專題07計數(shù)原理與概率統(tǒng)計

考點01計數(shù)原理

1.（24-25高三上?河北邢臺?期末）運動會期間，將甲、乙等5名志愿者安排到A,B,C三個場地參加志

愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個場地，每個場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到

同一個場地，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.72B.96C.114D.124

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，先將5人分為三組并分配到各個場地，再計算得出甲乙不在同一個場地的情況即可求

解.

【詳解】將5名志愿者分為1,2,2,且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，

則不同的安排方法有C；、A；+C；C；A；=72種.

將5名志愿者分為1,1,3,且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，

則不同的安排方法有A；+C；C；A；=42種.

故不同的安排方法共有72+42=114種.

故答案為：C.

易錯分析：分組分配問題中均分組問題要注意做到不重不漏，一般是先分組再分配.

2.（24-25高三上?江蘇南通?開學(xué)考試）今年暑期檔，全國各大院線推出多部精彩影片，其中比較熱門的有

《異形：奪命艦》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孫》這5部，小明和小華

兩位同學(xué)準(zhǔn)備從這5部影片中各選2部觀看，若兩人所選的影片至多有一部相同，且小明一定選看《名偵

探柯南》，則兩位同學(xué)不同的觀影方案種數(shù)為（）

A.12B.24C.28D.36

【答案】D

【分析】分三種情況，兩人所選影片均不同，兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，不是《名偵探柯南》

相同，分別計算出相應(yīng)的方案數(shù)，相加即可.

【詳解】若兩人所選影片均不同，此時小明先從除《名偵探柯南》中選擇一部，

小華從剩余的3部中選擇兩部，此時共有C；C；=12種方案，

若兩人所選影片中，《名偵探柯南》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有A；=12種方案,

若兩人所選影片中，不是《名偵探柯南》相同，相同的影片為4部中1部，有C；種選擇，

再給小華從剩余3部中選擇一部，有C；種選擇，故共有C；C；=12種方案，

綜上,共有12+12+12=36種方案.

故選：D

3.（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）某中學(xué)數(shù)學(xué)組來了5名即將畢業(yè)的大學(xué)生進行教學(xué)實習(xí)活動，現(xiàn)將他們

分配到高一年級的1,2,3三個班實習(xí)，每班至少一名，最多兩名，則不同的分配方案有（）

A.30種B.90種C.150種D.180種

【答案】B

【分析】先把5名大學(xué)生按照1:2:2分成三組，再將三個組分到3個班，計算可得答案.

【詳解】將5名大學(xué)生分配到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1名，最多2名，

C2c2

則將5名大學(xué)生分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有害=15種方法，

再將3組分到3個班，共有15-A；=90種不同的分配方案，

故選:B.

4.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）現(xiàn)有含甲在內(nèi)的5名游客來到江西旅游，分別準(zhǔn)備從井岡山、廬山、龍虎山這3

個5A級景區(qū)中隨機選擇1個景區(qū)游玩.在這5名游客中，甲不去井岡山，但每個景區(qū)均有人選擇，則這5

名游客不同的選擇方案種數(shù)為（）

A.52B.72C.76D.100

【答案】D

【分析】分類討論與甲為一組的人數(shù)情況，結(jié)合分組分配問題的解法即可得解.

【詳解】若甲1個人一組，則其他兩組人數(shù)分別為1,3或2,2,

則不同的選擇方案有C；（C：A；+C；）=2x（4x2+6）=28種；

若甲和另外1個人兩人一組，則其他兩組人數(shù)為b2,

則不同的選擇方案有C；C；C；A；=4x2x3x2=48種；

若甲和另外2個人三人一組，則其他兩組人數(shù)為1,1,

則不同的選擇方案有CjC；A；=6x2x2=24種；

所以共有28+48+24=100種選擇方案.

故選：D.

5.（25-26高三上?上海?單元測試）如題圖所示是某展區(qū)的一個菊花布局圖，現(xiàn)有5個不同品種的菊花可供

選擇，要求相鄰的兩個展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（）.

B.300種

C.360種

D.420種

【答案】D

【分析】先安排中心區(qū)域/,再從5開始沿逆時針方向進行布置四周的區(qū)域，分。與8選用同一種和選用

不同種類菊花兩種情況，結(jié)合計數(shù)原理得到答案.

【詳解】先布置中心區(qū)域/共有5種方法，從2開始沿逆時針方向進行布置四周的區(qū)域，

則8有4種布置方法，C有3種布置方法.

如果。與8選用同一種菊花，則E有3種布置方法；

如果。與2選用不同種類菊花，則。有2種布置方法，E有2種布置方法.

按照分步乘法與分類加法計數(shù)原理，

則全部的布置方法有5x4x3x0x3+2x2）=420（種）,

故選：D.

易錯分析：涂色問題一般是綜合考查兩個原理的應(yīng)用，這類問題要注意合理的分步分類，

一般可以從哪些部分可以同色入手分析.

6.（23-24高三下?山東濟寧?期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”.后人稱其為

“趙爽弦圖”.如圖，現(xiàn)提供5種顏色給圖中的5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色

不相同.記事件A：“區(qū)域2和區(qū)域4顏色不同”，事件3：“所有區(qū)域顏色均不相同”，則P（8|/）=（）

1

4

22i3

A.—■B.-C.—D.—

7324

【答案】c

【分析】由已知，結(jié)合條件概率公式求解即可.

【詳解】事件A：“區(qū)域2和區(qū)域4顏色不同唧從5種顏色選出兩種放入?yún)^(qū)域2和區(qū)域4,

再從剩余的3種顏色選出一種放入?yún)^(qū)域5,剩余的區(qū)域1和區(qū)域3分別都有兩種選擇，

即有A；C；C；C；=240種,

48事件有A；=120種,

所以尸（為”）=3普120_1

240-2

故選：C.

7.（24-25高三上?黑龍江?期末）已知”的展開式中第9項是常數(shù)項，則展開式中系數(shù)的絕對值最

大的項是（）

A.第6項B.第7項

C.第8項D.第9項

【答案】C

12

【分析】先求出展開式的通項*+1=（-1）'尤F,,從而依據(jù)展開式中第9項是常數(shù)項得到"=10,再

依據(jù)第r+1項的系數(shù)絕對值大于或等于第/'+2項且大于或等于第『項列不等式組即可求得.

丫2_1丫212n--r

【詳解】由題意，二項式彳-X2）"展開式的通項公式為：&]=c；（、）"T（T2），=（-iy（-）ic：x2,

222

因為展開式中第9項是常數(shù)項，故2〃-gx8=0,解得”=10,

故第『+1項的系數(shù)絕對值為?.

/嗎）9y，①

設(shè)展開式中第『+1項的系數(shù)絕對值最大，則有

C；。昂yy,②

由①可得：3八(：；7!二廠+1)；：9-廠)！'即夫］2占，解得

!

由②可得：益廣3片，即247TL,解得

r!-(10-r)!2(r-1)!-(11-r)!r211-r3

1922

即百少<至，又因為reN*,故r=7,即第8項的系數(shù)絕對值最大.

故選：C.

易錯分析：二項展開式的通項公式是i+LCaiz/，注意通項公式是表示展開式的第什1

項.

8.(24-25高三上?廣西?階段練習(xí))已知［尤2-上］(?>0)的展開式中的第7項為7,則實數(shù)。的值為

()

A.1B.3C.7D.-2

【答案】A

【分析】利用二項式展開式的通項公式，根據(jù)已知條件求解即可.

【詳解】的展開式的通項公式為Ze

令r=6,貝1］北+1=(_耳6-9/214=7,即〃=7,

則(-”)6.仁=7,即/=I,又0>0,貝物=1.

故選：A.

9.(24-25高三上?湖南株洲?期末)若(：+$”展開式中的第2項與第3項的系數(shù)相等，貝U"的值為

XyJX3

()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理求出第2項與第3項的系數(shù)，列式計算得解.

【詳解】二項式(++鼻)"的展開式第2項與第3項的系數(shù)分別為C；x1,C>(1)2,

依題意，C：,x|=C；x(1)2,即胡=吟］，整理得〃2_7〃=0,而〃eN*,所以”=7.

故選：B

10.（24-25高三上?湖南長沙?期末）已知的展開式中第3項與倒數(shù)第3項的二項式系數(shù)之和等

于72,則該展開式中的常數(shù)項為（）

2163—219

A.—B.—C.—D.—

2161632

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，列式求出”，再求出二項展開式的通項，進而求出幕指數(shù)為0的項即可.

【詳解】依題意，C：+C：-2=72,即〃（〃-1）=72,而"為正整數(shù)，解得〃=9,

展開式的通項公式為

由9-3左=0,解得左=3,

所以該展開式中的常數(shù)項為C^=y.

故選：A.

易錯分析：二項式定理的應(yīng)用中要區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)的不同.

11.（24-25高三上?貴州?階段練習(xí)）在的二項展開式中，第3項的二項式系數(shù)是（）

A.8B.-8C.28D.-28

【答案】C

【分析】利用二項式系數(shù)的意義求解即可.

【詳解】第3項的二項式系數(shù)為C；=J=7=28.

2x1

故選：C.

12.（23-24高三下?湖北?階段練習(xí)）各數(shù)位數(shù)字之和等于6（數(shù)字可以重復(fù)）的四位數(shù)個數(shù)為（請

用數(shù)字作答）.

【答案】56

【分析】轉(zhuǎn)化為隔板法，解決問題.

【詳解】設(shè)6，%,%，應(yīng)對應(yīng)個位到千位上的數(shù)字，則&eN*,a"N（i=l,2,3）

且〃1+。2+。3+。4=6,相當(dāng)于6個相同的球排成一排，每個球表示1,

先拿一個球裝入&,轉(zhuǎn)化為5個球裝入4個盒子，每盒可空，等價于9個球用3個隔板分成4組（各組不

可為空），

故共有C；=56種.

故答案為：56.

易錯分析：要注意“隔板法”僅適用于相同元素的分配問題.

13.（2024?湖北?二模）已知x,y,zeN*,且y>2,z>3,則方程x+y+z=10的解的組數(shù)為.

【答案】15

【分析】問題等價于將7個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子中至少放入1個小球的方法個數(shù)，

利用隔板法求解即可.

【詳解】由題意，原問題等價于將7個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子中至少放入1個小球的

方法個數(shù)，在7個相同的小球之間形成的6個空中，任選2個放入兩個隔板，共有C；=與—=15種方法，

/XI

即方程x+y+z=10的解的組數(shù)為15.

故答案為：15

14.（23-24高三下?山東青島?階段練習(xí)）x+y+z+f=6的非負(fù)整數(shù)解有組.

【答案】84

【分析】把方程的解轉(zhuǎn)化為將6個相同的小球，放入4個不同的盒子，且可以有空盒出現(xiàn)，有多少種不同

的方法？按照相同元素的排列問題進行求解即可.

【詳解】本問題等價于將6個相同的小球，放入4個不同的盒子，且可以有空盒出現(xiàn)，有多少種不同的方

法？

因此我們將6個小球排成一排，用3個隔板將小球隔成4段，

因為盒子可以為空，因此隔板可以相鄰，將第1,2,3,4段放入這四個盒子中即可，

因為小球沒有區(qū)別，隔板也沒有區(qū)別，因此等價于將6個小球和3個隔板排成一列，則共有C：=84種方法,

故答案為：84.

考點02統(tǒng)計

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）非物質(zhì)文化遺產(chǎn)是文化多樣性中最富活力的重要組成部分，是人類文明的

結(jié)晶和最寶貴的共同財富.某校為了解學(xué)生對當(dāng)?shù)胤沁z文化“川劇”的了解程度，現(xiàn)從高中部抽取部分學(xué)生進

行調(diào)查，已知該校高一、高二、高三年級學(xué)生人數(shù)之比為4:3:2,若利用分層隨機抽樣的方法抽取36人進

行調(diào)查，則抽取到的高一年級學(xué)生人數(shù)比高三多（）

A.16人B.12人C.8人D.4人

【答案】c

【分析】根據(jù)比例進行分層隨機抽樣，計算出抽取的高一年級學(xué)生人數(shù)和高三年級學(xué)生人數(shù)，做差即可.

4

【詳解】由題意，采用分層抽樣的方法，應(yīng)從高一年級抽取36*7下刀=16人，

4+3+2

2

從高三年級抽取36x———=8人，則抽取到的高一年級學(xué)生人數(shù)比高三多16-8=8人.

4+3+2

故選：C

易錯分析：處理分層抽樣問題的關(guān)鍵是“等比”這一特征.

2.（23-24高三下?江蘇南京?開學(xué)考試）某學(xué)校高二年級選擇“物化生”，“物化地”和“史地政”組合的同學(xué)人

數(shù)分別為240,90和120.現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出30位同學(xué)進行某項調(diào)查研究，則“史地政”組合中選出

的同學(xué)人數(shù)為（）

A.8B.12C.16D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)分層抽樣的定義列出式子，進行求解.

120

【詳解】由題意得，史地政”組合中選出的同學(xué)人數(shù)為30x=8.

240+90+120

故選：A

3.（2024?河南?三模）國內(nèi)某優(yōu)秀新能源電池制造企業(yè)在鋰電池單位能量密度技術(shù)上取得了重大突破，該

制造企業(yè)內(nèi)的某車間有兩條生產(chǎn)線，分別生產(chǎn)高能量密度鋰電池和低能量密度鋰電池，總產(chǎn)量為400個鋰

電池.質(zhì)檢人員采用分層隨機抽樣的方法隨機抽取了一個容量為80的樣本進行質(zhì)量檢測，已知樣本中高能

量密度鋰電池有35個，則估計低能量密度鋰電池的總產(chǎn)量為（）.

A.325個B.300個C.225個D.175個

【答案】C

【分析】根據(jù)分層抽樣計算規(guī)則計算可得.

QQ_45

【詳解】根據(jù)分層隨機抽樣可知低能量密度鋰電池的產(chǎn)量為400x竺F=225（個）.

80

故選：C

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）某市安踏專賣店為了了解某日旅游鞋的銷售情況，抽取了部分顧客所購旅

游鞋的尺寸，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖.已知從左到右前3個小組的頻率之比為1:2:3,第4

小組與第5小組的頻率分布直方圖如圖所示，第2小組的頻數(shù)為10,則第5小組的頻數(shù)是（）

八頻率/組距

0.15----------------------1

0.05-----------------------------------

LA,-?-------1-------------1-----------------------------------------------

o355375395415435455尺寸

A.4B.5

C.8D.10

【答案】B

【分析】先設(shè)從左到右前3個小組的頻率分別為x,2x,3x,第5小組的頻數(shù)是八由頻率之和為1結(jié)合題

設(shè)列出關(guān)于三〉的方程組求出xj即可得解.

【詳解】設(shè)從左到右前3個小組的頻率分別為x,2x,3x,第5小組的頻數(shù)是y,

x+2x+3x+0.15x2+0.05x2=1

rx=n0.11

則10y，解得<.

一=―;——ly=5

[lx0.05x21

故選：B.

易錯分析：頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率與組距的比，每個小矩形的面積才是各組中的

頻率.

5.（24-25高三上?天津河?xùn)|?期末）某校根據(jù)學(xué)生情況將物理考試成績進行賦分，目的是為了更好地對新高

考改革中不同選科學(xué)生的考試成績進行橫向?qū)Ρ龋?jīng)過對全校300名學(xué)生的成績統(tǒng)計，可得到如圖所示的

頻率分布直方圖，則這些同學(xué)物理成績大于等于60分的人數(shù)為（）

A.270B.240C.180D.150

【答案】B

【分析】根據(jù)頻率之和為1得到方程，求出，"=0Q05,進而求出物理成績大于等于60分的人數(shù).

【詳解】10（m+2w+0.015+0.020x2+0.030）=1,解得"7=0.005,

故物理成績大于等于60分的人數(shù)為300x0-10x（0.005+0.015）]=240.

故選：B.

6.（23-24高三上?天津?階段練習(xí)）為了解某校今年準(zhǔn)備報考飛行員的學(xué)生的體重情況，對所得的體重數(shù)據(jù)

（單位：kg）進行分組，區(qū)間為[50,55）,[55,60）,[60,65）,[65,70）,[70,75],將其按從左到右的順序分別編號

為第一組，第二組，……，第五組.畫出頻率分布直方圖（如圖所示），已知第一組，第二組和第三組的

頻率之比為1:2:3,且第一組的頻數(shù)為6,則報考飛行員的學(xué)生人數(shù)是（）

A.48B.5C.54D.60

【答案】A

【分析】先由題意求出前三組頻率之和，進而求出第一組的頻率，從而再結(jié)合第一組頻數(shù)即可得解.

【詳解】由題前三組頻率之和為1-（0.013+0.037）x5=0.75,

又第一組、第二組和第三組的頻率之比為1:2:3,

所以第一組的頻率為0.75x—^=0.125,又第一組的頻數(shù)為6,

1+2+3

所以報考飛行員的學(xué)生人數(shù)為擊=48人.

故選：A.

7.（24-25高三上?天津西青?期末）樹人中學(xué)舉行主題為“弘揚傳統(tǒng)文化，傳承中華美德”的演講比賽，現(xiàn)隨

機抽選10名參賽選手，獲得他們出場順序的數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)從小到大排序為3,5,6,8,加，14,

4

15,16,17,18,若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的《，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】A

【分析】先依據(jù)題意列等量關(guān)系式求出加，再依據(jù)百分位數(shù)的定義以及求解步驟直接求解即可得解.

4

【詳解】由題可得極差是18-3=15,該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的

列出等式m+學(xué)14=]4xl5,解得加=10,

因為10x40%=4,

故該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為從小到大第4個數(shù)據(jù)和第5個數(shù)據(jù)的平均值，即寧=9,

所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是9.

故選：A.

8.（2025高三?全國?專題練習(xí)）某老年健康活動中心隨機抽取了6位老年人的收縮壓（單位：mmHg）數(shù)

據(jù)，分別為96,120,146,153,112,136,則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為（）

A.112B.120C.128D.136

【答案】B

【分析】先將6個數(shù)據(jù)從小到大進行排列，再根據(jù)百分位數(shù)的定義和求解步驟即可求解.

【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大依次排列為96,112,120,136,146,153,

因為6x40%=2.4,所以40%分位數(shù)為第3個數(shù)120.

故選：B.

易錯分析：求總體百分?jǐn)?shù)時一定要先將數(shù)據(jù)從小到大排列，然后再根據(jù)規(guī)則求解.

9.（24-25高三上?吉林長春?階段練習(xí)）某市為了了解全市10萬名高一學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，抽取了該市

某個區(qū)的15000名學(xué)生進行數(shù)學(xué)能力測試（百分制），并將這些學(xué)生的成績整理成如圖所示的頻率分布直

方圖、根據(jù)頻率分布直方圖，下列說法正確的是（）

B.估計樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為85

C.用樣本可以估計全市高一學(xué)生數(shù)學(xué)能力測試不及格（低于60分）的人數(shù)為5000

D.用樣本可以估計全市高一學(xué)生數(shù)學(xué)能力測試的平均分約為81.5分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

作代表）

【答案】c

【分析】A選項，根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)計算；

B選項，先判斷出75%分位數(shù)所在的區(qū)間，然后列方程計算；

C選項，先算出樣本數(shù)據(jù)中不及格的頻率，由此估計全市學(xué)生不及格的人數(shù)；

D選項，根據(jù)題意中的平均數(shù)的計算要求進行計算.

【詳解】A選項，根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，10x(0.005+4+0.020+0.040+0.020)=1,

解得。=0.015,A選項錯誤；

B選項，前4個矩形條的面積為1-10x0.02=0.8>0.75,

前3個矩形條的面積為：1-10x(0.02+0.04)=0.4<0.75,

故樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)落在［80,90］中，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為x,

于是(x-80)x0.04+0.4=0.75,解得x=88.75,B選項錯誤；

C選項，根據(jù)直方圖可以看出，低于60分的頻率為：0.005x10=0.05,

于是估計全市學(xué)生不及格的人數(shù)為：100000x0.05=5000,C選項正確；

D選項，由題意，平均數(shù)為：

10x(55x0.005+65*0.015+75x0.02+85x0.04+95x0,02)=80.5,D選項錯誤.

故選：C.

10.(24-25高三上?河北?期中)某企業(yè)五個部門2024年第三季度的營業(yè)收入占比和凈利潤占比統(tǒng)計如下表

所示：

第一部門第二部門第三部門第四部門第五部門

營業(yè)收入占比48.4%15.8%18.2%10.8%6.8%

凈利潤占比62.8%-3.3%15.5%20.2%4.8%

若該企業(yè)本季度的總營業(yè)利潤率為32.5%(營業(yè)利潤率是凈利潤占營業(yè)收入的百分比)，則()

A.各部門營業(yè)收入占比的極差為41.6

B.各部門營業(yè)收入占比的第75百分位數(shù)為10.8%

C.第二部門本季度的營業(yè)利潤為正

D.第三部門本季度的營業(yè)利潤率大約為27.68%

【答案】D

【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計算極差、百分位數(shù)、營業(yè)利潤率，逐項判斷即可.

【詳解】對于A選項，各部門營業(yè)收入占比的極差為48.4%-6.8%=41.6%,A錯；

對于B選項，各部門營業(yè)收入占比由小到大依次為6.8%、10.8%,15.8%,18.2%、48.4%,

且5x0.75=3.75,所以，各部門營業(yè)收入占比的第75百分位數(shù)為18.2%,B錯；

對于C選項，第二部門本季度的營業(yè)利潤率32.5%也＜o(jì),

15.8%

故第二部門本季度的營業(yè)利潤為負(fù)，C錯；

對于D選項，第三部門本季度的營業(yè)利潤率為32.5%x^^27.68%,D對.

10.2/0

故選：D.

11.（2024高三?全國?專題練習(xí)）有一組數(shù)據(jù)24,29,x,25,22,x+l,20,24,28,25.若該組數(shù)據(jù)

的中位數(shù)與眾數(shù)相等，則平均數(shù)為（）

A.24.4B.25.8C.24.4或25.8D.24.4或24.8

【答案】D

【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大排列，再結(jié)合中位數(shù)，眾數(shù)定義得出數(shù)據(jù)，進而相等得出x=23,則平均數(shù)應(yīng)用

定義即可計算.

【詳解】將已知數(shù)據(jù)從小到大排列為20,22,24,24,25,25,28,29.

因為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)相等，所以眾數(shù)只能是24和25中的一個.

因為每組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的，所以該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)也是唯一確定的.

又該組數(shù)據(jù)中除24,25外其他數(shù)據(jù)均只出現(xiàn)一次，且x與x+1不可能相等，故眾數(shù)只能是24和25中的一

個.

若中位數(shù)與眾數(shù)均為24,則x+l=24,x=23,此時平均數(shù)為

1

-x(20+22+23+24+24+24+25+25+28+29)=24.4；

10

若中位數(shù)與眾數(shù)均為25,則x=25,

此時平均數(shù)為需x(20+22+24+24+25+25+25+26+28+29)=24.8,故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為24.4或24.8.

故選：D.

考點03概率

1.（24-25高三上?江蘇蘇州?期末）現(xiàn)有標(biāo)號為1,2,3,4,5的五張卡片，甲、乙兩人隨機依次從中各抽

取兩張，則僅有甲抽到的卡片上數(shù)字之和為6的概率為（）

【答案】A

【分析】利用組合數(shù)公式求得總的取法數(shù)，再求得符合條件的取法數(shù)，由古典概型概率公式可求解.

【詳解】從標(biāo)號為1,2,3,4,5的五張卡片，甲抽取兩張卡片有C；,乙抽取兩張卡片有C>

所以共有=30種不同的取法，

僅有甲抽到的卡片上數(shù)字之和為6的取法為：

甲抽（1,5）時，乙可抽（2,3）與（3,4）兩種,甲抽（2,4）時,乙可抽（1,3）與（3,5）兩種,

所以共有4種不同的抽法，

42

所以僅有甲抽到的卡片上數(shù)字之和為6的概率為方=話.

故選：A.

易錯分析：古典概型概率問題必須要滿足基本事件的等可能性.

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）近年來，國內(nèi)中、短途旅游人數(shù)增長顯著，2024年上半年旅游人數(shù)更創(chuàng)新

高，充分展示了國內(nèi)文旅消費潛力.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)打算去北京、成都、貴陽三個地方旅游，每

位同學(xué)只去一個地方，每個地方至少去1人，則甲、乙都去北京的概率為（）

1111

A.—B.—C.—D.—

3183672

【答案】B

【分析】根據(jù)題意四位同學(xué)去三個地方，每個地方至少去一人，即可得到總的方案，甲、乙都去北京，則

丙丁只能在成都和貴陽各自選一個有2種選法，根據(jù)古典概型即可求解.

【詳解】四位同學(xué)去三個地方，每個地方至少去一人，總共有C1A；=36（種）方案.因為甲、乙都去北

21

京，則丙、丁分別去成都或貴陽，所以有2種方案，故甲、乙都去北京的概率為力=布.

36lo

故選：B.

3.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）從3名男生和2名女生中任選3人參加一項創(chuàng)新大賽，則選出的3人中

既有男生又有女生的概率為（）

1339

A.—B.—C.—D.—

1010510

【答案】D

【分析】先計算從5人中選出3人的全部方法總數(shù)，減去只選男生的方法數(shù)，即可得到既有男生又有女生的

方法數(shù)，計算比值即可求解.

【詳解】從5人中選3人參加創(chuàng)新大賽共有C；=10種選法,

所選3人全是男生有C；=l選法,

因為女生人數(shù)少于3人，所以不可能所選3人全是女生，

所以選出的3人中既有男生又有女生的情況有10-1=9種選法,

9

所以選出的3人中既有男生又有女生的概率為歷.

故選：D

4.（24-25高三上?河北滄州?階段練習(xí)）有加（加＞4）件產(chǎn)品，其中有3件次品，其余均為正品，從中任取2

件產(chǎn)品，2件產(chǎn)品等次不同的概率為則取出的2件產(chǎn)品都是正品的概率為（）

A.|B.923

C.—D.一

21234

【答案】B

【分析】先根據(jù)2件產(chǎn)品等次不同的概率為!求出加，根據(jù)古典概型再求取出的2件產(chǎn)品都是正品的概率

即可.

cC1

【詳解】由題意，得力=解得加=9或加=4（舍去），

故取出的2件產(chǎn)品都是正品的概率為呆=2,

故選：B.

5.袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中有放回地依次隨機摸出2個球，

那么這2個球同色的概率為（）

,23913

A.—B.-C.-TD.—

552525

【答案】D

【分析】依題意設(shè)2個紅球為A,B,3個黃球為c,d,e,考慮有放回地摸球，分別列出試驗的樣本空

間和事件“這2個球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式計算即可.

【詳解】設(shè)2個紅球為A,B,3個黃球為c,d,e,從中有放回地依次隨機摸出2個球，

樣本空間為：。={^4,AB,Ac,Ad,Ae,BA,BB,Be,Bd,Be,cA,cB,cc,cd,ce,

dA,dB,de,dd,de,eA,eB,ec,ed,ee\,則=25,

設(shè)事件M為“這2個球同色”，

則M={AA,AB,BA,BB,CC,cd,ce,de,dd,de,ec,ed,eej,則〃(M)=13,

1T.

由古典概率公式，可得P(M)=石.

故選：D

易錯分析：抽樣問題中的概率問題要注意區(qū)分“不放回抽取”和“有放回抽取”的不同.

6.不透明的口袋里有4個白球，2個紅球，這6個球除了顏色外完全相同，從中不放回地抽取2個球，則

抽出的2個球均為白球的概率為()

4721

A.-B.—C.-D.—

915518

【答案】c

【分析】利用古典概型概率公式即可求出概率.

【詳解】記4個白球為a,b,c,d,2個紅球為45,

從4個白球，2個紅球中不放回抽取2個球有：

(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,8),?d),(GA),

(c,共15種不同的取法，

其中抽出2球均為白球有(a,b),(a,c),(凡4),(6,c),(8d),(c,1)共6種不同的取法，

所以抽出的2個球均為白球的概率尸=2=g.

故選：C.

7.(2024?上海徐匯?一模)一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球除顏色外均相同.每次

將球充分?jǐn)噭蚝螅我饷?個球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過重復(fù)摸球足夠多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的

頻率穩(wěn)定在0.1左右，則據(jù)此估計盒子中紅球的個數(shù)約為()

A.40個B.45個C.50個D.55個

【答案】B

【分析】因為重復(fù)摸球次數(shù)足夠多，所以將頻率視為概率，應(yīng)用古典概型概率的計算公式計算即可.

【詳解】設(shè)紅球個數(shù)為。，

由題意可得：工=0］，解得：a=45.

Q+5

故選：B

8.(24-25高三上?浙江?期中)某袋子中有大小相同的4個白球和2個紅球，甲乙兩人先后依次從袋中不放

回取球，每次取1球，先取到紅球者獲勝，則甲獲勝的概率（）

84-32

A.—B.-C.—D.一

15553

【答案】c

【分析】甲獲勝的情形有三種：第一種，甲第一次就摸到紅球；第二種，甲、乙第一次都摸到白球，甲第

二次摸到紅球；第三種，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到紅球.利用古典概率的加法求解即

可

【詳解】尸=7|+A2等cd+箋A4rla

故選：C.

9.（2024?上海虹口?一模）已知事件A和事件B滿足/口2=0,則下列說法正確的是（）.

A.事件A和事件B獨立B.事件A和事件3互斥

C.事件A和事件8對立D.事件彳和事件與互斥

【答案】B

【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨立事件的定義判斷即可.

【詳解】因為事件A和事件8滿足/n8=0,則一定可以得到事件A和事件B互斥，但不一定對立，故B

正確，C錯誤;

因為P（/3）=0,當(dāng)尸（4）,尸（8）不為0時，事件A和事件B不獨立，故A錯誤；

拋擲一枚骰子，記出現(xiàn)1點為事件A,出現(xiàn)2點為事件B,

則彳={2,3,4,5,6},與={1,3,4,5,6},顯然事件］和事件月不互斥，故D錯誤.

故選：B

易錯分析：熟記互斥事件、對立事件和相互獨立事件的定義，并能進行正確的區(qū)分判斷.

10.（24-25高三上?上海?期中）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件8：“出現(xiàn)

3點或4點”，則事件/與事件8的關(guān)系為（）

A.是相互獨立事件，不是互斥事件B.是互斥事件，不是相互獨立事件

C.既是相互獨立事件又是互斥事件D.既不是互斥事件也不是相互獨立事件

【答案】A

【分析】根據(jù)互相獨立事件、互斥事件的定義確定即可.

【詳解】因為』={2,4,6},5={3,4},所以NcB={4},

所以PQ）=《，P⑻=；,P（AB）=^

236

所以尸（48）=尸（⑷尸（B）,

所以事件A與事件8是相互獨立事件，不是互斥事件.

故選：A.

11.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點數(shù)，若用x表示紅色骰子的點數(shù)，用了表示綠

色骰子的點數(shù)，用（X/）表示一次試驗結(jié)果，設(shè)事件E：x+>=8；事件尸：至少有一顆點數(shù)為6；事件

G:x>4；事件4.則下列說法正確的是（）

A.事件E與事件e為互斥事件B.事件尸與事件G為互斥事件

C.事件￡與事件G相互獨立D.事件G與事件H相互獨立

【答案】D

【分析】A選項，寫出事件￡,尸包含的情況，得到EC1尸70,A錯誤；B選項，寫出事件G包含的情況,

結(jié)合A選項，得到尸C1GW0,B錯誤；C選項，寫出事件EAG包含的情況，故尸（EG）WP（E）P（G）,C

錯誤；D選項，寫出事件”和GC#包含的情況，得到尸（Gc〃）=P（G）尸（〃），D正確.

【詳解】A選項，事件￡1+刀=8包含的情況有（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,

事件尸：至少有一顆點數(shù)為6包含的情況有

（1,6）,（2,6）,（3,6）,（4,6）,（5,6）,（6,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,

故EC尸W0,事件E與事件廠不為互斥事件，A錯誤；

B選項，事件G:x>4包含的情況有

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4卜（6,5）,（6,6）,

故/C1GW0,事件廠與事件G不為互斥事件，B錯誤；

C選項，拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，共有6x6=36種情況，

故尸⑷丁，尸⑸吟《

71

事件EnG包含的情況為（5,3）,（6,2）,故尸（EG）=位=u,

3618

故尸（￡G）NP（E）P（G）,故事件E與事件G不相互獨立，C錯誤；

D選項，事件”:N<4包含的情況有

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（6,1）,（6,2）,（6,3），共18種情況,

故尸⑻=￡=；，

事件Gn”包含的情況有：（5,1）,（5,2）,（5,3）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,

故尸（Gc77）='=!，

JOo

因為尸（Gc〃）=P（G）尸（〃），所以事件G與事件b相互獨立，D正確.

故選：D

12.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件/="出現(xiàn)偶數(shù)點"，事件8="出現(xiàn)3點或4點”，則事件/與8

的關(guān)系為（）

A.相互獨立事件B.相互互斥事件

C.即相互獨立又相互互斥事件D.既不互斥又不相互獨立事件

【答案】A

【分析】根據(jù)相互獨立事件、互斥事件的定義確定正確選項.

【詳解】由于NcB表示“出現(xiàn)的點數(shù)為4”，所以事件/與3不是互斥事件，

由尸（4）=3，尸（8）=：,尸⑷=：,有尸（可）=尸（/）?尸⑶,

所以事件/與2是相互獨立事件，不是互斥事件.

故選：A

13.（24-25高三上?江蘇?期末）第15屆中國國際航空航天博覽會于2024年11月12日至17日在珠海舉行.本

屆航展規(guī)模空前，首次打造“空、海、陸”一體的動態(tài)演示新格局，盡顯逐夢長空的中國力量.航展共開辟了

三處觀展區(qū)，分別是珠海國際航展中心、金鳳臺觀演區(qū)、無人系統(tǒng)演示區(qū).甲、乙、丙、丁四人相約去參

觀，每個觀展區(qū)至少有1人，每人只參觀一個觀展區(qū).在甲參觀珠海國際航展中心的條件下，甲與乙不到同

一觀展區(qū)的概率為（）

53"21

A.—B.—C.-D.-

6432

【答案】A

【分析】記事件/：甲參觀珠海國際航展中心，事件3：甲與乙不到同一觀展區(qū)，求出尸（⑷、尸（NB）的值,

利用條件概率公式可求得所尸（叫⑷的值，即為所求.

【詳解】記事件/：甲參觀珠海國際航展中心，事件8：甲與乙不到同一觀展區(qū)，貝1」尸(/)=；,

因為每個觀展區(qū)至少有1人，每人只參觀一個觀展區(qū)，

則先將4個人分為3組，再將這三組分配給三個展區(qū)，

基本事件的總數(shù)為〃(。)=C；A；=36,

若事件A、3同時發(fā)生，若參觀珠海國際航展中心有2人，則另外一人為丙或丁，

此時，不同的參觀情況種數(shù)為2A；=4,

若參觀珠海國際航展中心只有甲一人，將另外三人分成兩組，再將這兩組分配給另外兩個展區(qū),

此時，不同的參觀情況種數(shù)為C：A；=6種，

/、n（AB}4+65

因此，P（AB）=^-^-=——=—

、'（Q）3618

/,\P(AB)55

由條件概率公式可得尸(叫/)=匯『=而'3==

故選：A.

32

14.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知甲、乙去北京旅游的概率分別為a,h，甲、乙兩人中至少有一人

去北京旅游的概率為3,且甲是否去北京