專題15排列組合

——題型一：相鄰問題0、易錯點：相鄰與不相鄰問題處理方法不當致誤

——題型二：不相鄰問題易錯點：“捆綁法"中忽略了"內醐例"或"整體列"

排列組合------題型三：排列組合綜合司、易錯點：忽概例數、組合數公式的隱含條件

——題型四：力口法與乘法原理易錯點：實際問題不清楚導致計算重復或者遺漏致誤

——題型五：相同元素與不同元素分配問題易錯點：均勻分組與不均勻分組混淆致誤

易錯點一：相鄰與不相鄰問題處理方法不當致誤（相鄰問題）

相鄰問題

技巧總結

相鄰問題

1、思路：對于相鄰問題，一般采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素看做是一個整體，在于其他元素放在

一起考慮.如果設計到順序，則還應考慮相鄰元素的順序問題，再與其他元素放在一起進行計算.

2、解題步驟：

第一步：把相鄰元素看作一個整體（捆綁法），求出排列種數

第二步：求出其余元素的排列種數

第三步：求出總的排列種數

易錯提醒：排列組合實際問題主要有相鄰問題和不相鄰問題。（1）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊

元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排

列）；

（2）不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安

排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）；

三當

例、現有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相鄰的排法有（)

A.A「A；種B.（A：-A?A；）種

C.A；種D.（A；-A3種

變式1：加工某種產品需要5道工序，分別為A,B,C,D,E,其中工序A,8必須相鄰，工序C,。不能

相鄰，那么有（）種加工方法.

A.24B.32C.48D.64

變式2：中國航天工業迅速發展，取得了輝煌的成就，使我國躋身世界航天大國的行列.中國的目標是到2030

年成為主要的太空大國.它通過訪問月球，發射火星探測器以及建造自己的空間站，擴大了太空計劃.在航天

員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現在第一步或最后一步，程序8和C

實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有（）

A.24種B.48種C.96種D.144種

變式3：為推動黨史學習教育各項工作扎實開展，營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某

校黨委計劃將中心組學習、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排，

以推動黨史學習教育工作的進行，若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰，且中心組學習必須安排在前兩

階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（）

A.10種B.12種C.16種D.24種

1.2023年杭州亞運會期間，甲、乙、丙3名運動員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不

排在兩端，則不同的排法種數有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

2.六名同學暑期相約去都江堰采風觀景，結束后六名同學排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相

鄰，則不同的排法共有（）

A.48種B.72種C.120種D.144種

3.把二項式的所有展開項重新排列，記有理項都相鄰的概率為p,有理項兩兩不相鄰的概率為q,

則"=（）

q

A.5B.-C.4D.一

54

4.A,B,C,D,E,E六人站成一排，滿足A,8相鄰，C,。不相鄰的不同站法的種數為（）

A.48B.96C.144D.288

5.2023年5月21日，中國羽毛球隊在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團體錦標賽決賽中以總比分3:0戰

勝韓國隊，實現蘇迪曼杯三連冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現場合影留念，其中甲、乙均不能

站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（）

A.18種B.24種C.30種D.36種

6.為配合垃圾分類在學校的全面展開，某學校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動.高一、高二、高三年級分別

有1名、2名、3名同學獲一等獎.若將上述獲一等獎的6名同學排成一排合影，要求同年級同學排在一起，則

不同的排法共有（）

A.18種B.36種C.72種D.144種

7.甲、乙兩個家庭周末到附近景區游玩，其中甲家庭有2個大人和2個小孩，乙家庭有2個大人和3個小

孩，他們9人在景區門口站成一排照相，要求每個家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，

則所有不同站法的種數為（）

A.144B.864C.1728D.2880

8.某駕校6名學員站成一排拍照留念，要求學員A和8不相鄰，則不同的排法共有（）

A.120種B.240種C.360種D.480種

9.某高鐵動車檢修基地庫房內有共5條并行的停車軌道線，每條軌道線只能停一列車，現有動車01,02、

高鐵01,02,03共五列車入庫檢修，若已知兩列動車安排在相鄰軌道，則動車01停放在A道的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

45810

10.班長邀請四位同學參加圓桌會議.如圖，班長坐在⑤號座位，四位同學隨機坐在①②③④四

個座位，則A，3兩位同學座位相鄰的概率是（）

①

11.將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數有（）

A.4種B.8種C.12種D.48種

12.5名同學排成一排，其中甲、乙、丙三人必須排在一起的不同排法有（）

A.70種B.72種C.36種D.12種

13.現有2名男生和3名女生，在下列不同條件下進行排列，則（）

A.排成前后兩排，前排3人后排2人的排法共有120種

B.全體排成一排，女生必須站在一起的排法共有36種

C.全體排成一排，男生互不相鄰的排法共有72種

D.全體排成一排，甲不站排頭，乙不站排尾的排法共有72種

14.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）

A.若甲、乙、丙按從左到右的順序排列，則不同的排法有12種

B.若甲、乙不相鄰，則不同的排法有72種

C.若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，則不同的排法共有72種

D.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種

15.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排進行列隊訓練，則（）

A.甲乙不相鄰的不同排法有48種

B.甲乙中間恰排一個人的不同排法有36種

C.甲乙不排在兩端的不同排法有36種

D.甲乙丙三人從左到右由高到矮的不同排法有20種

16.某學校舉行校園歌手大賽，共有4名男生，3名女生參加，組委會對他們的出場順序進行安排，則下列

說法正確的是（）

A.若3個女生不相鄰，則有144種不同的出場順序

B.若女生甲在女生乙的前面，則有2520種不同的出場順序

C.若4位男生相鄰，則有576種不同的出場順序

D.若學生的節目順序已確定，再增加兩個教師節目，共有72種不同的出場順序

17.某校高二年級安排甲、乙、丙三名同學到A,B,C,D,E五個社區進行暑期社會實踐活動，每名同學只

能選擇一個社區進行實踐活動，且多名同學可以選擇同一個社區進行實踐活動，則下列說法正確的有（）

A.如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種

B.如果同學甲必須選擇社區A,則不同的安排方法有50種

C.如果三名同學選擇的社區各不相同，則不同的安排方法共有60種

D.如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種

18.在樹人中學舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎.現將獲得一等獎的學生排成一排合

影，貝U（）

A.3名男生排在一起，有6種不同排法B.2名女生排在一起，有48種不同排法

C.3名男生均不相鄰，有12種不同排法D.女生不站在兩端，有108種不同排法

19.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（）

A.如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C.甲乙不相鄰的排法種數為72種

D.甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有40種

20.（多選）把5件不同產品A,B,C,D,E擺成一排，貝U（）

A.A與8相鄰有48種擺法

B.4與C相鄰有48種擺法

C.A,8相鄰又A,C相鄰，有12種擺法

D.A與2相鄰，且A與C不相鄰有24種擺法

21.甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念.要求老師必須站在正中間，且甲同學不與老

師相鄰，則不同的站法種數為（）

A.…B.A”C；A；C.C；C；A；D.夫

易錯點二：“捆綁法”中忽略了“內部排列”或“整體列”

（不相鄰問題）

不相鄰強

技巧總結

1.思路：對于不相鄰問題一般采用“插空法”解決，即先將無要求的元素進行全排列，然后將要求不相鄰

的元素插入到已排列的元素之間，最后進行計算即可

2.解題步驟：

①先考慮不受限制的元素的排列種數

②再將不相鄰的元素插入到已排列元素的空當種（插空法），求出排列種數

③求出總的排列種數

易錯提醒：處理相鄰問題的基本方法是“捆綁法”，即把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個元素，然后與其

余元素全排列，最后“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列.處理不相鄰問題的基本方法是“插空法”，即

先安排好沒有限制條件的元素，然后把有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間.但應該注意插入

的元素之間如果也有順序，應先進行排列.

例、有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法的總數.

（1）全體排成一行，其中男、女生各站在一起；

（2）全體排成一行，其中男生必須排在一起.

變式1：為推動黨史學習教育各項工作扎實開展，營造“學黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某

校黨委計劃將中心組學習、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團日這五種活動分5個階段安排，

以推動黨史學習教育工作的進行，若主題班會、主題團日這兩個階段相鄰，且中心組學習必須安排在前兩

階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（）

A.10種B.12種C.16種D.,24種

變式2：甲，乙、丙、丁、戊共5人隨機地排成一行，則甲、乙相令R,丙、丁不相鄰的概率為（

1-1-15

A.—B.C.-D.

543,12

變式3：某地元旦匯演有2男3女共5名主持人站成一排，則舞臺站位時男女間隔的不同排法共有（）

A.12種B.24種C.72種D.120種

1.4名男生和3名女生排隊（排成一排）照相，下列說法正確的是（）

A.若女生必須站在一起，那么一共有A；A；種排法

B.若女生互不相鄰，那么一共有A；A：種排法

C.若甲不站最中間，那么一共有種排法

D.若甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有A；-2A：種排法

2.某校文藝匯演共6個節目，其中歌唱類節目3個，舞蹈類節目2個，語言類節目1個，則下列說法正確

的是（）

A.若以歌唱類節目開場，則有360種不同的出場順序

B.若舞蹈類節目相鄰，則有120種出場順序

C.若舞蹈類節目不相鄰，則有240種不同的出場順序

D.從中挑選2個不同類型的節目參加市藝術節，則有11種不同的選法

3.現將8把椅子排成一排，4位同學隨機就座，則下列說法中正確的是（）

A.4個空位全都相鄰的坐法有120種

B.4個空位中只有3個相鄰的坐法有240種

C.4個空位均不相鄰的坐法有120種

D.4個空位中至多有2個相鄰的坐法有900種

4.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，下列說法正確的是（）.

A.若五位同學排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種

B.若五位同學排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C.若甲、乙、丙三位同學按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種

D.若甲、乙、丙、丁四位同學被分配到三個社區參加志愿活動，每個社區至少一位同學，則不同的分

配方案有36種

5.現將9把椅子排成一排，5位同學隨機就座，則下列說法中正確的是（）

A.4個空位全都相鄰的坐法有720種

B.4個空位中只有3個相鄰的坐法有1800種

C.4個空位均不相鄰的坐法有1800種

D.4個空位中至多有2個相鄰的坐法有9000種

6.現有3位歌手和4名粉絲站成一排，要求任意兩位歌手都不相鄰，則不同的排法種數可以表示為（）

A.A；-A；A；A：-A；A：B.A：A：

C.A；-A；A；A：-C；A；A；A：D.A：A：

7.為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數”

六門體驗課程，每周一門，連續開設六周，則下列說法正確的是（）

A.某學生從中選2門課程學習，共有15種選法

B.課程“樂”“射”排在不相鄰的兩周，共有24。種排法

C.課程“御”“書”“數”排在相鄰的三周，共有144種排法

D.課程“禮”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480種排法

8.有甲、乙、丙等6名同學，則說法正確的是（）

A.6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數為480

B.6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數為240

C.6名同學平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個工廠都有人），則有90種不同的安排方法

D.6名同學分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種

9.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，下列說法正確的是（）

A.若五位同學排隊要求甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有12種

B.若五位同學排隊最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種

C.若甲乙丙三位同學按從左到右的順序排隊，則不同的排法有20種

D.若甲、乙、丙、丁四位同學被分配到三個社區參加志愿活動，每個社區至少一位同學，則不同的分

配方案有72種

10.4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相鄰，女生與女生也互不相鄰，則不同的排法

種數是（）

A.36B.72C.81D.144

11.杭州第19屆亞運會火炬9月14日在浙江臺州傳遞，火炬傳遞路線以“和合臺州活力城市”為主題，全長

8公里.從和合公園出發，途經臺州市圖書館、文化館、體育中心等地標建筑.假設某段線路由甲、乙等6

人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（）

A.288種B.360種C.480種D.504種

12.A,B,C,D,E五名學生按任意次序站成一排，其中A和B不相鄰，則不同的排法種數為（）

A.72B.36C.18D.64

13.某選拔性考試需要考查4個學科（語文、數學、物理、政治），則這4個學科不同的考試順序中物理考

試與數學考試不相鄰的概率為（）

A.-B.1C.-D.-

3234

14.現有4男3女共7個人排成一排照相，其中三個女生不全相鄰的排法種數為（）

A.A；A；B.A；-A；A；C.A：A；D.A；-A；

15.黃金分割最早見于古希臘和古埃及.黃金分割又稱黃金率、中外比，即把一條線段分成長短不等的b

兩段，使得長線段。與原線段a+b的比等于短線段b與長線段。的比，即a：（a+b）=6：a,其比值約為

0.618339.…小王酷愛數學，他選了其中的6,1,8,3,3,9這六個數字組成了手機開機密碼，如果兩個3

不相鄰，則小王可以設置的不同密碼個數為（）

A.180B.210C.240D.360

易錯點三：忽視排列數、組合數公式的隱含條件（排列組合綜合）

1.兩個重要公式

(1)排列數公式

=7~\=〃(“一1X"-2)........{n-m+l)(n,mcN*,且＜n).

\ii-my.

(2)組合數公式

°”而匕T…且隆〃)

2、要點：C：=……'—加+1)一般用于計算,而c：=J和禺，=冬一般用于證

明、解方程(不等式).

重點：三個重要性質和定理

組合數性質

(1)對稱性：C；=工=dmeN\且加<n)；

組合意義：從九個不同的元素中任取加個元素，則

從幾個不同的元素中任取加個元素后只剩下〃一加個元素了，則從九個不同的元素中任取加個元素與從"

個不同的元素中任取〃-加個元素是等效的.則CT"',故c;二c7".

等式特點：等號兩邊組合數的下標相同，上標之和等于下標.

應用：①簡化計算，當機〉〃時，通常將計算C：轉化為計算CT，如(^=0=8x7x6=56

23x2x1

②列等式：由C：=C3可得x=y或x+y=",如C；=C3則3=%或3+%=8故x=3或x=5.

(2)Ml=C：+C/T(〃,加eN*,且根<〃)；

組合意義：從(n+1)個不同的元素中任取加個元素，則C：：「

對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的幾個元素中任取(m-1)個元

素，所以共有C："T種，如果不取這一元素，則需從剩下的九個元素中任取加個元素，所以共有C：,根據

分類加法原理：=c;+c：i.

等式特點：下標相同而上標相差1的兩個組合數之和，等于下標比原下標多1而上標與較大的相同的一個組

合數.

應用：恒等變形

H—-4-1Hn

常見的組合恒等式：C：二C『,c：=-^C￡,C：=-C^

mn-mm

C；+C；+1++…+q=B,C；E+c『c：+C『c：+…+c：c;=c：

(3)C°=l.

重點：三個重要性質和定理

組合數性質

=務=。；喉機eN*,且小n)；

(1)對稱性:

21

組合意義：從九個不同的元素中任取加個元素，則c：".

從幾個不同的元素中任取加個元素后只剩下n-加個元素了，則從〃個不同的元素中任取加個元素與從〃

個不同的元素中任取〃一加個元素是等效的.則CT1,故c：=c；f.

等式特點：等號兩邊組合數的下標相同，上標之和等于下標.

應用：①簡化計算，當機〉4時，通常將計算C：轉化為計算CT"如=0=8x7x6=56

23x2x1

②列等式：由C：=G：，可得無=丁或兀+y=〃，如*=Cj,則3=%或3+*=8故％=3或x=5.

(3)CM=C；+qi(%加eN*,且根<九)；

組合意義：從(n+1)個不同的元素中任取加個元素，則

對于某一元素，只存在著取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的九個元素中任取(加-1)個元

素，所以共有C；"T種，如果不取這一元素，則需從剩下的〃個元素中任取掰個元素，所以共有C：,根據

分類加法原理：C%=C：+c;-1.

等式特點：下標相同而上標相差1的兩個組合數之和，等于下標比原下標多1而上標與較大的相同的一個組

合數.

應用：恒等變形

常見的組合恒等式：禺，=紇絲1。丁1,C：=^—C：T，c；f=-c^

mn—mm

C；+C著+c；+2+…+G；=c：：；,c：C+c7c：+c『c：+…+c;c;=c,；!+?.

(3)C：=1.

易錯提醒：解排列、組合的綜合問題要注意以下幾點

(1)元素是否有序是區分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題.

(2)對于有限多個限制條件的復雜問題，應認真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處

理排列、組合的綜合問題的一般方法.

例、解不等式笠＜6A:2.

變式1.若C：=C；,則w的值為()

A.7B.8C.9D.10

變式2.計算C；+C；+C；+L+^015的值為()

A?』B.%

C%6TD.C5-l

變式3.若整數X滿足C；：+3，+2=C?,則X的值為()

A.1B.-1C.1或-1D.1或3

*

1.(x-2)(x-3)(x—4).(x-15)(xeN+，x>15)可表示為()

A.AMB.A匕

C.A；"D.A'

2.已知A：=C：v,貝|〃=)

A.6B.7C.8D.9

3.l-l!+2-2!+3-3!++672-672!除以2019的余數為（）

A.1B.2018C.2017D.前三個答案都不對

4.甲，乙，丙3位同學從即將開設的4門校本課程中任選一門參加，則他們參加的校本課程各不相同的概

率為()

c.A

A.-B.-D.&

84279

5.若A：=12C：,則〃等()

A.8B.4C.3或4D.5或6

6.若3c“=5A：,則正整數〃=()

A.7B.8C.9D.10

7.一條鐵路有幾個車站，為適應客運需要，新增了機個車站，且知力＞1,客運車票增加了62種，則現

在車站的個數為()

A.15B.16C.17D.18

8.不等式窖＜6x窖點的解集為()

A.{2,8}B.{2,6}

C.{7,12}D.{8}

9.若24C：=P,：',貝打〃=.

10.已知A：+A3=xA；：；(〃eN+，〃22),求x的值.

11.解關于正整數x的不等式琛＜6P:2.

12.解關于正整數〃的方程：At+1=140At

，；2

13.已知A：=56C：,.1.(1-2x)=a0+(\x+a2xH--1~0"尤”.求。1+2。2+3。3_|-------的值.

14.(1)解不等式A；＜4A}.

(2)若C；+C；+C；+..+C；=55,求正整數”.

15.(1)若3A：=2A，+6A；,貝5]x=.

(2)不等式C：＞C：的解集為.

易錯點四：實際問題不清楚導致計算重復或者遺漏致誤

（加法與乘法原理）

正難則反問題

技巧總結

正難則反排除處理：對于正面不好解決的排列、組合問題，考慮反面（取補集的思想），一般在題目中有字

眼“至多、至少”等體現。

正規方法：限制（定位）問題優先處理：某個（幾個）元素要排在指定位置，可先排這個（幾個）元素，

再排其它元素，或某個（幾個）位置要求排指定元素，可先排這個（幾個）位置，再排其它位置。（即可從

限制元素或限制位置兩方面去考慮。）。

秒殺方法：對立事件處理+韋恩圖解釋

模型：7個同學站隊，要求甲同學不站在排首，乙同學不站在排尾，求站隊的總方案數.

包含合理的方案

破解：①全部方案:'［包含不合理的方案

L甲站在排首的情況：耳（含乙站在排尾的情況）

②其中不合理的方案＜2、乙站在排尾的情況：河j含甲站在排首的情況）

3、甲站在排首、乙站在排尾的情況：反

貝（JA；-星-醴+H=3720種方案.

解釋：

Ar\B

易錯提醒：排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結果的檢驗困難，所以我們在解決這類

問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素原則、位置優先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、

正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時，解答組合問題必須心思細膩，考慮周全，

這樣才能做到不重不漏，正確解題.

三

例、有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從這20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等

品的不同取法有多少種？

變式1：四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面點，不同取法有種。

變式2：從5名男醫生、4名女醫生中選3名醫生組成一個醫療小分隊，要求其中男、女醫生都有，則不同

的組隊方案共有（）

A.70種B.80種C.100種D.140種

變式3：定義“規范01數列”卜,｝如下：｛4“｝共有2加項，其中加項為0,加項為1,且對任意左W2機，

。1，出,…，以中0的個數不少于1的個數。若m=4,則不同的“規范01數列”共有（）

A.18個B.16C.14個D.12個

1.高考期間，為保證考生能夠順利進入考點，交管部門將5名交警分配到該考點周邊三個不同路口疏導交

通，每個路口至少1人，至多2人，則不同的分配方染共有（）

A.60種B.90種C.125種D.150種

2.某日，甲、乙、丙三個單位被系統隨機預約到A,B,C三家醫院接種疫苗，每家醫院每日至多接待兩個

單位.已知A醫院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，8醫院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫

院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率為（）

A.-B,-C,-D.-

3355

3.將3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多一張，則不同的分法種數是（）

A.1260B.120C.240D.720

4.用數字3,6,9組成四位數，各數位上的數字允許重復，且數字3至多出現一次，則可以組成的四位數

的個數為（）

A.81B.48C.36D.24

5.從4名優秀學生中選拔參加池州一中數學、物理、化學三學科培優研討會，要求每名學生至多被一學科

選中，則每學科至少要選用一名學生的情況有（）種

A.24B.36C.48D.60

6.將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數有（）

A.30種B.90種C.180種D.270種

7.哈六中高一學習雷鋒志愿小組共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，現在從中任選3人，要

求這三人不能是同一個班級的學生，且在三班至多選1人，不同的選取法的種數為

A.484B.472C.252D.232

8.下列說法正確的是（）

A.4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有81種報名方法

B.4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每項限報一人，且每人至多報一項，共有24種報名方法

C.4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有64種可能的結果

D.從0,2中選一個數字，從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為12

個

9.如圖，線路從A到8之間有五個連接點，若連接點斷開，可能導致線路不通，現發現AB之間線路不通，

則下列判斷正確的是（）

2

1HZLh5

>r_*-4-§

------■

A.至多三個斷點的有19種B.至多三個斷點的有22種

C.共有25種D.共有28種

10.某班有5名同學報名參加校運會的四個比賽項目，計算在下列情況下各有多少種不同的報名方法.

（1）每人恰好參加一項，每項人數不限；

（2）每項限報一人，每項都有人報名，且每人至多參加一項；

（3）每人限報一項，人人參加了項目，且每個項目均有人參加.

11.已知8件不同的產品中有3件次品，現對它們一一進行測試，直至找到所有次品.

（1）若在第5次測試時找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試方法？

（2）若至多測試5次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試方法？

12.杭州亞運會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加了A、B,C三個項目的志愿者工作，因工作

需要，每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目，若甲不能參加8項目，乙不能參加8、C項

目，那么共有種不同的選拔志愿者的方案.（用數字作答）

13.某校在高二年級開設選修課，其中數學選修課開四個班.選課結束后，有四名同學要求改修數學，但每

班至多可再接收2名同學，那么不同的分配方案有（用數字作答）

14.某單位有A、B、C、。四個科室，為實現減負增效，每科室抽調2人，去參加再就業培訓，培訓后這8

人中有2人返回原單位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，問共有一種不同的安排方法？

易錯點五：均勻分組與不均勻分組混淆致誤（相同元素與不同元素分配問

題）

不同元素分組分配問題

技巧總結

分組問題與分配問題

I：將“個不同元素按照某些條件分成左組，稱為分組問題.

分組問題共分為3類：不平均分組、平均分組、部分平均分組.

將〃個不同元素按照某些條件分配給人個不同的對象，稱為分配問題.

分配問題共分為2類：定額分配、隨機分配.

區別：分組問題是組與組之間只要元素個數相同，是不區分的.而分配問題即使兩組元素個數相同，但因對

象不同，仍然是可區分的，對于分配問題必須先分組后分配.

w分組問題的常見形式及快速處理方逋）

①非均勻不編號分組：九個不同元素分成，〃組，每組元素數目均不相等，且不考慮各組間的順序，不管是

否分完，其分法種數為：

N=C;、CM,

（呵+叫）n-(mi+m2+……

如：6個不同的球分為3組，且每組數目不同，有多少種情況?

Cg-Cs-Cj=6x10x1=60

②均勻不編號分組：將〃個不同元素分成不編號的加組，假定其中「組元素個數相等，不管是否分盡，其

分法種數為下（N為非均勻不編號分組的分法種數）.如果再有左組均勻分組，應再除以Af.除的原因為：

如：123456平均分成3組，可能是[1,243,445,6]

也可能是[1,2]、[5,6刊3,4]或者是[5,6此3,4]、[1,2]等，一共有用種不同的組別，但這些組都是一樣的，所以

除以用.

如：A、B、C、。兩兩一組，分兩組，若直接用C1C：=6種，但列舉出來的分別為｛[A、聞,仁、。]｝、

QA、C][B、。]｝、｛[A、鳳由、c]｝再往下列舉就已經重復了.

如：｛仍、C][A、￡>]｝、｛仍、D],[A,c]｝、｛[c、D],[A,聞｝.

如：6個不同的球分為3組，且每組數目相同，有多少種情況？

N=C；CC=90,種數=a=里=15.

86

③非均勻編號分組：將"個不同元素分成加組，各組元素數目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種

數為N-a；'（N為非均勻不編號分組的分法種數）

④均勻編號分組：將〃個不同元素分成機組，各組兀素數目均相等，且考慮各組間的順序，其分法種數為

N-Am

-（N為非均勻不編號分組的分法種數）.

易錯提醒：均勻分組和部分均勻分組在計數過程中易出現重復現象，注意計算公式的應用.重復的次數是

均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以加.

三

例、將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個人，每人至少一本的不同分法共有種.（用數字作答）

變式1：12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有

）種。

>^4

A.C*C；C：B.3墨C；C：C.C^CX12)1284

變式2：將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名

教師和2名學生組成，不同的安排方案共有（）

A.12種B.10種C.9種D.8種

變式3：某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少

安排一個班，不同的安排方法共有種。（用數字作答）

1.第19屆亞運會將于2023年9月23日在杭州開幕，因工作需要，還需招募少量志愿者.甲、乙等4人

報名參加了“蓮花”、“泳鏡”、“玉琮”三個場館的各一個項目的志愿者工作，每個項目僅需1名志愿者，每人

至多參加一個項目.若甲不能參加“蓮花”場館的項目，則不同的選擇方案共有（）

A.6種B.12種C.18種D.24種

2.從2個不同的紅球、2個不同的黃球、2個不同的藍球共六個球中任取2個，放入紅、黃、藍色的三個

袋子中，每個袋子至多放入一個球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有（）

A.42種B.36種C.72種D.46種

3.陽春三月，草長鶯飛，三個家庭的3位媽媽和1位爸爸帶著3位女寶寶和2位男寶寶共9人踏春.在沿行

一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，寶寶不排最前面也不排最后面，為了方便照顧孩子，每兩位

大人之間至多排2位寶寶，由于男寶寶喜歡打鬧，由這位爸爸照看且排在2位男寶寶之間.則不同的排法種

數為（）

A.216B.288

C.432D.512

4.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多

安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有（）

A.20種B.30種C.50種D.60種

5.杭州亞運會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加了A、3、C三個項目的志愿者工作,因工作需要，

每個項目僅需1名志愿者，每人至多參加一個項目，若甲不能參加A、3項目，乙不能參加8、C項目，那么

共有（）種不同的選拔志愿者的方案.

A.36B.40C.48D.52

6.現有甲、乙、丙3位同學在周一至周五參加某項公益勞動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要

求甲同學安排在另外兩位前面，則不同的安排總數為（）

A.10B.20C.40D.60

7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多

安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）

A.20種B.30種C.40種D.60種

8.甲、乙、丙3位教師安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，則恰好

甲安排在另外兩位教師前面值班的概率是

A.-B.-C.-D.-

3345

9.從2個不同的紅球，2個不同的黃球，2個不同的藍球共6個球中任取2個，放入紅、黃、藍色的三個

袋子中，每個袋子至多放入1個球，且球色與袋色不同，則不同的放法有種.

10.將2枚白棋和2枚黑棋放入一個4x4的棋盤中，使得棋盤的每個方格內至多放入一枚棋子，且相同顏

色的棋子既不在同一行，也不在同一列，如果我們只區分顏色而不區分同種顏色的棋子，則不同放法的種

數為.

11.現有紅、黃、白三種顏色的小球（形狀、大小完全相同）5個，每種顏色至多2個小球，若將這5個小

球排成一排，要求中間位置不放白球，且同種顏色的小球不相鄰，則共有種排法.

12.把座位編號為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩

張，且分得的兩張票必須是連號，那么不同的分法種數為（用數字作答）.

13.全運會啟動志愿者招募工作，甲、乙等6人報名參加A、3、C三個