專題02幾何求解分類訓練

（單選題4種類型40道）

目錄

【題型1求選段的長度】.........................................................................1

【題型2求選段的比值】........................................................................15

【題型3用字母表示角】........................................................................30

【題型4綜合題（考查可能不大，作為基礎訓練）】...............................................43

【題型1求選段的長度】

1.如圖，在正方形2BCD中，將邊BC繞點B逆時針旋轉至BC',連接CC'QC',若NCC'D=90。，CD=3,則

C.3V3D.3V5

【答案】D

【分析】過點B作BEICC'于E,由旋轉性質得到8C=BC',從而得到△BCC是等腰三角形，結合等腰三角

形性質確定BE是線段CC'的垂直平分線，再由正方形性質，利用三角形全等的判定得到△CC'D=△BEC

（AAS），進而由全等性質得到CE=C'。=3,在RtaCC'D中，由勾股定理求解即可得到答案.

【詳解】解：過點B作BE1CC于E,

???將邊BC繞點B逆時針旋轉至點BC',

BC=BC',

-,-BEICC',

；/BC'E=90°,rF=CE=^CC,

???在正方形力BCD中,BC=CD,乙BCD=90。,

/.CD=BC,乙BCE+乙DCE=^BCD=90。

???Z.CCD=90°,

二.乙BCD=LCC'D,^CDC+ZDCE=90°,

???乙BCE=Z-CDC,

在△CCO和△BEC中，

(乙BCE=tCDC'

］乙BEC="CD

(BC=CD

???△CCD=△BEC(AAS)，

??.CE=CD=3,

—2CE—6,

???在Rt^CC'O中，^CCD=90°fC'D=3fCC=6,

■■CD=7CD2+CC'2=V32+62=3近,

BC'—CD-3V5.

故選：D

【點睛】本題考查正方形中求線段長，涉及旋轉性質、等腰三角形的判定與性質、垂直平分線的判定與性

質、三角形全等的判定與性質、正方形的性質、勾股定理等知識，讀懂題意，準確構造出輔助線，靈活運

用相關幾何性質求解是解決問題的關鍵.

2.如圖，在正方形力BCD中，點E為4。中點，連接BE,在BE上取點F，作RtZXFGH,使得FH=FG,

AGFH=90°,且點G、"分別在邊BC、CD上，連接FC,若CG=4,CH=6,則EF的長為()

A.學B.苧C.2VsD.|N/5

【答案】B

【分析】本題綜合考查了正方形的性質和判定、全等三角形、相似三角形的判定和旋轉、勾股定理等知識,

解題關鍵是證明點F在正方形對角線ac上.

過點尸作FM_LCD、FN1BC垂足分別為M、N,連接AF,證明△FNG三△FMH(AAS),得FN=FM,

NG=MH,矩形CMFN是正方形，結合已知求出CM=CN=5,CF=qFN+CN2=S五,再證△AEFsaCBF

得靠=捍=黑求出力C=我，利用勾股定理求出4B=BC=4D=?,BE;京,進而根據線段比

DCrLt>rNNN4

求出==I但.

【詳解】解：過點尸作F"_LCD、FN1BC垂足分別為〃、N,連接AF,

;/FMH=4FNC=90°,

???在正方形/BCD中，

乙。,

：./.ACB=^ACD=45°,BCD=90AB=BC=ADf

???四邊形CMFN是矩形，

??/NFM=90°,

又?.?乙GFH=90。,

"NFG+乙GFM=Z.GFM+乙MFH=90°,

"NFG=Z.MFH,

又?：FH=FG,

△FNG=△FMH(AAS),

：,FN=FM,NG=MH,

，矩形CMFN是正方形，

；.CN=CM=FN=FM,FC平分乙BCD,即NFCB==45。,

???點/在正方形對角線ac上，

vCG=4,CH=6,

：.CG+CH=CN-NG+CM+MH=4+6,即CG+CH=2CM=4+6

；.CM=CN=5,

-CP=JFN+CN2=752+52=5vL

???在正方形486中，AD||BC,

:.△AEFFCBF,

AE_AF_EF

,京~~證一市，

■：AE=^AD,

EF_AF__1

''BF=^=29

???河=邁EF=*F,

??AC=

???在等腰直角RtZk/BC中，AB2+BC2=AC2,

：.AB=BC=AD=-y-,

■■-AE=^BC=^,

?.?在RtZ\4BE中，AB2+AE2=BE2,

,BE=J(y)2+(Y)2=，

.?價=挺="我=距

故選：B.

3.如圖，B、C、E三點共線，分別以BC、CE為邊，在BE的同側構造正方形4BCD和正方形CEFG,點。在CG

上，BC=1,CE=3.連接2F.若H是4F的中點，連接CH,那么CH的長是（）

【答案】B

【分析】本題考查了正方形的性質，勾股定理，二次根式的化簡，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半，熟練掌握以上知識點并能作出輔助線是解題的關鍵.連接4C和CF,先證明△ACF是直角三角形，利用

勾股定理分別求出力C,CF和的長度，最后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，推導出=：

AF,求得答案.

【詳解】解：連接4C和CF,如圖所示:

???四邊形2BCD和CEFG是正方形，BC=1,CE=3

N力CD=N4CB=NGCF=NFCE=45°,AB=BC=1,CE=EF=3,AABC=AFEC=90°

AAACF=^ACD+乙GCF=45°+45°=90°,AC=>JAB2+CB2=Vl2+l2=V2

CF=y/CE2+EF2=J32+32=3V2

AF=JAC2+CF2=J(V2)2+(3近)2=2V5

???△4CF=90。，”是力F的中點，

11

???CH=-AF=-x2V5=V5

故選：B.

4.如圖，M為正方形4BCD的對角線BD上的一點，連接CM,將線段CM繞點M順時針旋轉90。，點C的對應

點N恰好落到邊4B上，線段MN交對角線4C于點G,且G為MN的中點.若正方形的邊長為4,貝的長為

()

A.芋B.&C.要D.2五

【答案】C

【分析】如圖，過點N作NHLOB于點H,先證明△NHB是等腰直角三角形，得到NH=BH=OB—OH,再

證明△“6。52\網N”得到。6=^7"，MO=OH=IMH,求出4c=4五，得到。B=OC=2vL明

△MNHMCMO,得到雪爛=隼，求出。口=迎（負值舍去），貝。NH=五,即可得到

OH2V2

AG=OA-OG=^-.

2

【詳解】解：如圖，過點N作NHLOB于點H,

???四邊形48C0是正方形，

??ZABD=45。/。1BD

是等腰直角三角形，

；.NH=BH=OB-OH

-AC1BD,NH1OB

：.OG\\NHf

AMGO?AMNH,

???點G為MN的中點，

；.MN=2GM,

OG_MO_MG_1

??麗一~MH~~MN-2

11

.-.OG=-NH,MO=OH=-MH

?.?正方形的邊長為4

?-AC=gAB=4VL

：.0A=OB=OC=2五，

-MN1CM,

"NMC=90°=乙MHN,

??/MNH=90。一乙NMH=乙CMO,

??.△MNHS/XCM。,

NH_MH即2近—0月20H

??南一/，即F?2?

■■OH-V2（負值舍去），

■.NH=BH=OB-OH=&,

：.OG=』NH=也,

22

MG=04-。G=辿.

2

故選：c.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定，勾股

定理，正確作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵.

5.如圖，已知四邊形力BCD為正方形，E為對角線4C上一點，連接BE,過點E作EF1BE,交的延長線于

點F,XE=4V2，AF=2,則BE的長為（）

A.2V10B.2V3C.6D.2V13

【答案】D

【分析】過點E分別作力B,AD的垂線，垂足分別為G、H,由正方形的性質得到4艮4。=90。，

ZBXC=Z￡）XC=45°,則由角平分線的性質得到EG=EH,據此證明四邊形4HEG是正方形，再利用勾股定

理求出4"=EH=GE=4,則HF=4F+AH=6,可得EF=2而，再證明△FEH三△BEG（ASA），即可得

到BE=FG=2V13.

【詳解】解：如圖所示，過點E分別作AB,4D的垂線，垂足分別為G、H,

:./.EGB=乙EHF=90°,

?.?四邊形2BCD是正方形,

：.L.BAD=90°,Z.BAC=^DAC=45°f

-EGLAB,EHLAD,

:,EG=EH,四邊形Z”EG是矩形，

???四邊形4HEG是正方形，

.-.Z.HEG=90°,AH=EH=GE,

???在RtZk/HE中，AE=4瓜AE2=AH2+HE2,

：.AH=EH=GE=4,

.-.HF=AF+AH=6f

???EF=4EH2+HF2=2氏,

?：EFLBE,

"FEB=乙HEG=90°,

"FEH=乙BEG,

△FEHm△BEG(ASA)，

■■.BE=FE=2V13,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質與判定，勾股定理，全等三角形的性質與判定，角平分線的性質，

熟練掌握正方形的性質與判定，勾股定理，全等三角形的性質與判定是解題的關鍵.

6.如圖，在邊長為3的正方形力BCD中，點E是BC上一點，點尸是CD延長線上一點，連接4E,AF,4M平

分NE4F交CD于點若BE=D尸=1,貝恒M的長度為()

【答案】B

【分析】本題考查正方形的性質、三角形全等的判定及性質等，勾股定理等知識，根據正方形的性質及三

角形全等的判定及性質，證明=利用角平分線的性質及三角形全等的判定及性質，證明EM=FM,

設EM=x,貝產M=x,MC=4-x,CE=2,在Rt△MCE中根據勾股定理求解即可，掌握正方形的性質、

三角形全等的判定及性質和角平分線的性質、勾股定理是解題的關鍵.

【詳解】解：???四邊形48CD是正方形，

.-.AB=ADfAABE=/.ADF=90°,

???在Rt△ABE^Rt△/OF中，

(AB=AD

]/-ABE=乙ADF,

IBE=DF

/.Rt△ABE=Rt△ZDF(SAS)，

：AE=AF；

?MM平分4及4F,

;ZEAM=Z.FAM,

???在a/EM和△ZFM中，

(AE=AF

\z-EAM=FAM,

IAM=AM

△AEM=△/FM(SAS)，

.-.EM=FM,

,?,四邊形4BCD是正方形，

：，BC=CD=3fNBCO=90。，

設EM=%,貝!JFM=%,MC=CD-DM=3-(%-l)=4-x,

CE=BC-BE=3-1=2,

在RSMCE中，根據勾股定理，得而2=%72+。石2,

即/=(4-x)2+22,

解得：x=|,

：.EM=\,

故選：B.

7.如圖，正方形力BCD中，AB=3,點E在BC的延長線上，且CE=2,連接4E,ADCE的平分線與4E相交

于點F,連接DF,則DF的長為（）

「

r*X.V10D.-2-V--1-0C.3V1OcU.-3-V-1-O-

4345

【答案】c

【分析】如圖，過尸作FM1BE于M,FN1CD于N,由CF平分ADCE,可得FN=FM,推出四邊形CMFN是

正方形，FMWAB,設FM=CM=NF=CN=a,則ME=2—a,證明則噂=黑，可解得

/it)DC,

Qa

a=-f得DN=CD—CN=],最后根據勾股定理可得解.

【詳解】解：如圖，過F作于M,FNLCD于N,

1,CDNF=cCNF=9U。,Z.CMF=/L.FME=90°,

???四邊形ZBCO是正方形，AB=3fCE=2,

：.BC=CD=AB=3,^ABC=^DCB=90°,

.ZDCE=180°-^DCB=180°-90°=90°,Z.ABC=乙FME=90°,

???四邊形CMFN是矩形，FM\\ABf

???C1尸平分NOCE,FM1BE,FN1CD,

.-.FN=FM,

???四邊形CMFN是正方形，

設FM=CM=NF=CN=a,則ME=CE-CM=2-a,

-FMWAB,

:.乙FME=Z.ABE,Z.EFM=Z-EAB,

△EFMEAB,

FMMEa2-a

.,下=宿即n號n=而，

解得：a=l

3Q

??.DN=CD-CN=3y,

:-DF=y/DN2+NF2=J02+?2=噌

.?.￡）尸的長為亞.

4

故選：c.

【點睛】本題考查正方形的判定與性質，矩形的判定，角平分線的性質，勾股定理，相似三角形的判定與

性質.解題的關鍵通過作輔助線構造相似三角形和直角三角形.

8.如圖，在正方形48CD中，AB=3,延長8C至￡,使CE=2,連接4E,CF平分NDCE交2E于點尸，連接

DF,則DF的長為（）

A.V5B.^V2C.^VlO^D.-

【答案】c

【分析】本題考查了正方形的性質與判定、相似三角形的判定和性質、角平分線的性質、勾股定理的應用

等，解題的關鍵是構造正方形CMFM

作FMJ.CE,曰7_16構造正方形。時門7,設CM=a,易證△EFMsaEAB,由此列出比例式可求解°的值,

然后在Rt^DFN中，利用勾股定理即可求得OF的長度.

【詳解】過點/作FM1CE于點作FNJ.CD于點N,如圖所示.

：ZB=90°,BC=AB=CD=3.

■：FM1CE,FN1CD,Z.DCE=zS=90°,

???四邊形CMFN為矩形.

???C尸平分NOCE,FM1CEfFN1CD,

.-.FM=FN.

???四邊形CMFN為正方形.

.-.FM=FN=CM=CN,

設CM=a,貝IJFM=FN=CM=CN=a,

?.￡E=2,

??,BE=BC+CE=5,EM=CE-CM=2一見

vZ-B=90。,尸M1CE,

???FM||AB.

EFMEAB.

???FM\AB=EM-.BE,

即a:3=(2-a)：5,

解得：a=*

3

??.FN=CN=-

4f

39

??.DN=CD-CN=3--=-.

44

在Rt△￡>/=1%中，DN=*FN=:,

由勾股定理，得。?=瓜=肅=亨.

故選：C.

9.如圖，在正方形力BCD中，點P在對角線BD上，PE1BC,PFLCD,E,F分別為垂足，連結力P,EF,

C.2.5D.亭

【答案】A

【分析】根據正方形的性質即可得到四邊形PECF是矩形，四邊形QPFD是正方形，再利用矩形和正方形的

性質得到4Q="和PQ=EC,進而得至IMAQP三從而得到EF的長度.

【詳解】解：延長EP于2。交于點Q,

???在正方形2BCD中，

.-.AB=BC=CD=AD,AD\\BC,N4DC=/C=90°,

.-.^ADB=AABD=45°,

：.DF=PF,

■：PE1BC,E為垂足，

.-.PQA.AD,

.??四邊形PECF是矩形，

:.Z.AQP=90°,EC=PF=DF,

.-.^AQP=ZC,AQ=FC,四邊形QPFD是正方形，

:.QD—DF-PF-QP,

：.CE=QP,

.?.在和aFCE中，

(AQ=FC,

｛々QP=NFCE=90°,

IPQ=EC

AFCE^S),

：.AP=EF,

???4P=5,

：.EF=S.

故選A.

【點睛】本題考查了正方形的判定與性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，掌握全等三角

形的判定與性質是解題的關鍵.

10.如圖，點E是正方形對角線ZC上一點，過E作EFII4D交CD于尸，連接BE,若BE=5,DF=4,則力C

B.5V2C.6V2D.7V2

【答案】D

【分析】過點E作EH18C于點X,證明四邊形EFCH是正方形，可得=DF,在中，由勾股定

理可得E"=3,進而可求得正方形4BCD的邊長，再根據勾股定理可求解.

【詳解】解：過點E作EH1BC于點H,

???四邊形/BCD是正方形,

.-.z￡>=ABCD=90°,Z.ACB=/.ACD=45°,AB=BC=CD=AD,

■.■EFWAD,

.-.AEFC=ND=90°,

四邊形EFCH是矩形，

?.?ZEWC=9O°,AECH=45°,

.-.EH=CH,

???四邊形EFCH是正方形，

:.EH=CH=CF,

：.BC-CH=DC-CF,

.-.BH=DF=4,

???BE=5,

.-.￡//=V52-42=3,

.??CF=3,

,-.CD=AD=4+3=7,

■■AC=AD2+CD2=V72+72=7VL

故選：D.

【點睛】本題考查了正方形的判定及性質，勾股定理的應用，熟練掌握正方形的判定及性質，正確作出輔

助線利用勾股定理是解題的關鍵.

【題型2求選段的比值】

11.如圖，在正方形4BCD中，點E為正方形內部一點，連接4E、BE,將線段AE繞點4逆時針旋轉90。得到

線段47,點F落在BE的延長線上，BE的延長線交2。于點連接CF交于點N,若4M:AB=1:3,則徑的

值為（）

F

【答案】A

【分析】連接。尸，過點尸作FHII4D,交BD的延長線于點H,先證明△三△4EB,得到

^ABM=^FDM,^AEB=^AFD,進而推出△為直角三角形，利用tan/MDF=tan/ABM,得至|空=

黑，設2M=x/8=3x,MF=a,OF=3a,進而得到OM=2x=屈心求出證明

Lfr5

FNPJ-J

△BMDMBFH,求出的長，再證明△FNH“△CNB,得到.=喬，即可.

【詳解】解：連接DF,過點F作FHII4D,交BD的延長線于點H,

?.,正方形ZBC。，

：.AB=BC=AD^BAM=90。/。||BC,

：.FH||BC,

,?漩轉，

：,AF=AEf^EAF=90°f

：.Z-AEF=/LAFE=45°zBi4E=^DAF=90°-^DAEf

：^BEA=180°-^AEF=135°,△AFD=△AEB,

.?ZABM=^FDM^AEB=乙4FO=135°,

：.Z-DFM=135°—45°=90°,tanzMDF=tan乙4BM

AM_MF_1

''~AB~~DF

設=x,AB—3x,MF=a,DF=3a,貝!J：AD=BC=AB=3x,BM=JAB2+BM2=V10x,DM—MF24-DF2

=A/10a,

：.DM=AD-AM=2x=VlO^,

._Vio

?n?(X—5人,

,-.BF=BM+MF=^-xf

-FH||ADf

△BMDFBFH,

BM_DM

**~BF~~FH

.?.FH=￡DM=￡X,

??,FH||BC,

??.△FNHCNB,

./N_尸”_爭_4

??而一而一石—廠

故選A.

【點睛】本題考查正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解

直角三角形等知識點，解題的關鍵是添加輔助線構造全等和相似三角形.

12.如圖，正方形4BCD邊BC上有一點E,CB延長線上有一點R連力E、AF,若NE4F=45。，tan

N4FB=2則D言r的值為（）

DC

A

IF

【答案】B

【分析】作G414F交CD于G,連接GE,貝iUG4F=90°,設BE=x,BF=y,貝U4B=2y,由正方形的性質

可得ND=NBAD=/C=90°,AD=AB=BC=CD=2y,證明△ADG三△ABF(AAS)得出DG=BF=y,

AG=AF,再證明aGAE三△凡4E(SAS)得出GE=EF=BE+BF=x+y,再由勾股定理得出(2y-x)2+y?=

(x+y)2,求出y=|x,即可得解.

【詳解】解：如圖：作G4J.2F交CD于G,連接GE,則NG2F=90。,

■:Z.EAF=45°,

：.Z.GAE=Z.GAF-/.EAF=45°=Z.EAF,

設BE=x,BF=y,

vtanZ.i4FF=—BF=2,

：.AB=2y,

???四邊形48C0是正方形，

=LBAD=Z.C=90°,AD=AB=BC=CD=2y,

.'.^DAG+^BAE=45°,

?.?ZBXF+ZBXE=45°,

：.Z.DAG=Z.BAF,

???LD=Z-ABF=90°,

△ADG=△ZBF(AAS)，

：.DG=BF=y,AG=AF,

??.CG=CD—DG=y,

'.'Z-GAE=Z.FAE,AE=AE,

△GAE=△FAE(SAS)，

：,GE=EF=BE+BF=%+y,

■：CE=BC-BE=2y-x,CE2+CG2=GE2,

■■■(2y-x)2+y2=(x+y)2,

解得：、=|%或、=0(不符合題意，舍去)，

BE_x_2L_2

"BF=y=lx=3'

故選：B.

【點睛】本題考查了解直角三角形、正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，熟練掌握以上

知識點并靈活運用，添加適當的輔助線是解此題的關鍵.

13.如圖，正方形4BCD中，對角線力C,BD交于點。，點E為CD上一點，點尸為BC上一點，連接4E,DF交

于點M,AC與DF交于點N,若4E=D尸，DC=3DE,則黑的值為()

AD

BFC

A.—B.—C.1D.1

4238

【答案】A

【分析】證明Rt2XADEwRtzXDCF(HL)，得出CF=DE,設DE=a,貝i|CF=DE=a,AD=CD=3a,作NG1CD

于G,貝比CGN=90。，證明ACGN為等腰直角三角形，得出CG=NG,設CG=NG=b,則DG=3a-6,解

直角三角形得出b=]a,求出。N=^a,即可得解.

44

【詳解】解一?四邊形/BCD是正方形，

??.AD=CD,乙ADC=4BCD=90。,Z.ACD=45°f

*：AE—DF,

.-.Rt△ADE=Rt△DCF(HL)，

??.CF=DE,

-DC=3DEf

???設DE=a,貝!jCF=OE=a,AD=CD=3a,

如圖，作NGLCD于G,貝1UCGN=90。，

??.△CGN為等腰直角三角形,

??.CG=NG,

設CG=NG=b,

：.DG—3a—h,

CFNG

vtanzCZ)F=—~DGf

ba

=五，

1?b=ytt,

4

；,CN=V2CG=y/2b=V2x|a=

?：OC=^AC=[xyp^CD=-|xV2x3a=-^-a^

.-.ON=OC-CN=^a,

4

ND一寸一丁，

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、解直角三

角形等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

14.如圖，在正方形A8CD中，M是邊CD上一點，滿足8c=3CM,連接BM交AC于點N,延長BN到點P使得

【答案】A

【分析】本題了考查了正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識,

連接BD交4c于點E,由四邊形ABCD是正方形,得AB=BC=DC,AE=CE=|4C,BE=DE=且AC=BD,

ACLBD,再由48=BC=3CM,得穿=:，由證明△CMNABN,得警=噂=＜，推出從而可

/iD3AIN/ib3

證aCPN三△EBN(SAS)，根據性質得PC=BE=DE,Z.PCN=Z.BEN,可證四邊形PCED是正方形，所以

DP=DE=BE,APDB=90°,再由勾股定理即可求解，熟練掌握以上知識點的應用及正確作出輔助線是解

題的關鍵.

【詳解】如圖，連接8。交"于點E,

?.?四邊形4BCD是正方形,

:,AB=BC=DC,AE=CE=\AC,BE=DE=^BD^AC=BD,ACLBD,

：.BE=CE=DE,AC=2CE,@7)=90。，

-AB=BC=3CM,

CM1

，——,

AB3

-CM\\ABf

：?ACMNMABN,

CN_CM_1

???麗~~AB~39

^CN=-L-AC=^ACf

.-.AC=4CNf

：.2CE=4CN,

.?.CE=2CN,

：,CN=EN,

在和AEBN中，

(CN=EN

](PNC=乙BNE,

IPN=BN

??.△CPN=△EBN(SAS)

.-.PC=BE=DE,乙PCN=KBEN,

：.PCWE,

二四邊形PCE。是平行四邊形，

vzCED=90°,CE=DE,

???四邊形PCED是正方形，

；.DP=DE=BE,"DB=90。，

??.BD=2DP,

??BP=dBD?+DP2=J(2DP)2+Dp2=回p,

?竺=漁

??麗―T'

：.BP=2BN,

.DP=V5

t92BN~~5f

,OP_2V5

??,

BN5

故選：A.

15.如圖，在矩形ABC。中，E為對角線8。上一點，連接CE,過點E作EF1CE交力。延長線于F,若tan

C.V5D.2V2

【答案】C

【分析】此題考查了矩形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、解直角三角形等知識，添

加輔助線構造相似三角形是解題的關鍵.過點E作EN1.BC于點N,延長NE交4。于證明四邊形4BMN

是矩形，四邊形CDMN是矩形，設BN=x,DM=y,貝I|BN=AM==CN=y,由tan4WB=tan/NBE=2

得到NE=2x,EM=2y,證明△CENMEFM,則獸=罌，得到*=總，則FM=4x,得到

EMr1V1rM

AF=AM+FM=5%,勾股定理得到=即可得到答案.

【詳解】解：過點￡作EN1BC于點N,延長NE交力D于/,

?.?四邊形4BCD是矩形,

-，AD||BC,乙A==LBCD=LADC=90。,

.-.MN1AD,乙NBE=^ADB

"BNM=乙CNE=乙EMD=乙4MN=90°,

???四邊形ZBMN是矩形，四邊形CDMN是矩形,

設BN=x,DM=y,貝"BN=4M==CN=y

vtanZ.ADB=tanZJVBE=2,

.NE_EM

'麗~~DM~'

.'-NE=2x,EM=2y,

?:EF1CE,

??.“"=90。，

"CEN+乙ECN=90°,

MCEN+Z-MEF=90°,

"ECN=乙MEF,

MCNE=乙EMF=90°,

△CENEFM,

CN_EN

??麗―麗'

y__2x

A2y=FM9

：.FM=4%,

：.AF=AM+FM=5%,

,-BE=7BN2+NE2=y/x2+(2x)2=近x,

AF5x「

BEV5xVI'

故選：C

16.如圖，在正方形4BCD中，M,N是邊4D上的兩點，連接BN,CM,過點/作BN的垂線，交CM于點

AD

P.若MN=2AM=2DN,則罰=()

【答案】C

【分析】過點P作PE1AD,分別證明△EAPsZXABN,AMDC-AMEP,再分別求出PM,PA與PE的關

系表達式，進而可求出/尸與PM的比值.

【詳解】解：過點尸作PE1/D于點區(qū)

設/M=%,則MN=2%,DN=x,

：.AD=AM+MN+DN=4%,MDMN+DN=3%,

AN=AM+MN=3x,AB=AD=D=4%,

-AP1BN,

"ABN+乙PAB=90°,

-Z-DAB=/.PAE+Z-PAB=90°,

.-./.PAE=乙ABN,

-AAEP=乙BAN=90°

??.△EAPFABN,

PE_AN_3x_3

：'~AE一樂一菽一不

'：AP2=PE2+4產，

'.AP=|PE；

vPE1MD,

??2。=90。，

=乙PEM=90°

,：Z-PME=(CMD,

??.AMDC?AMEP,

ME_MD_3x_3

"PE-7F-4x-4?

■.■PM2=ME2+PE2,

.-.PM=^PE,

.AP__4

，?麗=孤=F

故選：c.

【點睛】本題考查了正方形的性質，三角形相似的判定與性質，勾股定理，熟練掌握三角形相似的性質，

適當的作出輔助線，靈活運用勾股定理求出對應邊的關系式是解本題的關鍵，綜合性較強，難度適中.

17.如圖，在正方形力BCD的邊CD上有一點E,連接4E,把力E繞點E逆時針旋轉90。，得到FE,連接CF并延

長與4B的延長線交于點G.則矢的值為（）

A.近B.百C.要D.學

【答案】A

【分析】過點尸作DC延長線的垂線，垂足為點〃貝吐”=90。，證明△4DE三△EHF,則TW=EH=1,

設OE=HF=K,得到==貝！UHCF=45。，故CF=&無，同理可求CG==五，貝”

FG=CG-CF=^（i—a因此第=退三=五.

v7。七1—X

【詳解】解：過點尸作DC延長線的垂線，垂足為點〃，貝叱H=90。，

ABG

由旋轉得比4=EF/AEF=90°,

?.?四邊形48CD是正方形，

.?2。=90。，DC||AB,DA=DC=BC,T^DA=DC=BC=1,

■,-Z-D=Z.H,

■:/-AEH=Z1+/.AEF=Z.2+Z.D,

???Zl=z2,

AADE=AEHF,

:.DE=HF,AD=EH=1,設DE=HF=x,

則CE=DC-DE=1-x,

:,CH=EH—EC=1—(1—%)=x,

；.HF=CH=x,而N”=90。，

.-.ZHCF=45°,

-DC||AB,

???乙HCF=^G=45。,

同理可求CG=VlBC=五，

??FG=CG-CF=?-近x=V2(l-x)>

.￡￡_V2(l-x)_/y

"CEi-xV2,

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，解直角三角形，旋轉的性質，正確添加輔

助線，構造"一線三等角全等"是解題的關鍵.

18.如圖，在正方形4BCD中，對角線4C與BD交于點0,在RtZkPFE中，NEPF=90。，點、E、F分別在邊

AB,BC上，點P在線段4C上.若登=2，則靠的值為()

/ICJ.UrC

【答案】c

【分析】過點尸作PM14C交BC于點根據正方形的性質，三角形相似的判定和性質解答即可.

本題考查了正方形的性質，三角形相似的判定和性質，熟練掌握三角形相似的判定和性質是解題的關鍵.

【詳解】解：過點尸作PM_L4C交BC于點

?.?正方形4BCD中，對角線2C與BD交于點0,

.-.^PAE=ZPCM=45°,

■.■PM1AC,

.?2CMP=NPCM=45°,

??.PC=PM,^PMF=Z.PCM=APAE=45°,

'：Z-APE+Z.EPM=90°=乙MPF+Z-EPM,

??/APE=乙MPF,

.'.AAPE-AMPF,

PE__AP

''PF~'PMf

PE_AP

PF-PC，

PF_PC

,~PE~~AP"

PC_3

前一奇

PC_3

''AP~7f

PF_3

'"PE~7f

故選：C.

19.已知四邊形4BCD為正方形，點E是邊4D上一點，連接BE,過點C作CF1BE于點尸，連接2F.若2尸=經

BF,則整的值為()

【答案】B

【分析】在CF上截取CH=BF,利用正方形的性質和直角三角形的性質證明△BCH三△ABF(SAS)，由全等

三角形的性質得出M=結合已知條件設“=1,則8"=五，利用勾股定理分別求出FH和BC,再證

明△瓦48?△BFC,由相似三角形的性質求出比4,進而求出ED,最后和CF相比即可得出答案.

【詳解】解：在CF上截取=如下圖：

???四邊形ZBC。為正方形，

'.AB=BC,548=乙48c=90。,

.-.Z.ABF+AFBC=90°f

?：CF1BE,

."FC=90。，

工乙FBC+乙BCF=9U。,

：.Z.ABF=乙BCF,

又?:AB=BC,CH=BF,

??.△BCH=△ZBF(SAS)，

"尸=BH,

,：AF=五BF,

；,BH=?BF,

設BF=1,則BH=五,

在RtZXBFH中，

FH=y/BH2-BF2=1>

又CH=BF=1,

.-.CF=CH+FH=2,

在RtZiBFC中，

BC=4BF2+CF2=近,

>\AB—BC=V5?

?:乙ABF=^BCF,4EAB=4BFC=9。。,

??.△EAB-△BFC,

EA_AB

即竽=當

.-.EA=匹，

2

又AD=BC=心

■.DE=AD-AE=V5-^=逅,

322

.阻=與=5

"CF萬一才，

故選：B.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的判定以及性質，全等三角形的判定以及性質，勾股

定理，正確畫出輔助線是解題的關鍵.

20.如圖，在矩形ABCD中，沿4尸對折，點2與點E重合，再沿BE對折，點/與點尸重合，兩條折痕交于

點O,連接。C.若BC=3CF,則行的值為（）

D.f

【答案】B

【分析】如圖，作。G1BC交于點G,首先根據折疊的性質證明出四邊形4BFE是正方形，然后根據正方

形的性質得到BG=GF=FC,設BG=GF=FC=OG=x,根據勾股定理求出OC=JOG?+CG2=礙,然

后根據矩形和正方形的性質得到CD=AB=BF=2x,最后代入求解即可.

【詳解】解：如圖，作。G_LBC交BC于點G,

AED

???四邊形ABC。是矩形，

???〃/BC=90。,

???沿/F對折，點3與點E重合，再沿BE對折，點Z與點方重合，

：.AB=AE=EF=BF,

???四邊形4BFE是正方形，

.-.OB=OF,

：.BG=GF=OG=^BF,

?；BC=3CF,

：.BF=2FC,

.'.BG=GF=FC,

???設BG=GF=FC=OG=x,

'-OC=7OG24-CG2=近x,

又??￡0=AB=BF=2x,

,°C_0_V5

"co2'

故選：B.

【點睛】此題考查了矩形的性質，正方形的性質和判定，勾股定理，折疊的性質等知識，解題的關鍵是熟

練掌握以上知識點.

【題型3用字母表示角】

21.如圖：正方形4BCD中，點￡、尸分別是CD、C8邊上的點，連接力E,DF交于點N,乙力。尸的角平分線DM

交力B于過點M作MQII4E分別交OF于點〃，交BC于點Q,連接DQ,若DE=CF,AAMG=a,則用含

a的代數式表示NDQC為（）

AD

1I2

A.135°-CLB.90°——CLC.45。+2aD.—CL

【答案】A

【分析】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質、平行線的性質等知識，

利用全等三角形的性質探究角的關系是解答的關鍵.先證明△ADE=△￡>(7尸(SAS)得至1=進

而證得=乙DNA=90°,再證明△ADM^△HDM(AAS)得到=Z4MG=a,AD=DH=DC,

進而證明Rt△DHQ=RtADCQ(HL)得至lUDQC=乙DQH,禾!J用三角形的外角性質求得乙MQC=27。。—2a,進

而可求解.

【詳解】解：???四邊形ABCD是正方形，

.-.^BAD=AADC=/.BCD=AABC=90°,AD=CD,又DE=CF,

AADE=ADCF(SASy

.,.Z-DAE=乙CDF,

vZ-DAE+Z-ADF=乙CDF+Z.ADF=Z-ADE=90°,

??/DNA=乙DNE=90°,

???MQ||AE,

??/MHN=乙DNA=90°,

???DM是乙4。9的角平分線，

：.￡.ADM=又MD=MD

△ADM=△HDM(AAS)，

.-./.HMD=Z.AMG=a,AD=DH=DC,

又?：DQ=DQ,乙DHQ=4C=90。,

.,.Rt△DHQ=Rt△DCQ(HL)，

...(DQC=々DQH,

?.ZBMQ=180°-4AMG-4HMD=180。-2a,

.?ZMQC=4BMQ+AABC=180°-2cr+90°=270°-2cr,

.-.Z.DQC=jzMQC=135。-。，

故選：A.

22.如圖，正方形ABCD中，點￡、F、G、//分別為邊4B、BC、AB,CD上的點，連接DF、DG、EH,若

HE=DF,BE>CH,乙ADG=4FDG.當NBEH=a時，則N4GD的度數為（）

A.aB.90。一aC.90。一為D.135。一a

【答案】C

【分析】本題考查的是正方形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的內角和定理的應用，如圖，過C

作CMIIEH,證明RtZkMBCmRt可得4=49。。=90。一仇，再進一步可得答案.

【詳解】解：?.?正方形/BCD,

：.AB=BC=CD=AD,AB||CD,/.ABC=^BCD=^ADC==90°,

如圖，過C作CMIIEH,

???四邊形EMC”為平行四邊形，乙CMB=^BEH=a,

；.HE=CM,

???HE=DF,

：.DF=CM,

,：BC=CD,Z.ABC=￡.BCD=^\

.-.RtAMBC=RtAFCP,

"MCB=乙FDC=90°-a,

：.Z-ADF=90°—zFDC=a,

vZ-ADG=乙FDG,

"FDG=Z-ADG=

.-.^AGD=90°-1a；

故選：C.

23.如圖，在正方形48CD中，￡為BC邊上靠近點8的三等分點，將線段4B繞點/逆時針旋轉得到線段

AF,使得NB2E=NF4E,連接EF和CF,令乙BAE=a,貝為()

3

A.120°—3aB.90°——otC.2a+30°D.a+45°

【答案】D

【分析】延長EF交CD于點區(qū)連接力”，設正方形4BCD的邊長為“，證明△4BE三△AFE(SAS)，貝U

BE=EF=1a,N4FE=NB=90°,再證明Rt△AHFmRt△力HD(HL)，貝l|DH=F”,設FH=DH=m,在

RtaCEH中，由CE2+CH2=EH2得爪=*i,證明點。是CD的中點，則CH=DH=FH=%,求出

ACEF=180°-^BEF=2a,再根據三角形內角和定理與等腰三角形的性質即可求出答案.

【詳解】解：延長EF交CD于點X,連接4”,設正方形2BCD的邊長為a,

A_D

BEEC

在正方形力BCD中，AB=BC=CD=AD=a/B=4。=4BCD=90°,

由旋轉可知，=AF-AD=a

,：Z.BAE=Z.FAE=a,AF=AF,

△ABE=△AFE(SAS)，

.?.BE=EF=^BC=1a,^AFE==90°

：.Z.AFH=1800-ZJ1FE=90°=ZD,

-AF=ADfAH=AH,

/.Rt△AHF=Rt△4Ho(HL)

：,DH=FH,

設FH=0H=/n,

在RtaCEH中，

CE2+CH2=EH2,

即Ga)+(<CL—TTI)2=G+

1

解得小=/，

即==I=

二點，是CD的中點，

.-.CH=DH=FH=^a,

“BEF=360°-zB-zXFF-zBXF=180°—2a,

：.Z.CEF=180°-Z.BEF=2a,

；/CHE=90°-2a,

:ZFCD=乙HFC=1(180°-zCHF)=a+45°

故選:D

【點睛】此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、旋轉的性質、等腰三角形的判

定和性質等知識，添加適當的輔助線是解題的關鍵.

24.如圖，在正方形力BCD中，。是對角線BD的中點，E為正方形內的一點，連接BE,CE,使得CB=CE,

延長BE與NECD的角平分線交于點F.若NBEC=a,連接。尸，貝此尸0。的度數為()

11

A.2a-90。B.45°+-aC.90°--aD.2a-45°

【答案】A

【分析】連接。尸，先證明.??△CEF三△CDF(SAS)，得至UNCE尸=乙。。/，從而得NCDF=4CEF=180。一a,

繼而乙8尸。=90。，然后利用