第1節集合

（本卷滿分150分，考試時間120分鐘。）

一、單選題

1.已知集合A={尤-425})

A.(-oo,-5]B.[-5,-1)C.[―5,—1]D[5,7)D.[-5,-1]

【答案】D

【解析】?.?％2<25,???—5WxW5,?,?集合人={%卜5?%<5}.

(x+l)(x-7)>0,

0,則解得%＞7或冗W,

x-7w0,

集合8={x|尤>7則4-1},Ac3=[—故選：D.

已知集合{尤卜尤+。},貝

2.4=2-32<B={x|log2x<1},I]()

A.A(}B=0B.AUB=RC.A^\B=BD.AnB=A

【答案】D

【解析】A={x|l<%<2},B={x|0<x<2},則4口8=4,=B.故選：D.

3.設集合U={0,l,2,3,4},A={Hx(x-3)=0},3=H24xW4"eN*},貝1]@力「3=()

A.{2,4}B.{2,3,4}C.{2}D.{1,2,3,4}

【答案】A

【解析】Mx-3)=0n玉=0,%=3,則4={0,3}@4={1,2,4},又8={2,3,4},所以

(令4)。3={2,4}.故選：A.

4.已知集合4={小2-2彳>0},』={市>@,若AUB=R，則實數。的取值范圍是

A.（-oo,0）B.（-ao,0]

C.（2,+oo）D.[2,+oo）

【答案】A

【解析】4={小2—2尤＞0}=（f0）"2,+8）若AUB=R，則。＜0故選：A.

5.設全集U=R,集合M={0,1,2,3,4,5},N={x|y=?^},則下面論加圖中陰影部分

表示的集合是（）

C.{0,1}D.{0,1,2)

【答案】C

【解析】集合M={。』,2,3,4,5},N=卜,=必1}={小22},所以6^={#＜2}.

圖中陰影部分表示的集合為Mn&N)={0,1}.故選：C

6.已知N*表示正整數集合，若集合A={(尤,y)|Y+y2421,xeN*,yeN*},則A中元素的

個數為()

A.16B.15C.14D.13

【答案】D

【解析】由題設A={(x,y)|0VVN*,yeN*},又萬'e(4,5),

由"+42=痕＞萬,貝1|(4,4)e4,

由"2+32=后＞@，貝U(4,3),(3,4)至A，

由J42+22=而＜陰，貝i](4,2),(2,4)eA,

同理，(4,1),(1,4),(3,3),(3,2),(2,3),(3,1),(1,3),(2,2),(2,1),(2,1),(1,1)均屬于集合A,

所以第一象限中有13個點屬于集合A故選：D

7.設集合4={-2,—1,0,1,2,3},3=3(彳+1乂彳—2)＜0},則AC3=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1,2)

【答案】A

【解析】由(X+D(X—2)<0,解得-1<X<2,即集合1=(-1,2)所以A〈B={0,1}故選:

A

8.已知集合A=+則A中元素的個數為()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】由橢圓的性質得-2WXW2,-應又無eZ,ywZ,所以集合

A={(_2,0),(2,0),(7,0),(1,0),(0,1),(0,T),(0,0),(-M),(TT),(LI),(LT)}共有11個元素.

故選：C

二、多選題

9.集合M在平面直角坐標系中表示線段的長度之和記為|M|.若集合

A=｛（x，y）|9V—+y2<25）,3=｛（尤,知>=%+根｝,C=｛（尤,丁）H=履+2-左｝則下列說法中

正確的有（）

A.若AC3K0,則實數機的取值范圍為｛4-504相<50｝

B.存在上eR,使ACCH0

C.無論％取何值，都有ACCH0

D.|an。的最大值為4A后-4

【答案】ACD

【解析】對于A,因為AcB/0,所以￥/5,解得-5后故A正確.

對于B和C,直線、=區+2-左過定點（1,2）,因為F+22<9,故C正確，B錯誤.

對于D,設原點到直線、=區+2-左的距離為"，則|40。|=2（」25"_'9_司=2*

也5-/\_屋，所以Mnq的最大值，即d的最大值，于是|anc|的最大值為

46-4,故D正確.故選：ACD

10.若非空集合G和G上的二元運算“十”滿足：①Va,6wG,a十beG；②ReG,對

VfleG,a?I=I?a=az（§）3ZeG,使VaeG,3b&G,有。十6=/=b十a；④

V“力,ceG,（a十Q十c=a十（6十c）,則稱（G,十）構成一個群.下列選項對應的（G,十）構成

一個群的是（）

A.集合G為自然數集，“十”為整數的加法運算

B.集合G為正有理數集，“十”為有理數的乘法運算

C.集合G=｛-1,1,7,?為虛數單位），“十”為復數的乘法運算

D.集合G=｛0,1,2,3,4,5,6｝,“十”為求兩整數之和被7除的余數

【答案】BCD

【解析】A.G=N時，不滿足③，若，=0,則由1+6=0得6=-1eG,若IeN*jN,則

在G中設a>/,由a+6=/得6=/-a<0wG,所以（N,+）不能構成群；

B.G為正有理數集，①任意兩個正有理數的積仍然為正有理數，②顯然leG,對任意

a&G,。十l=a=l十a,③對任意正有理數。，!也是正有理數，且。十1=1=！十。，即

aaa

1=1,④有理數的乘數滿足結合律，B中可構造群；

C.G=｛-l,l,T,i｝（i為虛數單位），①可驗證G中任意兩數（可相等）的乘積仍然屬于G；

②/=1,滿足任意aeG,有a十1=1十a；③/=1,滿足任意aeG,存在人eG,有

a十6=b十a=l,實質上有-lx（T）=lxl=?（T）=l；④復數的乘法運算滿足結合律，C

中可構造群；

D.G={0,1,2,3,4,5,6},①任意兩個整數的和不是整數，它除以7的余數一定屬于G,②

1=0,滿足對任意aeG,a十I=I十a,（3）/-1,1=0,0+0=0,1+6=2+5=3+4=7

除以7余數為0；④加法滿足交換律，又。+人除以7的余數等于。除以7的余數加6除以7

的余數的和再除以7所得余數，因此Va,6,ceG,m十6）十c=a十（6十c）,D中可構造群;

故選：BCD.

11.已知集合R'={&,%，…,=定義R"上兩點A（4，%，…,4），

3色也,…，勿），且d（A，B）=￡g-4|，則下列說法正確的是（）

i=l

A.若4（1,2,-1）,*4,6,2）,則d（AB）=10

B.當〃=2時，設C為此上一點，在AABC中，若C=90。，則

［J（A,C）］2+［J（C,B）］2=［d（A,B）］2

C.當〃=3時，設C為上上一點,則d（AC）+d（B,C）>d（A3）

D.若4（0,0,0）,8（4,4,4）,設尸（x,%2）為上上一點,其中元,y,zeZ,則滿足

d（AP）+d（3,P）=d（A3）的點尸有125個

【答案】ACD

【解析】對于A，若4（1,2,-1）,8（4,6,2）,則d（A3）=|l-4|+|2-6|+卜1一2|=1。，所以

選項A正確；

對于2,在△42C中，若C=90。，貝+|BC「=|AB『，

設A（網,％）,3（々,為），C（W，%），

則（玉-七）2+（%-%）2+（%2一W）2+（%一％）2=（玉一々）2+（%一,

而［d（AB）了=（|西一電|+1%-？I）?=（5一無2丫+（%-％t+2|（不一々）（X-%）卜

［d（AC）］+\_d（C,B）］=（%-尤3）+（%_%）+（x2~x3）+（%_%）+2|（占一%）?（%—>3）］

+2%-。（%-%）|，但2|&_&）?（%_%）|+2厄_￡）?（%_%）|=2|（%一蒼）（/_%）|不

一定成立，故選項8錯誤；

對于C,設A（尤3（9,%/），“存％/3），根據絕對值不等式的性質有

|%-￡|+|蒼一W|9％一司，|乂-%|+昆一%|2|%72|，%—馬|+七一23閆4-&1，

所以〃（AC）+"（昆C）2d（AB）,故選項C正確；

對于。，d（AB）=12,國+卜―4|“①，|y[+|y_4|"②，目+|z—4隹4③,

所以d（A,P）+d（民尸）212,當且僅當①②③中的等號同時成立時，d（AP）+d（3,P）=12,

又d（AP）+d（3,尸）=d（A3）.

所以0W4,0<y<4,0<z<4,又x,y,zeZ,所以x,y,z均為集合{。,1,2,3,4}中的

元素，5x5x5=125,故選項。正確.故答案為：ACD

12.兩個集合A和B之間若存在一一對應關系，則稱A和3等勢，記為A:3.例如：若

A為正整數集，3為正偶數集，則A:B,因為可構造一一映射〃x）=2x.下列說法中正

XGA

確的是（）

A.兩個有限集合等勢的充分必要條件是這兩個集合的元素個數相同

B.對三個無限集合A、B、C,若A:B,B-C,則A?C

C.正整數集與正實數集等勢

D.在空間直角坐標系中，若A表示球面：f+y2+z2=2z上所有點的集合，3表示平面

xOy上所有點的集合，則A:B

【答案】ABD

【解析】對于A選項，設有限集合A={q,%,…,4},3={。,a,…4},

充分性：若A:B,則兩個集合A和8之間若存在一一對應關系，

則對任意的4?=1,2,…㈤eA,存在〃eB,使得由與白對應，故m=",充分性成立.

必要性：若7〃=〃，即集合A、3的元素個數相等，

可構造映射了,使得“=/（4）（，=1,2,…,〃），故A：B,必要性成立，A對；

對于B選項，對三個無限集合A、B、C,

若A:B,對任意的aeA,存在唯一的使得。與6對應，

又因為B?C,則存在唯一的ceC,使得6與c對應，

故對任意的aeA,存在唯一的ceC,使得。與c對應，故A?C,B對；

對于C選項，正整數集與正實數集不等勢，理由如下：

假設正整數集N*與正實數集R+等勢，則存在N*與R+的一個---對應。，將與N*中”對應

的元素。（〃）記為匚，

則R+中的元素可以排成一列：小2、L、/、L,顯然R+中至少有一個單位長度的區

間不包含乙，

「4-1「5-

不妨設此區間為/I=[1,2],將[1,2]三等分，貝I]、-,2中至少有一個區間不含馬，以

表示此區間,

將人三等分，其左、右兩個區間至少有一個不含4,記為A，

依此類推，可得一列閉區間/“滿足：

（i）A=>z2=）z3且/“的長度趨于0；

（ii）-n更In，M=l、2、3、L.

所以，但對任意的meN*,卻隹介/“，換言之，介/“不在R+中，這是不可能

n=\〃=1n=l

的，

這一矛盾說明，N*與肥不等勢，C錯；

對于D選項，如下圖所示：

球面方程為/+y2+（z-l）2=l,球面與z軸的正半軸交于點￡（0,0,2）,

對于球面上任意一點尸（不與點E重合），設直線所交平面xOv于點C,

則球面上的點F（不與點E重合）與平面xOv內的點C能建立---對應關系，

假定在平面xOy上有一理想的點稱之為無窮遠點，它與點E對應，這樣A:3,D對.

故選：ABD.

三、填空題

13.設集合A=<yy=,xeR,,集合B=<yy=20、，則Af|3=

【答案】{小>0}##（0,+。）

【解析】因為集合4=<yy=,xeR>={小>0},B=<yy=x2,x>0>={y|y>0},

所以Ac3={y|y>0}c{y|yN0}={y|y>。},故答案為：{中>。}.

14.2021年是中國共產黨成立100周年，電影頻道推出“經典頻傳：看電影，學黨史”系列

短視頻，傳揚中國共產黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現有《青春之歌》

《建黨偉業》《開國大典》三支短視頻，某大學社團有50人，觀看了《青春之歌》的有21

人，觀看了《建黨偉業》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青

春之歌》和《建黨偉業》的有4人，只觀看了《建黨偉業》和《開國大典》的有7人，只

觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀

看任何一支短視頻的人數為.

【答案】3

【解析】把大學社團50人形成的集合記為全集U,觀看了《青春之歌》《建黨偉業》《開國

大典》三支短視頻的人形成的集合分別記為4B,C,依題意，作出韋恩圖，如圖，

觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有

21-4-6-3=8(人)，因觀看了《建黨偉業》的有23人，則只看了《建黨偉業》的有

23-4-7-3=9(A),

因觀看了《開國大典》的有26人，則只看了《開國大典》的有26-6-7-3=10(人)，

因此，至少看了一支短視頻的有3+4+6+7+8+9+10=47(人)，所以沒有觀看任何一支短

視頻的人數為50-47=3.故答案為：3

[r3re>4

15.已知非空集合A,8滿足：AU8=R,AnB=0,函數〃x)=；;;對于下列

[3x-2,xGB

結論：

①不存在非空集合對(A3),使得“X)為偶函數；

②存在唯一非空集合對(A3),使得/?(》)為奇函數；

③存在無窮多非空集合對(A,B),使得方程/(X)=0無解.

其中正確結論的序號為.

【答案】①③

【解析】①若xeA，-xeA,則/(x)=Y,/(-x)=-x3,f(x)*/(-%)

若xeB,-xeB,貝l]/(x)=3x-2,f(-x)=-3x-2,f(x)*f(-x)

若xeA,-xeB,貝lj/(x)=x3,f(-x)=-3x-2,f(x)f(-x)

若xeB,-xeA,則/(x)=3x-2,/(-x)=-x3,/(x)w/(-x)

綜上不存在非空集合對(A3),使得/(x)為偶函數

②若爐=3犬一2,則x=l或尤=-2,當8={1},A=03時，/(l)=3xl-2滿足當彳=1時

無3=1,所以/⑺可統一為/(x)=x3,此時F(-X)=T3=_/(X)為奇函數

當3={-2},A=時，"-2)=3x(-2)-2=-8滿足當x=_2時無3=_8,所以〃尤)可統一

為/(無)=尤,此時f(-X)=-X3=-f(%)為奇函數

所以存在非空集合對(A3),使得“X)為奇函數，且不唯一

22

③x3=0解的x=0,3x-2=0解的x=§,當非空集合對(A3)滿足0@A且:KB,則方

程無解，又因為AU8=R,AHB=0,所以存在無窮多非空集合對(AB),使得方程

/(x)=0無解故答案為：①③

16.已知集合河=口621裝21},集合4,4,4滿足①每個集合都恰有7個元素；②

A/UA21M3=林集合4?中元素的最大值與最小值之和稱為集合4?的特征數，記為Xi(i

=1.2,3),則X/+X2+X3的最大值與最小值的和為—.

【答案】132

【解析】集合M={xe2L21},由集合4,4,4滿足①每個集合都恰有7個元素；

②4UA2UA3=M可知最小的三個數為1,2,3；21必是一個集合的最大元素，含有21集

合中的元素，有21,20,19,…，16和1,2,3中一個組成，這樣特征數最小，不妨取1,

這時X/最小值為22；15必是一個集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15,14,

13,…，10和2,3中一個組成，這樣特征數最小，不妨取2,這時X2最小值為17；

9必是一個集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9,8,7,4和3組成，這樣特

征數最小，這時X3最小值為10；則X/+X2+X3的最小值為22+17+12=51.

同理可知最大的三個數為21,20,19；

含有21集合中的元素，有21,18,17,16,16,15,13；這樣特征數最大，為34；

含有20的集合中元素為20,12,11,10,9,8,7,這樣特征數最大，為27；

含有19的集合中元素為19,6,5,4,3,2,1,特征數最大，且為20；

則X1+X2+X3的最大值為34+27+20=81；

所以X/+X2+X3的最大值與最小值的和為51+81=132.

故答案為：132.

四、解答題

17.設全集U=R,集合4={工2*2-9尤+440},B={x|2-a(尤<“}.

⑴當a=2時，求C'AuB)；

(2)若=求實數〃的取值范圍.

【解析】(1)當〃=2時，8={x|0v%<2},

A=^x\2x2-9x+4<0j=1x|(x-4j(2x-l)<Oj=

所以AU5=(O,4］又全集U=R所以6(4^)=(—),0①(4,也)

(2)由(1)知，A=5={x|2—〃

2-a<a

由Ang=A可得：Acs,則2-“<g,解得：。>4所以實數。的取值范圍為：

Q>4

.￡(4,+00)

18.已知集合人二卜/-x-12<oj,B=|x|x2-2x+l-m2<0,m>0^.

⑴若機=2,求Ap|&B)；

(2)尤￡A是％$5的條件，若實數加的值存在，求出加的取值范圍；若不存在,

說明理由.(請在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任選一個，補充到空白處)注:

如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

【解析】⑴由不等式爐―%—12=(%—4)(%+3)<。，解得-3H,可得

A={X—3?%?4}當機=2時，不等式d—2%—3=(%—3)(x+l)K0,解得一即

B={x\-l<x<3},可得55={小<_1或x>3},所以Ac&5)={H—34%v—l或

3<x<4).

(2)由不等式尤2-2x+l-4=(x-m-l)(x+m-l)<0(m>0),解得1一根+機，

所以5={R1—+根>0}.

若選擇條件①，則集合A是3的真子集，得加+124,解得機N4.

m>0

當機=4時，B=|x|-3<x<5},AB,合乎題意；

1-m>-3

若選擇條件②，則集合3是A的真子集，得根+1W4,解得。〈機W3.

m>0

當〃7=3時，B={x|-2<x<4},則8A,合乎題意;

1-m=-3

若選擇條件③，則集合A=3,得，加+1=4無解，所以不存在滿足條件③的實數加.

m>0

19.設，=[q，4],/?=&也]，…，/“=&,〃]，=&+”%]，是〃+l(〃eN*)個互不

相同的閉區間，若存在實數%使得/e/,1=1,2…+1),則稱這〃+1個閉區間為聚合區

間，％為該聚合區間的聚合點.

⑴已知/]=[1,3],12=[—2,sinr](0<r<i)為聚合區間，求r的值；

⑵己知/1=[4閔，”[%也]心=&+的+』為聚合區間.

(i)設%,先是該聚合區間的兩個不同的聚合點.求證：存在hje{l,2….,”+1},使

得[4也]￡L(Z=1,2,...,M+1)；

(ii)若對任意p,qCP^Q5.p,qe{L2,…,〃+1}),都有乙，乙互不包含.求證：存在

不同的。六{1,2,.-，〃+1},使得々一4/3色一”,).

【解析】⑴由0<f<萬可得Ovsindl,又小人為聚合區間，由定義可得/1小2*0，

■JT

故當且僅當sinf=l時成"，故

(2)(i)由%,%是該聚合區間的兩個不同的聚合點，不妨設與<先，因為

毛，[=12…,〃+1),故W%,又%e/,?=12…,〃+1),故為4仇也…2+1，

不妨設％,出…%+i中的最大值為%,仿也…2+1中最小值為勺，貝I

%,%...a“+jW%V毛<%V勺Vbl,b2..Jjn+l,即ax,a2...G,I+1V%%W4,用…2+i,故存在區間

[外,與][Z,(i=1,2,…,〃+1)

(ii)若存在a,=at(s*t),則(u/,或。Is,與已知條件矛盾

不妨設O1<?2<?,4+1，則4<4+1(左=12,…〃)

否則，若々24+1，則4+114,與已知條件矛盾

5X/=min{a2-q,%-a2...an+1-an,b2-bx,b3-b2..bn+1設me{1,2,…，〃+l}

當*-4=/時，bm-bx=(bm-bm_^+...[b2-&j)>(w-l)Z,

%+i_4"=(4+1.4)+…(4,+i—a,”)2(〃一機+1)/

又4>%+i，所以4+i<。,所以々"一4之色"一4)+(%+1-4“)24，

aa

即n,+i~,n-~一0'所以b,"_?,?+!=b,"-am-(am+1-am)>(bm-a,?),

nn

H-]

此時取i=m，/=機+1,則々-a,>----色-a),

n—1

當%「耙=/時，同理可取，=m+1,/=〃7,使得的一生N---色一a),

n

綜上，存在不同的i,Je{l,2,…，〃+1},使得目—為2---(Z?—(7；)

20.已知集合人={囪￡=(占，無2,尤3，%)，不wN,i=l,2,3,4}.對集合A中的任意元素

a=(xl,x2,x3,x4),定義7(00=(忖-々|，卜2-七|，上3-％4|，|尤4一百|)，當正整數時，定義

T"3)=T(T”4(a))(約定〃(a)=T(a)).

⑴若a=(2,0,2,1),，=(2,0,2,2),求74(⑶和〃(尸)；

⑵若a=(百,%，玉,5)滿足斗€{0,1}口=1,2,3,4)且72。)=(1,1,1,1),求口的所有可能結果；

(3)是否存在正整數n使得對任意a=(工,工2，工3，匕)￡A(網之々之匕之W)都有

T"(a)=(0,0,0,0)?若存在，求出"的所有取值；若不存在，說明理由.

【解析】⑴由題意T(a)=(2,2,l,l),r2(a)=(0,l,0,l),r3(a)=(1,1,1,1),T4(a)=(0,0,0,0),

T(尸)=(2,2,0,0),72(￡)=(0,2,0,2),〃(￡)=Q,2,2,2),T4(^)=(0,0,0,0).

⑵由T2(a)=(1,1』,1)且x,e{0,1}(i=1,2,3,4),

x

IIi-x2\-\x2-x3\\=l

IIx2—X3I-IW-X4H=1①

||^-x4|-|x4-^11=1

\\x4-x1\-\x1-x211=1

當玉=0或1時，\\x4-xl\-\xl-x211=1A-2-.r41=1,

=1

同理，尤2=。或1時，II.^1-^21-I-^3Hl-^31=>

W=0或1時，II工2-尤31Tx3-巧||=|9-匕1=1,

匕=0或1時，||芍一％4|-|通-%11=1占-尤31=1，

fIX—Xn1=1

所以①等價于(：「則玉力三，X2^X4>

\\x2-x41=1

當%=0,x2=0,則a為(0,0,1,1)滿足；

當玉=0,x2=l,則a為(0,1,1,0)滿足，

當西=1,尾=0,則a為(1,0,0,1)滿足,

當國=1,x2=l,則a為(1,1,0,0)滿足，

綜上,a的所有可能結果(L0,0』)、(0,LL0)、(1』,0,0)、(0,0,1,1).

(3)存在正整數n使廠⑷=(0,0,0,0)且N*|6},理由如下：

由a=(%,％,工3，*4)eA(X]>x2>x4>%3),貝ljT(a)=(尤]一尤2，/一尤3，匕一馬，玉-x4),

所以T?(a)=(|占+退-2馬I,馬一%|占+退-2七I,尤2-Z)，

若〃=|石+—2/I,b=|石+巧一2%41,

所以T“a)=(|x2-x^-a\,\x2-xi-b\,\x2-xi-b\,\x2-x4-a\),

5

^c=\\x2—x4—a\—\x2—x4—b\\,則T“(a)=(c,O,c,O)，T(a)=(c,c,￡,c),

T6(a)=(0,0,0,0),所以，對口=(%,程若4(%之電2%上馬)都有產(a)w(°，°，°，°)，

當〃27時，T"(a)=(O,O,O,O)恒成立,

綜上，"所有取值為｛〃eN*|〃±6｝使:T(a)=(0,0,0,0)成立.

21.已知數集人二包,%%…，4｝(1=?1<4<…<a"，心2)具有性質P：對任意的

k(2<k<n),3i,j(l<i<j<n),使得4=a,+勺成立.

⑴分別判斷數集口，3,5｝與｛1,2,3,6｝是否具有性質尸，并說明理由；

⑵已知S"=%+a2H----Fa.(〃eN*),求證：2an—1<Sn；

⑶若4=36,求數集A中所有元素的和的最小值.

【解析】⑴丫371+1,.?.｛1,3,5｝不具有性質P；

V2=lx2,3=1+2,6=3+3,二｛1,2,3,6｝具有性質尸；

⑵：集合A=何,…,a“｝具有性質P：

即對任意的以2V左V<i<j<n),使得a,=a,+%成立，

又<1=%<a2<...<an,n>2,

a2

???at<ak_x，。戶a”i，?'?k=《+勺?^-i,

aa

即n—2。〃一1，。〃_1—2ali_2,n-2W_3,???,^^34,^^242^^],

a+aa

將上述不等式相加得q+…+n-\nK2(4+/+…+n-[)，

an<2ax+a2+...+an_x,由于q=1,

a“一1W%+出+…+a”-，2d"—1Vq+%+、…+a?-i+an=S”；

(3)最小值為75.首先注意到％=1,根據性質P,得到的=2%=2,

...易知數集A的元素都是整數.

構造A=｛1,2,3,6,9,18,36｝或者A=｛1,2,4,5,9,18,36｝,

這兩個集合具有性質P，此時元素和為75.

下面，證明75是最小的和：

假設數集4=｛。1，4,…<。2<…<%，心2),滿足S=￡%475(存在性顯然，：滿足

1=1

S=J?,.<75的數集A只有有限個).

1=1

第一步：首先說明集合4=｛。］,42--，。“｝（。1<g《-<4,，“22）中至少有7個元素:

由(2)可矢口〃242%,%，2%，...

又4=1,/.a2<2,a3<4,a4<8,tz5<16,a6<32<36；

zz>7；

第二步：證明4T=18,%_2=9；

若18eA,設弓=18,Va?=36=18+18,為了使得S=最小，在集合A中一定不含

1=1

有元素做，使得18<36,從而a“_i=18；

假設180A,根據性質P,對%=36,有如勺，使得a“=36=q+%,

顯然。產勺，=36+36=72,

而此時集合A中至少還有4個不同于%的元素，

從而S>（q“+q+%）+4%=76,矛盾,

18sA,進而。,=18,且a“_i=18；

同理可證：。"一2=9；

（同理可以證明：若9eA,則。“_2=9）.

假設9eA.

?>-a?_1=18,根據性質P,有。,嗎，使得凡―=18=%+%,

顯然。戶勺，an+a?.1+a;+a,=72,

而此時集合A中至少還有3個不同于4,an-l，火，%的元素，

從而S>+a“_]+q+%+3%=75,矛盾，

9GA,月.a?-2=9；

至此