第一章

概率統計基礎知識

北京理工大學珠海學院吳浩然第一頁，共62頁。第一章概率統計基礎知識概率基礎知識1隨機變量及其分布2統計基礎知識3參數估計4假設檢驗5第二頁，共62頁。

第一節概率基礎知識事件與概率1概率的古典定義與統計定義2概率的性質及其運算法則3第三頁，共62頁。1.事件與概率確定性現象隨機現象在一定條件下必然會發生的現象。【如】：水100oC沸騰。在一定條件下，并不總是出現相同結果的現象。【如】：（1）擲一枚硬幣，出現正面或反面？（2）一批產品中，不合格品的數量；（3）機械加工中出現的誤差；第四頁，共62頁。樣本空間隨機現象一切可能結果（樣本點）構成的全體，稱為樣本空間。【如】：（1）擲一枚硬幣。＝{正面，反面}；（2）一批產品中，不合格品的數量。＝{0，1，2，3，…}；第五頁，共62頁。隨機事件隨機現象的某些樣本點構成的集合，稱為事件，用大寫英文字母A、B、…、表示。表示。【如】：（1）擲一顆骰子，出現奇數點。

A＝{1，3，5}；第六頁，共62頁。事件之間的關系及運算若事件A發生必然導致事件B發生，則稱事件B包含事件A，記作。用圖形表示為：事件的包含AB擲一顆骰子，A表示點數為1，B表示點數小于3，則。例如第七頁，共62頁。若且，則稱事件B與事件A相等，記作。事件的相等擲一顆骰子，A表示點數小于3，B表示點數為1或2，則。例如第八頁，共62頁。若事件A與事件B同時發生，則為事件A與事件B的交，記作。用圖形表示：事件的交擲一顆骰子，A表示點數為1、2或3,B表示點數為1、3或5，則 表示點數為1或3。例如BA第九頁，共62頁。兩個事件A，B中至少有一個發生，即“A或B”是一個事件，稱為A與B的并（和），記作。用圖形表示：事件的并A={1,2,3},B={1,3,5}，則＝{1,2,3,5}。例如AB第十頁，共62頁。事件的差事件A發生而事件B不發生，稱為A與B的差，記作A－B

。用圖形表示：ABA={1,2,3},B={1,3,5}，則A－B＝{2}，例如第十一頁，共62頁。概率事件A發生可能性的數量指標，以P(A)表示。【如】：1.如果一個骰子是公平的，則擲一次骰子會以等可能(概率1/6，6種可能之一)得到1至6點的中的每一個點。2.拋一個公平的硬幣，則以等可能(概率1/2)出現正面或反面。定義第十二頁，共62頁。2.概率的古典定義與統計定義利用等可能事件，P(A)＝k/n，其中k為事件A的樣本點數目，n為的樣本點數目。【如】：1.如果一個骰子是公平的，則擲一次骰子會以等可能(概率1/6，6種可能之一)得到1至6點的中的每一個點。2.拋一個公平的硬幣，則以等可能(概率1/2)出現正面或反面。概率的古典定義第十三頁，共62頁。

性質；；；；；3.概率的性質及其運算法則第十五頁，共62頁。條件概率及概率的乘法法則在事件B已發生的條件下，事件A發生的概率，稱為事件A在給定B下的條件概率，記作P(A|B)。其中：P(A|B)＝條件概率擲一顆骰子，事件A表示點數為3，事件B表示點數為6，則P(A|B)表示第一次骰子的點數為6，第二次點數為3的概率。例如第十六頁，共62頁。獨立性和獨立事件的概率如果事件A和事件B有如下關系：則稱事件A和事件B相互獨立。定義如果你有一個固定電話和一個手機，假定固定電話出毛病的概率為，而手機出問題的概率為，則，兩個電話同時出毛病的概率是多少呢？例如第十七頁，共62頁。

第二節隨機變量及其分布隨機變量1隨機變量的分布2隨機變量分布的均值、方差3常用分布及中心極限定理4第十八頁，共62頁。1.隨機變量表示隨機現象各種結果的變量，一般大寫英文字母X、Y、Z表示。隨機變量拋一枚硬幣，X表示正面出現的次數，它是隨機變量，可取0或1兩個值。例如第十九頁，共62頁。2.隨機變量的分布隨機變量取一切可能值的概率稱為概率分布(probabilitydistribution)，簡稱分布。概率分布可以用各種圖或表來表示；一些可以用公式來表示。定義擲一顆骰子，隨機變量X表示出現的點數，X可取1、2、3、4、5和6六個值，則X的分布為：X123456

P1/61/61/61/61/61/6例如第二十頁，共62頁。離散型隨機變量的分布如果隨機變量X只取有限個或可列個可能值，而且以確定的概率取這些不同的值，則稱X為離散型隨機變量。一般列成概率分布表：

X

x1x2…xk

…Pp1p2…pk

…

定義1.2.性質第二十一頁，共62頁。一批產品的廢品率為5％，從中任意抽取一個進行檢驗，用隨機變量描述廢品出現的情況。解：用X

＝1表示產品為廢品，X

＝0表示產品為合格品。則：

X

0

1

P例如第二十二頁，共62頁。連續型隨機變量的分布隨機變量X如果能夠在一區間內取任何值，則該變量稱為在此區間內是連續的，其分布稱為連續型概率分布，用密度函數表示。定義第二十三頁，共62頁。逐漸增加矩形條數目的直方圖和一個形狀類似的密度曲線。第二十四頁，共62頁。3.隨機變量分布的均值、方差均值用來表示分布的中心位置，用表示。其中如：

X

0

1

P均值，離散分布，連續分布第二十五頁，共62頁。方差用來表示分布的離散程度，用表示。其中如：

X

0

1

P方差，離散分布，連續分布第二十六頁，共62頁。（1）（2）（3）（4）均值、方差的性質第二十七頁，共62頁。4.常見的離散分布如果隨機變量X的密度函數為：X

0

1

Pp1-p則稱隨機變量X服從二項分布，記為：其均值、方差分別為：、二項分布1.每一個進入某商場的顧客是否購買某商品；2.每一個新出嬰兒的性別；應用第二十八頁，共62頁。如果隨機變量X取

x的概率為：

則稱隨機變量X服從泊松分布，記為：其均值、方差分別為：、泊松分布1.在一定時間內，操作系統發生的故障數；2.一平方米玻璃上氣泡的個數；應用第二十九頁，共62頁。常見的連續分布如果隨機變量X的密度函數為：則稱隨機變量X服從正態分布(normaldistribution)，記為：正態分布第三十頁，共62頁。正態分布的曲線及性質（1）標準差不變，不同的均值，正態分布曲線的形狀相同，位置不同；均值不變，不同的標準差，正態分布曲線的位置相同，形狀不同；（2）（3）正態分布曲線第三十一頁，共62頁。其它連續分布如果隨機變量X的密度函數為：則稱隨機變量X服從均勻分布，記為：其均值、方差分別為：均勻分布均勻分布密度函數曲線第三十二頁，共62頁。如果隨機變量X的密度函數為：則稱隨機變量X服從指數分布，記為：其均值、方差分別為：指數分布指數分布的密度函數曲線（0，0）第三十三頁，共62頁。中心極限定理

不論總體服從何種分布，只要樣本容量足夠大，樣本均值的分布都大致服從正態分布：第三十四頁，共62頁。

第三節統計基礎知識總體與樣本1直方圖2統計量3抽樣分布4第三十五頁，共62頁。1.總體與樣本總體：研究對象的全體；個體：構成總體的每個單位；總體與個體某飲料生產企業用自動罐裝機罐裝飲料，每罐標準含量為500ml，為保證產品的穩定性，需要每隔一定時間檢查每罐飲料的含量情況。總體：某一批飲料；個體：該批中每一罐飲料；例如第三十六頁，共62頁。從總體中抽取部分個體所組成的集合。如：某飲料生產企業用自動罐裝機罐裝橙汁飲料，每罐標準含量為500ml，為保證產品的穩定性，需要每隔一定時間檢查每罐飲料的含量情況。現抽得10罐，測得其含量為(單位:ml)495,510,498,503,492,502,505,512,497,506。樣本：10罐飲料的含量。樣本第三十七頁，共62頁。2.直方圖2007年某地區農村居民家庭純收入數據按純收入分組（元）戶數比重（%）500以下500~10001000~15001500~20002000~25002500~30003000~35003500~40004000~45004500~50005000以上2.2812.4520.3519.5214.9310.356.564.132.681.814.94頻數（頻率）表第三十八頁，共62頁。2007年某地區農村居民家庭純收入1000500←15002000250030003500400045005000→結論：收入較少的家庭占據多數，而收入較高的家庭則占少數。

純收入(元)252015105戶數比重(%)直方圖：1.用于表示連續性變量的頻數（頻率）分布；

2.橫軸表示分組，縱軸表示頻數或頻率。第三十九頁，共62頁。3.統計量不含總體未知參數的樣本函數稱為統計量。如：某飲料生產企業用自動罐裝機罐裝橙汁飲料，每罐標準含量為500ml，為保證產品的穩定性，需要每隔一定時間檢查每罐飲料的含量情況。現抽得10罐，測得其含量為(單位:ml)495,510,498,503,492,502,505,512,497,506。統計量第四十頁，共62頁。描述樣本集中位置的統計量（1）樣本均值：

設樣本數據為：x1，x2，…，xn

，樣本均值的計算公式為：（2）中位數：樣本數據排序后，處于中間位置上的值，用Me表示；（3）眾數：樣本數據中出現次數最多的值，用Mod表示；第四十一頁，共62頁。描述樣本分散程度的統計量（1）極差：樣本數據中的最大值與最小值之差：

R=max(xi)-min(xi)（2）方差與標準差：（3）變異系數：用于對不同總體或同一總體不同量綱數據離散程度的比較，目的是消除數據水平高低和量綱的影響；

第四十二頁，共62頁。4.抽樣分布抽樣分布某個樣本統計量的抽樣分布，從理論上說就是在抽取容量為n的樣本時，由每一個樣本算出的該統計量數值的頻數分布或概率分布。第四十三頁，共62頁。重復抽樣分布

樣本均值的分布一個總體5，8，7，4。對該總體進行容量為2的重復抽樣，則樣本個數有16個，如下表所示：5874556.564.586.587.56767.575.544.565.54第四十四頁，共62頁。樣本均值的頻數分布表第四十五頁，共62頁。樣本均值的直方圖第四十六頁，共62頁。中心極限定理

不論總體服從何種分布，只要樣本容量足夠大，樣本均值的分布都大致服從正態分布：中心極限定理第四十七頁，共62頁。三大抽樣分布t分布0分布密度曲線第四十八頁，共62頁。分布分布的密度曲線第四十九頁，共62頁。F分布分布密度函數曲線第五十頁，共62頁。

第四節參數估計點估計1區間估計2第五十一頁，共62頁。參數估計某企業某天生產了6000個燈泡，從中抽取10個進行壽命測試，得到的數據如下：(單位：小時)1050108011001030112012001210113011701040

問：該天生產的燈泡平均壽命大約是多少？引例第五十二頁，共62頁。

根據樣本統計量估計總體的未知參數，這類問題稱為參數估計。定義

點估計：以樣本的某一函數值作為總體中未知參數的估計值。

區間估計：依據樣本把總體的參數確定在某一范圍內，要求它以足夠大的概率包含待估參數真值。兩種方法第五十三頁，共62頁。1.點估計-矩估計法利用樣本的數字特征作為總體數字特征的估計，即用樣本的均值

估計總體的均值

，用樣本的方差

估計總體的方差

，其中：定義第五十四頁，共62頁。某企業某天生產了6000個燈泡，從中抽取10個進行壽命測試，得到的數據如下：(單位：小時)1050108011001030112012001210113011701040

請用矩估計法估計該天生產燈泡的平均壽命。

解：樣本的平均壽命：

所以，該天生產燈泡平均壽命的矩估計量為1113小時。例第五十五頁，共62頁。2.區間估計

依據樣本把總體的未知參數確定在某一范圍內，要求它以足夠大的概率包含待估參數真值。區間估計區間總體未知參數區間下界區間上界第五十六頁，共62頁。