專題08解直角三角形及其應用

目錄

熱點題型歸納.............................................................................................1

題型01仰角與俯角問題...................................................................................1

題型02方位角問題.......................................................................................16

題型03坡度問題.........................................................................................31

中考練場.................................................................................................42

題型01仰角與俯角問題

01題型綜述________________________________________

解直角三角形及其應用中的仰角與俯角問題是初中數學幾何知識在實際生活中應用的重要體現，通過構建直角三角

形模型，利用三角函數知識解決與測量相關的實際問題，在中考數學中分值占比約5%-8%?

1.考查重點：重點考查如何準確識別仰角與俯角，并將實際問題轉化為解直角三角形問題，運用正弦、余弦、正切等

三角函數進行邊長和角度的計算。

2.高頻題型：高頻題型有測量物體高度，如已知觀測點與物體的水平距離及仰角，求物體高度；測量兩點間距離，通

過測量仰角、俯角及其他已知邊長，構建直角三角形求解；以及根據不同觀測點的仰角、俯角變化，分析物體位置關

系并計算相關數據。

3.高頻考點：考點集中在仰角、俯角概念的理解與應用，直角三角形中三角函數（正弦、余弦、正切）的正確選用與

計算，以及將實際場景抽象為數學模型（直角三角形）的能力考查。

4.能力要求：要求學生具備較強的閱讀理解能力，能從實際問題描述中提取關鍵信息；擁有良好的空間想象能力，構

建準確的直角三角形模型；掌握扎實的三角函數運算能力，準確求解邊長和角度。

5.易錯點：易錯點在于混淆仰角與俯角概念；在構建直角三角形時，對邊角關系判斷錯誤，導致三角函數選用不當；

計算過程中，對三角函數值記錯或運算失誤，影響最終結果的準確性。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.直角三角形有關的性質：

①直角三角形的兩銳角互余。

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

③含30°的直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

④直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊乘斜邊上的高線。

⑤直角三角形的勾股定理。

2.仰角與俯角：

①仰角：向上看的視線與水平線構成的夾角叫做仰角。

②俯角：向下看的視線與水平線構成的夾角叫做俯角。

解決此類問題要了解角之間的關系，找到與已知和未知相關聯的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，

要通過作高或垂線構造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸

為直角三角形中邊角關系問題加以解決。

【典例分析】

例1.（2024.山東日照?中考真題）潮汐塔是萬平口區域內的標志性建筑，在其塔頂可俯視景區全貌.某數學興趣小組用

無人機測量潮汐塔AB的高度，測量方案如圖所示:無人機在距水平地面119m的點“處測得潮汐塔頂端A的俯角為22。,

再將無人機沿水平方向飛行74m到達點N,測得潮汐塔底端B的俯角為45°（點M,N,A,B在同一平面內）,則潮汐塔AB

的高度為（）

MN

（結果精確到1m.參考數據：sin22°=0.37,cos22°=0.93,tan22°=0.4。）

A.41mB.42mC.48mD.51m

【答案】B

【分析】本題考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題

的關鍵.

延長W交于點C,根據題意得BC，MV，BC=119m,MN=74m,然后在中，利用銳角三角函數的定義

求出CN的長，從而求出MC的長，再在Rt^AMC中，利用銳角三角函數的定義求出AC的長，最后利用線段的和差

關系進行計算，即可解答.

由題意得8C，MN，8c=119m,MV=74m.

在RtACA?中，ZCNB=45°,

CN=BC=119m,

tan45°

:.MC=MN+NC=193m.

在Rt△⑷WC中，ZAMC=22°,

AC=MC-tan22°?193x0.4=77.2(m),

AB=BC-AC=119-77.2?42(m).

故選B.

例2.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高1.8m的測量儀所測得的仰角為45。，小

-4

軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀8測得的仰角為53。，則電子廠A5的高度為（）（參考數據：sin53。之丁

cos53°?-,tan53°?—)

53

A

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【分析】本題考查了與仰角有關的解直角三角形的應用，矩形的判定與性質，先證明四邊形EEDG、EFBM、CDBN

是矩形，再設GM=;on,表示EM=（x+5）m,然后在RtAAEM,tan/AEM=州吆，以及RtdCN,tan/ACN=四，運用

、7EMCN

4

線段和差關系，即MN=AN-AM=1X-（x+5）=0.3,再求出x=15.9m,即可作答.

【詳解】解：如圖：延長。C交五河于一點G,

A

E二生_____rM

w%

FDB

Z.MEF=ZEFB=ZCDF=9Q0

???四邊形￡FDG是矩形

,?ZMEF=ZEFB=ZB=90°

???四邊形跖是矩形

同理得四邊形CDBN是矩形

依題意，得￡F=MB=1.8m,CD=1.5m,ZAEM=45°,ZACN=53°

??.0G=(1.8-1.5)m=0.3m,FD=EG=5m

：.CG=MN=03m

???設GAf=xm,則=(x+5)m

在RuA￡M,tanZAEM=翼,

EM

1?EMxl=AM

即AM=(x+5)m

AN

在R@ACN,tanZACN=——,

CN

4

???CNtan530=-x=AN

3

4

即AN=—xm

：.MN=AN-AM=^x-(x+5)=0.3

x=15.9m

AAM=15.9+5=20.9(m)

AB=AM+EF^AM+MB=20.9+1.8=22.1(m)

故選：A

例3.（2024?吉林?中考真題）圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機于空中A處探測到吉塔，此時飛行

高度AB=873m,如圖②，從直升飛機上看塔尖C的俯角/外。=37。，看塔底。的俯角/E4D=45。，求吉塔的高度C。

（結果精確到0.1m）.（參考數據：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°-0.75）

圖①圖②

【答案】218.3m

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，正確理解題意和添加輔助線是解題的關鍵.

or

先角牟Ri^GAD得至I]AG=-------------=DG=873,再角星RtZXGAC,CG=AGtanZ.EAC=873x0.75654.75,即可求解CD.

tanZEAD

【詳解】解：延長。C交AE于點G,由題意得AB=2X7=873m,ZDG4=90°

在RtAGW中，ZE4D=45°,

or

：.AG=-------------=OG=873,

tanZEAD

在RtZkGAC中，NE4C=37。，

???CG=AG-tanZEAC=873x0.75=654.75,

：.CD=DG-CG=873-654.75?218.3m,

答：吉塔的高度CO約為218.3m.

例4.（2024?吉林?中考真題）圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機于空中A處探測到吉塔，此時飛行

高度AB=873m,如圖②，從直升飛機上看塔尖C的俯角NE4c=37。，看塔底。的俯角=45。，求吉塔的高度

（結果精確到0.1m）.（參考數據：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75）

圖①圖②

【答案】218.3m

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，正確理解題意和添加輔助線是解題的關鍵.

先解Ri^GAD得到AG=-------------=DG=873,再解RtZXGAC,CG=AGtanZ.EAC=873xO.75=654.75，即可求解CD.

tanZEAD

【詳解】解：延長OC交AE于點G,由題意得AB=2X7=873m,ZDG4=90°

在RtAGW中，NEAD=45。,

or

：.AG=-------------=OG=873,

tanZEAD

在RtZkGAC中，NE4C=37。，

???CG=AG-tanZEAC=873x0.75=654.75,

：.CD=DG-CG=873-654.75?218.3m,

答：吉塔的高度CO約為218.3m.

例5.（2024.甘肅.中考真題）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前實現碳中和.甘

肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速.某學習小組成員查閱資料得知，在風力發電機組中，“風電塔筒”非常重要，

它的高度是一個重要的設計參數.于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動.如圖，已知一風電塔筒AN垂

直于地面，測角儀C。，砂在兩側，CD=EF=1.6m,點C與點E相距182m（點C,H,E在同一條直線上），

在。處測得簡尖頂點A的仰角為45。，在尸處測得筒尖頂點A的仰角為53。.求風電塔筒AH的高度.（參考數據：

434

sin53°?-,cos53°~-,tan53°?-.）

553

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的性質與判定，過點。作左，姐于G,連接尸G,則四邊形

CDGH是矩形，可得GH=8=1.6m,DG=CH,再證明四邊形石FGH是矩形，則/G=HE,NHGF=90。,進一

3

步證明。、G、尸三點共線，得到￡>F=182m；設AG=jm,解RSADG得到OG=xm；解RtAAbG得至lj尸G六一xm；

4

3

貝^%+一1=182,角星得了=104,BPAG=104m,貝|AH=AG+GH=105.6m.

4

【詳解】解：如圖所示，過點。作于G,連接歹G,則四邊形CDG”是矩形,

：.GH=CD=1.6m,DG=CH,

9

：CD=EF=l.6mf

：.GH=EF,

由題意可得仍LLCE，EF工CE,

：.GH//EF,

J四邊形EFGH是矩形，

:.FG=HE,/HGF=90。，

：.NDGH+ZFGH=180°,

???。、G、尸三點共線，

???DF=DG+FG=CH+HE=CE=182m；

設AG=xm,

AQ

在RtAADG中，tan/ADG=,

DG

x

tan45°=

DG

DG=xm；

在Rt^AFG中，tanZAFG=—

FG

tan53°=

FG?—xm；

4

3

**.x-\—x—182,

4

解得x=104,

???AG=104m,

JAH=AG+GH=105.6m,

；?風電塔筒AH的高度約為105.6m.

【變式演練】

1.（2025?廣東深圳?模擬預測）某數學興趣小組用無人機測量園博園“福塔”A3的高度，測量方案如圖：先將無人機垂

直上升至距水平地面142m的P點，測得“福塔”頂端A的俯角為37。，再將無人機面向“福塔”沿水平方向飛行210m到達

334

Q點,測得“福塔”頂端A的俯角為45°,則“福塔”AB的高度約為（）（參考數據：tan37。=，sin37°?-,cos37°?-）

【答案】D

【分析】題目主要考查解直角三角形的應用，理解題意，作出輔助線是解題關鍵.過點A作4cLpQ于點C,證明AACQ

為等腰直角三角形，得出CQ=AC,設AC=C0=xm,則/^二/^一磔二於3一耳!!!，在R3PC4中，根據

Y3

tanZAPC=---------求出％e90m,得出AC=90m,即可得出答案.

210—x4

【詳解】解：過點A作AC,尸。于點C,如圖所示：

B

則ZAC0=ZACP=9O。，

由題意得，ZAQC=45。，ZAPC=37。，

?.?在RtAACQ中，ZAQC=45°,

???△AC。為等腰直角三角形，

CQ=AC,

設AC=CQ=xm,則PC=PQ-CQ=(210-x)m,

Ar'x3

在RtZ\PC4中，tanZAPC=tan37°=—=—-—

PC210—尤4

解得:x?90m,

/.AC=90m,

A3=142-90=52(m).

故選：D.

2.(2025?江西九江?模擬預測)如圖1,濟陽樓是江南十大名樓之一，因九江古稱濤陽而得名.某校數學興趣小組在測

量海陽樓的高度A8的過程中，繪制了如圖2所示的示意圖，斜坡QE的長為5m,NDEC=37。.在點。處測得潺陽樓

頂端A的仰角為45。，又在點E處測得潺陽樓頂端A的仰角為56.3。，DCJLBE交班的延長線于點C.(參考數據：

sin37°?0.60,cos37°?0.80,sin56.3°?0.83,cos56.3°?0.55,tan56.3°?1.50)

圖1圖2

⑴求斜坡的高度CD.

(2)求潺陽樓的高度AB.

【答案】(1)斜坡的高度CD為3m

⑵濟陽樓的高度AB為21m

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，涉及勾股定理，矩形的判定與性質，解題的關鍵在于正確構造直角三

角形進行求解.

(1)在RtVOCE中，直接解直角三角形即可；

(2)過點。作。歹于點/，則四邊形DCB歹為矩形，那么。C=3/=3,1)尸=BC,在RtVOCE中，由勾股定理

得CE=4,在RM仞B中，由ZAD尸=45。，可設Z)F=AF=x,貝U3E=3C—CE=x—4,AB^AF+BF^x+3,在

4RY+33

RtAABE中，tanZAEB=——=——=—,即可求解x,繼而可求AB.

BEx-42

【詳解】（1）解：由題意得，ZDCE=90。，

：.DC^DExsinZ.DEC=5x0.6=3m,

答：斜坡的高度CO為3m；

（2）解：過點。作D/LAB于點尸，

則由題意得/C=/OFB=/B=90。，NAZ*=45。，ZAEB=56.3°

二四邊形DCB尸為矩形，

DC=BF=3,DF=BC,

...在RtVDCE中，由勾股定理得CE=JDE2—DC?=4,

在RtAADb中，VZADF=45°,

ZZMF=：45°,

ZDAF=ZADF,

：.^DF=AF=x,

則BE=BC-CE=x—4,AB=AF+BF=x+3,

.,.,,AB尤+33

.?.在RtAABE中，tanZzAEB=——=------=一，

BE尤一42

解得：x=18,

AB=18+3=21m,

答：沼陽樓的高度A8為21m.

3.（2025?重慶?模擬預測）重慶北倍縉云山香爐峰叢林深處，掩映著一座孤清的高塔.從空中看去，如同山林之中的一

位隱土，俯視群山，它在山脊之巔，臨風而立，成了縉云山上一道亮麗的風景線一縉云塔.某游客是一名無人機愛好者，

他站在附近的水平地面上，利用無人機進行測量，但無人機無法直接在塔頂測量垂直高度，因此他先控制無人機從腳

底（記為點C）出發向右上方（與地面成45。，點46CD在同一平面）的方向勻速飛行4秒到達空中點。處，再調整

飛行方向，沿D4方向繼續勻速飛行8秒到達塔頂，已知無人機的速度為6米/秒，ZADC^y.

A

(1)求縉云塔的高度；

(2)求游客站立處到縉云塔中心的水平距離2C的長(結果精確到0.1m,參考數據:應右1.41,百土1.73).

【答案】(1)縉云塔約有40.9米

(2)游客站立處到縉云塔中心的水平距離8C的長約為24.6米

【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的

關鍵.

(1)過點。作DELBC于點E,。尸，于點R根據題意可得CD=24(米)，AD=48(米)，DE=CE,DF//BC,

從而可得NFDC=NDCE=45。,然后再求出FB=DE=12應米即可解答.

(2)根據=求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，過點。作DEL3c于點E,。尸，于點尸，

A

由題意得，8=4x6=24（米），40=8x6=48（:米）;

?/DE±BC,

：.ZDEC=90°,

■；NDCE=45。,

DE=CE=DC-sm45°=Uyf2（米），

,/DFLAB,BC±AB,

：.DF//BC,

NFDC=NDCE=45°,

，AF=24米，=24/米，

,/ZDFB=NDEC=NFBE=90°,

.??四邊形BEDF是矩形，

:.FB=DE=12枝（米），

AB=24+1272?40.9（米），

答：縉云塔約有40.9米；

（2）解：BC=BE-CE=24>/3-1272?24.6（米），

答：游客站立處到縉云塔中心的水平距離2C的長約為24.6米

4.（2025?河北滄州?一模）某機械化農場的麥田需要飛機播種，如圖為一架飛機從飛機場飛往麥地的部分飛行路徑的示

意圖.飛機在某一高度由東向西以150km/h的速度勻速飛行，在空中的點P處測得一點M處的俯角為40。，向西飛行

12分鐘后到達空中的點。處，此時站在麥地點N處的工作人員測得飛機的仰角為58。，又經過4分鐘播種機剛好飛到

點N的正上方點K處.

（1）求播種機的飛行路線距地面的豎直高度；

⑵求點N之間的距離.（結果精確到參考數據：tan40°?0.84,tan58°?1.60）

【答案】（1）播種機的飛行路線距地面的豎直高度為16km

⑵點N之間的距離為21km

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，熟練應用三角函數的定義是解答本題的關鍵.

（1）根據題意得出NKQN=NQMW=58。，解RtA?VQ,即可求解；

（2）過尸作于A,過Q作于8,則四邊形ABQP,N8QK是矩形，解Rtz\4WP,求得AM,PQ,

進而求得根據=+即可求解.

4

【詳解】（1）解：由題意得，C^=150x—=10（km）.

?：PK//MN,

;"KQN=4QNM=58。.

.,.在RtA/OVQ中，KN=^Qtan58o-10x1.60=16（km）.

,播種機的飛行路線距地面的豎直高度為16km.

（2）過尸作24,肱V于A,過Q作于8,則四邊形ABQP,N8QK是矩形.

：.NB=KQ=10]nn,AB=QP,QB=PA=KN=16km.

pA

在RtAAMP中,=——

AM

16

?-------H19(km).

tan40°0.84

■.■eP=150x^|=30(km),

==30-19=ll(km).

.-.W=A?+BAf=10+11=21(km).

答：點Af,N之間的距離為21km.

5.（2025?河南開封?一模）鄭州二七紀念塔位于鄭州市二七廣場，是為紀念京漢鐵路工人大罷工事件，發揚“二七”革命

傳統而修建的紀念性建筑.某?！熬C合實踐”小組在項目式學習中，現場對二七紀念塔48的高度進行了測量.如圖，小

組成員在。處用高為L5m的測角儀測得塔頂A的仰角是45。，往前走13.3m到達C處測得塔頂A的仰角是52。，測量點

C,。與塔底部8在同一水平線上.（參考數據：sin520?0.79,cos520?0.62.tan52°?1.28）

（D根據上述測量方案和數據，求二七紀念塔的高度（結果精確到01m）.

（2）該小組上網搜索后發現.二七紀念塔的高約63m,請計算本次測量的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議.

【答案】⑴二七紀念塔的高度AB約為62.3m

（2）誤差為0.7（m）,減小誤差的建議：可以通過多次測量求平均值減小誤差.（建議不唯一，合理即可）

【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的

關鍵.

（1）延長砂交A3于點^AM=x.利用直角三角形的性質表示出==BC=MF=x-13.5,然后在

RSAWF利用直角三角形三角函數得出AM,最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答；

（2）根據（1）的結果計算即可.

【詳解】（1）如圖，延長所交AB于點Af,根據題意得四邊形所CD和四邊形3CFN均為矩形.

A

設AM=x.

在RtA4￡M中，ZAME=90°,ZAEM=^5°

EM=AM=x.

-：EF=CD=133,

,\BC=MF=x-133.

在RS4WF中，ZAMF=90°,ZAFM=52°,

/i，AM

trnZAFM=--------1.28,

MF元一13.3

解得x=60.8.

?：BM=CF=\.5,

:.AB=AM+BM=60.8+1.5=62.3.

答：二七紀念塔的高度A3約為62.3m.

（2）誤差為63—62.3=0.7（m）.

減小誤差的建議：可以通過多次測量求平均值減小誤差.（建議不唯一，合理即可）

6.（2025?河南信陽?三模）某市若干臺風機矗立在云遮霧繞的山脊之上，風葉轉動，風能就能轉換成電能，造福千家萬

戶.某中學初三數學興趣小組進行了如下實地測量.如圖，三片風葉AB,AC,兩兩所成的角為120。.小組成員

在離塔底。水平距離為48米的點￡處，測得塔頂A的仰角NAEO=53。，是風葉AB的視角.已知三片風葉的長

度均為40米.

⑴當點。在AO上時，求點C到地面EO的距離；（結果精確到1米）

434

⑵在風葉旋轉的過程中，求視角的最大值.（參考數據：sin53°?-,cos53°?-,tan53°?-）

【答案】⑴84米

（2）30°

【分析】本題考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解

題的關鍵.

(1)在Rt^AEO中，利用三角函數求出AO=64.如圖(1),過點C作CFLEO于點R過點A作AG,CF于點G,則

四邊形AOPG是矩形，根據矩形的性質及線段的和差即可求出點C到地面EO的距離.

⑵作于8',在Rt/XAB'E中，根據AB'=McinZAEB,AE是定值，43,隨著的增大而增大，可知當

B；3兩點重合，硬與OA相切于點8時，AB'=AB,A9最大，此時/AEB最大，ZABE=90°,解直角三角形即可

求解.

【詳解】(1)解：在RtZXAEO中，ZAEO=53°,

4

/.AO=OExtan53°?48x—=64.

3

如圖(1),過點C作CFLEO于點凡過點A作AGLb于點G,

i\//ZAOF=ZAGF=ZOFG=90°,

//////

圖⑴

則四邊形是矩形，

.-.GF=AO=M,ZOAG=90°,

:.ZCAG=30°,

:.CG=-AC=20,

2

.-.CF=20+64=84,

故點C到地面EO的距離約為84米.

(2)解：作AB」BE于

在RtZXAB'E中，AB'=AEsinZAEB,

?.?AE是定值,

，鉆'隨著NAEB的增大而增大，當3'、3兩點重合，EB與。A相切于點8時，AB'=AB,A9最大，此時NAEB最大,

止匕時NABE=90。,

如圖(2).

2」

,取<雙53°廣。O.....

Z////////Z///ZZ

圖(2)

—EO48。八

AE=---------x—80

在RtZXAEO中,cos5303

5

"nN的=四=

AE802

.\ZA￡S=30°,

故視角ZAEB的最大值為30°.

題型02方位角問題

01題型綜述________________________________________

解直角三角形及其應用中的方位角問題是初中數學將幾何知識緊密聯系實際生活，尤其是航海、航空、野外定向等

場景的重要內容，通過構建直角三角形，運用三角函數知識解決基于方位角的位置與距離計算，在中考數學中分值占

比約5%-8%o

1.考查重點：重點考查對方位角概念的清晰理解，明確如何依據方位角在實際情境中構建直角三角形，并運用三角函

數準確求解涉及的邊長與角度，實現位置關系和距離的量化計算。

2.高頻題型：高頻題型包括已知某點相對于另一參考點的方位角及其他線段長度，求兩點間實際距離；根據不同觀測

點對同一物體的方位角，確定物體的準確位置并計算相關距離；在航海、航空等實際場景中，依據方位角變化及航行

數據，計算航行軌跡長度、轉向角度等問題。

3.高頻考點：考點集中在方位角的準確識別與應用，直角三角形中三角函數（正弦、余弦、正切）與方位角所構建幾

何關系的運用，以及將實際方位角場景精準抽象為數學模型（直角三角形）并進行求解的過程。

4.能力要求：要求學生具備較強的空間想象能力，能將文字描述的方位角信息轉化為直觀的幾何圖形；擁有良好的閱

讀理解能力，從復雜的實際情境中提取關鍵信息；掌握扎實的三角函數運算能力，準確處理與方位角相關的數值計算。

5.易錯點：易錯點在于對方位角的方向判斷錯誤，導致構建的直角三角形方位錯誤；在利用三角函數計算時，混淆直

角三角形各邊與方位角的對應關系，錯誤選擇三角函數公式；計算過程中出現粗心錯誤，如三角函數值記錯、運算順

序出錯或單位換算不當。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.方位角:

由方向+角度構成。

在解決有關方位角的問題中，一般要根據題意理清圖形中各角的關系，有時所給的方向角并不一定在直角三

角形中，需要用到兩直線平行內錯角相等或一個角的余角等知識轉化為所需要的角。

一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉相應度數。

【典例分析】

例1.（2024.黑龍江大慶.中考真題）如圖，CD是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路/上由北向南行駛，在A

處測得橋頭C在南偏東30。方向上，繼續行駛1500米后到達8處，測得橋頭C在南偏東60。方向上，橋頭。在南偏東45。

方向上，求大橋的長度.（結果精確到1米，參考數據：出“1.73）

【答案】548米

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，分別過點作A3的垂線，垂足分別為根據題意得出口=3。=1500,

解RtABCF求得BF,CF,進而求得==CD=EF=BE-BF,即可求解.

【詳解】解：如圖所示，分別過點CD作42的垂線，垂足分別為EE,

二四邊形CDEF是矩形,

/.CF=ED,CD=EF,

依題意，ZCBE=60°,ZCAB^30°,

：.ZACB=ZCBE-ZCAB=30°,

ZCAB=ZACB,

，AB=BC=1500；

在RIABCF中，CF=BCxsinZBCF=1500x3=750石，

2

BF=BC-cosNCBF=^BC=75。；

2

在Rt^BED中，ED=BE-tanNDBE=BE-tan45°=BE=CF=750g，

：.CD=EF=BE-BF=750A/3-750?750x(1.73-1)?548.

答：大橋CD的長度約為548米.

例2.(2024?四川資陽?中考真題)如圖，某海域有兩燈塔A,B,其中燈塔8在燈塔A的南偏東30。方向，且A,8相距

應I海里.一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東30。方向、燈塔B的正北方向.

3

⑴求8,C兩處的距離；

(2)該漁船從C處沿北偏東65。方向航行一段時間后，突發故障滯留于。處，并發出求救信號.此時，在燈塔8處的漁

政船測得。處在北偏東27。方向，便立即以18海里/小時的速度沿8。方向航行至。處救援，求漁政船的航行時間.

(注：點A,B,C,。在同一水平面內；參考數據：tan65°?2.1,tan27°?0.5)

【答案】(1)2,C兩處的距離為16海里

(2)漁政船的航行時間為拽小時

12

【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形.

(1)根據題意易得=則CE=3￡,再求出5E=CE=——=8(海里)，即可解答；

cos30°

(2)過點。作D尸_L3C于點設。~=尤海里，則止=CFtan65°=2.卜，。尸=3尸tan27°=0.5(16+尤)，則

2.lx=0.5(16+%),求出x=5,進而得出班'=8C+CF=21海里，。尸=CFtan65。=10.5海里，根據勾股定理可得：

BD=YIDF2+BF2=^-（海里），即可解答.

2

【詳解】（1）解：過點A作AEJ_5c于點E,

??,燈塔3在燈塔A的南偏東30。方向，。處在燈塔A的北偏東30。方向、燈塔3的正北方向.

.??ZACE=ZABE=30°,

???AC=AB,

AELBC,

：.CE=BE,

?.?鉆=史叵海里，

3

AR

：.BE=CE=---------=8（海里），

cos30°

???50=8x2=16（海里），

???8,C兩處的距離為16海里.

(2)解：過點。作。尸，3c于點孔

設。尸=%海里，

ZDCF=65°,

：.。尸=CFtan65。=2.1%,

由(1)可知，3c=16海里，

???所=(16+%)海里,

9：ZDBF=21°,

：.OF=BFtan27°=0.5(16+%),

2.lx=0.5(16+x),

解得：x=5,

???Bb=BC+b=21海里，。廠=CFtan650=10.5海里,

根據勾股定理可得：BD=y1DF2+BF2（海里）,

2

漁政船的航行時間為"+18=述（小時），

212

答：漁政船的航行時間為撞小時.

12

例3.（2024?四川資陽?中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A,B,其中燈塔8在燈塔A的南偏東30。方向，且A,8相距

電1海里.一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東30。方向、燈塔8的正北方向.

3

（1）求2,C兩處的距離；

（2）該漁船從C處沿北偏東65。方向航行一段時間后，突發故障滯留于。處，并發出求救信號.此時，在燈塔8處的漁

政船測得。處在北偏東27。方向，便立即以18海里/小時的速度沿8。方向航行至。處救援，求漁政船的航行時間.

（注：點A,B,C,。在同一水平面內；參考數據：tan65°?2.1,tan27°?0.5）

【答案】（1）8,C兩處的距離為16海里

（2）漁政船的航行時間為拽小時

【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，解題的關鍵是正確畫出輔助線，構造直角三角形.

（1）根據題意易得AC=45,則廢=3萬，再求出BE=CE=——=8（海里），即可解答；

cos30

（2）過點￡>作DF_L3c于點孔設CF=x海里，則止=CFtan65°=2.1x,DF=fiFtan27°=0.5（16+^）,則

2.1x=0.5（16+x）,求出尤=5,進而得出3/=3C+CF=21海里，￡>r=。力1165。=10.5海里，根據勾股定理可得:

BD=^DF-+BF-=^-（海里），即可解答.

2

【詳解】（1）解：過點A作于點￡1,

??,燈塔3在燈塔A的南偏東30。方向，。處在燈塔A的北偏東30。方向、燈塔3的正北方向.

???ZACE=ZABE=30°,

：.AC=AB,

*：AE±BC,

：.CE=BE,

'：=海里，

3

Afi

：.BE=CE=---------=8（海里），

cos30°

/.BC=8x2=16（海里），

:.B,C兩處的距離為16海里.

(2)解：過點。作止±3C于點四

設CF=x海里，

ZDCF=65°,

：.DF=CFtan650=2.1x,

由(1)可知，BC=16海里，

.*<5>=(16+x)海里,

/DBF=Z1°,

??.r>F=BFtan27°=0.5（16+x）,

2.1x=0.5（16+%）,

解得：x=5,

???BF=BC+CF=21海里,。尸=CFtan650=10.5海里,

根據勾股定理可得：BD=S/DF2+BF2=^-（海里）,

2

漁政船的航行時間為":18=述（小時），

212

答：漁政船的航行時間為拽小時.

例4.（2024?海南?中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最

重要的航標.某天，一艘漁船自西向東（沿AC方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示.

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔尸北偏西60。方向上的A處.

記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔尸北偏西45。方向上的8處.

記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C

點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔尸北偏東15。方向.

請你根據以上信息解決下列問題:

⑴填空：ZPAB=°,ZAPC=。，AB=海里；

(2)若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異?！眳^，請計算說明.

(參考數據:V2?1.41,A/3X1.73,A/6a2.45)

【答案】⑴30；75；5

(2)該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異?！眳^

【分析】本題主要考查了方位角的計算，解直角三角形的實際應用，三角形內角和定理：

(1)根據方位角的描述和三角形內角和定理可求出兩個角的度數，根據路程等于速度乘以時間可以計算出對應線段的

長度；

(2)設PD=x海里，先解RIAPDB得到BD=x,再解Rt~4P。得到AO=上-=gx海里，AP=12=2x海里，據

tanAsinA

止匕可得尤+5=瓜，解得A尸=2x=^6+5)海里；證明NC=/APC,則AC=AP=卜百+5)海里；再求出上午9時時

船與C點的距離即可得到結論.

【詳解】(1)解：如圖所示，過點尸作PDJLAC于。，

由題意得，ZAPD=60°,ZBPD=45°,ZCPD=15°,

二ZPAB=90°-ZAPD=30°,ZAPC=ZAPD+ZCPD=75°；

:一艘漁船自西向東(沿AC方向)以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時從A出發到上午8時30分到

達B,

：.A8=10x0.5=5海里.

(2)解：設尸￡)=%海里，

在RRPDB中，BD=PD-tanNDPB=x海里,

在RSAP0中，4。=尊-=瓜海里，42=之2=2彳海里,

tanAsinA

,:AD=AB+BD,

x+5=V3x,

5_573+5

解得％=

Vs—12

AP=2x=（56+5）海里,

'：NC=180°-ZA-ZAPC=75°,

/C=ZAPC,

：.AC=AP=（5代+5）海里；

上午9時時，船距離A的距離為10x1=10海里，

V5A/3+5-10=5V3-5?5X1.73-5=3.65<5,

該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異?！眳^.

【變式演練】

1.（2025?河南焦作?一模）如圖，一艘輪船位于燈塔C的北偏東57。方向，距離燈塔50海里的A處，此時船長接到臺風

預警信息，臺風將在5小時后襲來，他計劃立即沿正南方向航行，趕往位于燈塔C的南偏東30。方向上的避風港B處.

B

⑴問避風港B處距離燈塔C有多遠.

（2）如果輪船的航速是20海里/時，問輪船能否在5小時內趕到避風港3處.（參考數據：sin57°?0.84,cos57°?0.54,

tan57°?1.54,5/3?1.73）

【答案】（1）84海里

（2）能

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數的定義是解題的關鍵；

（1）如圖，過點C作。0，腦于點。，則/ADC=NBr>C=90。.解RMACZ）,RtABCD,求得BC,即可求解；

⑵解R3ACD,RtABCD得出BD=6CD,進而根據=求得AB的距離，根據路程除以速度，即可求

解.

【詳解】（1）由題意得/A=57。，N3=30°,AC=50海里.

如圖，過點C作CD,AB于點。，則NADC=/3DC=90。.

CDCD

在RSACD中，sin57°=—

AC50

CD=50xsin57°~50*0.84=42（海里）.

在Rt^BCD中，4=30。，

.?.BC=2CD=84海里.

答：避風港5處距離燈塔。約84海里.

AF）AF）

（2）如圖，在RtAACD中，cos57°=-----=——

AC50

AD=50XCOS57°Q50X0.54=27（海里）.

在RtZkBCD中，ZB=30°,CD=42海里，

，80=百CDy42x1.73=72.66（海里），

AB=AD+BD=21+12.66=99.66（海里）.

.?.99.66-20=4.983（小時），

故輪船能在5小時內趕到避風港B處.

2.（2025?浙江杭州?模擬預測）如圖，所示，在某海域，一艘指揮船在C處收到漁船在8處發出的求救信號，經確定,

遇險拋錨的漁船所在的2處位于C處的南偏西45。方向上，且3c=100海里；指揮船搜索發現，在C處的南偏西60。方

向上有一艘海監船4恰好位于2處的正西方向.于是命令海監船A前往搜救，已知海監船A的航行速度為40海里/

小時，問漁船在2處需要等待多長時間才能得到海監船4的救援？（已知0"41,屈x2.45）

北

【答案】漁船在B處需要等待1.3小時

【分析】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，根據A在2的正西方，延長交南北軸于點則ASLCD于

點、D,在RgBOC和RLADC中，根據銳角三角函數即可求出CD和AD的長，進而可得AB,然后利用距離除以速度可

得漁船在B處需要等待的時間.

【詳解】解：因為A在8的正西方，延長交南北軸于點。，則ABLCD于點。，

VZSCD=45°,BD±CD,

：.BD=CD,

CD

在RtABDC中，cosNBCD=—,3C=100海里，

BC

Wcos45°=—=

1002

解得C￡