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文檔簡介
解三角形專項練
2025年高考數學一輪復習備考
一、單選題
1.在VABC中,區上c分別為角A,3,C的對邊,若tanA=3,B=~,左=2標,貝()
4
A.2B.3C.2A/2D.372
2.若VABC的三個內角A,5,C所對的邊分別為a,b,c,B+C=60°,a=3,則吧勺然史二'土=
a+b-c
()
A.2月B.且C.-D.6
66
3.在VABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊,且a(cosB-l)-b(cosA—l)=0.若a=4,則
b=()
A.1B.2C.3D.4
4.在VABC中,角A,B,C所對的邊分別為。,b,c,若面+c?_/)tanB=^c,則cos53=()
5.已知VABC中,角A,SC所對的邊分別是a,b,c,若6cosc+ccosB=b,且。=。853,貝(JVABC
是()
A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形
6.已知VABC的三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足2?+b=2ccosB,且sinA+sin3=l,
則VA3c的形狀為()
A.等邊三角形B.頂角為120。的等腰三角形
C.頂角為150。的等腰三角形D.等腰直角三角形
JTQ
7.在VABC中,內角A3,C所對邊分別為a,6,c若3=§,b2=—ac,則sinA+sinC=()
31-近D.B
A.yB.逝C.
22
8.設在VABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若滿足a==九5=2的VABC不唯一,
6
則機的取值范圍為()
A.性出B.
(0,V3)
口
0D.
二、多選題
9.已知VA3C內角A、B、C的對邊分別是°、b、c,A=23,貝U()
A.a2=c(b+c)B.+的最小值為3
C.若VABC為銳角三角形,則:e(l,2)D.若a=2#,b=3,貝Uc=5
b
10.在VABC中,4,氏(7所對的邊為〃,6,。,設M邊上的中點為",%4%的面積為5,其中“=26,
b2+c2=24,下列選項正確的是()
A.若A=1,貝US=3右B.S的最大值為3g
TT
C.AM=3D.角A的最小值為§
11.在VA3C中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列命題正確的是()
A.若A=30。,b=4,a=3,則VABC有兩解
B.若A=60。,a=2,則VABC的面積最大值為
C.若a=4,b=5,c=6,則VABC外接圓半徑為場
7
D.若acosA=6cos3,則VABC一定是等腰三角形
三、填空題
TTI—b+C
12.在VA3C中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,若B==,c=2,5ABe=C,則-----二的
3csinB+sinC
值為.
13.在銳角三角形ABC中,角A,氏C所對的邊分別為。,4c,若cos23+cos2C+2sinBsinC=l+cos2A,
則角A=.
14.VABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若a?一廿=bc,且sinA=^sinB,則角A=
15.如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點,從點A測得點M的仰角
/M4N=45。,點C的仰角NC4B=60。,以及/M4c=75。.從點C測得/MCA=45。,已知山高
BC=300m,則山高A£V=m.
16.已知向量,7=IJ§sin:,l=(cos^,cos2:
(1)求附+|中的取值范圍;
⑵記〃X)=〃Z-",在VABC中,角43,。的對邊分別為。,6,。且滿足(2。-。卜0$3=反0$。,求函數
/(A)的值域.
17.已知函數=sin£-道sin5cos金+1.
(1)求函數y=〃x)的單調遞減區間;
⑵在VABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足。?-/=accosB-gzJC,求/(3)的取
值范圍.
18.如圖,在山腳A測得山頂P的仰角為a,沿傾斜角為夕的斜坡向上走。米到8,在B出測得山頂P
得仰角為7,
(1)若£=15°,求坡面的坡比.(坡比是坡面的垂直高度與水平寬度的比值)
asinasin。一夕)
⑵求證;山高
sin(/-a)
19.記VABC的內角A,3,C的對邊分別為a,b,c,已知acos5=)(l+cosA).
(1)證明:A=2B;
Q)若c=2b,a=#),求VABC的面積.
參考答案:
1.B
sin2A+cos2A=l
由tanA=3,可得A£(0q),根據<sinA進而求出sinA=3^/^,cosA=
=31010
cosA
由B=;可得sin5=,cosB=,
422
則sinC=sin(A+吁inAcosB+sin慶osA=^x泉零x*當,
由正弦定理可知9祟當
又因為儀:=2\/?6\解得=c=2^2,
「3湎
由正弦定理可得a=Wf=-*—=3.
sinB。2
方
2.B
在VABC中,B+C=60°,所以A=120。,所以效4變=3,
。36
,…TE心Hr,口
由正弦定理以7及T71比rA例y的性b質可得:s-i-n-A--+-s-i-n--B---s-in--C-=——sinA=丹J3.
a+b—ca6
3.D
tz(cosB—1)—Z?(cosA-l)=0,
a2+c2-b2J,b2+c2-5。,
:.a------------------1\-b'
2ac}2bc
a2+c2-b2
r+".+6=o,(a-b)=0.
2c2cc
a?_段_c(a_Z?)-0,即(a—/?)(〃+/?—c)—0.
a+b-c>G,:.a-b=Q,b=a=4.
4.D
(a?+/—/)tanB=y/3ac,2ac-cosB-tanB=y[3ac,
2
北(0,無),=W或胃,
。J
5兀1—IO714TI1
/.可得cos5B=cos-=cos一或cos=cos——二——
2332
5.D
bcosC+ccos3=Z?nsin5COSC+sinCcosB=sinB=>sin(B+C)=sinB,
BPsinA=sinB,故a=/7,
a-ccos3nsinA=sinCeosBnsin(B+C)=sinCeosB
=sinBcosC+cosBsinC=sinCcos5=sin5cosC=0,
因為5^(0^),所以sinBwO,故cosC=0,
因為Ce(O,兀),所以C=1,
故VABC為等腰直角三角形.
6.B
由正弦定理可得2sinA+sin3=2sinCeosB,
因為A+B+C=7l,所以B+C=7l—A,
所以2sin(3+C)+sin5=2sinCeos8,即2sinBcosC+2cosBsinC+sin5=2sinCeosB,
即2sin3cosc+sin5=0,因為兀),所以sinBwO,
1Ojrnr
所以cosC=—5,因為Cc(o,7i),所以c=(,所以B+A=q,
因為sinA+sinB=l,所以sinA+sin[]—A)=l,
所以sinA+^^cosA-'sinA=l,BP^^cosA+—sinA=1,
2222
即sin(A+[]=l,因為所以A+f=f,所以A=g,
I”13/326
jr冗
因為2+4.所以A=B=m,
36
所以VA3C的形狀為頂角為120。的等腰三角形.
7.C
因為2=工廿=-ac,則由正弦定理得sinAsinC=±sin23=L
3493
9
由余弦定理可得:匕2="+C2—UC=—CLC,
4
131313
即:“2+c2=一ac,根據正弦定理得sin2A+sin2C=一sinAsinC=一,
4412
7
所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=一,
4
因為AC為三角形內角,則sinA+sinC>0,貝!IsinA+sinC=且.
2
8.A
75m
b
解:由正弦定理一;即sinAj_,所以
sinAsin52sinA
2
jr54TT1
因為VABC不唯一,即VABC有兩解,所以一<A(一且AW-,即±<sinA<l,
6622
所以1<2sinAv2,所以1v——T<1,即<根<小;
22sinA2
9.BCD
由A=25,得sinA=sin23=2sin3cos3,
722
由正弦定理得a=2/?cos5,由余弦定理得〃=2。----------,
lac
貝lj(c—Z?)(Q2—/—6。)=o,當bwc時,a2—b2—be=0fBPci2=b(b+c^,
當b=c時,B=C,又N=2B,所以A=90o,B=C=45。,
所以Q=①,所以(缶『一/一匕心二。,
所以/=b0+c),故選項A錯誤;
由則2+冬=2+"/=2+£+123,當且僅當6=c時,故選項B正確;
cbcbcb
csinCsin(2B+B)sin2BcosB+cos2BsinB
在VABC中,sinBwO,由正弦定理,
bsinBsinBsinB
2sinBcos2B+(2cos2B-l)sinB。
-----------------------L------=4cos2B-b
sinB
若VABC為銳角三角形,又A=2B,則Be0,?,C=TT-3B<J,故
I4/26
所以Be修,所以cosBe烏,則cos。Be,
<64J1221124)
所以4cos2B-le(l,2),故選項C正確;
在VA5c中,由正弦定理^一-=———=———f又A=26,a=2y/6,b=3,
sinAsinBsinC
32762娓
得,則cosB=
sinBsin2B2sinBcosB3
由余弦定理,b1=c^+C1-2accosB,得9=24+c?一2x2#x1
c,
3
整理得。2—8。+15=0,解得c=5,或c=3,
當c=3時,有C=3,又A=2B,所以B=C=45°,A=90°,
因為b?+c2Aq2,貝!|c=3不成立,故選項D正確.
10.ABC
jr
選項A,若A=§,由余弦定理/n/^+H-ZbccosA,得12=24—Z?c,所以bc=12,
則三角形面積S=工。csinA=^xl2x^=,A正確;
222
選項B,由基本不等式可得24=6?+26c,即bc?12,
當且僅當人c=2指時,等號成立,
^22_2
由余弦定理可得cosA=",6
be
則S=-besinA=-bcyll-cos2A=-J(bcY-36<-V122-36=3指,B正確;
222vv72
uuur1zUirnuum
選項C,因為5c邊上的中點為Af,所以AAf=](A5+AC),
而〃2=/+/_2bccosA,BP12=24-2Z?ccosA,貝!JbccosA-6,
所以卜;+21AB||AC|COSA=;+c2+2Z?ccosA
=—124+2x6=3,故C正確;
2
選項D,因為24=/+。2z2Z?c,即仇”12,
又0<4<兀,且函數y=cosx在(0,兀)上單調遞減,所以。D錯誤.
11.AC
對于A,因為》sinA=4sin3CT=2,所以bsinA<a<Z?,
所以如圖VABC有兩解,所以A正確,
bs\nA
A端、、JB?
___1'
對于B,因為A=60。,a=2,所以由余弦定理得/=4=/?2+02—2〃℃0560。=62+02一人。之人。,
當且僅當6=c=2時取等號,所以Z?cK4,
所以石,當且僅當6=c=2時取等號,
所以當VA3C的面積最大值為石,所以B錯誤,
對于C,因為。=4,6=5,c=6,所以由余弦定理得8$4=”+.一。二=25+36-16=3,
2x5x64
因為A£(0,兀),所以sinA=A/1—cos2A=
?R=a=一=3/萬
所以由正弦定理得m萬一萬一〒,得氏=浮,所以C正確,
對于D,因為acosAW,所以由余弦定理得?三^
所以〃2.(〃+/一〃2)=b2m2+。2一加),
所以a2b2+a2c2-a4=a2b2+b2c2-Z?4,
所以,(小-從)-(6+b1)(a2-Z?2)=0,
所以d+^ko,
所以Q2=》2,或02=〃2+。2,
所以VABC為等腰三角形或直角三角形,所以D錯誤,
12.處/±6
33
由可得gacsin3==豆,
解得。=2,所以V43c為等邊三角形,
故VA3c外接圓直徑為2R=上=1
sin53
二匚[、?b+c2RsmB+27?sinC,「4^/3
所以---------=---------------=27?=」一.
sinB+sinCsinB+sinC3
故答案為:逑.
3
13.-
3
因為cos2B+cos2C+2sinBsinC=1+cos24,所以
所以1-2sin2B+l-2sin2C+2sinBsinC=2-2sin2A,/.sin2A=sin2B+sin2C-sinBsinC,
“b2+c2-a21八4兀.兀
:.a9=b+c9-bei/.cosA=--------------=—.0<A<—,/.A=—.
2bc223
故答案為:y
1/兀
l4-3
〃一y=be,/.a2=Z?2+be,.■/=加+—2bccosA,
be=c2-2bccosA,:.b=c-2bcosA,
.\sinB=sinC—2sinBcosA,
sinB=sin(A+3)—2sin3cosA,
/.sinB=sinAcosB+sin5cosA—2sinBcosA,
sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B),
因為A,3?0,7i),所以A—(—兀,兀),
:.B=A-B^B+A-B=TI(舍),:.A=2B,
因為sinA=6sinB,sin2B=6sinB
即2sin3cos3=6sin3,sinBwO,
/.cosB=9
2
jr
:.A=2B=-
3
71
故答案為:~3
15.200
在VABC中,因為所以AC=32-=2004,
sin60°
在一AMC中,因為NMAC=75。,NMC4=45。,可得44MC=60。,
ACAMAC,Sm45
因為,^^AM=°=20072,
sinZAMCsinZACMsin60°
在直角一AMN中,可得腦V=AM.sin/MAN=20072xsin45°=200.
故答案為:200.
16.(1)[3,4]
⑵1]
x2x
(1)(1)因為m=,幾=cos—,cos—
44
可得M+WI=3sin2—+1+cos2—+cos4—=3|1-cos2—|+1+cos2—+cos4X
444444
2
=cos4—%c2cos2—%+4/=cos2-^-lj+3,
44
因為cos[e[0,1],所以時+|n|e[3,4].
si22
(2)解:由題意得==cos—,cos2f=^sin—cos—+cos
444,4
A/3,x1x1.X71+:,可得〃A)=sinA711
=——sin—+—cos—+—=sin—+—―+―+2,
222222626
因為(2a-c)cos_B=Z?cosC,由正弦定理得(2sinA-sinC)cos_B=sinBcosC,
所以2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC,所以2sinAcosB=sin(B+C),
又因為A+3+C=7i,貝人皿(5+。)=51114,且sinAwO,所以cos3=;,
因為30,所以所以0<A<=,則+
336262
e1.A兀3
則2Vsm—+—<1,所以函數/(A)的值域是1,
26
27rTL
17.(1)-------1-2kji,—+2k7i,kGZ
-33
⑵pl
(1)/(x)=-^-smx--cosx+-=-sinx+-\+-
222I6)2
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