江蘇省揚州中學2024-2025學年度第二學期學習效果評估

局二數學

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合

題目要求的。

1.已知集合/={-1,0,2},B={x\-L-mx>Q},若A^B,則0的取值范圍是（）

A.（-1,+<?）B.（一%）C.OD.（-8,-

2.已知復數為在復平面內所對應的點位于第一象限，且三=」，則復數Z2在復平面內所對應的

2i

點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量/=（3,利，4C=（l,y/l^且近-%=AB-AC^則445C的面積為（）

A.2A/3B.3A/3C.4百D.673

4.已知函數〃x）=3/一—+2,且/（叫+/伽-4）>2,則實數。的取值范圍是（）

A.（-4,1）B.（-oo,-l）u（4,+oo）C.（-oo,-4）U（l,+oo）D.（-1.4）

5.若（x—2y）（4—>）5的展開式中含x"?"的項滿足加+〃=2,則這些項的系數和為（）

x

A.10B.20C.30D.40

6.波斯詩人奧馬爾?海亞姆于十一世紀發現了一元三次方程/+/x=岫R0,6>0）的幾何求解方

法.在直角坐標系xp中，R0兩點在x軸上，以OP為直徑的圓與拋物線C：/=即交于點區,

及。，。。.已知x=|O0|是方程/+/》=方的一個解，則點尸的坐標為（）

7.已知正四棱錐尸-/BCD的底面邊長為26，若半徑為1的球與該正四棱錐的各面均相切，則

正四棱錐尸-/2CA的體積為（）

A.8也B.12C.12cD.36

8.已知函數〃*的定義域為R,且對任意reR,滿足九v--/h-〃=x,且〃〃=.〃）=1,則下

列結論一定正確的是（）

A.qiOO）2500B.f）100）-250CC.。加八2500D.儲01）>250C

二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數辦7=sm2x,若將〃2的圖象向右平移工個單位后，再把所得曲線上所有點的橫坐標

伸長為原來的2倍f縱坐標不變），得到函數夕方的圖象，則下列說法正確的是（）

A.g（x）=sinfx-B.g/耳的圖象關于點金。）對稱

126

c.g/V的圖像關于直線》=?寸稱D.苧力的圖像與"*的圖像在/0二可內有4個交點

io.數學中有許多美麗的曲線，圖中美麗的眼睛圖案由兩條曲線構成，曲線q：：+￡=i,上

頂點為E,右頂點為G,曲線C2上的點滿足到尸（0,-1）和直線>=1的距離之和為定值4,已知

兩條曲線具有公共的上下頂點，過廠作斜率小于0的直線/與兩曲

線從左到右依次交于4瓦。,。且以21,則（）

A.曲線C?由兩條拋物線的一部分組成

B.B.線段/尸的長度與A點到直線歹=5的距離相等

C.若S&AFE=3s&DFG,則直線/的斜率為一空

53

D.若線段48的長度為一，則直線/的斜率為-一

64

11.如圖，在直四棱柱/8CD-44G2中，底面48。為菱形，NBAD=60°,AB=A4=2,P

為CG的中點，點0滿足質=4反+〃西（2e[0』,〃e[0』），則下列結論正確的是（）

A.若2+〃=；,則四面體48P。的體積為定值

B.若4。=石，則點。的軌跡為一段圓弧

C.若△480的外心為0,則福?而為定值2

D.若2=1且〃=；,則存在點￡在線段48上，

使得AE+EQ的最小值為,9+2師

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知等比數列｛%｝為遞增數列,b“=一?記S”工分別為數列｛%｝,｛"｝的前”項和,

a”

aa9

若=i3S3+T3—12,則Sn—

13.已知。，，金］。,,

且滿足sinatan/=1-cos。,sin(f)=;,貝ijcosa=

14.如果x,y是離散型隨機變量，則＞在丫=＞事件下的期望滿足

E(X\y=y)=X再尸(x=My=y)其中｛玉,超,是x所有可能取值的集合.已知某獨立重

1=1

復試驗的成功概率為P,進行〃次試驗，求第〃次試驗恰好是第二次成功的條件下，第一次成功

的試驗次數X的數學期望是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.在矩形/題中，點￡在線段切上，且.43=5,CE=3,ZAEB-y

4

⑴求3c

⑵若動點例”分別在線段E4,旗上，且與NE必面積之比為(。_1廠4，試求刪的最

小值.

16.芻翼^chumeng)是中國古代數學書中提到的一種幾何體，《九章算術》中對其有記載：“下有

袤有廣，而上有袤無廣”，可翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱."，如

圖，在芻襄4BCDEF中,四邊形/2CA是正方形，平面8/E和平面CDE交于朋

(1)求證：C。〃平面8/￡；

(2)若48=4,EF=2,ED=FC,AF=3日再從條件①，條

件②，條件③中選擇一個作為已知，使幾何體/8CDE/存在且唯

一，并求平面NDE和平面R4E的夾角的余弦值.

條件①：BFLFC,AF1FC；

條件②：平面CDEL平面4SC。；

B

條件③：平面CBF，平面48cD,BFA.FC.

17.已知函數反*=COST-Infl-x),g(x)=ax-1.

(1)求力M在r=。處的瞬時變化率；

(2)若夕x)<g/xj恒成立，求a的值；

18.戶為圓/:(x+2)2+/=36上一動點，點6的坐標為(2,0),線段尸2的垂直平分線交直線NP于

點Q.

(1)求點。的軌跡方程C；

(2)如圖，(1)中曲線，與x軸的兩個交點分別為4和4，M、N為

曲線。上異于4、4的兩點，直線不過坐標原點，且不與坐標

軸平行.點〃關于原點。的對稱點為s,若直線4s與直線4N相

交于點7,直線。7與直線相交于點兄證明：在曲線C上存在

定點￡,使得ARBE的面積為定值，并求該定值.

19.為了合理配置旅游資源，管理部門對首次來揚州旅游的游客進行了問卷調查，據統計，其中;

2

的人計劃只參觀瘦西湖，另外］的人計劃既參觀瘦西湖又游覽大運河博物館，每位游客若只參觀

瘦西湖，則記1分；若既參觀瘦西湖又游覽大運河博物館，則記2分.假設每位首次來揚州旅游

的游客計劃是否游覽大運河博物館相互獨立，視頻率為概率.

(1)從游客中隨機抽取2人，記這2人的合計得分為才，求才的分布列和數學期望；

(2)從游客中隨機抽取〃人(〃eN*),記這〃人的合計得分恰為〃+1分的概率為《，求￡耳；

1=1

(3)從游客中隨機抽取若干人，記這些人的合計得分恰為A分的概率為。"，求數列｛。“｝的通項公

式.

《江蘇省揚州中學2024-2025學年度開學考試卷》參考答案

題號1234567891011

答案cDACAABDBDABCABD

11+m>01

1.C【詳解】由題意，因為工￡臺，貝

[1一2加>02

故選：C.

2.D【詳解】因為復數均在復平面內所對應的點位于第一象限，

則設Z]=Q+bi(q>0,6>0),

因為三二-i,所以Z2=-34=—i?(〃+bi)=b—Qi,

zi

所以復數均在復平面內所對應的點為(d-a),

又6>0,-a<0,所以該點位于第四象限.

故選：D.

3.A【解析】解：因為運一就=AB-AC，所以4BJ..4C,

故.43,AC=3-口冽=0^解得加=-\Ti.

故石=2/1，AC=2'

又因為nxsc為直角三角形，

則面積S=空1￡=2門，

故選：4.

7x_1

4.C【詳解】由題意得，函數/(x)=3d——i-+i+i=3d+PJ」+i,

v7ex+lex+l

設g(x)==3d(xeR),

由/(q2)+〃3q—4)>2,得g(/)+g(3a-4)>0從而：g(〃)〉_g(3a_4),

33

XS^JgM=3(-x)+|-^=-^3x+17^=-g(x),

所以g(x)是R上的奇函數,即-g(x)=g(-x),

x_i7

又有g(x)=3x3H--P---=3x3------F1，

Jex+le'+l

2

因為>=3/是R上的增函數，y=一--一；是區上的增函數,

e+1

所以g(x)是R上的增函數；

貝Ig(〃)>—g(3。一4)可得：g(q2)>g(4—3。)，即Q2>4-3Q,

整理得：〃+3a—4>0,解得：〃〉1或Q<—4,

所以實數。的取值范圍為4)U(1,+8),

故選：C.

5.A

6.A【詳解】設尸億0),的中點為(go］,

則以OP為直徑的圓的方程為卜-+V=］，

與拋物線。：犬=今聯立，可得［一；］+!》4=1，

化簡可得x2-X+W=0,

a

由于R。，。。，可得R,。的橫坐標相等,

則方程d+。2%=6和方程］一￡+,=0有相同的解,

a

即有6=入，解得/=5，

則尸序。).

故選：A.

7.B【詳角軍】

p

因為球與該正四棱錐的各面均相切，所以該球的球心O在尸-ABCD的高線P”上，

過點b作于點E,連接尸E,過點。作。KLPE于點K.

因尸H_L平面48cO,/2u平面48CD,則尸H_L4B,

又PHcHE=H,PH,HEu平面PHE,則/3_L平面

因OKu平面故48_L0K,又4BCPE=E,AB,PEu平面P4B,故OK_L平面尸48.

依題意，OK=OH=1,因為底面邊長為26，所以HE==拒,

在RtzXOEH中，tan/OEH=—=L,則=工，

TT7T

因OK=O〃=1,則/PEH=2/OEH=—,則=—,

36

EH=2

故「tan兀一6一,則/田四=丁(26)x3=12.

63

故選：B.

8.【答案】D【解析】解：因為依-。-f(x-1)=.v,

由累加法得：fCx)-fi2x-2)=2x-Lfi2x-2)-f(2x-4)-2x-i“…丸4)-負2)=3,

所以〃2x)-%2，=3-5-7-…72x7,，所以〃2#=1-3-5-7-—-2x-l)=f，

故〃100尸2500;故42錯誤;

再由累加法得：f(2x+1)—ft2x—1)—2x<f(2x—1)—f(2x—3)=2x—2>.....負3)—=2,

所以乙=-i：-\-/，^(101)=2551250C，故C錯誤，。正確.

故選D

9.BD【解析】解：對于.上將函數〃*=sm2\的圖象向右平移工，可得函數

v=sin2/.Y-=sin，2v-E的圖象；

126

再把所有點的橫坐標伸長到原來的2倍/縱坐標不變）得到函數g#=sin/v-，的圖象,故”錯誤;

對于B:令1-，=六不，ke2,W=ke2,所以*制的圖象關于點對稱,故8正確;

對于C:令ke2,得*=生一大小kez,故C錯誤；

623

對于D：分別畫出〃*與g/R在，。2R內的圖像，可知有4個交點，故。正確；

對于A選項，設曲線。2上任意一點亂（X/），

由C2定義可知，XJ滿足,肥+3+1）2+僅_\=4,

移項，平方可得：/+(y+l)2=(4-|y-l|)2=16-8|y-1|+()/-1)2,

,II—12y+24/21

即-=16-4>—8y—1=、\,為兩條拋物線，故A正確；

[4y+8,y<l

對于B選項，廠和直線>=5分別為拋物線/=—12^+24的焦點和準線，由拋物線定義可知,

故B正確

對于C選項，易知廠為拋物線/=4y+8和V=—12y+24的焦點，

前者2=2,后者2=6,//,DF分別為兩個拋物線的較短的焦半徑，因此

=-了口"1=3|。尸|,由于k4FE=3S^DFG,

1+COS01+COS0

則%_/=%_/，因此￡G〃/,所以&=^G=—半，故D正確，

對于D選項，設/與y軸夾角為女尸同時為拋物線Y=—12了+24和橢圓的焦點，P=6,

-忸叫=------------=-,

1+cos。2-cos。6

44

解得cos6=w，則勺=一§，故C錯誤.

故選：ABC

11.ABD

【詳解】對于A,如圖，取。A靠近。的三等分點為N,。。靠近。的三等分點為〃，

連接CD1,兒W,

因為4+〃=；,所以3丸+3〃=1,

令DN=；DD、,DM=；DC,ffijDQ=ADC+/2DDX,

則加=32而+3〃而，得到。eACV,

因為。〃靠近。的三等分點為N,。。靠近。的三等分點為M,所以"N//CA，

而由直四棱柱性質得441AB,

而/8=44=2,由勾股定理得網="百=2也，

在直四棱柱48<券-44。1。1中，A.DJIBC,AR=BC,

得到四邊形42cB是平行四邊形，故

則84〃肱V，由題意得戶為CG的中點，則尸的面積是定值，

而MN<z面AtBP,34U面AXBP,所以MNII面AlBP,

結合。eMN,由線面平行性質得Q到面AXBP的距離為定值，

即四面體43尸。的體積為定值，故A正確，

對于B,如圖，在面4片。9中，過4作4K，GA，連接K。，

由直四棱柱性質得。21面44GA，則,4K,

而DDXcClDl=D],DD[,CQu面DDXCXC,

故4K_L面DDgC,則4K±KQ,

而面N8CD為菱形，則面45cA為菱形，

因為N2=/4=2,所以=2,

因為484D=60。，所以424片=60。，則NKDM=60。，

由銳角三角函數定義得芷=也，解得4K=g,由勾股定理得AK=1,

22

因為4。=石，所以由勾股定理得K0=]（行）2-（6）2=4,

則0在以K為圓心，血為半徑的圓上運動，

設該圓與。n交于4，與Un交于

1_V2

由三角函數定義得cos/D]K4=則/*4=45°,

近一2

即點0的軌跡為一段圓弧，故B正確,

對于C,如圖，作。由題意得△48。的外心為。，故〃是&B的中點,

由已知得42=2及，因為所以麗?港=0,

而福?麗=福.（4萬+砌=福.福:+防?福,

AB

=AXBAXH=--AXBAXB=-AXB=~]i\=5由=4,故C錯誤,

1——?——?1

對于D,若2=1且"=/,止匕時=DC+'Z）。],

—?1——?1——?

因為p為CG的中點，所以。尸=5。儲=力。2，

由向量加法法則得而=友+屈，i^DQ=DC+^DD],

則點。與點尸重合，此時把沿著4B翻折，

如圖，使得4,4瓦尸四點共面，此時/E+E。有最小值ZP,

4

P（。）

AR

此時的點均為翻折過的點，因為P為CG的中點，所以CP=GP=I,

由勾股定理得第=也2+『=6,如圖，連接4G，

由已知得ND/畫=60°,則NG瓦4=120°,

由余弦定理得-工=2一+2—4盤,解得AC2也,

22x2x2

由直四棱柱性質得CG1面&BGP，則cc,14G，

則由勾股定理得A,P=7（2A/3）2+12=V13，

貝|J8P2+4B2=N72,故NPB4=90°,

而A8=N4=2,則N/B4=45°,得到NP8/=135。，

由余弦定理得一零=（若了+菱一//,解得/p=屈乖，故D正確.

22x<5x2

故選：ABD

14…

aa

12.【詳解】出=i3n/q=1=%=—,S3+T3=122^+3H—=12,

一'q'q

則2q2_9q+4=（2g-l）（g-4）=0ngi=g,%=4.

由于｛M｝為遞增數列，貝1Jq=4,4=；，

所以｛%｝的通項公式為%=4-2

所以s_；(1")_1(4〃1丫

7

14.【答案】一

9

【詳解】由sinatan，=l—cosa,則sinasin，=cos，一cosacos〃,

因止匕cosacos夕+sinasin夕=cos(a-Q)=cos/3,

又因為4//?n]，

所以。—〃=/?,所以a=2￡,

17

則sin(a-7?)=sin〃=—,cosa=cos2/?=l-2sin2/?=—.

14.【詳解】設隨機變量x,y分別代表第一、第二次成功對應的試驗次數,

則尸(X=/,丫=n)=p2(l-py12,以及尸(y=n)=(w-1)/?(1-p)n~2p=(n-l)p2(l-p/~2,

/.、(

所以尸(X="』)=P(Xp(=yx.=,Y〃J=n=\力1，

所以E(X|Y=n)=^jxiP[X=i\丫=〃)=

i=\n-Lz=in—LzL

15.【答案】解：【方法一】設BC=\,貝I」8E=V9-3,4E=、4-x：，而43=5,

在A.4E方中，由余弦定理得25=9+N+4+NN9-xW4-.v；cos;

化簡得2小：_6)=CV9+xW4+X：，

解得'=6或x=〃舍去3

所以8C=6；

【方法二】作E尸上.43,垂足為尸，設8C=x,NAEF=ZBEF=/,

則tana=二tan，=月'又NAEB=/

所以tan(a-3)=言■=9^=1，解得r=6儀=-/舍去),所以8cl=6；

-設EA/=加，EN=?b由〃jS/F/j;=，*5x6=15,由題：SAE\N：Sm+1):4,

?S_1S(V*2+1),又sMtMCtn

-S」E.s,----------—'乂S」E.UV-yW/rnn---

15(72+1)

??rm=--------------,

vT

由余弦定理得：'技=-\Tlmn>2mn->T2mn=(2->T2)mn=IS當且僅當="時取等

號

工，￡>的最小值為

16.(1)證明見解析;

(2)選條件②，即

【分析】(1)利用線面平行的判定定理可得證；

(2)先判斷只有條件②符合，再利用空間向量法求得二面角的余弦值.

【詳解】(1)證明：在正方形48co中，CDHAB,CO<2平面R4E,48u平面A4E

所以CD〃平面8/E；

(2)由(1)知CD〃平面A4E,又C￡>u平面CDE,平面與平面C￡>￡交于斯.

：.CD//EF,又CD11AB,AB!IEF

所以四邊形COPE為等腰梯形，四邊形"4EF為梯形；

條件①：BFA.FC,AF1FC,則/。，平面R4尸，即PC，平面以E

又EFu平面創E,此時四邊形CDFE不為等腰梯形，故條件①不符合

條件③：平面C8F_L平面48cD,且平面C5尸c平面48cz)=8C

又CDLBC,「.CD，平面CAF,尸Cu平面CAF,CD1FC

此時四邊形a%芯不為等腰梯形，故條件③不符合；

條件②：平面CDE_L平面N2CA,AF1FC；

過點尸作尸于。，過。作OHLOC于H,連接力。，

由平面CDE1平面ABCD,平面CDEc平面ABCD=CD,F0±平面ABCD

又OHu平面48CZ),:.FOLOH

以。為坐標原點，分別以尸所在直線為x),z軸建立空間直角坐標系，

因為CD〃平面A4E,CDu平面CDE,平面CDEc平面比1E=斯，，。//￡77

在四邊形CDFE中，ED=FC,EF=2,CD=4,所以OC=1,OD=3

在正方形4BCD中，4B=4,所以/。=5.

因為/O_LR9,且//=36，所以產。=也

所以2/(0,4,0),。(3,0,0),/(3,4,0),EQ,0,6),尸(0,0,行)

所以方=(0,4,0),2)E=(-l,0,V2),1￡=(-1,-4,V2),而=(2,0,0)

設平面ADE的一個法向量￡=(羽nz)

n-DA=4y=0

由?令z=l,則3=(0,0,1)

riDE=—x+42z=0

設平面A4E的一個法向量m=(a,6,c)

m-AE=—u-4b+41c=0

,令6=1,則浣=(0/,2收)

m-FE=2a=0

設平面ADE和平面BAE的夾角為d,

2V22A/6

則cos0=\cos(n,m==

LI-Iml3x^39

所以平面ADE和平面BAE的夾角的余弦值為城

9

17.解：〃〃7x)=_sinv-2，則門0)=1,

，:廣力在T=。處的瞬時變化率為I.

12削儂=加)-ax-1=cosx+\n(l+x)-ax-bx>-L由條件知力(x)<。恒成立,

因為削0,=0,又力/R的圖像在定義域上是連續不間斷的，

所以\-=。是加2的一個極大值點，則〃70)=0,XAYx)=-smx-—~a>

所以做0/=1-。=0,得Q=1，

下證當a;I時，h(x)C對任意(￡(一1,■劉恒成立,

令5*-ln/J-x)-工，則“意=」一一1-二，

l+x1+A

當-icxvo時，pr(.\)0,當i0時，，(:v)〈a

所以9仆,在，-/。單調遞增，在。■到上單調遞減,

1,三5。)=。，即+”-xM(，而cosx-lWA

所以，當xe(-L+8時,h(x)=fcos.v-1卜fin/7?M-x]<C恒成立.

綜上，若〃*二ov-[恒成立，則。=1.

2225

18.【答案】(1)—+^-=1(2)答案見解析，—

956

【小問1詳解】

因直線網的垂直平分線交直線/尸于點。，貝『8。|=|尸由|幺0|+|80|=6〉4=|48|可

知，點。的軌跡是以點48為兩焦點的橢圓，

22

且2a=6,2c=4,故a=3,c=2,b=#)，則點。的軌跡方程為：—+^-=1.

95

如圖，設〃(國,必),N(X2，%)，直線MN的方程x=wy+〃(機w0,〃/0)，將其與橢圓方程

22

土+t=1聯立消元整理得：

95

10/nn

5m*2+9

(5m2+9)y2+10mny+5n2-45=0,A=180(5zn2-n2+9)>0,且

由(1)知4(—3,0),4(3,0),設7(%,%)，由T,S，4三點共線得：』;=』三；由T,N，a

XQ+3Xj—3

三點共線得：一%=』w，

x0+3x2-3

則

2/_X0+3+%0-3_X1-3+X2-3_myi+〃-3+my2+〃-3?+(11

Jo%%%%%%必%

O-N必+>2c/—2mn6m

=2m+(H-3)------=2m-(n-3)-----=-----.

%%n-9〃+3

,以〃+3〃+3

故直線。T的斜率左=2=二一，則直線。7的方程為：y=——x,將其與直線的方程

聯立，解得：x=—3,

因此點R在定直線/:x=-3上，使得ARBE的面積為定值的點E一定為過點B且與直線I平行的

直線x=2與橢圓的交點.

x=2x-2x=2

5,此時點E的坐標為(2,3或(2,-*).

由<X12V2解得：＜5或＜

——+—=1y=-y=——33

；3

1525

故ARSE的面