熱點題型?選填題攻略

專題01集合、常用邏輯用語、復數

o------------題型歸納?定方向------------*>

目錄

題型01元素與集合的關系辨析應用...............................................................1

題型02根據集合的包含關系求參數..............................................................3

題型03集合交并補混合運算及參數問題..........................................................5

題型04集合中的新定義問題.....................................................................8

題型05充要條件及其求參數問題................................................................12

題型06全稱量詞和存在量詞命題及其求參數問題.................................................14

題型07復數綜合運算..........................................................................17

-----------題型探析,明規律-----------?>

題型01元素與集合的關系辨析應用

【解題規律?提分快招】

寫集吾香叉及箕袤示有關的荷顧的儲窺拉百

(1)明確集合的類型，即確定集合是數集、點集，還是其他集合.

(2)理清集合中的元素滿足的限制條件，確定元素的屬性.

(3)注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性，確定集合元素的個數.

(4)理清描述法表示的集合中相關字母變量的取值范圍及條件.

*麗加練J

一、單選題

2

1.(2024?廣東河源?模擬預測)己知集合/={M尤>。},5={x|x-aX-3>Q],若1"且le/，則。的

取值范圍是()

A.[-2,1)B.(-2,1)C.[-2,+co)D.(-℃,1)

【答案】A

【分析】由元素與集合的關系列出不等式組，解之即得.

【詳解】因為15且所以，「二。，解得-24a<1.

故選：A.

2.(2024?四川內江?三模)若集合尸={引-2Wx(加-/,xeZ}有6個非空真子集，則實數的取值范圍為

()

A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]

【答案】A

【分析】根據給定條件，求出集合尸中元素，再列出不等式求解即得.

【詳解】由集合P={x|-24x<機-機2,xeZ}有6個非空真子集，得集合P中有3個元素，為-2,-1,0,

因此0<冽一加解得0<加<1,

所以實數機的取值范圍為(0,1).

故選：A

3.(2024高三?全國?專題練習)已知集合/={xeN[l<x<k)g2笈},若集合中至少有2個元素，貝U()

A.^>16B.左>16C.k>SD.左>8

【答案】D

【分析】由題意可得log?左>3,從而可求出左的取值范圍.

【詳解】因為集合N={xeN[l<x<log/}中至少有2個元素，

所以log?左>3,解得后>8,

故選：D.

4.(24-25高三上?北京通州?期中)設集合/={(》/),-〉21,/^+>>3,工-即42},貝！|()

A.對任意實數a,(2,1)e4B.對任意實數a,(2,1)0/

C.當且僅當。>1時，(2,1)D.當且僅當。<。時，(2,1)任/

【答案】C

【分析】利用。的取值，反例判斷是否成立即可.

[詳解]對A,若a=—2,貝!!/={(%,力限_721,4%+了>3,無+2了42},

將(2,1)代入不全部滿足，此時可知(2,1)任/,故A錯誤；

對B,當a=2時，貝!|/={(%,力,_721,4%+>>>3,%_2,<2},

將(2』)代入全部滿足，此時可知Q,l)e/,故B錯誤；

-2-a<2

對C,若(2,l)e4,，2/+1>3,解之可得a>l,所以C正確；

2-1>1

對D,當"=；，則N=1(x,y)|尤-y21,：+y>3,x-、421,將(2,1)代入不全滿足，

所以(2,1)任故D錯誤.

故選：c

二、填空題

5.（24-25高三上?廣東湛江?階段練習）已知集合/={（弘力］/=工-2},8={（"）］》44，若集合NcB中

有且只有一個元素，則“=

【答案】2

【分析】根據兩個集合的描述，結合拋物線的性質判斷參數取值對應點集情況，即可得答案.

【詳解】當a>2時，NcB表示拋物線的一部分；

當。<2時，AcB為空集,

因此當且僅當a=2時，集合/c3表示一個點（2,0）,有且只有一個元素.

故答案為：2

題型02根據集合的包含關系求參數

【解題規律?提分快招】

根搪兩窠杳蕨系親?藪皈若裝

已知兩個集合之間的關系求參數時，要明確集合中的元素，對含參數的集合是否為空集進行分類討論，做

到不漏解.

①若集合中的元素是一一列舉的，依據集合間的關系，轉化為方程（組）求解，此時注意集合中元素的互

異性.

②若集合表示的是不等式的解集，常依據數軸轉化為方程（組）或不等式（組）求解，此時注意檢驗端點

值能否取到

1:典砒訶臻i

一、單選題

1.（24-25高三上?江蘇?階段練習）己知集合/={T,0,2},B={x\l-mx>0},若則加的取值范圍

是（）

A.(-1,+<?)B.

【答案】C

【分析】由集合的包含關系得不等式組，解不等式組即可.

[1+m>01

【詳解】由題意，因為貝喋，

故選：C.

2.（2024?湖北一模）已知集合/={-1,0,1,2},8=卜|卜-加區2},^A\JB=B,則加的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（-1,1）C.[0,1]D.[-1,1]

【答案】C

【分析】由/U8=8,得到/U再由集合之間的包含關系列不等式組求解即可；

【詳解】由卜一加|W2解得機-24x4機+2,

因為4U8=3,所以NuB,

所以解得0?屋1,即加的取值范圍是[?！唬?/p>

[m+2>2

故選：C.

3.（24-25高三上?江蘇?階段練習）已知集合川=卜，-2工-3<0},'=付/_々<0},若集合MCN=N,

則實數。的取值范圍是（）

A.（一叫1]B.（一/⑼C.[1,9]D.[1,3]

【答案】A

【分析】根據一元二次不等式化簡即可根據NuM,對集合N討論求解.

【詳解】由“=仲——2x-3<o}=|x|-1<x<31,

McN=N,則Nc",

故若QVO,則不等式無解，此時N=0,符合題意，

當a>0時，N=|x|x2-a<oj=<x<4a^,

結合NjM,貝!）TW-后<x<&W3,解得0<aWl,

綜上可得

故選：A

二、填空題

4.（2024?上海長寧?一模）已知a:2，+log2x42,6:x<加，若a是力的充分條件，則實數〃？的取值范圍

是.

【答案】（1,+8）

【分析】通過構造函數/3）=2，+1082蒼》€（0,+8）,利用“X）的單調性解不等式，再由題意將a是刀的充

分條件轉化為包含關系，進而求得參數加范圍.

【詳解】設〃x）=2x+log2X,xe（0,+s）,

則〃X)在(0,+8)單調遞增,又"1)=2,

所以2*+1嗎出2,即/(X)"⑴，故0<x+l.

貝!Ja:0<x41.

由題意0<xWl是x<w的充分條件，則(0/仁(-8,加),

所以有機>1,故實數m的取值范圍是(1,+8).

故答案為：(L+⑹.

5.(2024高三?全國?專題練習)設/(x)=占，g(x)=ax+3-3a(a>0),若對于任意王e[0,2],總存在

xoe[O,2],使得g(x°)=/a)成立，則a的取值范圍是.

【答案】[1,2]

【分析】把恒成立及存在問題轉化值域的包含關系，再根據"UN列不等式求參.

x-1

【詳解】當x°e[0,2],函數〃1J'(x)=ee*1-x

r2-xe[0,l)/(x)>0J(x)單調遞增,

e"T

xe(1,2]/(X)<0J(x)單調遞減，可得函數/(X)而=/■⑴=1J(x)^=/(0)=0,f(x)的值域為Me[0,1].

當毛40,2],a>0,函數g(x)=ax+3-3a在其定義域內是增函數，函數g(x)的值域Ne[3-3a,3-〃],

3-3a<0,

:?M三N,???3-^1,得I""?.

故答案為：[1,2].

題型03集合交并補混合運算及參數問題

【解題規律?提分快招】

莉再集百皈運翼派至藪的方法

(1)與不等式有關的集合，一般利用數軸解決，要注意端點值的取舍.

(2)若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關系，再列方程(組)求解.

[注意]在求出參數后，注意結果的驗證(滿足集合中元素的互異性).

彳麗訶綜i

一、單選題

1.(24-25高三上?四川綿陽?階段練習)已知集合/={鄧唱》<2},B={y\y=^c],貝匹1/卜8=()

A.(0,9)B.[9,+oo)C.{0}U[9,+8)D.[0,9)

【答案】C

【分析】化簡集合48,再結合集合交集、補集運算即可求解.

【詳解】^={x|log3x<2}={x|0<x<9},

B=[y\y=4x^={y\y>0],

可得：1”=（一8,0]49,+8）

.-.（CR^）nJ8={0}o[9,+oo）,

故選：C.

2.（24-25高三上?重慶?階段練習）己知全集"=1<,集合N<x|"<o],8={小>3}則圖中陰影部分

【答案】D

【分析】求出集合A與集合B的補集，再由圖可知圖中陰影部分表示（18）c/.

【詳解】由土心<0可得（x-6）x<0,解得0<x<6,所以/={x[0<x<6},

X

因為8={x|x>3},所以[8={x]xV3},

圖中陰影部分表示的集合為&B）c/={x[0<xW3}.

故選：D.

3.（24-25高三上?重慶渝中?階段練習）今年高二（1）班的同學參加語文和數學兩個學科的結業水平考試,

每科滿分為100分.考試成績非常優秀，每個同學都至少有一科成績在90分以上，其中語文90分以上的

有45人，數學90分以上的有48人，這兩科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）個同學.

A.45B.48C.53D.43

【答案】C

【分析】由題意設出集合45得到集合48以及中元素的個數，即可得出NU8中元素的個數.

【詳解】設集合A表示語文在90分以上的學生，則集合中有45個元素，

集合8表示數學在90分以上的學生，則集合中有48個元素，

NcB表示兩科均在90分以上的學生，則集合NcB中有40個元素，

/U3表示至少有一科成績在90分以上的學生，由題意可知/U3中有個45+48-40=53元素，

又因為每個同學都至少有一科成績在90分以上，所以高二（1）班共有53人，

故選：C.

4.（24-25高三上?江西贛州?期中）設全集U=Z,集合/={x|x=4%+l,左eZ},集合

2={x|尤=4左一1,后eZ},則集合C={x|x=2左,左eZ}=（）

A.A^BB.B^AC.［（NUB）D.&（Nc8）

【答案】C

【分析】根據題意，由條件可得/U6,即可得到與集合C的關系.

【詳解】由題知/={Nx=4E+l#eZ}={x|x=2（2k+l）-l#eZ},

2?={x|x=4左一1,左eZ}={x|x=2（2L+l）-3,Eez},

所以={x|x=2左+1,左eZ},又。={x|x=2k,keZ},

所以C=0（Nu8）.

故選：C.

二、多選題

5.（2024高三?全國?專題練習）已知集合2=伸logzXWO},集合8集合。=1卜

則下列結論正確的是（）

A.NUO=RB.A^B=0

C.以（/口8）口。D.CR￡>U5

【答案】BCD

【分析】先分別解不等式求出集合4瓦。，然后逐個分析判斷即可.

【詳解】由logzXVO,得0<xWl,所以/={x|0<x41}.

由汨20,得5+1）3-1）20且了一1片0,得了4一1或y>i,所以8=0|了<一1或V>1}.

由3,2g=3-2,得zN-2,所以。={z|zN-2}.

對于A,A^D={x\x>-2}^R,所以A錯誤；

對于B,ACiB=0,所以B正確；

對于C因為/U2={,xW-l或無>0},所以以（/118）={討-1<%40},

所以以（/。3）D,所以C正確；

對于D,因為。={z|zN-2},所以lD={z[z<-2}.

因為8={夕241或了>1},所以B,所以D正確，

故選：BCD.

題型04集合中的新定義問題

【解題規律?提分快招】

廨關以窠杳為酉熹的新定義同顧的關鋌點

（1）準確轉化：解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質含義，緊扣題目所給定義，結合題目的要求

進行恰當轉化，切忌同已有概念或定義相混淆.

（2）方法選?。簩τ谛露x問題，可恰當選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結合集合的相關

性質求解.

彳麗加綜i

—?、單選題

1.（24-25高三上?河南新鄉?期中）定義非空數集M的“和睦數H”如下：將M中的元素按照遞減的次序排列,

然后將第一個元素交替地加上、減去后繼的數所得的結果.例如，集合{123,4,5}的“和睦數”是

5+4-3+27=7,{2,4}的“和睦數”是4+2=6,{1}的“和睦數”是1.對于集合其

所有非空子集的“和睦數”的總和為（）

A.82B.74C.12D.70

【答案】A

【分析】分別列舉子集M,根據“和睦數”的定義，即可求解每種情況的“和睦數”，相加即可求解.

【詳解】N=[dFeN，〃eN}={l,2,3,6},非空子集有2,-1=15個.

當子集M為單元素集{1},{2},{3},{6}時，“和睦數”分別為1,2,3,6,和為12；

當子集〃為雙元素集{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}時，

“和睦數”分別為3,4,7,5,8,9,和為36；

當子集M為三元素集{1,2,3},{1,2,6},{1,3,6},{2,3,6}時,

“和睦數”分別為4,7,8,7,和為26；

當子集M為四元素集{1,2,3,6}時，“和睦數”為6+3-2+1=8.

故“和睦數”的總和為12+36+26+8=82.

故選:A

2.（24-25高三上?上海?期中）已知集合”={（x,y）|y=/（x）},若對于任意實數對（XQJeM,存在

（x2,y2）&M,使網％+%％=°成立，則稱集合M是“垂直對點集”.給出下列四個集合：

①M=B=!}；

②M={(無J)|y=log2x}；

③“二代好"？*"}

④M={(x,y)|y=sinx+l}；

其中是“垂直對點集”的序號的個數為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】根據“垂直對點集”的定義可判斷①；舉出反例判斷②；數形結合并結合“垂直對點集”的定義可判

斷③④，即可得答案.

【詳解】對于①，M=\(x,y)\y=^,>=：為偶函數，定義域為(-叫0)。(0,+功，

對于任意實數對(x,y)eAf,x#0,y=5，

則存在滿足x1_：］+：xx2=0,集合M是“垂直對點集”；

對于②，={(x,y)|log2x},取實數對(1,0)e”,

假設存在(%2，%)€河,%2>。，使Ixx?+0x%=0成立，則9=0，與工2>0矛盾，

即Af={(xj)|y=log2x)不是“垂直對點集”；

對于③，河={5/歹=2'-2},作出函數〉=2，-2的圖象如圖，

圖象過點向右向上無線延伸，向左向下無限靠近直線>=-2,

在了=2工-2的圖象上任取一點A(xi，y。，連接OA,作

則OB總與函數圖象相交，設交函數圖象于B(X2,yz)，

即對于任意實數對總存在使得再%+M力=。成立，故集合M是“垂直對點集”;

對于④M={(x,y)|y=sinx+l},作出函數〉=sinx+1的圖象如圖，

圖象向左向右無線延伸,

在y=sinx+l的圖象上任取一點A（xi,yi）,連接OA,作。8，。/,

則OB總與函數圖象相交，設交函數圖象于B（X2,y2），

即對于任意實數對（XQJCM,總存在使得%%2+乂力=0成立，故集合M是“垂直對點集”;

故集合M是“垂直對點集”的有3個,

故選：D

二、多選題

3.（24-25高三上?山東聊城?階段練習）由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀.直到1872年，德國

數學家戴德金從連續性的定義出發，用有理數的“分割”來定義無理數，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎

上，才結束了無理數被認為“無理”的時代.所謂戴德金分割，是指將有理數集Q劃分為兩個非空的子集E

與F,且滿足片口尸=0,EcF=0,E中的每個元素都小于尸中的每個元素，稱（乙尸）為戴德金分

割.下列結論正確的是（）

A.￡={xeQ|x<l},F={xeQ|X>1}是一個戴德金分害I]

B.存在一個戴德金分割（及尸），使得￡有一個最大元素，廠沒有最小元素

C.存在一個戴德金分割（瓦尸），使得￡有一個最大元素，尸有一個最小元素

D.存在一個戴德金分割（及尸），使得E沒有最大元素，尸也沒有最小元素

【答案】BD

【分析】根據戴德金分割的定義，結合選項，分別舉例，判斷正誤.

【詳解】對于A,因為石口尸=門?（2]》片1}二（2,所以A錯誤.

對于B,設后=卜€（?氏<1},F={xeQ|x>l},滿足戴德金分割，則E有一個最大元素1,尸沒有最小元

素，所以B正確.

對于C,若E有一個最大元素，尸有一個最小元素，則不能同時滿足EUF=Q,En尸=0,所以C錯誤.

對于D,設￡=,€（2舊<6},F={xeQ|x>V3},滿足戴德金分割，此時E中沒有最大元素，尸中也沒

有最小元素，所以D正確.

故選：BD

4.（2024?吉林長春?模擬預測）對于集合A,若則稱A為對偶互存集，則下列為對偶互存

集的是（）

A.{-1,0,1,2,3}B.{x|x=2"l,后eZ}

【答案】ABD

【分析】根據對偶互存集的定義逐項判斷可得答案.

【詳解】對于A,當x=T0,l,2,3時，2re{T,0,l,2,3},故A正確；

對于B,{x[x=2"l,￡eZ}為全體奇數構成的集合，

當x為奇數時，2-x也為奇數，故B正確；

對于C,，了==7*0},貝!)2€卜|尸0},

但2-2=0任例"0},故C錯誤；

對于D,{y|y=l+sinx)=[0,2],當xe[0,2]時，2-xe[0,2],故D正確.

故選：ABD.

5.(2024?福建?模擬預測)若平面點集M滿足：任意點(x,y)eM,存在le(0,+s),都有則稱

該點集”是邛介聚合點集.下列命題為真命題的是()

A.若M={(x,y)|x2y},則/是3階聚合點集

B.存在M對任意正數/,使M不是f階聚合點集

C.若加=(》/)￡+/=1,則M不是:階聚合點集

I4J3

D."te[1,+s)”是"M={(x/)|rzx}是邛介聚合點集”的充要條件

【答案】ACD

【分析】根據集合新定義的規定，易判斷A正確；通過舉反例排除B；按照集合新定義得不出合理結論否

定屈=卜了)￡+必=1]為:階聚合點集判斷c；運用等價轉化思想，即可得到D正確.

【詳解】對于A,由xNy可得3xN3y,故M是3階聚合點集，即A正確；

對于B,對任意的點集總存在"1,使得M是1階聚合點集，故B錯誤；

對于C,因二+廿=1,而(?一了/廿2故M不是:階聚合點集，即C正確；

4'丁+勺)=盤+7＜彳+'=13

對于D,因M={(”)產Nx}是/階聚合點集等價于葉＞tx,

因/＞0,可得又因yNx,依題意可得121,反之也成立，

故={(x,y)”2}是/階聚合點集，，是，”e[l,+s)”的充要條件，即D正確.

故選：ACD.

題型05充要條件及其求參數問題

【解題規律?提分快招】

克分家作］宓夏茱柞的應再二艇袤貌在參藪間函函茶搟E儲版時需注貳

（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的

不等式（組）求解.

（2）要注意區間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數的取值范圍時，不等式是否能夠

取等號決定端點值的取舍，處理不當容易漏解或增解.

彳麗加綜i

—?、單選題

1.（2024?湖南衡陽?模擬預測）已知復數z=（“+歷）i（。）eR,i為虛數單位）的共朝復數為7,貝卜7為純虛

數”的充分必要條件為（）

A.a2+b2B.ab=0

C.a=0,6w0D.QWO,6=O

【答案】D

【分析】根據復數的乘法運算化簡復數，再由共粗復數和純虛數的定義即可求解.

【詳解】因為z=（a+6i）i=-b+ai（a,beR）,

由彳=-b-ai為純虛數，即一6=0且一0#0,

即a/0且6=0.

故選：D.

2.（24-25高三上?江蘇無錫?階段練習）“直線◎+力T=。與圓/+「=1相交”是“/+尸》1，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據點到直線的距離公式，結合充分不必要條件的定義即可求解.

1

【詳解】若直線4X+如-1=0與圓工2+/=1相交，則圓心（0,0）到直線的距離滿足<1,故

Na2+62

a2+b2>\,

由于力+〃>i能推出a2+b2>\,

當力+/21不能得至

故“直線"+勿-1=。與圓V+y2=1相交"是+/21”的充分不必要條件,

故選：A

1

3.（24-25高三上?四川?階段練習）己知：/?:-->l^:log2（x-fl）>l.若。是4的充分不必要條件，則實

x—2

數的取值范圍為（）

A.(0,1)B.(0,1]C.(-8,0]D.(-℃,1]

【答案】C

【分析】a

解分式不等式、對數不等式求對應x范圍，結合充分不必要條件有。+242,即可得范圍.

1x-3(x-2)(x-3)<0

【詳解】由P：—21=>1—<0,可得=>2<x<3

x-12x-2x—2x—2w0

由q:log2（x-6r）>l=>x-4Z>2=>x>6z+2,

因為夕是0的充分不必要條件，貝!|a+2W2naV0.

故選：C

4.（24-25高三上?河北石家莊?期中）如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面/BCD為矩形，尸/，平面A8CD,

瓦廠分別為尸瓦8C的中點，則〃_L座的一個充要條件為（）

A.PA=ABB.PFLBD

C.AB=ADD.AB=CAD

【答案】c

【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，利用數量積探求充要條件為/8=和尸尸，20.

【詳解】因為P/_L平面且底面為矩形，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，

則3(2°,0,0),P(0,0,7〃),0(0,26,0),則Ea,0,g,F(2a,b,0),

故4F=(2a,6,0),DE=^a,—2b,—

"，應的充要條件為N.市=o即：

"，用的充要條件為2/一262=0即：

"，座的充要條件為a=b,即〃，座的充要條件為AB=AD,

故C正確，D錯誤；

尸/=48即2a=加，此時得不到2a=26,故A錯誤；

對于B,PF=(2a,b,-m),BD=(-2a,2Z),0),

若PF上BD,則麗?麗=0即4/=2〃即行a=b，

由A的分析可得,，應的充要條件為不是尸尸，AD,故B錯誤；

綜上，選C.

故選：C

5.(24-25高三上?北京?階段練習)設等差數列｛叫的公差為d,貝廣0</<"”是為遞增數列''的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必

要條件

【答案】A

【分析】根據數列的性質以及充分條件、必要條件的定義即可解出.

【詳解】因為%=%+("l)d,所以"二%+("T”=*+d；

nnn

當0<%<d時，-d<0,此時/⑺=+d顯然單調遞增，

ain

所以0</<d可以推出為遞增數列；

當［%］為遞增數列時，不妨?。?-l,d=l,此時”=-2+1為遞增數列，但0<%<d不滿足，

所以I21為遞增數列不能推出0<為<d,

所以"0<%<d”是"為遞增數列”的充分不必要條件，

故選：A.

題型06全稱量詞和存在量詞命題及其求參數問題

【解題規律?提分快招】

根據命題的真假求參數的值（范圍）的思路

與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關的參數的取值范圍問題，本質是恒成立問題或有解問題.解決此類

問題時，可以直接求解，也可以利用等價命題將條件合理轉化，得到關于參數的方程（組）或不等式

（組），再通過解方程（組）或不等式（組）求出參數的值或范圍.

彳麗加綠i

一、單選題

1.（2024高三?全國?專題練習）已知命題或sinxcl,則力為（）

A.<0,e'<1_S.situ:>1B.Hx>0,ex<1_S_sinx>1

C.3r>0,e*<l或sinxNlD.3x<0,或sinxWl

【答案】B

【分析】由全稱量詞命題的否定可得出結論.

【詳解】命題。是全稱命題，因為命題。:Vx20,e"21或sinxcl,

所以*N0,e"<1且sinx>1.

故選：B.

2.（24-25高三上?陜西西安?階段練習）若命題“五￡[0,3],一->0”為假命題，則實數〃的最小值是

（）

A.-1B.0C.1D.3

【答案】D

【分析】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，把命題轉化為命題“Vxe[0,3],x2-2x-a<0”為真命

題，分離參數轉化為在xe[0,3]上恒成立，構造函數求解最小值即可.

【詳解】因為命題“玄40,3],為假命題，

所以命題“Vx40,3],x?-2x-〃W0”為真命題，

即/一2無一aVO在xe[0,3]上恒成立，

即a2犬_2x在xe[0,3]上恒成立，

記〃X）=X2-2X,xe[0,3],則?！保?雙,

因為/（x）=x2-2x在[0,1]上單調遞減，在[1,3]上單調遞增，所以〃x）111ax=/（3）,

所以a23,所以實數。可取的最小值是3.

故選：D.

3.（24-25高三上?遼寧沈陽?開學考試）給出下列四個結論：

①“a>2”是“a>5”的充分不必要條件；

x

②若命題°:*20,2、=3,則-16Vx<0,2豐3；

③若xeR,則fw4是xw2的充分不必要條件；

④若命題q：對于任意xeR,/+2無一々>0為真命題，則。<一1

其中正確結論的個數為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷①③；利用存在量詞命題的否定判斷②；利用全稱量詞為真

求出。的范圍判斷④即可得解.

【詳解】對于①，。>2不能推出a>5,“0>2”不是“a>5”的充分不必要條件，①錯誤；

對于②,/：片3,②錯誤；

對于③，若//4，貝!Jxw2且xW-2，反之，x=-2,-2/2，x?=4成立，

因此f/4是xW2的充分不必要條件，③正確；

對于④，VxeR,x2+2x-tz>0odi<x2+2x,而-+2x=（x+1）2-12-1,貝!④正確，

所以正確結論的個數為2.

故選：B

4.（24-25高三上?福建龍巖?期中）命題Jxe[l,2],x2+lnx-2°40”為假命題，則實數”的取值范圍為（）

C.（-00,In2+2）D.（-00,In2+4）

【答案】A

【分析】存在性命題為假等價于"Vxw[l,2],x2+inx—2〃〉0”為真，應用參變分離求解即可.

【詳解】解：因為命題“HrM+E%—2。V0”為假命題

等價于"Vx￡[L2],爐+m%一2a>0”為真命題,

所以Vx￡[1,2],2a</+inx,

所以只需2。<（%2+山工）1nhi.

設f（x）=x2+lnx,xe[1,2],

則/（x）在工2]上單增，所以/⑴1nhi=1.

所以2a<1f即。<2.

故選：A

二、多選題

5.（24-25高三上?山東濟寧?階段練習）下列命題中，是真命題的有（）

A.五￡（—8,0）3>2、B.Vxe（o,+^）,3X>2X

C?3XG（0,1）,X3>D.VXG（1,+O?）,X3>

【答案】BD

i

【分析】AB選項，先得到312、的范圍，再用作商法比較大??；CD選項，先得到/€（0,1）,戶40,1），再

用作商法比較大小.

【詳解】A選項，xe（-8,0）3e（O,l）,2%（0,1）,}=（￡fe（0」），

故3，<2"，A錯誤，

B選項，xe（0,+co）,3x>1,2">1,=>1>故3*>2。B正確；

32

C選項，苫€（0,1）,工%（0,1）,戶€（0,1），且下=》2e（°』），故工3<[,c錯誤；

X2

3

1X-

D選項,x￡（1,+8）,%3￡￡（],+勿），且￡-X>1,故％3〉/1'D正確.

X2

故選：BD

題型07復數綜合運算

【解題規律?提分快招】

復數代數形式運算的策略

【典例訓練】

一、單選題

1.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中）復數z=2025-i2°25在復平面內對應的點所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根據虛數單位的乘方運算，可得其周期，結合復數的幾何意義，可得答案.

【詳解】由/=廿2=7,『=—孽4=11="且2025+4=506…1,Jil!!i2023=i1=i,

所以z=2025-i,可得其在復平面上對應的點為(2025,-1),即該點在第四象限.

故選：D.

2.(2024高三?全國?專題練習)己知*=l+i,則忖=()

z—1

A.V29B.5C.V2D.Vs

【答案】A

【分析】根據復數的乘法運算及復數相等的概念求解.

【詳解】設z=a+6i(a,6eR),貝丘一歷，

由2=l+i,得a+/"+l=i+i,即a+l+6i=(l+i)(a7_6i),

z-1a-bi-i

^Fj*以a+l+6i=a-l+b+(。-1-b)i,

所以忖=A/52+22=V29,

故選：A.

3.(24-25高三上?云南昆明?期中)歐拉公式/=cose+isine是由瑞士著名數學家歐拉創立，將其中的夕取

兀就得到了歐拉恒等式，數學家評價它是“上帝創造的公式”.已知復數z滿足匕卜;，則|z-e1的最大值為

()

153

A.-B.1C.—D.一

242

【答案】D

【分析】設2=》+4(。*€區)，由復數的幾何意義和模長公式可得|z-e[=6I],結合x的范圍，即可

得出答案.

【詳解】解析：設2=》+川36€11),貝！]

z-e171=x+yi-cos兀一isin兀=x+l+yi,

所以|z—+1++1)2+y2+1)?+7—f=J2x+—,

因為所以一gvxV；,

所以卜-町的最大值為3

2

故選：D.

二、多選題

4.（2024高三?全國?專題練習）已知4/2是關于x的方程--2x+機=0（meR）的兩根，則（）

A.Z[+Z2=2B.|zi|=|z2|

C.若%>1,則Z]=[D.若加>1,則z；+z；<2

【答案】ACD

【分析】計算△,確定小的范圍，分情況討論，根據韋達定理判斷A,B,D；由求根公式求出方程的根可

判斷C.

【詳解】關于x的二次方程/-2%+加=0,A=4-4〃?.

當機W1時，A>0,所以句/2eR,Z]+z2=2,=m,但㈤=團不一定成立.

當機>1時，A<0,馬/2是方程的兩個復數根，z1+z2=2,ZJZ2=加仍成立，此時㈤=㈤，故A正確，B錯

誤.

若機>1,方程，-2x+m=0的兩根為x=l土標萬i,所以4/2互為共朝復數，C正確.

若加>1,由于4+z2=2/仔2=%,所以z；+z；=（Z]+Zz）2-2平2=4-2加<2,D正確.

故選：ACD

5.（24-25高三上?江蘇?階段練習）已知z”Z2wC,下列說法正確的是（）

A.若㈤=歸|,則z；=z；

B.若2送2=0,則4/2中至少有一個為0

C.Z]Z|=|Z]「

D.若歸|=1也|=1,匕1一22|=1,則忖+匐=百

【答案】BCD

【分析】舉反例即可求解A,根據模長的性質即可求解BC,根據模長公式，即可求解D.

【詳解】對于A,若4=1心=i,滿足㈤=同,但z；=l,z；=T,故A錯誤，

對于B,由空2=0,則|平2|=0=>匕任2|=團匕2|=0=>㈤=0或㈤=0,故4/2中至少有一個為o,B正確,

對于C,ZjZ；=|zj2,C正確，

對于D,設Z]=a+6i,Z2=c+di,a,b,c,deR,^r

222222222

|zj=y]a+b=1,|z21=y/c+d=1,|z1-z21=^a-c^+（6-t/）=yla+b+c+d-2ac-2bd=1,故

2ac+2bd=1,|zj+z2|=++（1+d『=J/+/+?！?/+2ac+2bd=G，故D正確，

故選：BCD

?>題型通關?沖高考

一、單選題

2

1.(24-25高三上?重慶?階段練習)已知集合^={x|log2(x+l)<2),5={X|2X-5X-3<0},貝|A[\B=

()

A.x-5<xW3B.{x|-1<x<3}

C.D.{x|x<3]

【答案】C

【分析】先分別求解集合A和集合3,再找出它們的公共部分.

【詳解】由Iog2(x+D<2=log24可得x+l>0且x+l<4.

解尤+1>0得x>-l；解x+l<4得x<3.

所以集合4={x|-l<x<3}.

先對2X2-5X-3因式分解，得至!|3+1)(%-3)<0.

解得所以集合8={x|_gwx43}.

集合N={x|-l<x<3},集合8={x|_gwxV3}.

那么/c3={x|—己4_￥<3}.

故選：C.

2.(2024?山西長治一模)已知集合/={#2+2》一8<0},8={鄧|42},。=11,則圖中陰影部分表示的集

C.[-2,2)D.[-2,2]

【答案】A

【分析】解一元二次不等式及絕對值不等式求集合48,結合韋恩圖，根據集合的交集及補集運算可得結

果.

【詳解】因為A={x|x2+2x-8<0)={止4<x<2},8={x||x|<2)={x|-2<x<2),

圖中陰影部分表示的集合為：

=1x|-4<x<2}>2或x<-2)=1x|-4<x<-2},

故選：A.

3.(24-25高三上?江蘇蘇州?開學考試)已知i是虛數單位，5+7i=(l+i)z,則|z+l|=()

A.572B.歷C.6D.50

【答案】A

【分析】根據復數的除法運算求出復數z,即可求得z+l=7+i,根據復數模的計算公式，即得答案；另外

也可利用復數的模的性質，進行計算，求得答案.

八rn5+7i(5+7i).(l-i)12+2i/.

【詳解】由5+71=(1+1”可知2=---=-——―=--—=6+1,

1+1(l+i)-(l-i)2

所以z+l=7+i,則|z+l|=J72+F=5后.

另解：由5+7i=(l+i)z可知6+8i=(l+i)z+(l+i)=(l+i)(z+l),

10

故i6+8i|=|i+m+M，所以匕+1==5垃,

故選：A

4.(24-25高三上?上海奉賢?期中)設zeC,貝ljz+工eR是目=1的()條件

Z

A.充分非必要