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文檔簡介
重難點08空間角與探索性問題(2種考法)
【目錄】
QB)。[即依據定義作平行線,作出異面直線所成的角i
即證明作出的角是異面直線所成的角':
‘解三|戒'箱i浦值而展:而薪電而*亮薪始
或直角,則它就是要求的角,如果求出的角是鈍:
角,則它的補角才是要求的角;
2.求直線和平面所成角的關鍵
作出這個平面的垂線進而斜線和射影所成角即為所求,有時當垂線較為難找時也可以借助于三棱錐的等體
積法求得垂線長,進而用垂線長比上斜線長可求得所成角的正弦值。
3.找二面角的平面角的常用方法
(1)由定義做出二面角的平面角
(2)用三垂線定理找二面角的平面角
(3)找公垂面
(4)劃歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角
4.用坐標法求異面直線所成角的一般步驟
(D建立空間直角坐標系;
(2)分別求出兩條異面直線的方向向量的坐標;
(3)利用向量的夾角公式計算兩條直線的方向向量的夾角;
(4)結合異面直線所成角的范圍求出異面直線所成的角.
5.利用向量法求兩平面夾角的步驟
(1)建立空間直角坐標系;
(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量;
(3)求兩個法向量的夾角;
(4)法向量夾角或其補角就是兩平面的夾角(不大于90°的角)
6.探求某些點的具體位置,使得線面滿足平行或垂直關系,是一類逆向思維的題目。一般可采用兩種方法:
一是先假設存在,再去推理,下結論;二是運用推理證明計算得出結論,或先利用條件特例得出結論,然后
再根據條件給出證明或計算。
[關鍵技巧》空間向量適合解決立體幾何中的探索性問題,它無需進行復雜的作圖、結論、推理,只需
要通過坐標運算進行判斷。解題時,把要成立的結論當作條件,據此列方程或方程組,把“是否存在”問題
轉化為“點的坐標是否有解,是否有規定范圍的解”等,能更簡單、有效地解決問題,應善于運用這一方法
解題。
U三、題型方法
考法1:空間角問題
L(2023?上海青浦?統考二模)如圖,在直三棱柱ABC-AUG中,底面AASC是等腰直角三角,
AC=BC=AAi=2,。為側棱A4的中點.
⑴求證:平面ACCM;
(2)求二面角B{-CD-C{的正弦值.
【答案】⑴證明見解析
喈
【分析】(1)證明出3c±AC,BCLCC,,利用線面垂直的判定定理可證得結論成立;
(2)以點C為坐標原點,C4、CB、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標徐,利用空間向
量法結合同角三角函數的基本關系可求得結果.
【詳解】(1)解:因為AABC是等腰直角三角形,B.AC=BC=2,則1AC,
因為在直三棱柱ABC-4與。]中,CQ1平面ABC,
因為BCu平面A3C,所以,BC1CC-
因為AcncG=c,AC、CC|U平面ACGA,故3C」平面ACGA.
(2)解:因為CG,平面ABC,AC±BC,
以點C為坐標原點,CA,CB、CG所在直線分別為x、V、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,
z
則c(o,o,o)、0(2,0,1),4(022)、G(0,0,2),
設平面與。的法向量為前=(x,y,z),CD=(2,0,1),函=(0,2,2),
mCD=2x+z=0
則,取尤=1,可得機=(1,2,-2),
mCB[=2y+2z=0
易知平面CCQ的一個法向量為元=(0,1,0),
m-n22
cos(m,n
Ml=3^=3則sin
因止匕,二面角4-。-G的正弦值為
2.(2023?上海寶山?統考二模)四棱錐尸-的底面是邊長為2的菱形,/ZMS=60,對角線AC與
8。相交于點O,P01底面ABC。,PB與底面ABC。所成的角為60。,E是P8的中點.
⑴求異面直線OE與朋所成角的大小(結果用反三角函數值表示);
(2)證明:OE〃平面出。,并求點E到平面B4D的距離.
【答案】⑴arccosV2
4
(2)證明見解析,平
【分析】(1)建立空間直角坐標系,利用向量法求異面直線所成的角即可;
(2)根據中位線及線面平行的判定定理證明線面平行,再由點面距離的向量法公式求解.
【詳解】(1)由題意,兩兩互相垂直,以。為坐標原點,射線。2、OC、0P分別為x軸、y
軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系,如圖,
菱形ABC。中,ZDAB=600,所以班>=203=2,
在RtAAOB中Q4=>]AB2-OB2=,
因為底面ABCD,所以尸8與底面ABCD所成的角為NPBO=60。,
所以P0=31160°=g,
則點AB、D、P的坐標分別是A(0,-君,0),3(1,0,0),。(-1,0,0),尸(0,0,6),
1/7uunQ/QUUULI—
E是PB的中點,則七(右0,三),于是。石=(于0,三),AP=(0,^,V3).
3
ULUIlUL1U八97Z
設。及AP的夾角為a則有cosO=/=3--------=彳,
\4+4^+
故6=arccos,
4
團異面直線OE與公所成角的大小是arccos—.
4
(2)連接。E,
???E,。分別是的中點,
:.EO//PD,
。.?田仁平面以。,尸Du平面E4。,
EOH平面PAD.
UUULLf
因為AP=(0,g,白),AO=(-1,60),
設平面出。的法向量;=(x,y,z),
五.AD=-x+石y=0
令x=5則y=Lz=-1,
為?AP=6y+A/3Z=0
fUUDI3
所以〃=(后—1),又DE=q
__T?32/3_2/3
則點E到平面PAD的距離d=麻川=?―=蟲=叵.
I;I,3+1+1A/55
3.(2023?上海閔行?統考二模)如圖,在四棱錐P-A8C。中,底面ABC。為矩形,尸箱平面A8C。,
PD=AD=2,AB=4,點E在線段AB上,S.BE=-AB.
⑴求證:C£EI平面P8Q;
(2)求二面角P-CE-A的余弦值.
【答案】⑴證明見解析
⑵坦
21
【分析】(1)結合三角函數的定義證明3DLCE,然后由線面垂直的判定定理得證線面垂直;
(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,用空間向量法求二面角.
【詳解】(1)設2D與“相交于點反,
因為尸平面ABC。,CEu平面ABC£),
所以PDLCE,
由AB=4,BE=-AB,得跳;=1,
4
因此tan/ECB=LtanZ.ABD=—,
-22
可得NECB=NAB£>,
因為NDBC=ZADB,
所以N3//C=NB4D=90°,即或)_LCE,
又因為PD_LCE,PDcBD=D,PD,BDu平面PBD,
所以C£0平面PBD;
(2)如圖,建立空間直角坐標系。-孫z,
則C(0,4,0),P(0,0,2),E(2,3,0),
所以PC=(0,4,-2),CE=(2,-l,0),
設平面PCE的一個法向量”=(x,y,z),
元
則n-—CE=0,即f/2_y;=0解
n-PC=0[4y-2z=0
令x=l,則>=2,z=4,于是“=(1,2,4),
平面ACE的一個法向量為正=(OQl),
--m-n445/21
則cos<m,n>=1T=—=———
|m||n|1.J1(+4+1621
由圖形可知二面角P—CE-A為銳角,
所以二面角P-CE-A的余弦值是拽I.
21
4.(2023?上海黃浦?上海市敬業中學??既?已知,正三棱柱ABC-4瓦£中,44,=2,AC=1,延長CB
至。,使CB=3D.
4G
⑴求證:CALD^.
(2)求平面BtAD與平面AOC所成銳二面角的余弦值.
【答案】⑴證明見解析
(唔
【分析】(1)通過底面的邊角關系可得/ZMC=90。,DA1CA,進而可證得平面A”,從而得證;
(2)法一:取中點E,聯結qE,可證得/BE用為二面角耳-AO-C的平面角,從而得解.
法二:建立空間直角坐標系用向量的方法求解.
【詳解】(1)因為是正三棱柱ABC-ABC-所以MLOL,
AB^BC,且2BAC=/36=60。,從而/DBA=120。
又CB=BD,所以AB=BD,/DAB=30。,
ZDAC-ZDAB+ZBAC=90°,即D4_LC4,
XDAflA4j=A,AA]、£>4<=面44£),
.?.C4L平面AAD,又。Au面AAO,
CA1DA,
(2)解法一:取AD中點E,聯結耳2所以3E〃AC,
又ZM_LC4,故
因為平面ABC,DAu面ABC,所以D4_LB8],
又BEcBB[=B,BB[、BEu面BgE,
所以ZM,平面8耳E,又B]Eu面BB】E,所以D4L片E,
所以ZBEB,為二面角8,-AD-C的平面角,
因為BE=-AC=-,BBx=2所以tan/5E8]=2=4,
22BE
平面BtAD與平面的)C所成銳二面角的余弦值為姮.
解法二:以直線AD為X軸,直線AC為y軸,直.線AA為z軸建立空間直角坐標系.
八Z
4r——
X
則4(0,0,0),耳[《。2],。(后0,0),而=便乂,0),用=害,;,2,
122JI227
設平面ABQ的一個法向量%=(w,v,w),
AD-%=乖tu=0
貝"一V31,
A.B,,YL=—UH—V+2W=0
[22
令vv=l,則v=—4,所以%=(O,T,1),
又平面ACB的一個方向量為=(0,0,1),
設二面角4-4。-C的大小為a,
平面BtAD與平面APC所成銳二面角的余弦值為手.
5.(2023?上海閔行?上海市七寶中學校考二模)已知正方體ABCD-A4G,,點E為4,中點,直線8。
交平面CDE于點E
⑴證明:點F為4G的中點;
(2)若點M為棱A耳上一點,且直線與平面CDE所成角的正弦值為鼠I,求黑的值.
25A4
【答案】⑴證明見解析.
(哈
【詳解】(1)在正方體ABC。-A4GA中,CD//C\D\,又CD仁平面且CIRU平面
ABd,
則c。//平面A8IG2,而耳G交平面CDE于點尸,即尸€平面。。及/€耳£,
又男Qu平面44。],,有歹e平面A4GA,因此平面CDEc平面4旦££>]=EF,
于是CE>//£F,而E為4。中點,
所以廠為與G的中點.
(2)以。為坐標原點,方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標系,
不妨設正方體的棱長為3,設怨=〃OV2W1),
則M(3,32,3),C(0,3,0),,0,3:/|1,3,3),
從而加=(T,3%_3,O],函=(0,3,0),而=13,°,3
設平面CDE的一個法向量為n=(x,y,z),貝l]
'3j=0x=2
n-CD^O
,即(3.八,不妨取x=2,則vy=0,即為=(2,0,—1),
n-ED=Q—x+3z=0
12z=-l
設直線叱與平面CDE所成角為e,
又直線叱與平面CDE所成角的正弦值為逑,
25
\MF-n\36A/5
sin。=解得;,
因此\MF\-\n\"25"2=
+(32-3)2.百
_1
所以
6.(2023?上海普陀?曹楊二中??既?如圖,在四棱錐C-ABED中,正方形ABED的邊長為2,平面
ABED_L平面ABC,且3C_LAC,AC=^/L點G,尸分另(J是線段EC,B。的中點.
⑴求證:直線Gf7/平面ABC;
⑵求直線GF與平面所成角的大小.
【答案】⑴證明見解析
嗚
【分析】(1)連接AE可得G尸為AC的中位線,再利用線面平行的判定定理即可得出證明;
(2)利用四棱錐C-A5即的結構特征以及線面垂直的判定定理,建立以3為坐標原點的空間直角坐標
系,利用空間向量和線面角的位置關系,即可求得直線G尸與平面3Z組所成角的大小為
【詳解】(1)根據題意可知,連接4E,則AE交8。與歹;如下圖所示:
在△ACE中,歹為AE的中點,又點G是線段EC的中點,
所以GF//AC,
又GPa平面ABC,ACu平面ABC,
所以直線Gf7/平面ABC;
(2)由平面ABED_L平面ABC,且平面ABEDc平面ABC=AS,
又四邊形Aft。是正方形,所以又3Eu平面ABED,
所以BEJ_平面ABC;
過點3作直線y平行于AC,又8CLAC,
所以以8為坐標原點,分別以直線3C,直線y,直線BE為%y,z軸建立空間直角坐標系;如下圖所示:
y
c
x
由正方形ABED的邊長為2,BC±AC,AC=/可得,BC=1;
所以B(0,0,0),C(l,0,0),E(0,0,2),£>(l,0,2);
BE=(0,0,2),ED=(1,73,0);
又點G,E分別是線段EC,皿的中點,所以6(;,0』;尸;,手,1
即喬=10,4,0;
設平面CDE的一個法向量為〃=(x,y,z);
n-BE=2z=Q「
所以—.,可得z=0,令x=6,解得y=-1;
ij-ED=x+dr3y=G
即元=(a-l,0)
設直線G尸與平面CDE所成的角為,則
所以直線G尸與平面所成角的大小為J.
6
7.(2023?上海長寧?上海市延安中學校考三模)已知AABC和VADE所在的平面互相垂直,ADYAE,
AB^2,AC=4,/R4c=120。,。是線段BC的中點,AD=6
⑴求證:ADLBE-,
(2)設AE=2,在線段AE上是否存在點尸(異于點A),使得二面角A-族-C的大小為45。.
【答案】⑴證明見解析
⑵不存在,理由見解析
【分析】(1)根據余弦定理計算BC=2近,根據勾股定理得到確定平面ABE,得到證
明.
(2)建立空間直角坐標系,計算各點坐標,平面A3尸的一個法向量為4=(0,1,0),平面CBP的一個法向
(2A\
量為后=詈,2,根據向量的夾角公式計算得到答案.
I3J
【詳解】(1)BC2=AC2+AB2-2AC-AB-cosl20°=4+16+8=28,故BC=2近,
BD=^,則BL)?=452+42)2,故的L,
又ADLAE,AE,A8u平面ABE,AEr>AB=A,故AD_L平面ABE,
3Eu平面ABE,故AD_LBE,
(2)AABC和△")£t所在的平面互相垂直,則平面ABCc平面ADE=AE>,
且AEu平面ADE,故AE_L平面ABC,
如圖所示:以A6AD,/山分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則4(0,0,0),8(2,0,0),C(-2,273,0),設尸(0,0,a),ae(0,2],
平面ABF的一個法向量為%=(0,1,0),
皿/、1%?BC=2A/3V-4x=0
設平面CBF的一個法向量為5=(x,y,z),則!____.'
%?BF=-2x+qz=0
口,口門一(26a_
取x=〃得至|J〃2=a,32
7
解得a=2有,不滿足題意.
綜上所述:不存在點尸,使二面角A-/-C的大小為45。.
8.(2023?上海浦東新?華師大二附中校考模擬預測)如圖,直三棱柱ABC-44G內接于圓柱,
AB=A\=BC=2,平面ABC_L平面AA4B
5
4G
⑴證明:AC是圓柱下底面的直徑;
(2)若M為4G中點,N為cq中點,求平面ABC與平面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
【分析】(1)連接A與,利用平面A8C,平面4414g可得到A瓦,平面4BC,繼而得到BC_L4耳,結合
4均可得到BC工平面所以AS人3C,即可求證;
(2)以{麗,而,西}為正交基底建立空間直角坐標系計算出平面ABC和平面的法向量,
然后用夾角公式進行求解即可
【詳解】⑴連接破,在直三棱柱ABC-A4G中,AB=AAt=2,
二.四邊形A44B為正方形,
又平面ABC±平面AA^B.B,平面48cc平面AA.B^B=\B,A瓦u平面A^B.B,
AB.1平面\BC,又3Cu平面BC1ABt
又叫_L平面ABC,3Cu平面ABC,/.,
又AB】nA^=A,ABi,AA[u平面的4臺,
.?.3C_L平面又ABu平面
AB±BC,:.AC為圓柱底面的直徑.
(2)由已知耳8,平面ABC,ABLBC,
.?.以{麗,而,西}為正交基底建立空間直角坐標系3-孫z,
*0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),4(O,O,2),A(2,0,2),Q(0,2,2),
M,N為AG,C(中點,M(1,1,2),N(0,2,1),
設平面ABC的一個法向量為克=(百,%,4),
-m=0——?/、一?/、
,又3=(2,0,2),3C=(0,2,0),
-m=0
f2x,+2z,=0/、
...eJc,取4=-1,得玉=1,%=0,.■.玩=(l,0,—l),
12%=0
設平面BAW的一?個法向量為專4%,%"?),
BM-n—0----.—.
則一,又3M=(l,l,2),BN=(O,2,l),
BN-H=0
心f+二y,+=2Z?!?=0取Z—,得…E,
八1八/、m-n3+25s
,元=(3,1,-2),二cos(加㈤=麗=70rH
所以平面ABC與平面BMN所成二面角的余弦值為紅,對應的正弦值為J1-V21
14\
9.(2023?上海金山?統考一模)如圖,在四棱錐尸-98中,已知PAL底面A3C。,底面ABCO是正方
形,PA=AB.
⑴求證:直線班平面PAC;
⑵求直線PC與平面PBZ)所成的角的大小.
【答案】⑴證明見解析
,、
(2)arcsm,—1
【分析】(1)由線面垂直的判定定理即可證明;
(2)以A為坐標原點,分別以破為XXZ軸,建立空間直角坐標系.分別求出直線PC的方向向量
與平面PBD的法向量,由線面角的向量公式代入即可求解.
【詳解】(1)因為PA_L平面ABCD,且BDu平面ABCD,
所以
在正方形ABCD中,ACJ.BD.
而PAnAC=A,2,ACu平面PAC,
故平面PAC.
(2)以A為坐標原點,分別以A&ARAP為乂乂z軸,
建立空間直角坐標系.
設AB=1,則以1,0,0),。(0,1,0),尸(0,0,1),C(1,1,0),
從而麗=(1,?!?),力=(0,1,—1),定=(1,1,—1).
設平面PB£>的法向量為專=(x,y,z),
PB-fi-0[x—z-0fx-z
PDn=01y-z=01y=z,
令z=l,貝!J〃=
設直線PC與平面刊犯所成的角為e,
,一馬正川1
則sin。=|cosPC,n\=?.八—r=—,
附卜1a3
故PC與夾面PBD的所成角大小為arcsinj.
10.(2023?上海?統考模擬預測)如圖,在正三棱柱ABC-AgG中,AA=AC=2,分別為CQ,A,B
⑴證明:ED/mABC-,
⑵求直線CC,與平面ABD所成角的大小.
【答案】⑴證明見解析
嗚
【分析】(1)取A8中點/,連接CF,所,證明。E〃B,根據線面平行的判定定理即可證明DE〃平面
ABC.(2)分別取AC,AG中點O,。,連接。。,08,以。為原點,。民。。,。。1所在的直線分別為x軸,
y軸,z軸建立空間直角坐標系,利用空間向量的方法計算即可求出結果.
【詳解】(1)證明:
取AB中點F,連接CP,。,
因為正三棱柱ABC-4月G,
所以CC//A4],且CC]=A4[=2,
因為E為線段48的中點,
所以EP/MA且歷=1例.
所以所〃CG且跖=1,
因為。為CG中點,所以C£>=1.
所以EF〃CE>且砂=8.
所以四邊形CDEF是平行四邊形.
所以DE//CF.
又因為平面ABC,CPu平面ABC,
所以DE〃平面ABC.
(2)解:
分別取AC,AG中點。,。一連接Oq,O3,
因為ABC-44G是正三棱柱,
所以。01//A4,A4,_L平面A3C,0B1AC.
所以。OJ平面ABC.
所以OO^OC.
以。為原點,。8,。。,。。1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.
所以率=("1,-2),匿=(0,0,2),麗=卜石,1,1).
設平面42。的法向量為7=(x,y,z),
“席=06x+y-2z=0
所以即<
BDn=0-y/3x+y+z=0
令y=l,解得X=0,z=2,所以5=(G,1,2).
IT
設直線CG與平面4瓦)所成角為,,0<^<p
|cq.?||V3xO+lxO+2x2|近
貝Usin8=cos
國桐-2xj3+l+4.2
所以0=£.
4
即直線CG與平面48。所成角為:.
11.(2023下?上海浦東新?高三華師大二附中校考階段練習)如圖,A8為圓。的直徑,點E尸在圓。上,
AB//EF,矩形ABC。所在平面和圓。所在的平面互相垂直,已知A3=2,班'=1.
⑴求證:平面ZMF_L平面CBF;
(2)當AD的長為何值時,二面角C-EF-3的大小為60°?
【答案】(1)證明見解析
3
(2)AD=-
【分析】(1)由題意可知C3_L平面ABEF,AF1CB,再證AF_1平面CBF,即可證平面IMF_L平面
CBF-,
(2)設E尸中點為G,以。為坐標原點,礪,礪,力的方向分別為尤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標
系,設AT>=(f>0),求出平面CEF的法向量,并取平面EFB的一個法向量為元=(0,0,1),由題意可得
|cos(m,M)|=cos60°,即可求解.
【詳解】(1)證明:回平面ABCDJL平面CBLAB,平面ABCDc平面=,
I3CB_L平面AB£F.
ElAFu平面ABEF,EAF±CS,
又AB為圓。的直徑,SAF±BF,
而CSPlBb=8,。氏8尸(=平面03/,EIAFJ_平面CBF\
ElAFu平面ADb,回平面尸_L平面CB廠.
(2)設E尸中點為G,以。為坐標原點,次,礪,而的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標
系,
設AD=(>0),則C(T,0,r),E|,F-,^-,0,B(-l,0,0),
0EF=(1.0,0),CF=
22
m-EF=Q
設平面CEF的法向量為沅=(x,y,z),則<_.
m-CF=Q
x=0
即‘3^3,令z=粗,可得沅=(O,2f,J5)
一xH---y-tz=O
[22'
取平面EFB的一個法向量為n=(0,0,1),
Icos<m,?>|=cos60\即1=唧=
,解得r=;3,
12|m||n|府三
3
則當AD的長為萬時,二面角C-砂的大小為6限
12.(2023?上海楊浦?統考二模)四邊形ABC。是邊長為1的正方形,AC與80交于。點,出,平面
ABCD,且二面角尸—3C-4的大小為45。.
⑴求點A到平面PBD的距離;
(2)求直線AC與平面PCD所成的角.
【答案】(欄
(嗎
【分析】(1)建立空間直角坐標系,設|上4|=。,利用空間向量法及二面角尸-3C-A的大小求出。的值,
即才
再求平面PBD的法向量7,根據點A到平面PBD的距離d求解即可;
H
(2)先求出平面尸CD的法向量,利用空間向量法求解即可.
【詳解】(1)因為四邊形ABCD是正方形,PA_L平面ABCD,AB,ADu平面ABCD,
所以AP,A氏AD兩兩垂直,
以A為原點,AB,AD,AP所在直線為x軸,V軸,z軸建立如圖所示坐標系,
ZA
設|B4|=a,a>0,則尸(0,0,a),3(1,0,0),C(l,l,0),A(0,0,0),£>(0,1,0),
所以麗=(l,0,-a),BC=(0,1,0),荏=(1,0,0),
設平面P3C的法向量4=(下,%,zj,
4-PB=&-azl=0
則<取4=(a,0,l),
-BC=Ji=0
取平面BCA的法向量%=(0,0,1),
因為二面角P-BC-A的大小為45。,
所以cos(%,%)=,匕口=~^—=號,解得0=1,即尸(0,0,1),
'/悶悶Jra+1x12
所以麗=(1,0,-1),PD=(O,l,-l),通=(0,0,1),
設平面尸BD的法向量;=(%,%,Z。),
n.PB=x(}-z(}=0
則_,取〃=(1,1,1),
n-PD=yo-zo=O
AP-n1_73
所以點A到平面PBD的距離d=,,
川?3"T
(2)由(1)^PC=(l,l,-l),PD=(O,l,-l),AC=(l,l,O),
設平面PCD的法向量機=(羽y,z),
m?PC=x+y-z=0
則,取加=(0,1,1),
m?PD=y-z=0
7T
設直線AC與平面PCD所成的角為,,0^0,-
所以sin*.配碼|=/=我%4
所以直線AC與平面PCD所成的角為;7T.
6
13.(2023?上海寶山?上海交大附中校考三模)如圖,PD_L平面A3CD,四邊形A3CD為直角梯形,
AB//CD,ZADC=90°,PD=CD=2AD=2AB=2.
⑴求異面直線AB與PC所成角的大??;
⑵求二面角5-PC-D的余弦值.
【答案】⑴:7T
4
(2)如
3
【分析】(1)根據可得異面直線所成的角,利用直角三角形求解即可;
(2)以點。為坐標原點,建立坐標系,再由向量法得出二面角8-尸C-D的余弦值.
【詳解】(1)由AB/CD,
則異面直線AB與PC所成角即為一PCD,
由題意知,PD_L平面ABC。,又CDu平面ABC。,
故PDJ_CD,所以tan/PCO=£2=l,即/PC£>=工,
CD4
TT
即異面直線A3與PC所成角為7.
4
(2)因為PD_L平面ABC。,">u平面ABCD,
所以又PDLDC,ADLDC,
所以以。為原點,ZM.DC,DP分別為x,%z軸建立空間直角坐標系:
則D(0,0,0),4(1,0,0),3(1,1,0),C(0,2,0),尸(0,0,2),
則正=(0,2,-2),沅=(-1,1,0),麗=(0,0,2),可=(1,0,-2),
設平面PJ5c的法向量為。=(x,y,z),
£5.PC=,v—0/—Q
則一,取X=l,得y=Lz=i,得為=。,1,1),
聲?BC=-;c+y=0
取平面尸DC的法向量為次=(1,0,0),
設二面角8-尸C-D的大小為0,由圖形知,。為銳角,
\n-DA1>/3
所以cos0=^^
同網A/3xl3
所以二面角B-尸。-。的余弦值為無.
3
14.(2017?上海黃浦?統考二模)如圖,在直棱柱ABC-AB。1中,AAl=AB=AC=2,ABJ.AC,D,E,F
分別是AA,CG,3c的中點.
(1)求證:AE±DF;
(2)求AE與平面DEF所成角的大小及點A到平面DEF的距離.
【答案】(1)見解析(2)^-714
【詳解】試題分析:直三棱柱底面為AABC,AB,AC,建立空間直角坐標系,寫出相關點的坐標,利用向
量數量積為0,易證尸;再借助求平面的法向量,利用線面角公式及點到平面的距離公式求出對應
的值.
試題解析:(1)以A為坐標原點、AB為x軸、AC為y軸、AA為z軸建立如圖的空間直角坐標系.
由題意可知4(0,0,0),以0,1,2),磯—2,0,1)1(—1,1,0),
故通=(-2,0,1)"=(-1,0,-2),
由通?而=-2x(-l)+lx(-2)=0,
可知荏_L"T,即AELDR.
(2)設為=(x,y/)是平面DEF的一個法向量,
又麗=(一1,0,-2)麗=。,1,—1),
n-DF=—x—2=0,x=-2,
故由{解得§=3,=(-2,3,1).
n-EF=x+y-l=0,
\n-AB]5J70
設AE與平面。斯所成角為,,則sin6=^^=后=%,
\n\-\AE\J14.J514
所以AE與平面DEF所成角為arcsin—,
14
點A到平面DEF的距離為AE?sin。=』年.
14
【點睛】根據幾何體的特征建立適合的空間直角坐標系,寫出相關點的坐標,證明線線垂直,只需說明數
量積為零,求點到平面的距離,只需求出平面的法向量,利用點到平面距離公式計算出結果.證明線面、面
面的平行或垂直問題,要把握平行與垂直的判定定理和性質定理,嚴格根據定理進行邏輯推理,有關角和
距離的計算大多使用空間向量,借助法向量進行計算.
考法2:探索性問題
1.(2022上?上海虹口?高二華東師范大學第一附屬中學??计谀┤鐖D,在三棱柱ABC-A與G中,底面
ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,側面A4CC為菱形,點A在底面上的投影為AC的中點。,且
⑴若加、N分別為棱A8、用G的中點,求證:為W||平面CDN;
⑵求點C到側面的距離;
⑶在線段A片上是否存在點E,使得直線。E與側面相2小所成角的正弦值為包?若存在,請求出人也
7
的長;若不存在,請說明理由.
【答案】⑴證明見解析
d
7
⑶存在,且|4國=1
【分析】(1)由已知利用中位線性質分別得出MDIIBC且2|MD卜忸C|,與且|MD|=|4N],證明
四邊形用NZW為平行四邊形,gpB{M||ND,即可證明結論;
(2)由已知結合投影性質與等腰直角三角形性質,證明直線。8,DC,0A兩兩垂直,并得出需要線段
長,再建立空間直角坐標系,求出平面的一個法向量與蔗,即可代入公式求解答案;
(3)假設存在,并設出關系,得到乖,再由向量運算得到正,即可由線面角公式結合已知列式求解.
【詳解】(1)證明:連接
4
NG
1
B
?.?M為AB的中點,。為AC的中點,
.?.MD||BC^2|MD|=|3C],
QN為4G的中點,
則在三棱柱ABC-44G中,,與N||BC且2禺時=忸。|,
.?.40|8戶且|岫=|甲7|,
.?.四邊形與NDM為平行四邊形,
BXM||ND,
NDu平面CDN,且N平面CDN,
BtM||平面CON;
(2)???點A】在底面上的投影為AC的中點。,
.?.AQ_L平面ABC,
AO_LAC且AO_LBD,
底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,
:.BDLAC,
■.?側面A41cle為菱形,且A。LAC,
AC=AA=AC,
-,-AB=2,
:.DB=DA=DC=42,且%=而,
,直線。2,DC,兩兩垂直,
故以點。為坐標原點,直線。8,DC,分別為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,
則0(0,0,0),A(o,-V2,o),B(A/2,0,0),C(0,應,0),A(0,0,網,
則通=(加,夜,0),AC=(0,25/2,0),麗=(0,忘,布),
設平面AA.B.B的一個法向量為n=(x,y,z),
.n=y/2x+V2y=0(x+y=0
廠」,即/?A
S?為=肉+濕=01y+j3z=0
取z=l,則為=(若,一近,1),
則點C到側面①與小的距離為:
,國?為|2.2^42
(3)假設存在滿足條件的點E,并設4豆=2?硒=2?芯=(&,忘40),2e[0,l],
貝1」瓦=西+/=(立I,仞,網,
???直線DE與側面A41AB所成角的正弦值為旦,
7
.諉-\COJ-DEn\~屏臼-廣疵_
,,R''州-刖""6x>'
解得儲=;,1--2G[0,1],則2=;,
故存在滿足條件的點E,且|AE|=TAB|=I,
2.(2023上?上海普陀?高二上海市晉元高級中學??计谀┱?5C的邊長為4,CO是A8邊上的高,E、F
分別是AC和BC邊的中點,現將AA6C沿8翻折成直二面角A-OC-3.
⑴求證:直線AB〃平面DEF;
(2)求二面角E—。尸—C的余弦值;
⑶在線段BC上是否存在一點P,使APLDE?若存在,請指出P點的位置,若不存在,請說明理由.
【答案】⑴證明過程見詳解
⑵手
⑶存在,靠近B的三等分點
【分析】(D判定線面關系,可以從線線關系尋找,由線段中點,可利用中位線性質的線線平行,再利用線
面平行判定定理確定;
(2)求二面角,一般利用空間直角坐標系,結合空間向量的數量積解決:先建立空間直角坐標系,再分別計
算兩平面的法向量,最后利用空間向量數量積求夾角的余弦值,經判斷所求二面角為銳角即可得出結論;
⑶確定點的位置,一般利用空間直角坐標系求出點的坐標,再明確位置關系.要求點尸的坐標,只需列兩個
獨立條件,一個為在直線上,另一個為垂直,利用這兩個條件可得點P的位置,進而求解.
【詳解】(1)如圖,在中,由分別是AC、BC中點,得EF//AB,
又AB平面DEF,EFu平面DEF,AB〃平面DEF.
(2)由題知,AD±CD,平面ADC_L平面且交線為DC,
平面3OC,因為BOOCu平面3OC,所以AD_LBD,AD,OC,
又已知如,CD,.?.AD,應>,CD兩兩垂直,以點。為坐標原點,直線D&DCDA為x軸、y軸、z軸,建立
空間直角坐標系,如圖所示,
則A(0,0,2),5(2,0,0),C(0,2后0),網0,后1),尸(1,60,
平面CD尸的法向量為屈=(0,0,2),設平面EZ)廠的法向量為。=(x,y,z),
DFn=0x+y/iy=0
即<取為=(3,一0,3),
DEn=06y+z=0
國同7,
???二面角石-。尸-C的余弦值為叵.
7
(3)設尸(x,y,0),因為AP_LDE,貝II??瓦=^y-2=0,;.y=竿,
又麗=(尤-2,y,0),定=卜天2石-y,0),
?/BP//PC,:.(%-2)^2^3-=-xy,:.-J3x+y=2y/3,
DG4—?1——?
把y=把代入上式得x=-,/.BP=-BC,
333
/yr-\
在線段BC上存在點尸才平,0,即靠近B的三等分點,使APLDE.
3.(2022上?上海浦東新?高二校考期末)如圖,正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2,側棱長是2&,點、P
為側棱SD上的點.
⑴求正四棱錐S-ABCD的體積;
⑵若平面PAC,求二面角尸—AC—D的大小;
⑶在(2)的條件下,側棱SC上是否存在一點£,使得BE//平面E4c.若存在,求跖:EC的值;若不
存在,試說明理由.
【答案】⑴逑
3
(2)30°
(3)當5E:EC=2:1時,3£7/平面PAC.
【分析】(1)作出輔助線,找到正四棱錐的高,并求出長度,利用錐體體積公式求出答案;
(2)建立空間直角坐標系,利用空間向量求解二面角的大?。?/p>
(3)在第二問的基礎上,設詼=r氐,通過詼=配+/息得到面的坐標,結合詼.旃=0求出/的值,
求出答案.
【詳解】(1)連接8。與AC相交于點。,連接S。,
因為正四棱錐S-MCD的底面邊長為2,側棱長是2萬,
所以SO回平面ABC。,AO=BO=CO=DO=y/2,
即SO為正四棱錐的高,
故正四棱錐的高6=J(2揚2-(42=",
正方形ABCD的面積為22=4,
所以正四棱錐S-A5CD的體積V=L4XB=M區;
33
(2)以。為坐標原點,無,雙,礪分別為x軸、>軸、z軸正方向,
建立坐標系。-孫z如圖.由(1)知高50=".
于是5(0,0,病),。(-也,0,0),以0,應,0),
OC=(0,72,0),5D=(-V2,0,-A/6),OC-W=0>
故OC_LSD,從而AC_LSD,
所以平面PAC的一個法向量麗=(3,0,后),
平面DAC的一個法向量漏=(0,0,76).
由圖可知二面角P-AC-。為銳角,設所求二面角為凡
I蕾麗[不
則cos。=
|網網-2
所求二面角的大小為30。;
(3)在棱SC上存在一點E使BE〃平面PAC.
由(2)得麗是平面PAC的一個法向量,
且麗=(四,0,"),底=(0,-應,而),設醞.息,
貝|]麗=配+/=初+3=(_0,后_",癡/),
而麗?旃=0ot=;,即當SE:EC=2:1時,BE±DS,
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