第一章極限主講人夜雨13

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1）形如21

2）形如22

倒代換解2極限計(jì)算的游戲規(guī)則我們計(jì)算極限要遵守極限的四則運(yùn)算及四則運(yùn)算的推廣，不要憑空捏造新的運(yùn)算，無法用極限的四則運(yùn)算

及四則運(yùn)算的推廣來說明的東西都是錯(cuò)誤的極限的四則運(yùn)算若存在，則若存在，且若存在，則如下三條是四則運(yùn)算的二級(jí)結(jié)論1）分子或分子的因子可進(jìn)行等價(jià)量的替換（其本質(zhì)是極限乘法運(yùn)算）同理分母或分母的因子可進(jìn)行等價(jià)量的替換2）分子的非零因子可直接計(jì)算（其本質(zhì)是極限乘法運(yùn)算）同理分母的非零因子可直接計(jì)算

分子的零因子不可直接計(jì)算經(jīng)典錯(cuò)誤3）拆成兩個(gè)式子的和，如果其中一個(gè)極限存在，那么它可直接計(jì)算極限（其本質(zhì)是極限加法運(yùn)算）如果兩個(gè)都是，則不可以拆經(jīng)典錯(cuò)誤極限的四則運(yùn)算的推廣若若若若可以寫成如果兩部分相乘，一部分極限為非零常數(shù)，一部分為無窮大，則可拆

若，存在，則可以寫成3如果兩部分相加，一部分極限存在，一部分為無窮大，則可拆

若可以寫成如果兩部分相加，兩部分都為正無窮大，則可拆利用極限的四則運(yùn)算或四則運(yùn)算的推廣說明如下兩條結(jié)論

利用等價(jià)無窮小（重點(diǎn)）求極限求極限4求極限（2013年真題）求極限一個(gè)特殊的等價(jià)關(guān)系若）原理：，做大題的時(shí)候就像這樣提等價(jià)量拆成兩部分5設(shè)，求討論函數(shù)的連續(xù)性6求極限（2010逆用等價(jià)無窮小（重點(diǎn)）若其核心作用是降低運(yùn)算等級(jí)，去指數(shù)，去根號(hào)求極限求極限7求極限提項(xiàng)+逆用等價(jià)無窮小如果是兩個(gè)式子相減的形式，且兩個(gè)式子比值趨于，那么我們可以提項(xiàng)再逆用等價(jià)無窮小：若8設(shè)在的某一鄰域內(nèi)有定義，對(duì)任意，，則求，其中設(shè)且為常數(shù)，則為何值時(shí)，極限存在，并求出此極限值9的等價(jià)量，那么的等價(jià)量是什么？1）同階但不等價(jià)，設(shè)2）不同階，則高階被低階吸收，例如當(dāng)利用拉格朗日中值定理與“提項(xiàng)+逆用等價(jià)無窮小”的效果無異當(dāng)中形式不一樣時(shí)，可以把他們變成指數(shù)函數(shù)求，其中10拉格朗日中值定理適用情形探討等價(jià)時(shí)，此時(shí)等價(jià)，如果我們知道，可得的等價(jià)量，此時(shí)一定可以用

拉格朗日中值定理不等價(jià)時(shí)，此時(shí)的等價(jià)量找不到，那么等價(jià)量就可能找不到，那么拉格朗日中值定理就不一定有效比如求的等價(jià)量（不可以用）比如求的等價(jià)量（可以用）（2018年真題）湊項(xiàng)法（重點(diǎn)）方法一：根據(jù)等價(jià)無窮小湊項(xiàng)求11求方法二：找中間項(xiàng)湊項(xiàng)12差分法（非重點(diǎn)）比如要求，可以考慮一個(gè)數(shù)列把的形式完全一致，所以求它們的極限實(shí)際上就是一個(gè)極限即的極限，去求轉(zhuǎn)換成去求及13（網(wǎng)紅題）14利用洛必達(dá)法則（重點(diǎn)）型洛必達(dá)法則若有如下三個(gè)條件時(shí)，函數(shù)（2）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)，都存在且存在或?yàn)闊o窮大則型洛必達(dá)法則（不要求分子趨于無窮大）若有如下三個(gè)條件時(shí)，函數(shù)（2）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)，都存在且存在或?yàn)闊o窮大則利用洛必達(dá)法則去積分符號(hào)，確定的范圍（2011年真題）15確定常數(shù)的值，使得（1998年真題）被積函數(shù)帶求導(dǎo)變量方法一：可利用含參變量求導(dǎo)公式方法二：可以通過區(qū)間對(duì)稱公式，變量分離，換元來除去被積分函數(shù)的求導(dǎo)變量含參變量求導(dǎo)公式：特別地，變上限積分求導(dǎo)公式：特別地，設(shè)函數(shù)連續(xù)，且（2005年真題）提示：分子可利用含參變量求導(dǎo)公式，或者變量分離，除去被積分函數(shù)的求導(dǎo)變量16求（2017年真題）求極限（張宇八套卷）二重積分除以一個(gè)式子型極限設(shè)是區(qū)域上可微函數(shù)，，且，求極限17設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，設(shè)曲線與直線所圍的區(qū)域?yàn)椋ɡ钇G芳三套卷）求極限利用洛必達(dá)法則確定階數(shù)當(dāng)（201318求的等價(jià)無窮小量高階無窮小的運(yùn)算（下面式子從左到右成立）泰勒展開利用泰勒展開求等價(jià)無窮小（重點(diǎn)）

設(shè)的泰勒展開第一個(gè)不為零的項(xiàng)為，則

求的等價(jià)無窮小量19當(dāng)（2013年真題）確定泰勒展開的階數(shù)（重點(diǎn)）分母多少階，分子就展開到多少階（此時(shí)高階無窮小的部分可仍掉）錯(cuò)誤做法等價(jià)無窮小本質(zhì)是低階的泰勒展開，這里只展開到精度不夠，不存在，故不可扔20不常見的泰勒展開（次重點(diǎn)）1）形如的泰勒展開提項(xiàng)轉(zhuǎn)變成，求設(shè)及，使當(dāng)2）形如的泰勒展開

提項(xiàng)轉(zhuǎn)變成存在，求此極限21兩個(gè)函數(shù)乘積的泰勒展開（次重點(diǎn)）若的階數(shù)分別是展開到階，則分別只需展開到階（不記）帶高階無窮小的部分為即欲展開到核心：看兩項(xiàng)將展開到四次，求復(fù)合函數(shù)的泰勒展開（次重點(diǎn)）的階數(shù)是，怎么使得展開到第一步：將展開到階，得到，其中第二步：注意，此時(shí)第三步：再考慮的展開22提示：變上限積分函數(shù)的等價(jià)無窮小（重點(diǎn)）（階數(shù)為）231）的證明如下首先我們證明當(dāng)，故即故2）的證明類似設(shè)求的等價(jià)無窮小24極限與無窮小的聯(lián)系（重點(diǎn)）若（2000年真題）若，則當(dāng)是）等價(jià)無窮小量同階但不等價(jià)的無窮小量高價(jià)無窮小量低階無窮小量設(shè)在25換元法（重點(diǎn)），這處理的好處是方便發(fā)