平面向量典型題型專項練

2025年高考數學一輪復習備考

一、單選題

1.在VABC中，點。滿足AZ）=3O5，貝U（）

1321

A.CD=—CA+—CBB.CD=-CA+-CB

4433

31

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

4433

2.已知a,b是夾角為120。的兩個單位向量，若向量（?+勸在向量a上的投影向量為2a,則彳=（）

A.-2B.2C.D.空

33

3.已知。，N,尸，/在VABC所在的平面內，則下列說法不正確的是（）

A.若但=|Oq=|OC|,則。是VA5C的外心

B.若CB.IA=AC-IB=BA.IC=。，貝!1/是VABC的內心

C.若PA-PB=PB-PC=PC-PA,則P是VA3C的垂心

D.若NA+NB+N（j=C，則N是VABC的重心

4.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,E在3D上，且則AE.EC=（）

5.已知，。的半徑為1,直線出與（。相切于點A,直線總與（。交于8,C兩點，。為3C的中

點，若|尸。|=夜，則1明.尸￡）的最大值為（）

A1+V2口1+2近

22

c.1+6D.2+V2

6.如圖，在VABC中,/ABC=90,A8=2,8C=26，/點是線段AC上一動點.若以M為圓心、半

徑為1的圓與線段AC交于尸,。兩點，則8尸出。的最小值為（）

A

A.1B.2C.3D.4

7.已知三點A,B,C共線，。民OC不共線且A在線段3c上（不含5C端點），^OA=xOB+yOC,

14

則一+—的最小值為（）

xy+1

7Q

A.不存在最小值B.-C.4D.-

8.如圖，VA5C中，ZC=pAC=2,3。=痛+夜.在VABC所在的平面內，有一個邊長為1的

正方形ADEF繞點A按逆時針方向旋轉（不少于1周），則的取值范圍是（）

A.[—3,5]B.[—4,6]C.[—5,9]D.[—3,4]

二、多選題

9.如圖.尸為VABC內任意一點，角A民。的對邊分別為。泊,。，總有優美等式

5PA+SPB+SPC=0^SL,因該圖形酷似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理.則以下命題

mPBLC.1riVPAC.rrxDPAB

是真命題的有（）

A.若尸是VABC的重心，貝U有PA+P2+PC=0

B.若aPA+6PB+cPC=0成立，則尸是VABC的內心

21―.

C.若"=148+卜。，則以樹與△.=2:5

D.若尸是VABC的外心，A=pPA=mPB+nPC則根+

10.在VA2C中，下列說法正確的是（）

A.若點H滿足HA-HB=HB-H(j=HA.HC，則點反是VABC的外心

/\

AnAr1

B.若AP=X?~r+|~i(2>0),則AP所在直線經過VABC的內心

C.若|。小=|。q=|04=|0/,|四|=|祠=2,A=120°,則APAB的范圍為[-2,6]

D.^AO=^AB+^AC,|Zfi|=4,|BC|=5,|AC|=6,則80/=胃

11.數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中提出定理：三角形的外心、重心、垂心

依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉

線，該定理則被稱為歐拉線定理.設點0、G、X分別是AABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中

點，貝I()

A.OH^OA+OB+OCB.SABG=SBCG=SACG

C.AH=3OMD.AB+AC=4OM+2HM

12.已知向量a=(l,g),b=(cosa,sind),則下列結論正確的是()

A.若a//b，則tana=\/5

B.若a16，則tana=-立

3

7T

C.若?與b的夾角為則|°-。|=3

D.若。與。方向相反，則方在。上的投影向量的坐標是

2

三、填空題

13.已知是單位向量，”為=0.若向量。滿足|c-a-b|=l,則|c|的最大值是.

14.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,S.2BC=3BE+AB,連接的交CO于F,則

15.如圖，在VA3C中，。是線段BC上的一點，且8C=4BD，過點。的直線分別交直線AB,AC

于點Af,N.若=AN=/JAC(A>0,/J>0),則％的最小值是.

A

12

16.在VABC中，N是AC上的一點，旦AN=—NC,P是8N上的一點，^AP=mAB+—AC,則

311

實數m的值為.

四、解答題

17.在VA3C中，過重心G的直線與邊交于P,與AC邊交于。，點P,。不與8,C重合.設△APQ

面積為S-VABC面積為S2，AP=xPB,AQ=yQC.

⑴求GA+G3+GC;

⑵求證：-+—=1；

xy

S

(3)求寸的取值范圍.

62

18.如圖，在VAOB中，OC=^0A,OD=^0B,A￡＞與8c相交于點設。4=a，OB=b.

42

⑴試用〃，Z?表示向量OM;

⑵在線段AC上取一點E,在線段BD上取一點R使得EF過點設OE=AOA,OF="0B，求X+〃

的最小值.

19.設向量a=(cosx,J^sinx),。=(1,一0),其中犬￡[(),萬].

⑴若(a-6)〃6,求實數x的值；

⑵已知且D,若〃尤)=a-c,求〃x)的值域.

參考答案:

1.A

根據題意如下圖所示:

3

根據向量加法法則可知。O=CA+AO，又AZ)=3D5，所以=

4

^CD=CA+-AB=CA+-(CB-CA\=-CA+-CB,

44、,44

1.3

可得CO=—G4+—C5.

44

2.A

\a+Ab]-a\a+Ab]-a

a+—在向量q上的投影向量為'J〃=位，-=2.

同同

=>(〃+勸)?〃=同2+2同｛“cos120。=1-^2=2^>2=-2,

3.B

對于選項A：若==即O到A,氏C的距離相等，

根據外心的定義可知：。是VABC的外心，故A正確；

對于選項B：^CBIA=ACIB=BAIC=O^則CB_LZ4,AC_L/B,BA_L/C,

即/是三邊高線的交點，所以/是VA5c的垂心，故B錯誤；

對于選項C：若PA.PB=PB-PC，

則京.麗一麗.麗=(PA-PCyPB^CA-PB^O,即C4_LP3,

同理可得：PA±CB,PC±AB,由選項B可知：P是VA5c的垂心，故C正確；

對于選項D：若NA+NB+NC=U，則福+而+而=2而+祝=6(。為48的中點)，

即訛=-2而，根據重心的性質可知：N是重心，故D正確；

4.C

VAE±BD,，AEED=0,又EC=ED+DC，

：.AEEC=AE-(ED+DC)=AE-DC,

DC=AB

?2

??AEEC=AEAB=AE(AE+EB)=AE，

又四邊形ABCD為矩形，AB=\,AD=2,AELBD,

AEBD^ABAD,BD=yf5,

.42有

??AE=-----,

5

4

AEEC=—.

5

5.A

如圖所示，|Q4卜1,|。升=逝，則由題意可知：/APO=5

由勾股定理可得|24|=JOP-OT=1

IT

當點A。位于直線P0異側時或PB為直徑時，設ZOPC=a,O<a<-,

4

則：PAPD^=即方目|?明麗團|cos(a+￡)

=1x^2coscrcosa+—

I4

仄、-?

=V2cosa—cosa------sina

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.八

-----------------sin2a

22

1V2

2-V

0<a<-9貝—<2a-2〈工

4444

jrjr

???當2々一?=-2時，PAPD有最大值1.

44

TT

當點A。位于直線尸。同側時，設NOPC40<a<：,

4

則：尸A/5》=PAP￡>COS

=1x0cosacosA一“

…qna\

=^2cosa

2

7

=cos2a+sinacosa

1+cos2a

+—sin2a

22

L4：

22

a<

°-P則齊2。+*

.?.當2。+?=與時，PA.如有最大值等.

綜上可得，尸4尸。的最大值為匕亞.

6.B

22

解：由題意，MQ二-MP,且|加尸|=1,\AC\=^|AB|+|BC|=4,

BP=BM+MP,BQ=BM+MQ=BM-MP,

所以BPBQKBM+MPXBM-MPhBM2-1,

易知，當BMLAC時，最小，

所以畫.忸C|=|AC|.忸般J即2x2屋4x|磯，,解得忸叫1ra“=6,

故BP的最小值為_1=2.

7.D

設04=08+54,因為A在線段BC上(不含BC端點)，

所以由向量共線定理設氏A=23C,(0<X<1),

所以04=05+5A=OB+X5C=O5+4(5O+OC)=(1—4)05+40。，

由題意有OA=xOB+y。。，所以x+y=(1—/1)+4=1,所以x+y+l=2,

>1(5+2749

2

y+1_4x%=-

當且僅當--x--=-y--+-1,即3；時，等號成立.

x+y=ly=-

所以一1+―4的最小值為;9.

xy+12

8.A

在VABC中，NC=5，AC=2,BC=R+啦,

由余弦定理得AB?=AC2+BC2-2AC-BCCOSC=4+(#+^)2-2X2(?+&)X￥=8,

所以43=2后，

又由正方形ADEF的邊長為1,nrWAE=72,ZDAE=45,

則AEBD=AE-(AD-AB)AE-AD-AE-AB|AE||AD|COSZDAE-|AE||AB|COSNBAE

=A/2X1XCOS45-X2A/2COSZBAE=1-4COSZBAE，

正方形AD防繞點A按逆時針方向旋轉(不少于1周)，可得cosN54Ee[-l,l],

所以1-4cosNBAEG[—3,5],即AEBD的取值范圍是[-3,5].

9.AB

對于A：如圖所示：因為D、E、產分別為C4、AB.5C的中點,

171

所以C尸=2尸石,S4EC=/5ABc，SAPC=]SAEC=]SA6C，

同理可得sAPB=§sABC、sBPC=~sABC,

所以SApBC—S4PAC-$△PAB,

又因為SMCB4+SPACPB+SPABPC=O,

所以m+~PB+~PC6.正確;

A

對于B：記點尸到AB、BC、C4的距離分別為4、％為，S△?Bc=；a%，S“Ac，

因為SPBCPA+SPACPB+SPABPC=O,

則.4.PA+gb-H.PB+gL/vPCuO,

即44？4+力4尸5+「4尸C=O,

又因為aPA+6P5+cPC=O，所以％=刈=網,所以點尸是VABC的內心，正確;

21

對于C：因為AP=gA3+yAC,

2131

所以尸A二——AB——AC,所以尸5=PA+A5=—A5——AC,

5555

24

所以尸C=PA+AC=—《45+《人。，

所以SPBC[——gAC?]+SPAC1|AB—gAC?]+S]—|AB+gA。]=0,

化簡得：1—gSP8c+§SPAC—ySPA[+PBC--SPAC+—SPAB^AC=0,

又因為AB、AC不共線，

~~SPBC^~S=o

PAC_^sPABSpg-2s

所以::,所以PAB

4

~~SPBC~~S+S=GSPAC-2sPAB

PAC~PAB

qq

所以于"U.P45二~,錯誤;

q_i_c_i_v

^AABCuPBC丁0PAC丁2PAB

對于D：因為尸是VABC的外心，A=：,所以N3PC=],網=網=匹,

所以P5?PC=|PB|X|pc|xCOSNBPC=0,

因為PA=mPB+nPC，則|尸="2Mq?+ImnPB-PC+n2\pC^,

化簡得：m2+n2=1,由題意知機、〃同時為負,

\m=cosa3兀廠（兀、

記1v,7t<a<—,貝U〃i+〃=coso+sina=，2sina+—,

[n=sina2<4J

因為曰＜T＜乎所以Xsin"：卜一冬

兀

所以-2W收sin|a+—<-1,

4

所以根+〃e[-A/2,-1),錯誤.

10.BCD

對于A,由=，得,即CAH3=0,

所以ACJ_"B；同理可得AB_L"C,BCLHA,

所以點”是VA2C的垂心，故A錯誤;

AB就

對于B,因為前,備分別是與AB，AC方向相同的單位向量,

AD\

ABAC

則E+。所在直線為-Bae的平分線，所以點尸在-2MC的平分線上，故B正確;

對于C,因為國=\OB\=\OC\=|OP],所以。為7ABC的外心,

且尸為VABC外接圓上一動點，又|同|=|而|=2,A=120°,

BC1

.?.VABC外接圓的半徑r----------X—=2,

sin1202

2\AP\cosZPAD,

當尸。與圓相切時APAB取最值，即P在[處取最大值6,在鳥處取小值一2,

故C正確;

對于D,設。為中點，如圖所示,

為VA3C的重心,

II-I\AB\+BC-AC=42+52-62_1

???|ZB|=4,BC\=5,AC=6,由余弦定理可知，cosB=J_1-------3」?L

1II2AB|-|BC|2x4x5-W

BA-BC=4x5x—=—,所以=—x—i—x52=--,D正確.

823236

11.ABD

A.OG=^GH,:.OG=^OH,G為重心，所以GA+GB+GC=O,

所以OA-OG+O3-OG+OC-OG=0,

所以OG=1(OA+OB+OC),:.|OH=|(OA+OB+OC),

所以O〃=Q4+O8+OC，所以該選項正確.

x

B.SBCG=~BCxhl,S=—xBCxh2,

由于G是重心，所以乙二耳均，所以SBCG=§S

同理SABG=]SA5C，SACG=§S.A5C，所以SABG=BCG=ACG，

所以該選項正確.

C.AH=AG+GH=2GM+2OG=2(OG+GM)=2OM，所以該選項錯誤.

D.OH=3OG,/.MG=-MO+=-OM+-HM,

3333

所以A3+AC=2AM=6GM=6(|OM+|HM)=4OM+2HM，所以該選項正確.

12.ABD

向量a=(l,逐)，b=(cosor,sinor),

對于A,由q//b，得sina=\/5cosa,因此tana=6，A正確；

對于B,由得gsina+cosa=0,因止匕tana=-，^,B正確;

3

兀]

對于C,。與b的夾角為|〃|=2,|b|=l,a-b=2xlx—=l,

因此|—Z?|=4ci+b—2a-b—g'C錯誤；

對于D’“與》方向相反，則b在"上的投影向量為景J-＞閭'D正確.

13.A/2+1/1+V2

法一由。為=0,得aJ_6.

如圖所示，分另ij作。4=。,。8=》,作,0。=。+人

由于是單位向量，則四邊形OACB是邊長為1的正方形，所以|OC|=0,

作OP=c，貝『c-a-b|=|OP-OC|=|CP|=l,

所以點P在以C為圓心，1為半徑的圓上.

由圖可知，當點。，C,尸三點共線且點尸在點P處時，IOPI取得最大值夜+1,

故|c|的最大值是0+1,

故答案為：6+1

法二由。-6=0,得a_L6,

建立如圖所示的平面直角坐標系，則04=。=(1,0),。2=6=(0,1),

設c=OC=(x,y),由|c-a—b|=l,

得(x-l)2+(y-l)2=l,

所以點C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上.

所以1。二=3+1

故答案為：V2+1

14.-69

以8為坐標原點，BC為無軸正方向，54為，軸正方向，建立直角坐標系，則C(3,0),2(0,3),

設EO,y),可得AE=(x,y-3),EC=(3-x,-y),

因為2"=325+42，則+可得AE=2EC,

[x=2(3—x)fx=2

即IJ,解得一即E的坐標為(2,1),

[y-3^-2y[y=l

設網3即),則加=(2,1),BF=(3,m),

3

由2EV/2/可得2根=3,解得根=],

則8尸=，,|1,C4=(-3,3),nJ^C4+2BF=(3,6),1G4-4BF=(-13,-5)

所以(G4+2Bfj(；CA-4BB]=3(-13)+6x(-5)=-69.

故答案為：-69.

15.2-73-4/-4+2A/3

平面向量基本定理，借助民DC三點共線可知：

AD=xAM+(1—x)AN=xAAB4-(1—x)/nAC,

2,x=-

AD=AB+BD=AB+-BC=-AB+-AC^\4解得〃=」—,所以

444\142-3

^^-2+--4>2./2---4=273-4

"AAv2

故答案為：2道-4.

在VABC中，由AN=」NC得：AN=-AC,因為P是8N上的一點，貝U有BP=eR,

34

B.

ANC

BPAP—AB-MAN—AB},AP=(1—A^)AB+AAN=(1—%)ABH—AC,

4

m=l-A

23

XAP=mAB+—AC,且A氏AC不共線，于是得42,解得機二y,

11——=—

1411

所以實數機的值為。3.

3

故答案為：—

17.(1)0

(2)證明見詳解

41

⑶?2

(1)設。出尸分別是BC,AC,A3的中點,

由于G是VABC的重心，則G為4XBE、CF的交點,

則AG=2GD,GA=-2GD,GB+GC=2GD，

所以襦+GB+GC=GA+2GD=0.

(2)AP=xPB,AQ=yQC,PB=^-AP,QC=^AQ,

l+-jAP,AC=A2+eC=

貝I]AB=4尸+尸3=■-卜。,

AG=-AD=-x-x(AB+AC)4I+1-]AP+\X+-\AQ

332、Xy

111

i+-|AP+||i+l|Ae,

3Xy

由于RG,Q三點共線，所以3(1+工1〕+:i(1+1i]=1,

x3y

整理得工+工=1.

%y

||AP|-|Ae|-sinZPAQAP-AQ

(3)二

$21

4|AB|.|AC|-sinZBACABAC

2

II11

1111.1

l+-1+++

xyXyxyxy

B

13

18.(1)OM=-a-\--b

⑶4+2白

7

（1）設前=tAD，

OM=OA+AM=OA+tAD=OA+t(OD-OA

=(l-t)OA+tOD=(l-t)OA+^tOB=4(l-t)OC+^tOB,

由于CM,3三點共線，所以4（1-。+L=ln*