第04講利用幾何法解決空間角和距離19種常見考法歸類

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學習目標

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學會利用幾何法求空間角及空間距離.

||詢基礎知識1

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1、異面直線所成的角

(1)定義：已知6是兩條異面直線，經過空間任意一點。作直線a'〃a,把“與〃所成的角叫

做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍:(o,2_.

注：兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內角時，容易忽視這個三角形的內角可能等于兩異面直

線所成的角，也可能等于其補角.

2、直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線

垂直于平面，則它們所成的角是90。；一條直線和平面平行或在平面內，則它們所成的角是0。.

三一

(2)范圍：［0,2..

3、二面角

(1)定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①OG/；@OAca,OBup；③。4_U,OBU,則二面角a—/一P的平面角是NAOB.

(3)二面角的平面角a的范圍：0°<a<180°.

4、點到平面的距離

已知點尸是平面a外的任意一點，過點P作。垂足為A，則PA唯一，則PA是點P到平面。

的距離。即：一點到它在一個平面內的正射影的距離叫做這一點到這個平面的距離(轉化為點到點的距離)

結論：連結平面a外一點P與。內一點所得的線段中，垂線段PA最短.

1國解題策燈!

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1、求異面直線所成的角的方法和步驟

（1）求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平

移；利用特殊點（線段的端點或中點）作平行線平移；補形平移.

（2）求異面直線所成角一般步驟：一作、二證、三求

①平移：經常選擇“端點、中點、等分點”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進行平移，平移異

面直線中的一條或兩條成為相交直線，作出異面直線所成的角.

②證明：證明所作的角是異面直線所成的角.

③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

④取舍：因為異面直線所成角。的取值范圍是（0,、，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異

面直線所成的角.

2、求直線與平面所成的角的方法和步驟

（1）垂線法求線面角：

①先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足；找線在面外的一點A,過點A向平面1做垂線，確

定垂足O；

②連結斜足與垂足為斜線AB在面a上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；

③把投影BO與斜線AB歸到一個三角形中進行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.

（2）平移法求線面角

是指利用圖形平移變換的性質，構造滿足求解的條件，進而得出結論的方法.在運用平移法求解線面角

問題時，我們可以利用圖象平移的性質：圖形移動位置后其大小、形狀、面積等都不改變，將分散的條件

關聯起來，以便將立體幾何問題轉化為平面幾何問題來求解.

（3）等體積法求線面角

通過換底求體積求出斜線上一點到平面的距離，再求直線與平面所成角的正弦值，如圖，已知平面a與

PO

斜線AP,POJ_a，則P0線面角為/PAO,sinNPAO=——，要求線面角，關鍵是求垂線段PO的長度，而垂

AP

線段PO的長度可看作點P到平面a的距離，在平面a內找一個三角形（點A是其中一個頂點）與點P構成三

棱錐，在三棱錐中借助等體積法就可以求PO的長度，從而達到簡便求解線面角的目的.

3、求二面角的平面角的方法和步驟

（1）求二面角大小的步驟是：

①作：找出這個平面角；

②證：證明這個角是二面角的平面角；

③求：將作出的角放在三角形中，解這個三角形，計算出平面角的大小.

（2）確定二面角的平面角的方法

①定義法（棱上一點雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規律

在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內分別過該點作垂直于棱的射線.

如：“三線合一型”、“全等型”

②三垂線法（面上一點雙垂線法）一一最常用

自二面角的一個面上一點向另外一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即斜足），斜足

和面上一點的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角

③等體積法

利用三棱錐等體積法求出點A到平面PBC的距離d,如圖，點A到二面角A-PB-C的棱PB的距離為

h（即APAB中PB邊上的高），則二面角人，8-（2的正弦值為5也。=4.

③垂面法（空間一點垂面法）

過空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。

④射影面積法

已知平面a內的平面圖形r的面積為5,它在平面6內的射影F的面積為大設平面a與平面b所成二面角的

平面角為8,則當Ge陪］時,煙8=爐￡c（|同時,cos”-方

4、求解點面距的方法和步驟

（1）定義法（直接法）：找到或者作出過這一點且與平面垂直的直線，求出垂線段的長度；

（2）等體積法：通過點面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應的點線距離；

（3）轉化法：轉化成求另一點到該平面的距離，常見轉化為求與面平行的直線上的點到面的距離.

Q考點剖析

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考點一：直接平移法求異面直線所成的角

1.（2023春?廣東廣州?高一廣州市第六十五中學校考期中）在正方體ABCD-ABC。中,瓦尸分

別為A民AD的中點，則異面直線20與E尸所成角的大小為（）

A.30°B.45。C.60°D.90°

變式1.（2023春?山東濱州?高一山東省北鎮中學校聯考階段練習）如圖，在長方體ABCD-A耳0■中,

AB=AD=l,AAl=2,且￡為。〃的中點，則直線8,與AE所成角的大小為（）

變式2.（2023春.江蘇南京.高一南京市第九中學校考階段練習）如圖，圓柱的底面直徑A8與母線AD相等,

E是弧48的中點，則AE與8。所成的角為（）

考點二：中位線平移法求異面直線所成的角

例2.（2023春?全國?高一專題練習）在四棱錐S-ABCD中，SA，平面ABC。，AS=AS=2,底面

ABCD是菱形，ZABC=60°,E,F,G分別是胡，SB,2C的中點，則異面直線OE與FG所成角的余弦

值為（）

顯

3

-^6710

—

變式1.（2023春?廣東深圳?高一深圳市羅湖高級中學校考期中）如圖，在三棱錐O-ABC中，AC=y/3BD,

且AC1BD,E,歹分別是棱DC,A3的中點，則跳'和AC所成的角等于.

變式2.（2023春?陜西西安?高一西北工業大學附屬中學校考階段練習）在四棱錐尸-ABCD中，所有側棱

長都為4及，底面是邊長為2m的正方形，O是P在平面ABCD內的射影，M是PC的中點，則異面直線

OP與BM所成角為

變式3.（2023春?廣東廣州?高一廣州市天河中學校考期中）如圖，矩形ABCD中，AB=0正方形ADEF

的邊長為1,且平面ABC。/平面ADEF,則異面直線BD與FC所成角的余弦值為（）

E

變式4.(2023春?上海寶山?高一上海市行知中學校考階段練習)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正

方形，PA_L底面ABC。，AP=AB=AD=2,E是側棱網的中點.

(1)證明AE_L平面尸8c.

(2)求異面直線AE與尸。所成的角；

變式5.(2023春?甘肅定西?高一甘肅省臨跳中學校考期中)如圖，四棱錐P-ABCD中，24,平面A3CD,

底面ABCD是邊長為1的正方形，PA=AD,E為R4的中點，尸為ED的中點.

(1)求證："'_1平面尸￡>(?；

(2)求異面直線BE與尸￡)所成角的余弦值.

考點三：平行四邊形平移法求異面直線所成的角

(2023春.上海奉賢.高一上海市奉賢中學校考階段練習)如圖，在長方體4BCO-44G。中,

AB=AD=4,CG=5,M、N分別是￡，、AC的中點，則異面直線DN和CM所成角的余弦值為()

變式1.（2023春?江西南昌?高一南昌十中校考階段練習）如圖，在正三棱柱4BC-A笈G中，2BB,=3AB,D

是棱8c的中點，E在棱CG上，且CG=3CE,則異面直線與與E所成角的余弦值是（）

A.漁B.旦C.--D.顯

6442

變式2.（2023春?浙江?高一路橋中學校聯考期中）在直三棱柱A3C-48?中，AC=AA,=2,BC=],

ZACB=120°,E是8月的中點，則異面直線CE與AG所成的角的余弦值是（）

考點四：補形法求異面直線所成的角

（2023?全國?高一專題練習）在長方體ABC。-A4GA中，A0=oc=2,AAi=2-^,則異

面直線8G與。與所成角的正弦值為（）

A\/5cD.@

-I~5~.T2

變式1.（2023春?浙江寧波?高一效實中學校考期中）如圖，在正三棱臺ABC-A耳G中，底面ABC是邊長

為4的正三角形，且相=4￡=2.

⑴證明：AAXLBC.

（2）求異面直線40、8（所成角的余弦值.

變式2.（2023?全國?高一專題練習）在正方體ABCD-A4c.中，E為AQ的中點，平面AG^與平面CE^

的交線為1,貝也與AB所成角的余弦值為（）

「耶

3D-T

考點五：通過證線面垂直證異面直線所成的角為90°

（2023春?廣東廣州.高一廣州四十七中校考期中）如圖，在正四面體A3CD中，M是8c的中

點，P是線段A"上的動點，則直線DP和BC所成角的大小（）

A

A.一定為90°B.一定為60°C.一定為45°D.與尸的位置有關

變式1.（2023秋?河南鶴壁?高一鶴壁高中校考階段練習）三棱錐S-ABC中，ZSBA=ZSCA=90°,\ABC

是斜邊至=。的等腰直角三角形，則以下結論中：

S

〃（??、??????少4

①異面直線S3與AC所成的角為90。；②直線S3,平面ABC；

③平面SBC_L平面&4C；④點C到平面的距離是1a.

2

其中正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

變式2.（2023?高一課時練習）如圖，正方體ABCD-ABIGR中，A8的中點為M,的中點為N,則

異面直線B,M與CN所成角的大小為

C.60°D.90°

變式3.（2023春?重慶九龍坡?高一重慶實驗外國語學校校考階段練習）如圖，三棱柱A8C-A4G中，底

面三角形A與G是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是（）

E

B

4

A.直線CG與直線相交

B.CG與AE共面

C.AE與AG是異面直線但不垂直

D.平面垂直于平面CBB[C]

考點六：由異面直線所成的角求其他量

6.（2023春?湖北武漢?高一武漢市第六中學校考階段練習）在長方體ABC。-4瓦。1烏中，耳Z）與

CG和GR所成的角均為60。，則下面說法正確的是（）

A.AB=s[lAAiB.AD=AB

C.AC=—BCD.ACJ=—BD

313

變式1.（2023?高一單元測試）在空間四邊形ABC。中，E,F,G,H分別是A3,BC,CD,的中

點.若AC=BO=2,且AC與2D所成的角為60。，則EG的長為（）

A.1B.行C.1或若D.五或拒

變式2.（2023春?貴州畢節?高一統考期末）在空間四邊形ABCD中，AB=CD,E,尸分別為BC,AD的

中點，若48與8所成的角為40。，則EF與A3所成角的大小為（）

A.20°B.70°

C.20。或70°D.40。或140。

變式3.（2023?高一課時練習）如圖，在三棱錐。一45c中，ZDAC=ZBCA=ZBCD=90°,DC=M,AB=3,

且直線AB與DC所成角的余弦值為色，則該三棱錐的外接球的體積為（）

19

75/C125乃D.等

2~1~,6

考點七：垂線法求直線與平面所成的角

7.（2023春?海南?高一海南華僑中學校考期末）如圖所示，四棱錐S-MC。的底面為正方形，SD1.

平面ABCD,則下列結論中不正確的是（）

B.AB//平面SCD

C.直線SA與平面S3。所成的角等于30。

D.直線SA與平面S3。所成的角等于直線SC與平面S2D所成的角.

變式1.（2023春?山西?高一統考階段練習）如圖，在圓柱OP中，底面圓的半徑為2,高為4,AB為底面

圓。的直徑，C為上更靠近A的三等分點，則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為（）

A?雪「V15D,巫

B.叵

1055

變式2.（2023?高一單元測試）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個正四棱錐,

A/5-I

已知該金字塔的塔高與底面邊長的比滿足黃金比例，即比值約為,則它的側棱與底面所成角的正切值

2

約為（）

.-A/2RA/5—1?5/5+1口y/10+A/2

2222

變式3.（2023?高一課時練習）如圖，在正方體A8C。-A耳6"中，E,F分別是AA-A片的中點，則直

線所與對角面AGCA所成角的大小是（）

C.60°D.150°

變式4.（2023春?江蘇宿遷?高一泗陽縣實驗高級中學校考階段練習）直三棱柱ABC-ABIG中,

AB=AC=AAt,AB1AC,則A4與平面BCC4所成的角為（）

71_71_71一兀

A.—B.-C.—D.一

6432

變式5.（2023春?浙江寧波?高一效實中學校考期中）如圖，四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。為矩形，PAL

平面ABC。，E為PD的中點.

P

（1）證明：PB〃平面AEC;

（2）設直線尸B與底面ABCD所成角的正切值為g,AP=1,AD=y/3,求直線PC與平面P⑦所成角的正弦

值.

變式6.（2023春?重慶九龍坡?高一重慶市楊家坪中學校考階段練習）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PA±

平面ABCD,底面是棱長為1的菱形，ZADC=60°，PA=2,M■是尸。的中點.

⑴求證：PBHACM；

（2）求直線CM與平面上4￡）所成角的正弦值.

變式7.（2023春?湖南長沙?高一長沙一中校考階段練習）如圖，多面體ABCDE產中，四邊形ABCD為矩形,

二面角A—CD—P的大小為45。，DE//CF,CD1DE,AD=2,DC=3.

⑴求證：3/〃平面ADE；

（2）求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值.

考點八：等體積法求直線與平面所成的角

8.（2023春?北京朝陽?高一清華附中朝陽學校校考期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

是邊長為a的正方形，PAJL平面A3CD.若PA=a,則直線尸3與平面PCD所成的角的大小為（）

一兀

A.-B.-D.-

642

變式1.（2023春?河南?高一校聯考期末）如圖，三棱柱ABC-A瓦G中，耳為等邊三角形，AB=BC=2,

CA=CBt,CAI.CBt.

⑴證明：平面CA4JL平面ABB,A；

(2)求直線B片和平面ABC所成角的正弦值.

變式2.(2023春?浙江杭州?高一校考期中)如圖，四棱錐P-ABCD中，PC，平面ABCD,PC=1,底面

ABCD是矩形，且=AD=43.

⑴求證：ADL平面PCD；

(2)求直線AC與平面APD所成的角的正弦值;

考點九：平移法求直線與平面所成的角

(2023?江蘇?高一專題練習)如圖，邊長是6的等邊三角形6BC和矩形現以BC為軸

將面A3C進行旋轉，使之形成四棱錐A-BCDE,。是等邊三角形AABC的中心，M,N分別是8C,DE

的中點，且A2=2ON,OF//面BCDE,交于廠.

7

(1)求證O/,面A1MN

(2)求DF和面AMN所成角的正弦值.

變式1.(2023春?天津和平?高一天津一中校考期中)如圖，已知44]_L平面ABC,BBJ!AAX,AB=AC=3,

BC=2小,心=々，3=2々，點E和歹分別為BC和AC的中點.

(1)求證：AEJ_平面BUBI；

(2)求直線A片與平面BCBi所成角的大小.

考點十：由線面角求其他量

(2023春?湖南?高一校聯考階段練習)如圖，在四棱錐尸-45co中，底面ABCD為矩形，PAA.

平面ABC。，E為線段P￡＞上一點，P3〃平面AEC.

⑴證明：E為PD的中點；

(2)若直線CE與平面所成的角為45。，且AP=AD=1,求三棱錐E-ACD的體積.

變式1.(2023春?福建泉州?高一校聯考階段練習)如圖所示，三棱臺ABC-EFG中，應底面ABC,

ZACB=9Q),AB=2EF.

E

R

(1)證明：AAFG是直角三角形；

(2)若AC=BC,空=彳，問X為何值時，直線所與平面AR9所成角的正弦值為土？

AC5

變式2.(2023春?高一單元測試)如圖，在AABC中，O是BC的中點，AB=AC,AO=2OC=2ABAO

4。折起，使B點移至圖中B點位置.

(1)求證：AO_L平面3'OC；

(2)當三棱錐B'-AOC的體積取最大時，求二面角A-B'C-O的余弦值；

(3)在(2)的條件下，試問在線段EA上是否存在一點P,使CP與平面&Q4所成的角的正弦值為止？證

3

明你的結論，并求AP的長.

變式3.(2023春?吉林延邊?高一延邊第一中學校考期中)如圖，A3是。。的直徑，PA垂直于。。所在的

平面，C是圓周上不同于的一動點.

(1)證明：3c是直角三角形；

(2)若24=AB=2,且直線PC與平面ABC所成角的正切值為0,

①求AC的長；

②求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

考點十一：定義法求二面角的平面角

di3例11.(2023春?河北石家莊?高一校考期中)如圖，在四棱錐"CD中，底面ABCD

為正方形，平面上位＞，平面ABC。，°為棱尸。的中點，PA1.AD,PA=AB=2.

⑴求證：PA_L平面A3CD；

(2)求二面角尸-CD-A平面角的大小.

變式1.(2023春.吉林?高一校聯考期中)如圖，四棱柱的底面ABCD是菱形，，平面

ABCD,鉆=1,M=2,/EW=60。，點尸為的中點.

(1)求證：直線32〃平面PAC；

(2)求二面角B.-AC-P的余弦值.

變式2.(2023春?天津寶垠?高一天津市寶城區第一中學校考階段練習)如圖，邊長為4的正方形A3CD中,

點E,F分別為AB,5C的中點.將AAED,ABEF,ADCF分別沿DE,EF,DF折起，使A,B,C三點重合于點P.

⑴求證：PDLEF；

(2)求三棱錐P-EFD的體積；

(3)求二面角P-EF-D的余弦值.

變式3.(2023春?浙江?高一校聯考階段練習)如圖，在多面體ABCDE產中，平面E鉆，平面ABCD,平面

EAD，平面ABCD,ABCD是菱形，ZABC=6Q0,AB=2,FC//EA,EA=3,FC=1.

(1)證明：EC，平面ABC。；

(2)求二面角3-EF-D的平面角的余弦值.

考點十二：三垂線法求二面角的平面角

(2023春?江蘇連云港?高一江蘇省海頭高級中學校考期末)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底

⑴若點E是PD的中點，證明：P3〃平面ACE；

(2)若上4=尸￡>=">,NBA￡>=120。，且平面PAD_L平面A5cD,求二面角尸-AC-O的正切值.

變式1.(2023春?陜西西安?高一西北工業大學附屬中學校考階段練習)已知正三棱柱ABC-ABG中,

Afi=4,D為AC邊的中點，Aq1g.

⑴求側棱長；

⑵求三棱錐D-8CG的體積;

(3)求二面角。-8C「C的大小.

變式2.(2023春?山東濱州?高一山東省北鎮中學校聯考階段練習)如圖，在四棱臺ABCD-POSH中，底

面ABCD是正方形，側面上位燈，底面ABCDqPAD是正三角形，N是底面ABCD的中心，/是線段上

的點.

⑴當初V//平面PABQ時，求證：平面PCD；

⑵求二面角尸-3C-A的余弦值.

變式3.(2023春?江蘇蘇州?高一校考階段練習)四棱錐P-ABCD中，24,平面ABCD,四邊形ABCD為

菱形，NADC=60。，PA=AD=2,E為AD的中點，F為PC中點.

(1)求證：EF〃平面R4B；

(2)求PC與平面PAD所成的角的正切值;

(3)求二面角A-PD-C的正弦值.

考點十三：等體積法求二面角的平面角

>］例13.(2023春?江蘇常州?高一常州高級中學校考階段練習)如圖,△ACD和ABCD都是邊長為2的

等邊三角形，AB=巫,￡B_L平面BCD

E

二

C

⑴證明：￡B〃平面AC。；

(2)若點E到平面ABC的距離為百，求二面角E-CD-B的正切值.

)0。，AB=BC=^AD=y[2,0

變式1.(2023?高一單元測試)已知四邊形ABCD中，ZABC=ZCAD=^

2

是AC的中點，將AASC沿AC翻折至△APC.

AD---------------------

(1)若尸。=",證明：PO1平面ACD；

(2)若D到平面PAC的距離為6,求平面PAC與平面ACD夾角的大小.

考點十四：垂面法求二面角

例14.(2023?全國?高一專題練習)如圖，已知上PBL/3,垂足為A、B,若NAP3=60。，

則二面角。-/的大小是_____.

變式1.（2023秋?山東日照?高二校考階段練習）若二面角內一點到兩個面的距離分別為5和8,兩垂足間

的距離為7,則這個二面角的大小是.

變式2.（2023?全國?高一專題練習）已知P是二面角-4內的一點，上4垂直于a于垂直于夕于

B,AB=8j3,PA=PB=S,則二面角々一/一月的大小為

變式3.（2023?高二課時練習）如圖，已知平面a,P,且々口夕=/，尸CJ_a,PD1/3,C,。為垂足.

（1）試判斷直線/與CD的關系，并證明你的結論；

（2）設直線/與平面PCD交于點A,點Be/,若二面角0-/-/的大小為120。，且PC=PD=AB=2,求

平面PCB與平面PCA所成的銳二面角的大小.

考點十五：射影面積法求二面角

（2023?全國?高一專題練習）如圖445c與△BCD所在平面垂直，S.AB=BC=BD,

NABC=ZDBC=120°,則二面角A-3D-C的余弦值為.

D

變式1.（2023?全國?高一專題練習）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面PAD是正三角形,

平面PAD_L底面ABCD.

⑴證明：AB_L平面PAD；

（2）求面PAD與面PDB所成的二面角的正切值.

變式2.（2023?浙江?模擬預測）如圖所示，正方形汨平鋪在水平面上，先將矩形皿7G

沿AD折起，使二面角E-AD-3為30。，再將正方形AFGTf沿AT折起，使二面角方’?一A/一。為30。,

則平面A尸G7T與平面A3CD所成的銳二面角的正切值是（）

A.@B.立C.-D.邁

4342

考點十六：由二面角大小求其他量

（2023春?廣東廣州?高一廣州市天河中學校考期中）如圖1,在平行四邊形ABCD中,

ZA=60°,A￡>=2,A5=4,將△ABD沿BD折起，使得點A到達點P,如圖2.

⑴證明：平面3co_L平面PAD；

（2）當二面角。-叢-5的平面角的正切值為幾時，求直線BD與平面PBC夾角的正弦值.

變式1.（2023春?廣東佛山?高一佛山市南海區第一中學校考階段練習）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正

方形，SAL底面ABCD,E是SC上一點.

E

⑴求證：平面EBD_L平面S4C;

⑵當工有的值為多少時，二面角5-SC-。的大小為120。.

AB

變式2.(2023春?河南安陽?高一安陽一中校考階段練習)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，

AB=2BC=86,ZDAB=^,E為邊AB的中點，將VADE沿直線DE翻折為AADE,若F為線段AC的

中點.在VADE翻折過程中,

(2)若二面角A'-DE-C=6O°,求AC與面所成角的正弦值.

TT

變式3.(2023?高一課時練習)如圖，在RtaABC中，B=~,AB=2BC=2,且E,尸分別為AB,AC

的中點.現將尸沿所折起，使點A到達點。的位置，連接30,CD,M為CO的中點，連接叱.

(1)證明：A/R_L平面BCD；

(2)若二面角/-C的余弦值為-走，求四棱錐O-E3CF的體積.

3

考點十七：直接法求點面距

（2023?高一課時練習）如圖，在長方體ABC。-A4GA中，己知AB=4,BC=2,BB}=3,

則點B到上底面A4GR的距離為（）

C.20D.3

變式1.（2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第六中學校校考期末）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD

為直角梯形，PA=AB=BC=1,ZABC=90°,XPAB=120°,AB//DC,DC=PC=2,則點P到平面

ABCD的距離為（）

變式2.（2023春?山西晉中?高一校考階段練習）已知金。是面積為量［的等邊三角形，且其頂點都在球0

4

的球面上，若球。的體積為方32乃，則。到平面A3。的距離為（）

A.上B.-C.1D.立

22

考點十八：轉化法求點面距

（2023?陜西西安?西北工業大學附屬中學校考模擬預測）在三棱柱ABC-A4G中，\~ABC

是棱長為2的正四面體，則點A到平面BCQ耳的距離為（）

A.76B.GC.0D.1

變式1.（2023?江西?江西師大附中校考三模）已知四棱錐尸-ABCD的底面是正方形,

ACCBD=O,PA=PD=&PO=6A。=2,E是棱PC上任一點.

(1)求證：平面平面PAC；

(2)若PE=2EC,求點A到平面的距離.

考點十九：等體積法求點面距

、1例19.(2023春?貴州貴陽?高一貴陽市民族中學校聯考階段練習)如圖在棱長為2的正方體

ABCO-ABCA中，E是。2上一點，且82〃平面ACE.

⑴求證：E為。〃的中點；

(2)求點D到平面ACE的距離.

變式1.(2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第四中學校校考期中)如圖，RtAAOB,OA=\,OB=2,

點C是OB的中點，^AOB繞0B所在的邊逆時針旋轉一周.設0A逆時針旋轉至0D時,旋轉角為，，6e[0,兀).

(1)求AASC旋轉一周所得旋轉體的體積V和表面積S；

2兀

(2)當，=(時，求點O到平面ABD的距離.

變式2.(2023春?廣東江門?高一江門市第一中學校考期中)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，。是邊長為4

的正方形ABCD的中心，平面ABC。，M,E分別為A3,3c的中點.

⑵若PE=3,求點B到平面的距離；

(3)若PE=3,求直線PB與平面尸￡做所成角的余弦值.

變式3.(2023春?山東濱州?高一山東省北鎮中學校聯考階段練習)如圖①，在梯形ABCD中，

AB//CD,AB=2,ZA=60°,?ABD90?,/CBD=45。，將△ABD沿邊80翻折至AA'BD,使得AC=2A/7,

如圖②，過點B作一平面與AC垂直，分別交AQA'C于點瓦尸.

圖①圖②

(1)求證：3E_L平面A'C￡＞；

(2)求點F到平面ABD的距離.

［域真題演練［|

IIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII----------------------

1.【多選】(2023?全國?統考高考真題)已知圓錐的頂點為P,底面圓心為0,AB為底面直徑，ZAPS=120°,

上4=2,點C在底面圓周上，且二面角尸—AC—O為45。，貝IJ().

A.該圓錐的體積為無B.該圓錐的側面積為4扃

C.AC=2A/2D.aPAC的面積為G

2.(2023?北京?統考高考真題)坡屋頂是我國傳統建筑造型之一，蘊含著豐富的數學元素.安裝燈帶可以

勾勒出建筑輪廓，展現造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩

個面是全等的等腰三角形.若48=2501,80=40=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面

與平面A3CD的夾角的正切值均為巫，則該五面體的所有棱長之和為（）

C.117mD.125m

3.（2023?全國?統考高考真題）已知AABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面

角C-AB-O為150。，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）

A.-B.巫C.立D.-

5555

4.（2023?全國?統考高考真題）如圖，在三棱柱ABC-A與G中，AC_L底面ABC,NACB=90。,/切=2,

A到平面3CG4的距離為1.

（2）已知AA與BB｝的距離為2,求A與與平面BCM所成角的正弦值.

5.（2023.天津?統考高考真題）三棱臺ABC-A4G中，若AA，面^C,ABYAC,AB=AC=AAi=2,AQ=1,

MN分別是8C,8A中點.

⑴求證：A"http://平面GMA;

(2)求平面QMA與平面ACQA所成夾角的余弦值；

(3)求點C到平面QMA的距離.

6.(2023?全國?統考高考真題)如圖，在三棱錐尸-ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2近，PB=PC=5

BP,AP,BC的中點分別為D,E,O,AD=^[5DO,點F在AC上，BFLAO.

(1)證明：所〃平面ADO；

(2)證明：平面ADO_L平面BEF；

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

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一、單選題

1.(2023秋?上海黃浦?高二上海市向明中學校考階段練習)點尸為平面ABC外的一個點，點M是棱BC上

的動點(包含端點)，記異面直線PM與所成角為a,直線PM與平面ABC所成角為夕，則()

A.a>/3B.a</3C.a>(3D.a</3

2.(2023春?全國?高一專題練習)如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC=8,BD=6,M,N分別為AB,

CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90。，則MN=()

A

A.3B.4

C.5D.6

3.（2023秋?北京海淀?高二校考階段練習）《九章算術?商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一

為陽馬，一為鱉膈.陽馬居二，鱉膈居一，不易之率也.合兩鱉麝三而一，驗之以基，其形露矣.”文中“陽

馬”是底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐.在陽馬尸-ABCD中，側棱R4,底面ABCD,且

PA=1,AB=AD=2,則點A到平面依。的距離為（）

AA/2口A/6rV6n/

3323

4.（2023秋?高二課時練習）平面的一條斜線和這個平面所成的角夕的范圍是（）

A.0°<6><180°B.0°<6^<90°C.0。<"90。D.0°<6><90°

5.（2023?全國?高三專題練習）已知正方體ABCD-AiBiCiDi,則DiA與平面ABCD所成的角為（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

6.（2023?全國?模擬預測）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，尸平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,

PA=AB=1,E、F為線段尸。上的兩個動點（不包括端點），且滿足班=正，以下結論正確的個數是（）

2

（1）AC±EF；

（2）依〃平面MC；

（3）二面角石-5。-。的大小為定值；

（4）四面體ACE廠的體積為定值.

B

C

A.4個B.3個C.2個D.1個

7.（2019秋?廣東佛山?高二佛山市順德區鄭裕彤中學校考期中）已知正方體棱長為2,則點C

到平面3D24的距離為（）

A.1B.&C.2及D.2x/3

8.（2023?全國?高一專題練習）在四棱錐尸-ABCD中，PAL平面ABC。，四邊形ABCD為矩形，BC=及,

PC與平面所成的角為30°,則該四棱錐外接球的體積為（）

A.述兀B,4島C,還兀D,亞兀

333

9.（2023?四川遂寧?四川省遂寧市第二中學校校考模擬預測）己知平面a與平面夕所成二面角的平面角為

110。，球。與平面5夕相切于點A8,則過球心。與平面d力均成30。的直線