃CE>且砂=8.

所以四邊形CDEF是平行四邊形.

所以DE//CF.

又因為平面ABC,CPu平面ABC,

所以DE〃平面ABC.

（2）解：

分別取AC,AG中點。,。一連接Oq,O3,

因為ABC-44G是正三棱柱,

所以。01//A4，A4,_L平面A3C,0B1AC.

所以。OJ平面ABC.

所以OO^OC.

以。為原點，。8,。。,。。1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.

所以率=("1,-2),匿=(0,0,2),麗=卜石,1,1).

設平面42。的法向量為7=(x,y,z),

“席=06x+y-2z=0

所以即<

BDn=0-y/3x+y+z=0

令y=l，解得X=0,z=2,所以5=(G,1,2).

IT

設直線CG與平面4瓦)所成角為，，0<^<p

|cq.?||V3xO+lxO+2x2|近

貝Usin8=cos

國桐-2xj3+l+4.2

所以0=￡.

4

即直線CG與平面48。所成角為:.

11.(2023下?上海浦東新?高三華師大二附中校考階段練習)如圖，A8為圓。的直徑，點E尸在圓。上,

AB//EF,矩形ABC。所在平面和圓。所在的平面互相垂直，已知A3=2,班'=1.

⑴求證：平面ZMF_L平面CBF；

(2)當AD的長為何值時，二面角C-EF-3的大小為60°?

【答案】（1）證明見解析

3

(2)AD=-

【分析】（1）由題意可知C3_L平面ABEF,AF1CB,再證AF_1平面CBF,即可證平面IMF_L平面

CBF-,

（2）設E尸中點為G,以。為坐標原點，礪，礪,力的方向分別為尤，y,z軸的正方向建立空間直角坐標

系，設AT>=（f>0）,求出平面CEF的法向量，并取平面EFB的一個法向量為元=（0,0,1）,由題意可得

|cos(m,M)|=cos60°,即可求解.

【詳解】（1）證明：回平面ABCDJL平面CBLAB,平面ABCDc平面=,

I3CB_L平面AB￡F.

ElAFu平面ABEF,EAF±CS,

又AB為圓。的直徑，SAF±BF,

而CSPlBb=8，。氏8尸（=平面03/，EIAFJ_平面CBF\

ElAFu平面ADb,回平面尸_L平面CB廠.

（2）設E尸中點為G,以。為坐標原點，次，礪，而的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標

系,

設AD=(>0),則C(T,0,r),E|,F-,^-,0,B(-l,0,0),

0EF=(1.0,0),CF=

22

m-EF=Q

設平面CEF的法向量為沅=(x,y,z),則<_.

m-CF=Q

x=0

即‘3^3，令z=粗,可得沅=(O,2f,J5)

一xH---y-tz=O

[22'

取平面EFB的一個法向量為n=(0,0,1),

Icos<m,?>|=cos60\即1=唧=

,解得r=；3，

12|m||n|府三

3

則當AD的長為萬時，二面角C-砂的大小為6限

12.（2023?上海楊浦?統考二模）四邊形ABC。是邊長為1的正方形，AC與80交于。點，出，平面

ABCD,且二面角尸—3C-4的大小為45。.

⑴求點A到平面PBD的距離;

（2）求直線AC與平面PCD所成的角.

【答案】（欄

（嗎

【分析】（1）建立空間直角坐標系，設|上4|=。，利用空間向量法及二面角尸-3C-A的大小求出。的值,

即才

再求平面PBD的法向量7，根據點A到平面PBD的距離d求解即可；

H

（2）先求出平面尸CD的法向量，利用空間向量法求解即可.

【詳解】（1）因為四邊形ABCD是正方形，PA_L平面ABCD,AB,ADu平面ABCD,

所以AP,A氏AD兩兩垂直，

以A為原點，AB,AD,AP所在直線為x軸，V軸，z軸建立如圖所示坐標系，

ZA

設|B4|=a,a>0,則尸(0,0,a),3(1,0,0),C(l,l,0),A(0,0,0),￡>(0,1,0),

所以麗=(l,0,-a),BC=(0,1,0),荏=(1,0,0),

設平面P3C的法向量4=（下,%,zj,

4-PB=&-azl=0

則＜取4=(a,0,l),

-BC=Ji=0

取平面BCA的法向量％=（0,0,1）,

因為二面角P-BC-A的大小為45。，

所以cos（%,%）=,匕口=~^—=號，解得0=1,即尸（0,0,1）,

'/悶悶Jra+1x12

所以麗=（1,0,-1）,PD=（O,l,-l）,通=（0,0,1）,

設平面尸BD的法向量;=（%,%,Z。），

n.PB=x(}-z(}=0

則_,取〃=(1,1,1),

n-PD=yo-zo=O

AP-n1_73

所以點A到平面PBD的距離d=,,

川?3"T

(2)由(1)^PC=(l,l,-l),PD=(O,l,-l),AC=(l,l,O),

設平面PCD的法向量機=（羽y,z）,

m?PC=x+y-z=0

則，取加=（0,1,1）,

m?PD=y-z=0

7T

設直線AC與平面PCD所成的角為，，0^0,-

所以sin*.配碼|=/=我%4

所以直線AC與平面PCD所成的角為;7T.

6

13.(2023?上海寶山?上海交大附中校考三模)如圖，PD_L平面A3CD,四邊形A3CD為直角梯形,

AB//CD,ZADC=90°,PD=CD=2AD=2AB=2.

⑴求異面直線AB與PC所成角的大??；

⑵求二面角5-PC-D的余弦值.

【答案】⑴:7T

4

(2)如

3

【分析】(1)根據可得異面直線所成的角，利用直角三角形求解即可；

(2)以點。為坐標原點，建立坐標系，再由向量法得出二面角8-尸C-D的余弦值.

【詳解】(1)由AB/CD,

則異面直線AB與PC所成角即為一PCD,

由題意知，PD_L平面ABC。，又CDu平面ABC。，

故PDJ_CD,所以tan/PCO=￡2=l,即/PC￡>=工，

CD4

TT

即異面直線A3與PC所成角為7.

4

(2)因為PD_L平面ABC。，">u平面ABCD,

所以又PDLDC,ADLDC,

所以以。為原點，ZM.DC,DP分別為x,%z軸建立空間直角坐標系:

則D(0,0,0),4(1,0,0),3(1,1,0),C(0,2,0),尸(0,0,2),

則正=(0,2,-2),沅=(-1,1,0),麗=(0,0,2),可=(1,0,-2),

設平面PJ5c的法向量為。=(x,y,z),

￡5.PC=，v—0/—Q

則一，取X=l,得y=Lz=i,得為=。,1,1),

聲?BC=-;c+y=0

取平面尸DC的法向量為次=(1,0,0),

設二面角8-尸C-D的大小為0,由圖形知，。為銳角,

\n-DA1>/3

所以cos0=^^

同網A/3xl3

所以二面角B-尸。-。的余弦值為無.

3

14.(2017?上海黃浦?統考二模)如圖，在直棱柱ABC-AB。1中，AAl=AB=AC=2,ABJ.AC,D,E,F

分別是AA，CG，3c的中點.

(1)求證：AE±DF；

(2)求AE與平面DEF所成角的大小及點A到平面DEF的距離.

【答案】(1)見解析(2)^-714

【詳解】試題分析：直三棱柱底面為AABC,AB，AC,建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用向

量數量積為0,易證尸；再借助求平面的法向量，利用線面角公式及點到平面的距離公式求出對應

的值.

試題解析：(1)以A為坐標原點、AB為x軸、AC為y軸、AA為z軸建立如圖的空間直角坐標系.

由題意可知4(0,0,0),以0,1,2),磯—2,0,1)1(—1,1,0),

故通=(-2,0,1)"=(-1,0,-2),

由通?而=-2x(-l)+lx(-2)=0,

可知荏_L"T，即AELDR.

(2)設為=(x,y/)是平面DEF的一個法向量,

又麗=(一1,0,-2)麗=。,1,—1),

n-DF=—x—2=0,x=-2,

故由｛解得§=3,=(-2,3,1).

n-EF=x+y-l=0,

\n-AB]5J70

設AE與平面。斯所成角為，，則sin6=^^=后=%，

\n\-\AE\J14.J514

所以AE與平面DEF所成角為arcsin—,

14

點A到平面DEF的距離為AE?sin。=』年.

14

【點睛】根據幾何體的特征建立適合的空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，證明線線垂直，只需說明數

量積為零，求點到平面的距離，只需求出平面的法向量，利用點到平面距離公式計算出結果.證明線面、面

面的平行或垂直問題，要把握平行與垂直的判定定理和性質定理，嚴格根據定理進行邏輯推理，有關角和

距離的計算大多使用空間向量，借助法向量進行計算.

考法2：探索性問題

1.（2022上?上海虹口?高二華東師范大學第一附屬中學?？计谀┤鐖D，在三棱柱ABC-A與G中，底面

ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側面A4CC為菱形，點A在底面上的投影為AC的中點。，且

⑴若加、N分別為棱A8、用G的中點，求證：為W||平面CDN；

⑵求點C到側面的距離；

⑶在線段A片上是否存在點E,使得直線。E與側面相2小所成角的正弦值為包？若存在，請求出人也

7

的長；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴證明見解析

d

7

⑶存在，且|4國=1

【分析】（1）由已知利用中位線性質分別得出MDIIBC且2|MD卜忸C|,與且|MD|=|4N],證明

四邊形用NZW為平行四邊形，gpB{M||ND,即可證明結論；

（2）由已知結合投影性質與等腰直角三角形性質，證明直線。8,DC,0A兩兩垂直，并得出需要線段

長，再建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量與蔗，即可代入公式求解答案；

（3）假設存在，并設出關系，得到乖，再由向量運算得到正，即可由線面角公式結合已知列式求解.

【詳解】（1）證明：連接

4

NG

1

B

?.?M為AB的中點，。為AC的中點，

.?.MD||BC^2|MD|=|3C］，

QN為4G的中點，

則在三棱柱ABC-44G中，，與N||BC且2禺時=忸。|,

.?.40|8戶且|岫=|甲7|,

.?.四邊形與NDM為平行四邊形，

BXM||ND,

NDu平面CDN,且N平面CDN,

BtM||平面CON；

（2）???點A】在底面上的投影為AC的中點。，

.?.AQ_L平面ABC,

AO_LAC且AO_LBD,

底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，

:.BDLAC,

■.?側面A41cle為菱形，且A。LAC,

AC=AA=AC,

-,-AB=2,

：.DB=DA=DC=42,且%=而，

,直線。2,DC,兩兩垂直，

故以點。為坐標原點，直線。8,DC,分別為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標系,

則0（0,0,0）,A（o,-V2,o）,B（A/2,0,0）,C（0,應,0）,A（0,0,網,

則通=（加,夜,0）,AC=（0,25/2,0）,麗=（0,忘,布），

設平面AA.B.B的一個法向量為n=（x,y,z）,

.n=y/2x+V2y=0（x+y=0

廠」，即/?A

S?為=肉+濕=01y+j3z=0

取z=l,則為=（若，一近,1）,

則點C到側面①與小的距離為：

,國?為|2.2^42

（3）假設存在滿足條件的點E,并設4豆=2?硒=2?芯=（&,忘40）,2e[0,l],

貝1」瓦=西+/=（立I,仞,網，

???直線DE與側面A41AB所成角的正弦值為旦,

7

.諉-\COJ-DEn\~屏臼-廣疵_

，，R''州-刖""6x>'

解得儲=；，1--2G[0,1],則2=；,

故存在滿足條件的點E,且|AE|=TAB|=I,

2.（2023上?上海普陀?高二上海市晉元高級中學?？计谀┱?5C的邊長為4,CO是A8邊上的高，E、F

分別是AC和BC邊的中點，現將AA6C沿8翻折成直二面角A-OC-3.

⑴求證：直線AB〃平面DEF；

(2)求二面角E—。尸—C的余弦值；

⑶在線段BC上是否存在一點P,使APLDE?若存在，請指出P點的位置，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴證明過程見詳解

⑵手

⑶存在，靠近B的三等分點

【分析】(D判定線面關系，可以從線線關系尋找，由線段中點，可利用中位線性質的線線平行，再利用線

面平行判定定理確定；

(2)求二面角，一般利用空間直角坐標系，結合空間向量的數量積解決：先建立空間直角坐標系，再分別計

算兩平面的法向量，最后利用空間向量數量積求夾角的余弦值，經判斷所求二面角為銳角即可得出結論；

⑶確定點的位置，一般利用空間直角坐標系求出點的坐標，再明確位置關系.要求點尸的坐標，只需列兩個

獨立條件，一個為在直線上，另一個為垂直，利用這兩個條件可得點P的位置，進而求解.

【詳解】(1)如圖，在中，由分別是AC、BC中點，得EF//AB,

又AB平面DEF,EFu平面DEF,AB〃平面DEF.

(2)由題知，AD±CD,平面ADC_L平面且交線為DC,

平面3OC,因為BOOCu平面3OC,所以AD_LBD,AD，OC,

又已知如，CD,.?.AD,應＞,CD兩兩垂直，以點。為坐標原點，直線D&DCDA為x軸、y軸、z軸，建立

空間直角坐標系，如圖所示，

則A（0,0,2）,5（2,0,0）,C（0,2后0）,網0,后1）,尸（1,60,

平面CD尸的法向量為屈=(0,0,2),設平面EZ)廠的法向量為。=(x,y,z),

DFn=0x+y/iy=0

即＜取為=(3,一0,3),

DEn=06y+z=0

國同7，

???二面角石-。尸-C的余弦值為叵.

7

(3)設尸(x,y,0),因為AP_LDE,貝II??瓦=^y-2=0,;.y=竿,

又麗=(尤-2,y,0),定=卜天2石-y,0),

?/BP//PC,:.(%-2)^2^3-=-xy,:.-J3x+y=2y/3,

DG4—?1——?

把y=把代入上式得x=-,/.BP=-BC,

333

/yr-\

在線段BC上存在點尸才平,0,即靠近B的三等分點，使APLDE.

3.(2022上?上海浦東新?高二校考期末)如圖，正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2,側棱長是2&，點、P

為側棱SD上的點.

⑴求正四棱錐S-ABCD的體積；

⑵若平面PAC,求二面角尸—AC—D的大小;

⑶在(2)的條件下，側棱SC上是否存在一點￡,使得BE//平面E4c.若存在，求跖:EC的值；若不

存在，試說明理由.

【答案】⑴逑

3

(2)30°

(3)當5E:EC=2:1時，3￡7/平面PAC.

【分析】(1)作出輔助線，找到正四棱錐的高，并求出長度，利用錐體體積公式求出答案；

(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量求解二面角的大?。?/p>

(3)在第二問的基礎上，設詼=r氐，通過詼=配+/息得到面的坐標，結合詼.旃=0求出/的值,

求出答案.

【詳解】(1)連接8。與AC相交于點。，連接S。，

因為正四棱錐S-MCD的底面邊長為2,側棱長是2萬，

所以SO回平面ABC。，AO=BO=CO=DO=y/2,

即SO為正四棱錐的高，

故正四棱錐的高6=J(2揚2-(42=",

正方形ABCD的面積為22=4，

所以正四棱錐S-A5CD的體積V=L4XB=M區；

33

(2)以。為坐標原點，無，雙，礪分別為x軸、＞軸、z軸正方向,

建立坐標系。-孫z如圖.由(1)知高50=".

于是5(0,0,病),。(-也,0,0),以0,應,0),

OC=(0,72,0),5D=(-V2,0,-A/6),OC-W=0>

故OC_LSD,從而AC_LSD,

所以平面PAC的一個法向量麗=（3,0,后）,

平面DAC的一個法向量漏=（0,0,76）.

由圖可知二面角P-AC-。為銳角，設所求二面角為凡

I蕾麗［不

則cos。=

|網網-2

所求二面角的大小為30。；

（3）在棱SC上存在一點E使BE〃平面PAC.

由（2）得麗是平面PAC的一個法向量，

且麗=（四,0,"）,底=（0,-應,而），設醞.息,

貝|］麗=配+/=初+3=（_0,后_",癡/）,

而麗?旃=0ot=；,即當SE:EC=2:1時，BE±DS,