湖南省寧遠縣第一中學2025屆高三下學期新年第一考(開學)數學

試卷

學校：___________姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]已知集合5=卜卜=2〃+1,〃€2},

T={t\t=4n+l,n^Z},則S"=()

A.0B.SC.TD.Z

1.答案：C

解析：任取/eT，則/=4〃+1=2?(2〃)+1,其中〃eZ，

所以，teS，故T「S，因此，snr=r.

故選：C.

2.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]若i(l-z)=l,則z+Z=()

A._2B._IC.lD.2

2.答案：D

解析：由題設有1—z」=3=—i,

ii2

故z=l+i，故z+5=(l+i)+(l-i)=2,

故選：D

3.[2024春?高三?湖南株洲?開學考試校考]已知向量7=(3,4),6=(1,0),

3=口+醫若(。團=(瓦3，則/=()

A.-6B.-5C.5D.6

3.答案：C

解析：E=(3+/,4),cos僅?=cos(Z??,

解得/=5,

故選：C

4.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]已知等差數列{4}的公差為力前”項

和為S"，貝『2<0”是“邑”—52”<邑”一5/'的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.答案：B

解析：“S-J即5”+%<2%，

皿n（n-l）d3n（3n-l）d2n（2n-l）d

3na22na,H-----------

貝I」na,+、2+i+—'2<12

n（n-l]d3n（3n-l）d/、

o\2+—'2<2〃（2〃—1）d

oH—n+9n2—3n—8n2+4〃）d<0

o2n2d<0od<0，

則“d<0”是“s3K-s2n<s2n-s“”的充要條件.

故選：B

22

5.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]已知雙曲線c：=_1=i（a〉o/〉O）

a2b1

的離心率為血，則點（4,0）到C的漸近線的距離為

A.叵B.2C.孚D.2夜

5.答案：D

解析：Jl+（-）2=V2?.-.-=1

a\aa

所以雙曲線的漸近線方程為x±y=0

所以點（4,0）到漸近線的距離d=7含4=2夜r-

故選D

6.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]在△ABC中內角4B,C所對邊分別

9

為。'b,c,若3=—71,b2-—ac，貝UsinA+sinC=（）

34

A.lB.亞C.立D.立

2"22

6.答案：C

解析：因為3=女，b1--ac則由正弦定理得sinAsinC=asin2jB=L

3493

由余弦定理可得：b1=a2+c2-ac=—ac

4

即：a2+c2--ac,根據正弦定理得siYA+sin2c=—sinAsinC=—,

4412

所以（sinA+sin。）？=sin2A+sin2C+2sinAsinC=:，

因為A,C為三角形內角，則sinA+sinC〉O，則sinA+sinC=E.

2

故選：C.

7.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱

中有2個紅球和2個白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區別），先從甲箱中隨機取

出一球放入乙箱，分別用事件％和&表示從甲箱中取出的球是紅球和白球：再從乙箱

中隨機取出兩球，用事件3表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則錯誤的選項為（）

A

-m）=|B.PGB）*C.P（MA）*D.P（A|B）=A

7.答案：C

解析：由題意可知p（a）=|,尸（4）=|,

P（小吟**4）唱$，

所以p（5）=p（A）p（叫A）+P（4）P（5|4）=|XK+|X1=M

12

V-17P（B）P（B）1111

50

綜上ABD說法正確，C說法錯誤；

故選：C

8.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]若函數

/（X）=sin[ox-胃-cos0x（。〉0）在（0,兀）內恰好存在8個/,使得|/由）|=1,則

。的取值范圍為（）

197197725

A.B.,D.

6'2~622，-6"

8.答案：D

解析：由題意可得:

/(x)=sin711

COX——-coscox=旦……X…

622

71

COX——

223

由|〃Xo)|=日可得sin,Xo-T=4

71兀1

因為X￡（0,7l），0>0，則

由題意可得也<0兀-二《西，解得工<0?”,

故選：D.

二、多項選擇題

9.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]已知數列｛4｝是公差為d的等差數

列,S“是其前〃項的和，若％<0,則（）

A.d>0B.〃2O12=°C§4024=°D.S〃2s2012

9.答案：ACD

斛析：因為Sago。=S2024，所以。2001+“2002+,"2024=°，

所以24（%。。1+%。24）=0,所以的）01+^2024=。2012+〃2013=2%+4023d—0>

2

又因為q<0,所以d=-——a.>0,故A正確；

40231

40221、

0nlo=a,+20lid=a-----a.=-----a.<0，故B錯誤；

2701211y40234023

邑⑼=4024(]+*)=2012(%、“+/。24)=0，故C正確；

a

因為02012<°，“2013=~2012>°，

所以當2012時，an<0,當"22013時，an>Q,

所以⑸L=s2M2,所以S/SQ，故D正確.

故選：ACD.

10.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]已知函數/(力及其導函數((尤)，且

g(x)=/'(x)，若VxeR，/(%)=/(6—%)，g(4+x)=g(4—x)，貝>J()

2025

A./(-2)=/(8)B.g(-l)+g(3)=2C.￡g(z)=0D./(0)+/(4)=2

i=l

10.答案：AC

解析：因為/("=/(6-"，所以/(力的圖像關于直線x=3對稱.

令x=-2，得/(-2)=/⑻，故A項正確；

因為/(x)=/(6—x).所以/'(%)=—/'(6—x)，即g(x)=-g(6-x)>

所以g(4+x)=-g(2_X),因為g(4+x)=g(4-x),所以g(4__x)=_g(2__x),

即g(x+2)=-g(x),所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x),則g(x)的一個周期為4.

因為"％)的圖像關于直線x=3對稱，所以1=3是/(力的一個極值點，

所以8⑶:/，⑶=0，所以g(-l)=g⑶=0，則g(-l)+g⑶=0.故B項錯誤；

由g(x+2)=-g(x)，得g⑴+g⑶=0，g⑵+g(4)=0，

即g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=0.

2025

所以Zg(i)=506[g⑴+g(2)+g⑶+g(4)]+8⑴=g(l)=0，故C項正確；

i=l

設Mx)=〃x)+c(c為常數)，定義域為R,

貝I//(%)=/'(x)=g(x),/z(3+x)=/(3+x)+c,/z(3-x)=/(3-x)+c,

又/(3+x)=/(3-％)，所以故3+%)=//(3-，顯然/z(x)=/(%)+c也滿足題設，即

〃九）上、下平移均滿足題設，顯然〃0）+/（4）的值不確定，故D項錯誤.

故選：AC

11.：2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]“角谷猜想”是“四大數論世界難題”之

一，至今無人給出嚴謹證明.“角谷運算”指的是任取一個大于1的正整數，如果它是偶

數，我們就把它除以2,如果它是奇數，我們就把它乘以3再加上1.在這樣一個變換

下，我們就得到了一個新的正整數.如果反復使用這個變換，我們就會得到一串自然

數，該猜想就是：反復進行角谷運算后，最后結果為1.我們記一個正整數經過

/（“）次角谷運算后首次得到1（若〃經過有限次角谷運算均無法得到1,則記

/（〃）=+8）,以下說法正確的是（）

A.J（n）可看作一個定義域和值域均為N*的函數

B./（〃）在其定義域上不單調，有最小值，無最大值

C.對任意正整數〃（“手1）,都有J（n）J（2）=J（2n）-1

D.J（2"）="是真命題，J（2"-l）＜J（2"+1）是假命題

11.答案：BCD

解析：對于A,依題意，/（〃）的定義域是大于1的正整數集，A說法錯誤；

對于B,由42）=1,43）=7，J（4）=2可知/⑺在其定義域上不單調，

根據題意可知J（2）=1,=則/⑺有最小值1,無最大值,B說法

正確；

對于C,對任意正整數J（2n）=J（n）+L

又42）=1,所以15"（2）=1（"）=1,C說法正確；

對于D,對任意正整數〃，2〃每次除以2,最后得到1的次數為〃，

因此J（2"）=〃，由jQ?—1）=J（3）=7,J（22+l）=J（5）=5可知J（2"—1）＜J（2"+l）是

假命題，D說法正確；

故選：BCD

三、填空題

12.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考+的展開式中，各項系數中的

最大值為.

12.答案：5

解析：由題展開式通項公式為/，OWrWlO且reZ，

設展開式中第r+1項系數最大，

44

所以展開式中系數最大的項是第9項，且該項系數為c：oQj=5.

故答案為：5.

13.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]已知?為第一象限角，夕為第三象

限角，tana+tan，=4,tanatan,=0+1，則sin（a+/7）=.

13.答案：_述

3

解析：法一：由題意得tan（a+萬）=二），=（二）=-2」,

ALdll（JLIdllp]—I7Z+]I

因為a￡12女兀，2左兀+^），Be[2加兀+兀，2mn+技），k,muZ,

則a+/?￡（（2加+2左）兀+兀,（2加+2左）兀+2兀），k,meZ，

又因為tan（a+￡）=-20<0，

則￡,2根+2左）兀+，，（2加+2左）兀+2兀],k,meZ,

貝hin（a+尸）<0,則sin'a+）|=_2血,

Icos（a+m

聯立sin2（o+/7）+cos2（o+m=l，解得sin（a+

法二：因為c為第一象限角，夕為第三象限角，貝!Jcosi>0，cos/7<0,

COSa1nCOS/?-1

cosa=/=/=,cosp=/=i=

Vsin26z+cos2crJl+tan2a^/sin2y5+cos2y]l+tan2J3

貝1Jsin(a+/?)=sinacos°+cosesin/?=cosacos/?(tan+tan/7)

-4

=4coscifcos/?=

________________-4

(tancir+tan/?)2+(tanortan/?-1)2

-42A/2

742+23

故答案為：—述.

3

14.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]若曲線丁=辰-1億＜0)與曲線丁=1有

三條公切線，則左的取值范圍是.

14.答案:--,0

e

解析：設公切線為/,2(國,％)是/與/(%)="-1的切點,

由/(%)=履T，得/(X)=W，

X

設Q(%2，＞2)是/與g(%)=e*的切點，由g(x)=e*，得g，(x)=e，，

所以/的方程為y-%=2(x-%)，因為％=8，整理得y=-k2k

----，

玉xx花玉

同理y-%=e*(x-x,)，因為%=e*,整理得y=e*x+e的(1一%)，

依題意兩條直線重合，可得

消去網，得4左=-e氣七-1)2，

由題意此方程有三個不等實根，設//(%)=-e*(x-1)?,

即直線y=4k與曲線網可有三個不同的交點，

因為〃'(x)=e*(l—必)，令"")=0，則兀=±1，

當xv—l或x>l時,/z"(x)<0;當-l<xvl時,/z'(x)>0,

所以/?(%)有極小值為/z(-l)=-4e-1?/z(x)有極大值為/z(l)=0，

因為/z(x)=-e，(x-，e*>0，(x-1)2>0，所以/z(x)<0，

當尤趨近于-8時，可力趨近于0；當%趨近于+00時，力⑴趨近于-00,

故可力的圖象簡單表示為下圖:

所以當-4「<4左<0，即二〈人<0時，直線y=4Z與曲線可力有三個交點,

故答案為：,Jo]

四、解答題

15.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]在△ABC中，角A,B,C所對的邊

分別記為〃,b,c,MtanA(cosC+sinB)=cosB-sinC.

(1)證明：A+2B=-;

2

(2)若q=2,求A+c的取值范圍.

15.答案：(1)證明見解析；

⑵(2,+8)

解析：(1)因為tanA(cosC+sin3)=cosB-sinC,

所以sin490sC+sinB)-cosB-sinC，

cosA

即sinAcosC+sinAsinB=cosAcosB-cosAsinC，

即sinAcosC+cosAsinC=cosAcosB-sinAsinB，

所以sin(A+C)=cos(A+B),

又因為△ABC中A+C=7i—5，

所以sinB=sin1/+A+5),

所以3=^+A+3或3+巴+4+3=兀，

22

又因為Ac(0,兀)，Be(0,7i))

即人=—乙(舍)或A+23=E，所以A+23=E.

222

(2)由(1)得4+23=巴，因為^=上=^_,

2sinAsin3sinC

asinB2sinB2sinB2sinB

所以sinAsinA.(itdcos2B，

sm——2B

12

2sin仁+3

asinC_2sinC2cos3

sinAsinAsinl1-2Bcos23

b+2(sinB+cosB)2(sinB+cosB)2

則cos2Bcos2B-sin2BcosB-sinB

0<3<兀

又由0〈工一23<兀解得o<3(殳，

24

Q<—+B<71

[2

所以二<3+工<二，所以0<3仿+工]<也,

4421412

所以Z?+c的取值范圍為(2,+00).

16.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]已知函數/(力=y-

⑴若a=2,求/(x)在(1,/⑴)處的切線方程；

⑵討論“X)的零點個數.

16.答案：(l)y=(2e2-l)x-e2；

⑵答案見解析

解析：(1)若「=2，貝U/a)=e2、-x，f(x)^2e2x-l.

又/⑴=e2—1,切點為(l,e?—1),

2xl2

曲線y=f(x)在(1,7(1))處的斜率k=/(1)=2e-l=2e-l，

故所求切線方程為y—(e?-1)=(2e?—l)(x—1)即y=(2e2-l)x-e2.

(2)由題/'⑴=恁廄―1.

①當aWO時，/'(x)<0，/(x)在R上單調遞減，

又/⑼=1〉0，=1W0.

故/(%)存在一個零點，此時“力零點個數為L

②當。>0時，令/'(九)<0得x<—蛔，令/'(x)>0得x>—蛔，

所以/(%)在卜0,-用上單調遞減，在［-7，+oo］上單調遞增.

故“X)的最小值為小嗎=1±1!土

當0=1時，〃尤)的最小值為0,此時〃龍)有一個零點.

e

當時，”外的最小值大于0,此時“力沒有零點.

e

當0<a<工時，〃尤)的最小值小于0，/(-l)=e-c,+l>0-

1+lna0n-+

--------<0,X->H-oo0j,/(x)f+co,此時/(%)有兩個零點.

a

綜上，當「wo或。=工時，/(%)有一個零點;

當0<a<工時，〃力有兩個零點;

當a〉，時，/(力沒有零點.

17.［2025春?高三?湖南永州?開學考試校考］如圖，在以A,B,C,D,E,R為頂

點的五面體中，四邊形ABCZ)與四邊形ADEF均為等腰梯形，EF//ADBC//AD-

AZ)=4，AB=BC=EF=2,ED=M，FB=26，知為AD的中點.

⑴證明：則〃平面COE；

（2）求二面角尸—9—石的正弦值.

17.答案：（1）證明見詳解；

⑵述

13

解析：（1）因為BC〃A。，EF=2,AD=4，M為A￡）的中點，

所以BC〃A/D，BC=MD，

四邊形5co暇為平行四邊形，所以6M7/CD，又因為平面CDE，

CDu平面CDE，所以BM7/平面CDE；

（2）如圖所示，作50JLAD交A。于。，連接0E，

因為四邊形ABCD為等腰梯形，BCHAD，AD=4，AB=BC=2,

所以CD=2，結合（1）BCDM為平行四邊形，

可得BM=CD=2，又AM=2，

所以△河/為等邊三角形，。為AM中點，所以O5=g，

又因為四邊形ADEF為等腰梯形，〃為A。中點，

所以EF=MD，EFIIMD，

四邊形EW如為平行四邊形，FM=ED=AF，

所以△加“為等腰三角形，△向/與底邊上中點。重合，

OFLAMOF=y/AF2-AO2=3?

因為052+0尸2=5/2,所以05,077，所以08，0D，0尸互相垂直，

以03方向為刀軸，0。方向為丁軸，0尸方向為z軸，建立O-孫z空間直角坐標系,

2A

y

F（0,0,3）?3（百,0,0），M（0,l,0），￡（0,2,3），

W=（-^,l,0）,麗=[后0,3）,

麗=卜君,2,3）,設平面BFM的法向量為四=（%,%,zj,

平面EMB的法向量為為=（%2，丁2*2），

則產.呼=0,即卜后+必=0,

m-BF=0一百玉+34=0

令X[=拒,得％=3,4=1,即慶=（6,3』）,

則上癡=0,即心2+%=0,

n-BE-0-A/3X2+2y2+3z2=0

令42=g，得%=3'z2=-l

an/I-\玩,五1111

即為=（6,3，T，儂口,〃”而=7r>二百，

則sin（比，力=勺叵，故二面角尸——石的正弦值為1.

18.[2025春?高三?湖南永州?開學考試校考]某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽

隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若

3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二

階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該

隊的比賽成績為第二階段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中

的概率為p,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相互獨立.

（1）若“=0.4,4=0.5，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分

的概率.

(2)假設0<p<q,

(i)為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比

賽？

(ii)為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

18.答案：(1)0.686；

(2)(i)由甲參加第一階段比賽；(i)由甲參加第一階段比賽；

解析：(1)甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第

二階段也至少投中1次，

.?.比賽成績不少于5分的概率尸=(1-0用(1-0.53)=0.686.

(2)(i)若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為

昂=[1—(1—

若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為

殳=[1-

?.<0<p<q,

??丹一壇=q3-1q-pqf-p3pqf

=(.q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)-\_(p-pq)2+(,q-pq)2+(.p-pq)~\

=(p-q)因?》-3p~q-3pq-)

^3pq(p-q)(pq-p-q)^3pq(p-q)[(l-p)(l-q)-i]