基于數學史的小數概念教學策略研究摘要：近年來，廣大教師正逐漸意識到數學史獨特的教育價值，并將數學史融入到課堂教學當中，這有助于激發學生對數學學習的興趣、拓寬學生知識視野以及發展數學核心素養。本研究通過在維普、萬方、知網等數據庫中檢索數學史主題相關研究發現，目前在小學階段關于數學史融入課堂教學的研究較少，在小數知識教學方面更是少之又少。因此本文旨在研究如何有效地將數學史料融入小數概念教學，發揮數學史獨特的教育價值。本研究采用文獻分析法、問卷調查法、訪談法及直接觀察法，對H市L小學的五年級進行數學史融入小數概念教學現狀調查，對收集到的數據進行分析發現該校數學史融入小數概念教學存在著融入數學史料內容單一、融入數學史料方式單一和融入數學史料時機不當的問題。為了能夠提出對存在問題具有針對性的解決策略，本研究對現存問題做了歸因分析，并得出產生問題的原因有教師數學史知識匱乏、教師融入數學史的教學設計能力欠缺以及教育考評功利性取向突出。基于這三點原因，本研究從教學設計、教學實施和教學反思三個方面提出了基于數學史的小數概念教學策略，主要包括教師在進行教學設計時需要對小數的史料內容進行篩選并選擇合適的方式融入；在教學實施時需要靈活選擇四個融入小數史料的時機；課后及時對課堂教學進行反思并積極參與數學史融入小數概念教學主題的教研活動，共享教學經驗。為廣大一線教師開展數學史融入小數概念教學課堂提供參考與借鑒。關鍵詞：數學史；小數；概念教學；教學策略目錄TOC\o"1-3"\h\u29648緒論 緒論一、研究依據（一）理論依據義務教育課程是我國制定教育目標、教育內容和教學基本要求的基礎，在立德樹人的過程中起著巨大作用。數學課程標準指導著數學教學，我國從2001年至2022年，已經實施了三版義務教育數學課程標準，三版課標都對數學史相關內容進行了闡述。在第一版數學課標中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（實驗稿）.[S].北京：北京師范大學出版社，2002：63，78-79，98-99.中，三個學段的“課程實施建議”部分都有提到要向學生介紹有關知識的數學背景內容”，并從“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”這幾個方面列出每一學段可融入的相關數學史料。2011年版數學中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）.[S].北京：北京師范大學出版社，2012：59-66.課標也同樣在“課程實施建議”部分提出“在教學中適時地給學生介紹有關背景知識，包括數學發展史的相關材料以及在數學在社會中的應用”等與數學史相關的內容。而2022年版新課標中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）.[S].北京：北京師范大學出版社，2022：1，95.則在“教材編寫建議”這部分內容中提到“教材中應含有介紹數學知識發展歷程、數學歷史文化等介紹在數學發展過程中的偉大數學家，以及他們所創造的數學成就在人類文明發展過程中所產生中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（實驗稿）.[S].北京：北京師范大學出版社，2002：63，78-79，98-99.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）.[S].北京：北京師范大學出版社，2012：59-66.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）.[S].北京：北京師范大學出版社，2022：1，95.“小數的意義”的學習在數的概念建立中十分重要，數系的每一次擴充學習都會不斷拓展學生的知識體系。高年級段的小學生的思維正處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過度的時期，此時學生注意力的集中時間較短，對于數學知識的理解是片面的，對于新知識的學習，需要教師將抽象的概念直觀形象地展示給學生，而數學史融入小數概念教學能夠幫助教師將小數概念由“未知抽象”的轉化為“直觀形象”的狀態，讓學生通過閱讀歷史故事等教學方式激起學生對數學學習的興趣，進而幫助學生更好地理解小數知識的本質，促進學生對數學知識和思想方法的掌握。（二）現實依據目前數學史融入數學教學還存在許多不足，比如因為受到傳統應試教育的影響，大部分數學教師在教學的過程中容易忽略對學生數學探究能力的培養，重結果輕過程，過分重視數學的工具性價值，這就導致了學生對于數學的文化價值理解程度不高，久而久之學生探索數學相關知識的主動性就會減少。對于教師本身而言，將數學史融入數學教學實踐中存在較大的難度，因為教學時間有限，教學任務重，大部分教師在完成日常教學工作后并沒有多余的時間去尋找、整理相關的數學史料。再者教師本身的數學史料儲備不足，對數學史的發展過程認識有限。因此，將數學史融入小學數學教學需要作出進一步的研究。二、研究意義（一）理論意義本研究通過在中國知網上輸入“數學史”進行主題檢索，并對搜索結果進行分析，去除相關會議、報紙、圖書等，共檢索到相關文獻2317篇.在2317篇文獻中，研究數學史融入中等教育的研究有1396篇，占比約60.3%，而研究數學史融入小學數學教學的研究有333篇，占比只有14.4%。由此可見，數學史融入數學教學的相關研究大都是針對初高中階段，對于小學階段的數學史教學研究較少。在現有333篇數學史融入小學數學教學的研究中，大多都是圍繞數學史融入數學教學的現狀以及數學史融入教學的策略展開，而對于某一個知識點或者某個單元的數學史教學研究占少數。因此，本研究以“小數”的概念作為基點，探究發掘有關小數的歷史內容，結合相關史料，研究當前數學史融入小數概念教學的現狀并提出根據現狀提出相應的策略。本研究能夠為小學數學教師將數學史料融入小數概念教學提供參考，也能完善和豐富數學史融入小學數學教學的理論研究。（二）現實意義近年來，越來越多的一線教師關注到數學史料在數學教學中的教育價值，并嘗試將數學史融入到數學的教學中。但是在實際教學中，將數學史融入小學數學教學的過程存在著許多問題。因此，本研究通過分析當前基于數學史的小數概念教學，找到數學史融入數學教學存在的問題并提出相應的解決方法，夠為廣大教師在進行這一方面的教學設計時提供思路，進而達到更好的教學效果。另一方面，還能讓學生通過了解數學的發展歷史，充分理解所學的知識內容，激發學生的數學探究能力。三、文獻綜述（一）國外研究現狀近年來，數學史融入教學受到了越來越多學者的關注，也被更多的國家認可。本研究通過大量查閱中國知網等數據庫中的相關文獻資料，將國外有關數學史的研究現狀分為數學史的教育價值、數學史融入數學教學的方法以及數學史融入數學教學的模式三方面進行闡述。1.關于數學史的教育價值研究英國數學史家弗維爾在《Usinghistoryinmathematicseducation》中從學生學習的興趣和自信心上提出數學史的教學價值FauvelJ.Usinghistoryinmathematicseducation[J].FortheLearningofMathematics，1991，11(2):3-6.，列舉了15條數學史對于數學教學的意義，其中包括：激發學生學習動機、重塑數學觀、體現數學多元文化路徑、FauvelJ.Usinghistoryinmathematicseducation[J].FortheLearningofMathematics，1991，11(2):3-6.弗維爾只是列舉出了數學教學中運用數學史的15條理由，并沒有對其進行清晰明了的分類。在此基礎上，塔納克斯（Tzanakis）和阿克維（Arcavi）TzanakisC，ArcaviA.Intergratinghistoryofmathematicsintheclassroom:ananalyticsurvey.In:Fauvel&J.vanMaanen(Eds.)HistoryinMathematicsEducation.Doedrecht:KluwerAcademicPublishers，2000:201-240.采用分類法從數學學習、數學的本質、教師知識、數學情感與態度、數學文化活動五個維度提出了數學史具有的教育價值。從數學學習維度來看，學生通過學習數學史知識能夠了解知識的具體發展脈絡，從源頭認識數學知識；從數學本質維度來看，數學史有助于學生了解數學知識的演變過程；從教師知識維度來看，教師能夠通過知識相關數學史預測學生在學習的過程中可能遇到的困難；從數學情感與態度來看，學生學習相應的數學史知識能夠體會到數學家們堅持不懈、勇于創新的精神；從數學文化活動維度來看，數學史能夠讓師生了解數學知識與社會文化之間的聯系和影響TzanakisC，ArcaviA.Intergratinghistoryofmathematicsintheclassroom:ananalyticsurvey.In:Fauvel&J.vanMaanen(Eds.)HistoryinMathematicsEducation.Doedrecht:KluwerAcademicPublishers，2000:201-240.Tzanakis和Arcavi將弗維爾列舉出的15條理由以5個維度進行了分類，而Gulikers和BlomGulikersI，BlomK.‘Ahistoricalangle’:Asurveyofrecentliteratureontheuseandvalueofhistoryingeometricaleducation.EducationStudyinMathematics，2001，47(2):223-258.在分類的基礎上，又從文化、動機、概念視角三方面將數學史的教育作用細分為對教師和學生的價值。從文化角度來看，數學史的教育作用有：教師更好地引導學生感受數學與其它領域的關系（教師層面）、幫助學生理解數學知識在社會發展中的作用（學生層面）等；從動機角度來看，數學史的教育作用有：得到有效的數學史材料，激起教師的教學熱情（教師層面）、改變學生對數學的態度和情感（學生層面）等；從概念角度來看，數學史的教育作用有：數學史指導教師進行教學設計（教師層面）、經歷古今不同方法的比較，發展GulikersI，BlomK.‘Ahistoricalangle’:Asurveyofrecentliteratureontheuseandvalueofhistoryingeometricaleducation.EducationStudyinMathematics，2001，47(2):223-258.美國瓊斯JonesPS.Thehistoryofmathematicsasateachingtool.[J].MathematicsTeacher，1957，50(1):58-64.從學生角度、教學工具、教學素材、教學導入、教學意義五個方面提出了數學史的教育作用，主要包括為教師提供可參考的教學素材、是教師改進教學的工具、教學時能使學生得到心理安慰、導入時借助數學史引入話題、能澄清教學意義、揭示教學本質等JonesPS.Thehistoryofmathematicsasateachingtool.[J].MathematicsTeacher，1957，50(1):58-64.2.關于數學史融入數學教學的方法研究數學史料的處理和運用是數學史融入教學的首要問題。Tzanakis和Arcavi將融入教學中的數學史料歸納為三類：第一類是直接選取原始文獻中的內容作為教學資料；第二類是經過他人或教師自身解釋甚至重構歷史的二手材料；第三類是從原始材料和二手材料中提煉得到的教學材料。對于數學史料的處理和運用，JahnkeJahnke，H.N.TheHistoricalDimensionofMathematicalUnderstanding:ObjectifyingtheSubjective.[R].Proceedingsofthe18thInternationalConferenceforthePsychologyofMathematicsEducation.Lisbon:UniversityofLisbon，1994.提出要使用普通的思想來描述并運用原始材料。而Furinghetti和PaolaFuringhetti，F.&Paola，D.HistoryasaCrossroadsofMathematicalCultureandEducationalNeedsintheClass-room.[J].MathematicsinSchool，2003，32(1):37-41.直接指出要研究原始文獻挑選出歷史片段進行教學，適當選取，而不是直接運用原有的歷史材料。Furinghetti提出了為篩選歷史材料為課堂教學服務的方法：首先，瀏覽與所教授知識相關的數學史的文本資料；其次，教師挑選出需要在課堂上向學生介紹的歷史片段；再次，對原始文獻Jahnke，H.N.TheHistoricalDimensionofMathematicalUnderstanding:ObjectifyingtheSubjective.[R].Proceedingsofthe18thInternationalConferenceforthePsychologyofMathematicsEducation.Lisbon:UniversityofLisbon，1994.Furinghetti，F.&Paola，D.HistoryasaCrossroadsofMathematicalCultureandEducationalNeedsintheClass-room.[J].MathematicsinSchool，2003，32(1):37-41.在對數學史料合理選取的處理的基礎之上，國內外學者通過理論結合實踐，總結產生了多樣的數學史融入課堂教學方式。BidwellBidwell，J.K.:‘Humanizeyourclassroomwiththehistoryofmathematics’.[J].MathematicsTeacher，1993，86(6)，461-464.提出了三種運用數學史的方式：一是在課堂上給學生介紹數學家的趣聞軼事，這樣能夠快速地將學生的注意力放到課堂當中，激起學生學習數學的興趣；二是在進行授課過程中結合歷史資料Bidwell，J.K.:‘Humanizeyourclassroomwiththehistoryofmathematics’.[J].MathematicsTeacher，1993，86(6)，461-464.Fauvel在《數學教學中運用數學史》概括出比較系統的數學史應用方法：第一種是直接介紹相關數學歷史的直接介紹法，第二種是以歷史為線索，結合具體教學內容，啟發學生探究的歷史啟發法；第三種是借助數學知識在社會中的文化背景發展學生數學意識的發展意識法。此外，國外學者FriedFried，M.N.CanMathematicsEducationandHistoryofMathematicsCoexist.[J].Science&Education，2001，10(4):391-408.從數學史是否影響了教學內容的呈現方式出發，提出了“加法式”和“適應式”。運用“加法式”開展數學史教學并沒有使教學內容的呈現方式有任何改變，只是對現有教學內容進行補充；而借助“適應式”進行數學史融入教學改變了教學內容的呈現方式，但實際上也沒有增加Fried，M.N.CanMathematicsEducationandHistoryofMathematicsCoexist.[J].Science&Education，2001，10(4):391-408.JankvistJankvist.U.T.ACategorizationofthe“Why”and“how”ofUsingHistoryinMathematicsEducation.[J].EducationalStudiesinMathematics，2009，71(3):235-261.根據歷史材料使用的程度，提出了另外三種方法Jankvist.U.T.ACategorizationofthe“Why”and“how”ofUsingHistoryinMathematicsEducation.[J].EducationalStudiesinMathematics，2009，71(3):235-261.3.關于數學史融入數學教學的模式研究新概念的導入是數學史融入課堂教學的有效途徑，國外學者GarbinerGarbiner，J.V.TheChangingConceptofChange:TheDerivativefromFermattoWeierstrass.[J].MathematicsMagazine，1983，56(4):195-206.從歷史的角度出發，通過分析導數概念的四個發展階段，即導數最先以例子的形式出現，用于解決一些比較特殊的問題；在解決問題時，識別出隱藏在這個過程中所蘊含的思想方法，進一步促進微積分的發明；接下來，導數的許多性質通過在數學和物理領域的應用中得到了相應的解釋與發展；最終在一個嚴密的理論基礎之上，得出了導數概念的定義。Garbiner建立了“運用——發現——探索——定義”的Garbiner，J.V.TheChangingConceptofChange:TheDerivativefromFermattoWeierstrass.[J].MathematicsMagazine，1983，56(4):195-206.數學史的融入要通過開展課堂教學活動才得以實現，Furinghetti針對教學活動設計提出了一個數學史融入課堂教學的模式，即了解史料內容→選擇合適話題→分析課堂需要→設計課堂活動→實施教學計劃→評價課堂活動。該模式以歷史背景和課堂需要為基礎較全面地總結出教學準備、實施和評價等多環節。運用該模式進行教學，需要注意以下幾個方面的問題：首先歷史材料內容的選擇要符合學生的認知發展特點，并與所講授知識點相符；其次課堂活動的制定要考慮到活動的目的和背景，以及方法的可行性。（二）國內研究現狀我國在數學史方面的研究與國外相比較晚，隨著近年來國外在數學史領域的研究快速發展，國內越來越多的學者也在數學史的相關方面進行了一系列的研究。本文將國內數學史研究現狀分為數學史的教育價值、數學史融入數學教學的方法以及數學史融入小學小數概念教學三個部分進行闡述。1.關于數學史的教育價值研究本研究對國內數學史教育價值相關文獻的閱讀并分析，發現大部分學者對數學史的教育價值秉持著肯定的態度，學者們對于數學史的教育價值各自持有不同的觀點，總的來說可以分為智育、德育以及美育三種視角。從智育價值的視角來看，又可以將數學史的智育價值分為對教師的價值和對學生的價值兩個層面。在教師的層面上，汪曉勤認為教師可以借助運用數學史得到引入數學新知識的動力汪曉勤，徐章韜.HPM教育價值剖析及應用取向的深度挖掘[J].數學教育學報，2016，25（06）：10-14.，從而豐富了教師的知識儲備和教學資源。教師通過應用數學史，以及對數學發生和發展過程的反思，能夠選擇更合適自身的教學策略，從而達到讓學生改變接受和了解數學的方式；汪曉勤在《數學史與數學教育》中提出汪曉勤.HPM:數學史與數學教育[M].北京：科學出版社，2017：16-37.：學生在學習過程中有可能會出現當時數學家們在探索知識時所遇到的認知障礙，因此教師通過了解歷史上的重要節點內容可以預測學生在學習新知時會遇到的難題，進而幫助教師更好地制定教學重難點。楊渭清通過研究表明楊渭清.數學史在數學教育中的教育價值[J].數學教育學報，2009，18(04)：31-33.，數學史具有促進教師理解數學事實，形成良好的數學思想方法，擴大自身視野，從而更好地提高自身的專業素養的作用。在學生的層面上，李紅婷歸納出了六大數學史的教育價值汪曉勤，徐章韜.HPM教育價值剖析及應用取向的深度挖掘[J].數學教育學報，2016，25（06）：10-14.汪曉勤.HPM:數學史與數學教育[M].北京：科學出版社，2017：16-37.楊渭清.數學史在數學教育中的教育價值[J].數學教育學報，2009，18(04)：31-33.李紅婷.課改新視域：數學史走進新課堂[J].課程·教材·教法，2005，(09)：51-54.從德育價值的視角來看，學者駱祖英在《略論數學史的德育教育值》一文中曾指出駱祖英.略論數學史的德育教育價值[J].數學教育學報，1996(02):10-14.，數學史具有無法替代的德育價值。他認為，數學史在世界科技發展的歷史上占據著重要的地位，開展數學史教學有助于教師對學生進行愛國主義教育，能讓學生領略祖國的光輝，激發學生的民族自尊心和自信心；學生通過了解數學史中數學家們在探索知識的過程中不斷奮斗的故事，能夠領悟到數學家為真理而獻身的偉大人格和崇高精神。我國學者袁小明袁小明.論數學教育中歷史材料的應用[J].數學教育學報，1992，4(01)：119-123.、朱哲朱哲.基于數學史的數學教育現代化研究[D].浙江師范大學，2004.、范文貴范文貴.數學家的觀點對數學學習的啟示[J].數學教育學報，2007，(03)：17-20.等人也指出要多層次多樣化地選用歷史材料，通過介紹數學家的生平以及思想方法，激發學生的學習興趣，并借助數學家的榜樣力量激勵和啟發學生，引發學生自覺反思，有利于學生駱祖英.略論數學史的德育教育價值[J].數學教育學報，1996(02):10-14.袁小明.論數學教育中歷史材料的應用[J].數學教育學報，1992，4(01)：119-123.朱哲.基于數學史的數學教育現代化研究[D].浙江師范大學，2004.范文貴.數學家的觀點對數學學習的啟示[J].數學教育學報，2007，(03)：17-20.從美育價值的視角來看，數學史具有很獨特的美學意義和美學價值。涂榮豹在《數學教學認知論》中提到涂榮豹.數學教學認知論[M].南京師范大學出版社，2003：98-102.，要在教學過程設計與匯總呈現與教學相關的數學史料等，提高學生的審美情趣，讓他們感受數學獨特的美感和魅力。我國學者楊光和李琳認為涂榮豹.數學教學認知論[M].南京師范大學出版社，2003：98-102.楊光，李琳.淺析數學史在教學中的教育價值[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版），2014，27(12)：12-13.2.關于數學史融入數學教學的方法研究對于數學史的處理和運用，我國學者朱哲則認為可以將數學史料分成人物與事件、思想與方法、地位與作用、共性與區別這四種類型，由描述、操作和表達再到評價和比較折中分析層面，逐層遞進。將史料類型進行細致地劃分，一方面有助于教師在選擇數學史料時進行相應的取舍；另一方面，不同類型的材料應當以不同的形式呈現在數學課程中。在對數學史料合理選取和處理的基礎之上，我國學者蔡宏圣以具體的小學數學知識教學為例蔡宏圣.數學史：從象牙塔到小學課堂[J].課程·教材·教法，2009，29（02）：40-44.，分析了相關知識點所蘊含的發展歷史，提出了“鏈接式”和“融入式”。“鏈接式”指的是數學史存在于課堂教學要素之外的運用方式；反之，數學史稱為課堂教學要素，內化成蔡宏圣.數學史：從象牙塔到小學課堂[J].課程·教材·教法，2009，29（02）：40-44.張俊忠提出數學史融入教學有直接融入和間接融入兩類張俊忠.數學教育中數學史融入策略研究[J].中國教育學刊，2014（09）：79-82.。直接融入是指學生通過教師在課堂上張俊忠.數學教育中數學史融入策略研究[J].中國教育學刊，2014（09）：79-82.汪曉勤將直接融入和間接融入更細致地分成了多種方式汪曉勤，蒲淑萍.數學史怎樣融入數學教材：以中、法初中數學教材為例[J].課程·教材·教法，2012，32（08）：63-68.，他總結出了將數學史融入課堂教學的四種融入方式，即附加式、復制式、順應式、重構式，并強調融入應以重構式為主，要論述哪些內容哪些環節需要重構。這些融入方式只存在使用水平上的差異，無嚴格的優缺點之分，四種數學史融入教學的方式各有所長，教師在教學過程中配合使用能夠從不同層次和角度展示數學內容的歷史發展，進而更大程度的發揮數學史的汪曉勤，蒲淑萍.數學史怎樣融入數學教材：以中、法初中數學教材為例[J].課程·教材·教法，2012，32（08）：63-68.3.關于數學史融入小數概念教學的研究目前，我國在數學史融入小數概念教學領域的研究并不多。無論是“小數的認識”教學，還是“小數的意義”教學，大多數教師都選擇對小數知識內容進行重構后教學。例如萬立等人基于學生的認知序和歷史的發展序萬立，文萍，飛惠玲.在探究中創造，在創造中發現——融入數學史的“小數的認識”的教學[J].小學教學(數學版)，2020，4（04）:29-32.萬立，文萍，飛惠玲.在探究中創造，在創造中發現——融入數學史的“小數的認識”的教學[J].小學教學(數學版)，2020，4（04）:29-32.蔡宏圣也同樣運用重構方式，讓整數、分數、小數因為十進位值制和數的數數本質得到了聯結蔡宏圣.“小數的意義”教學的重構：數學史的視角[J].小學教學（數學版），2016，4（Z1）：46-50.蔡宏圣.“小數的意義”教學的重構：數學史的視角[J].小學教學（數學版），2016，4（Z1）：46-50.此外，崔婉婷基于三年級學生喜歡聽故事的特點崔婉婷.巧用數學史厘清數學概念——以“小數的初步認識”為例[J].天津教育，2021，4（03）：24-25.，借助我國數學家劉徽的故事引入，讓學生感受小數不是一開始就存在的，是數學家們在不斷地挖掘和探索才得以產生和發展的，這樣一來學生在了解小數知識本質的崔婉婷.巧用數學史厘清數學概念——以“小數的初步認識”為例[J].天津教育，2021，4（03）：24-25.而趙文靜認為可以從四個方面將數學史融入小數概念教學研究趙文靜.數學史融入小學數學“小數”教學的策略研究[D].紹興文理學院，2022.趙文靜.數學史融入小學數學“小數”教學的策略研究[D].紹興文理學院，2022.四、研究方法（一）文獻研究法利用百度百科、CNKI中國知網、萬方等數據庫，收集并整理與本論文研究方向相關的專著及文獻資料，了解近年來國內外對數學史融入課堂教學的研究趨勢以及數學史融入小數概念教學的研究現狀，為本研究的意義、概念界定提供理論依據，進一步確定本論文的研究方向。（二）問卷調查法本研究選取H市L小學在校的五年級學生作為這次的調查對象，通過對學生進行問卷發放及回收，運用SPSS整理并分析收集到的數據，了解學生對數學史的態度以及掌握程度，為本研究提供真實有效的數據支撐。（三）訪談法對H市L小學的五位數學教師進行訪談，了解一線教師對數學史融入教學的看法、教學策略以及發現當前數學史融入課堂教學存在的問題，分析產生問題的原因并提出相應的解決策略。（四）直接觀察法對H市L小學五年級的五節《小數的意義》課例進行聽課觀察，借助課堂觀察記錄表將課堂上教師的教學情況記錄下來，分析并了解教師將數學史融入小數概念教學的現狀，進一步為本研究提供真實有效的數據。五、研究思路本研究主要采用文獻調查法、直接觀察法、訪談法和問卷調查法。以H市L小學五年級的五個班級為例，對這五個班級的數學課堂中數學史融入小數概念教學進行相關研究。首先，通過梳理國內外對數學史的教育價值、數學史融入數學教學的方法以及數學史融入小數教學的相關文獻，了解有關數學史融入數學教學的研究現狀。其次，對這五個班級的小數概念教學課進行聽課觀察，在聽課前設計出相應的觀察量表，在觀察的過程中按照量表上的內容進行記錄。接著設計出對教師的訪談提綱以及給學生發放的調查問卷，進行數據的收集工作，待數據收集完成后，將收集到的數據和資料進行整理并分析，了解基于數學史的小數概念教學現狀，最后根據存在的問題提出基于數學史的小數概念教學的策略。六、概念界定（一）數學史數學史是研究數學發生發展及其規律的科學宋乃慶,蔣秋,李鐵安.數學史促進學生學習發展——基于小學數學課程的視角[J].自然辯證法通訊,2021,43(10):71-76.，簡言之數學史研究的就是數學的歷史。數學史不僅有著作為數學科學自身發展歷史的史學內涵，還包含了數學科學在演變過程中為人類社會文明發展所產生的影響的文化內涵。宋乃慶,蔣秋,李鐵安.數學史促進學生學習發展——基于小學數學課程的視角[J].自然辯證法通訊,2021,43(10):71-76.數學史的史學內涵共有兩層含義。其一，數學史的發展影響著科學史的進程。數學作為一門科學，數學史包含著其自身的起源以及漸進的歷史形態。其二，數學史作為一種學術領域。即人類通過考古研究、文獻整理等將可追溯的數學發展進程、數學成就、數學家的傳記等按史學體例編撰記錄。數學史的文化內涵主要是指數學史研究數學概念、數學思想的起源和發展，以及數學史與現代社會、政治、經濟和一般文化之間的聯系。本研究中的數學史主要是指數學知識的發展過程、數學家故事、數學思想方法、數學經典著作以及數學知識與社會之間的聯系。（二）小數將整數的十進制表示推廣到分數等非整數得到十進制小數，簡稱“小數”。它是\t"/item/%E5%B0%8F%E6%95%B0/_blank"實數的一種特殊的表現形式，所有的\t"/item/%E5%B0%8F%E6%95%B0/_blank"分數都能表示成小數。小數中的圓點被稱為\t"/item/%E5%B0%8F%E6%95%B0/_blank"小數點，它將小數的\t"/item/%E5%B0%8F%E6%95%B0/_blank"整數部分和小數部分分隔開來。其中整數部分是\t"/item/%E5%B0%8F%E6%95%B0/_blank"零的小數叫做純小數，整數部分不是零的小數叫做帶小數。例如0.8是純小數，1.5是帶小數。小數按照小數部分來劃分可以分成有限小數和無限小數，又可以將無限小數分成無限循環小數和無限不循環小數。例如，710=0.7為有限小數；116=1.8333333為無限小數。（三）數學概念教學數學概念教學的內容主要有數學定義、概念、定理和公理，目的是引導學生理解數學概念的本質，從而在已有的概念認知基礎上，對事物的本質進行歸納和總結，將新的數學概念認知結構內化到原有的認知結構中。數學概念教學包含了數學概念引入、新授、本質剖析、同化以及鞏固五個部分魏東.小學數學概念教學的現狀與策略研究——以重慶市H小學六年級為例[D].湖南師范大學,2020.。數學概念教學是數學教學中的一個重要部分，數學概念不僅僅是數學的基礎，還是學習后續數學知識的根基。魏東.小學數學概念教學的現狀與策略研究——以重慶市H小學六年級為例[D].湖南師范大學,2020.（四）教學策略教學策略是指在教師教學過程中為了實現教學目標而選取的一系列的教學方式和教學行為。在不同的教學條件下，教師所采用的方式方法不同。教學策略的制定和實施主要基于學生的身心特點和教師所設定的教學目標。因此教學策略具有較強的靈活性、綜合性和可操作性。第一章數學史融入小數概念教學理論基礎數學史融入小學數學教學的理論基礎主要有歷史發生原理、建構主義理論以及再創造理論。一、歷史發生原理將德國生物學家海克爾提出的生物發生定律，即“個體發育史重蹈種族發展史”遷移到小學數學教育當中能夠得出：“個體知識的發生過程遵循人類知識的發生過程”,也就是歷史發生原理。呂曉敏.數學史融入數學教學的實踐研究[D].青島大學,2022，15.呂曉敏.數學史融入數學教學的實踐研究[D].青島大學,2022，15.二、建構主義理論建構主義理論的核心是學生為中心，強調學生對知識的主動探索、主動發現以及對所學知識意義的主動建構。學生對小數知識的學習不是被動接受知識的過程，而是對所學知識進行自主建構的過程。即學生在原有認知的基礎上，建構起小數新知識的意義，并對已有經驗進行改造和重組趙文靜.數學史融入小學數學“小數”教學的策略研究[D].紹興文理學院,2022，趙文靜.數學史融入小學數學“小數”教學的策略研究[D].紹興文理學院,2022，16.三、再創造理論荷蘭教育家弗賴登塔爾提出的再創造教學理論認為，學習數學知識的核心是“數學過程的再現”，即把數學作為一項活動，對其進行闡釋和分析。NOTEREF_Ref2672\f\h⑦再創造的教學理論要求讓學生在學習的過程中體驗數學家是如何創造現有知識的，但并非讓學生簡單地重復這個過程，而是要在教師的引導下，學生就特定的數學主題進行實踐活動，進行“再發現”和“再創造”。所以根據再創造原理，教師結合學生的學情，將小數的歷史進行重構，按照知識的發展順序融入到小數的概念教學中，該任務并不僅僅是將知識傳授給學生，而是讓學生通過了解知識發展的歷程，自主構造數學現實，在此基礎上更好地掌握并運用數學知識。第二章小學數學中小數史料內容分解一、小學數學教材中小數的教學史料本研究中小數的概念教學主要指小學數學中“小數的意義”這部分內容的教學，而教材中含有的相關史料內容是教師在教學時融入數學史的主要來源。本研究通過整理并分析北師大版、蘇教版以及人教版三個版本的小學數學教材，發現三個版本教材中的小數史料都是以文字或圖片加文字的形式呈現出來的，并且都處于教材中“你知道嗎”板塊，給學生提供了了解數學歷史的材料。北師大版本教材中的小數知識分布在三上、四下以及五上這三個階段，其中在三上和四下的教學內容中涉及到了小數的歷史。在三上第八單元“認識小數”這一課時中提到了小數名稱的提出以及最早的小數表示方法，在四下第一單元“小數的意義和加減法”這一課時中提及了劉徽在《九章算術》中對徽數也就是小數的定義闡述，如圖2-1、2-2所示。圖2-1北師大版數學三年級上冊小數教學史料圖2-2北師大版數學四年級下冊小數教學史料人教版教材將小數的知識安排在三年級下冊、四年級下冊和五年級上冊，其中在三年級下冊第七單元“小數的初步認識”這一節內容中呈現了我國古代的小數表示方法以及西方數學家克拉維斯對小數的貢獻。在四年級下冊“小數的意義和性質單元中簡略地介紹了小數名稱的發展歷程，如圖2-3、2-4所示。圖2-3人教版數學四年級下冊小數教學史料圖2-4人教版三年級下冊小數教學史料蘇教版教材中有關小數的知識教學分布在三年級下冊和五年級上冊，但只有三年級下冊的第八單元“小數的初步認識”這一課時介紹了小數表現形式的發展過程，如圖2-5所示。圖2-5蘇教版數學三年級下冊小數教學史料本研究通過對三版小學數學教材中小數教學史料的梳理分析，發現這些史料基本上都位于“小數的初步認識”及“小數的意義”這兩節教學內容當中，并且大部分都是以圖文結合的形式，呈現在課時的正文或者練習之后。呈現的內容都是圍繞著小數名稱的發展過程、表示方法的演變以及我國或西方國家數學家對小數的貢獻。由此可見，雖然在教材當中小數的教學史料篇幅不長，但是能夠反映出我國對普及數學史文化的重視，讓學生不僅僅學習知識，更讓學生了解知識的來源以及發展。二、小數的由來及發展小數的概念起源于古代，小數的產生和發展是為了實際測量和操作整數。隨著社會的發展，人們在測量時需要更加精準的測量數量。起初，人們只能使用整數來表示數量，然后在整數后面附上“有余”、“有奇”等字樣來表明數量和實際數目的差異。房元霞.小數的起源與發展[J].中學數學雜志,2008,(06):65-66.隨著時間的推移，人們發現無法用整數來精確表示某些量，例如表示部分單位的長度、重量或時間。因此，小數作為整數的補充，應運而生。而小數的歷史又可以分成小數名稱的發展和小數記法的發展。房元霞.小數的起源與發展[J].中學數學雜志,2008,(06):65-66.（一）小數名稱的發展過程在公元一世紀，中國使用了丈、尺、寸、分、厘、毫的十進度量單位。公元三世紀，劉徽在注解《九章算術》時，在單位“豪”以下又增加了“秒”和“忽”兩個單位，他在計算中把“忽”作為最小的單位，對“忽”以下的那些沒有明確單位的數統稱為“徽數”。井蘭娟,潘麗云.數學史融入小學數學課堂教學的研究與實踐——以小數的初步認識為例[J].中小學數學(小學版),2019,(09):3-8.南宋著名數學家秦九韶在《數書九章》滕艷輝.以“無名”命“微數”——論中國十進制小數的起源與發展[J].遼寧師范大學學報(自然科學版),2010,33(03):311-315.中稱小數為“收數”，滕艷輝.以“無名”命“微數”——論中國十進制小數的起源與發展[J].遼寧師范大學學報(自然科學版),2010,33(03):311-315.公元十三世紀，朱世杰提出了“小數”這個名稱，他所編寫的《算學啟蒙》中有著以金求兩（一斤等于十六兩）的口訣：“一退六二五，二留一二五，三留一八七五，，十五留九三七五，”即116=0.0625，216=0.125，，（二）小數記法的發展過程數學史上最早的小數表示方法記述在南宋科學家何承天編寫的《宋書》律歷志部分，其中記載了大量像十一萬八千二百九十六二十五（1148296.23）、二百四十六十七（246.17）這種將小字附在整數位后面來表示小數的文字NOTEREF_Ref1296\f\h⑦。宋代數學家秦九韶用文字標記在籌算數碼的個位數上，以此將整數與小數部分明確地區分開。他用籌算將“三十二萬四千五百六步二分五厘”（324506.25步）記為如圖3-6所示。圖中的“余”字所起到的作用相當于現在的小數點，表示在該字后面的位數都是小數。圖3-6秦九韶籌算小數記法而元朝的劉瑾在其音樂著作《律呂成書》中，將“106368.6312”忽記為如圖3-7所示。他將小數部分寫得比整數部分低一格，以此將整數部分與小數部分區分開來。圖3-7劉瑾小數記法1585年，被西方稱為十進小數發明人的斯特文出版了《論小數》，他在這本冊子中詳細地介紹了小數的意義，并將小數推廣到各種算數運算當中。斯特文在最后一位整數的后面寫上一個圓圈，圈里寫一個“0”，在后邊的每一位小數之后都加上一個圓圈，依次在圈中寫上1，2，3，4，...，用來表示每個數字的位數。比如將28.435記作280413253或28，4’3’’5’’’。眭秋生.我國十進小數發展簡史[J].南京師大學報(自然科學版),1985,(02):91-95.但是這種表現方法過于繁瑣，將這種表現形式運用到算數當中無形之中增加了計算的難度，因此開始有數學家在探索更為簡便的表示方法。有的數學家用一條垂直線將整數與小數兩部分區分開，有得數學家選擇在小數部分下面畫一條橫線，等等。眭秋生.我國十進小數發展簡史[J].南京師大學報(自然科學版),1985,(02):91-95.直到1593年，德國數學家克拉維斯在其著作《代數學》中提出了將小圓點“.”作為分隔整數與小數的記號，也就是現代小數記法中的小數點，該表示方法在歐洲逐漸被采用。目前除了以中國、英國以及北歐為代表的以“.”作為小數點以外，還存在以德國、法國等國家為代表將“，”作為小數點。三、小數與社會的聯系小數在日常生活中占據著重要的地位，從購物時的價格、測量身高和體重、時間的表示等等，都離不開小數。小數的產生以及使用能夠將這些量的表示更為精確。小數在現代科技中發揮著至關重要的作用，無論是物理學、電子工程、計算機科學還是經濟學等領域，小數的精確計算都是不可或缺的。例如，在物理學中，小數的運用使得各種物理量的測量和分析更加精準；在電子工程中，小數的使用能夠將電壓、電流等物理量的表示更加準確；在計算機科學中，小數的計算是實現算法精確性的關鍵；在經濟學中，小數的使用使得金融數據的處理和分析更加高效。由此可知，小數的意義不僅僅是數學學科中的一個概念，更是人們日常生活中必不可少的一部分。隨著教育的發展，小數的教育也在全球范圍內得到了一定程度的推廣和實踐。同時，隨著科技的發展，電子設備和在線資源也應用于小數的教育實踐中。通過這些教育和實踐活動，小數的應用才得以在更加廣泛的領域中得到推廣和應用。第三章基于數學史的小數概念教學實施情況調查一、課堂觀察研究（一）觀察對象本研究對H市L小學的數學史融入小數概念教學情況進行課堂觀察，該校所用的數學教材是蘇教版，蘇教版中小數的概念教學內容安排在了五年級上冊，因此本研究選取H市L小學五年級的五節“小數的意義”課時進行聽課觀察。本研究在聽課觀察前設計相應的觀察記錄表，將五節小數概念教學課中教師對小數史料的教學情況記錄下來，再通過表格所記錄的內容來分析H市L小學課堂中將數學史融入小數概念教學的現狀。（二）觀察工具設計為了更好地將課堂中教師對數學史的運用情況，本研究設計了數學史融入小數概念教學課堂觀察記錄表，表中共有九項內容，分別是：教學班級、教學內容、授課教師、本節課中是否出現小數相關史料、數學史融入環節、數學史融入方式、數學史融入類別、數學史融入內容、以及數學史融入教學片段。此外，要將每一節課的教學情況完整的記錄下來需要借助一定的記錄設備，因此，在征得授課教師的同意下，本研究利用拍攝工具對五位老師的授課進行錄像保存，便于后期對課堂觀察記錄表的補充。（三）觀察結果分析1.數學史融入課堂情況分析本研究通過對五節“小數的意義”教學課觀察發現，其中五節課都融入了小數的歷史，可見H市L小學的教師注重于數學傳統文化的傳播，如表4-1所示。表4-1“小數的意義”教學中數學史融入情況授課教師授課班級授課內容本節課中是否出現小數相關史料鐘老師五年級（1）班小數的意義是陳老師五年級（2）班是肖老師五年級（3）班是續表4-1“小數的意義”教學中數學史融入情況授課教師授課班級授課內容本節課中是否出現小數相關史料李老師五年級（4）班是朱老師五年級（5）班是數學史料能夠將具體的數學知識與古代歷史結合起來，教師將富有生機的小數歷史知識融入到課堂教學中，能夠增加學生的學習趣味，有助于學生更深刻的理解小數知識并提高對數學知識的欣賞與感悟能力。2.數學史融入環節分析在五節“小數的意義”教學課中，有的老師選擇在導入環節融入小數的相關歷史發展來開展教學，有的老師則選擇在總結環節向學生講授小數的歷史知識來結束課堂，具體融入環節情況如表4-2所示。表4-2“小數的意義”教學中數學史融入環節授課教師數學史融入環節鐘老師總結環節陳老師導入環節、總結環節肖老師導入環節、總結環節李老師總結環節朱老師導入環節、總結環節從表中能夠看出，大部分教師都選擇在導入環節或者總結環節融入小數相關史料。在導入環節講授相關小數史料能夠吸引學生的注意，讓學生能夠及時的投入到課堂當中，同時也為接下來學生學習小數的意義做鋪墊。在課堂結尾處融入數學史，能夠拓寬學生的視野，提高學生對古時數學文化的感悟能力，從而樹立起學習數學的信心以及民族的自豪感。教師根據自身的教學設計，選擇不同的時機融入小數史料能夠對學生的數學知識學習產生不同的影響，進而幫助學生更好地理解小數的意義并合理的運用所學到的知識解決問題。3.數學史融入方式分析我國著名學者汪曉勤將數學史在數學教學中的運用方式歸為四類，即附加式、復制式、順應式和重構式汪曉勤.HPM視角下的小學數學教學[J].小學數學教師,2017,（Z1）:77-85.，如表4-3所示。汪曉勤.HPM視角下的小學數學教學[J].小學數學教師,2017,（Z1）:77-85.表4-3數學史融入數學教學的方式方式描述例子附加式展現有關的數學家圖片，呈現其背景故事，介紹相關數學定義、原理等的發展過程。向學生講述笛卡爾表示蒼蠅位置的故事、古人的結繩計數法、分數的產生等等。復制式直接采用歷史上的名題、解法和思路、定理的證明過程等。在教學兩位數乘法時，直接引入格子算法；在教學行程問題時，直接采用《計算之書》中的兩船相遇問題。順應式結合學生認知和教學內容以及歷史材料適當改編歷史名題。齊春燕和顧海萍齊春燕,顧海萍.“同底數冪的運算”：以重構和順應的方式融入數學史[].教育研究與評論（中學教育教學版）,2015，（03）:39-42.齊春燕,顧海萍.“同底數冪的運算”：以重構和順應的方式融入數學史[].教育研究與評論（中學教育教學版）,2015，（03）:39-42.重構式根據相關史料的發展過程重構知識的發生，引導學生經歷探究知識的過程。按照“品圓-畫圓-識圓-用圓”的順序重構圓的歷史；按照“質-量-關系”的順序再現角概念的歷史。五節“小數的意義”概念教學課中，五位老師選擇了其中的一種或兩種來進行小數歷史知識的教學，具體情況如表4-4所示。表4-4“小數的意義”教學中數學史融入方式授課教師數學史融入方式鐘老師附加式陳老師附加式、復制式肖老師附加式、復制式李老師附加式朱老師附加式從表中能夠看出，五位老師在教學中都運用了附加式來融入小數的相關歷史，而陳老師和肖老師還運用了復制式來開展小數的歷史知識教學。教師的教學理念、小數歷史知識儲備、教學資源、課時安排等都影響著教師在小數概念教學中選擇數學史的融入方式。這四種運用方式雖沒有嚴格的優缺點之分，卻存在著使用水平上的差異。附加式和復制式屬于較簡單的運用形式，對教師的數學史知識儲備情況要求也比較低，教師只需將數學史料直接呈現給學生再加上一定程度的講解就達到融入的目的，所以。而順應式和重構式的運用需要教師對講授的知識相關歷史精挑細選，將其根據歷史發展背景改變或重構后再應用于課堂，學生能夠經歷知識的建構過程，在獲得知識的同時也提高了感悟數學傳統文化的能力。4.數學史融入類別分析小數的歷史材料分為四大類，分別是數學人物故事、數學思想方法、小數知識的由來與發展以及小數知識與社會的聯系。五位老師融入的數學史類別如表4-5所示。表4-5數學史融入類別及具體內容授課教師數學史融入類型具體內容鐘老師小數知識的由來與發展通過微課視頻展示小數名稱的由來。陳老師數學人物故事、數學思想方法、小數知識的由來與發展引用華羅庚的名言：數是數出來的；十進制計數思想；微課視頻展示小數的產生。肖老師數學思想方法、小數知識的由來與發展十進制計數思想；微課視頻介紹小數名稱的由來與發展。李老師小數知識的由來與發展微課視頻呈現小數表示方法的發展歷程。朱老師數學人物故事、數學思想方法、小數知識與社會的聯系引用華羅庚的名言：數是數出來的；十進制計數思想；微課視頻介紹黃金分割率。鐘老師、陳老師、肖老師和李老師都將小數知識的由來與發展融入到課堂當中，除了李老師選擇向學生呈現小數表示方法的發展歷程外，其余三位老師都選擇了介紹小數名稱的由來。陳老師和朱老師通過引用數學家華羅庚的名言：“數是數出來的”來進行小數新知的講授。陳老師、朱老師利用十進制計數思想將小數與分數、整數連接起來。由此可見，教師在選擇小數歷史融入課堂教學時，更傾向于介紹小數的來源，即使是講授數學人物故事或者是利用十進制計數思想來引入小數的概念，也是為了揭示小數的本質，即為了小數的基礎知識教學而服務。對于小數歷史在人文方面的內容運用不足，例如小數知識與社會的聯系、數學家對小數知識的貢獻等深層次的歷史內容。教師更關注的是小數相關歷史在小數概念教學當中能夠起到讓學生更好地理解并運用知識的作用，而忽略了歷史知識的育人功能。5.數學史融入課堂教學片段分析本研究將五位老師在課堂上融入數學史的教學片段以實錄的形式做了記錄，便于深入分析五位老師融入數學史的教學情況。首先是鐘老師在教學過程中融入小數名稱由來的教學片段：師：同學們，我國是最早提出小數的國家，而最早提出“小數”這個名稱的是我國數學家劉徽，接下來讓我們一起走進數學家劉徽的世界。（播放微課視頻）你知道嗎？我國古代數學家劉徽早在1700多年前就開始使用小數，他在計算圓周率的過程中，用到尺、寸、分、厘、毫、秒、忽等7個長度單位；對于忽以下的更小單位則不再命名，而統稱為“微數”.在他對公元前1世紀的《九章算術》的注釋中，記述了一個1.355尺的直徑。《九章算術》本身已談到平方根和得到的非整數的解，即留有余數的計算結果。但劉徽并不滿足于余數，而以“微數法”進一步表示成一系列的十進制小數位。他說：“微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄之數，不足言之也。”通過演算可證明，劉徽的“微數法”與現代小數概念是一致的。其余四位老師與鐘老師融入小數歷史教學片段比較相似，陳老師和肖老師也是通過播放微課視頻的方式來介紹小數名稱的產生，其內容與鐘老師所播放的視頻內容沒有太大的區別，也是介紹了劉徽在《九章算術》中對“微數”的提出以及注解。而李老師則是將小數名稱的由來及發展以播放微課視頻的方式融入教學課堂，其教學片段如下：師：同學們，其實小數在1700多年前就已經產生了，但是一開始小數并不是用阿拉伯數字來表示的，同學們想不想知道古人是怎么表示小數的呢？生：想！師：那接下來我們通過一個視頻一起來了解一下小數的表示方法的發展過程。（播放微課視頻）你知道嗎？在我國古代，人們用低一格擺算籌的方法來表示小數，后來,又有人將小數部分的各個數字用圓圈圈起來,這么一圈,就把整數部分和小數部分分開了。有了阿拉伯數字后,先后出現了像這樣表示小數的方法.64.1264|12。在西方,小數出現很晚。直到十六世紀,法國數學家克拉維斯用小圓點“.”表示小數點,確定了現在表示小數的形式；不過還有一部分國家是用逗號“,”表示小數點的。例如:64.12表示成64,12。朱老師將小數知識與社會的聯系融入到課堂的總結環節，其教學片段如下：師：同學們，其實小數的誕生到目前為止已經經歷了四百多年，小數它不僅僅具備著我們這節課所學習的數學學科知識，它還存在著更為豐富的內涵，小數在我們的日常生活中扮演者非常重要的角色，大家知道我們平時在什么樣的情況會用到小數嗎？生1：去超市買東西的時候，有些商品的標價上面有小數。生2：測量身高的時候，會有小數出現，比如說一米五也就是1.5米。生3：測量體重的時候也會出現小數，比如66.6斤。師：是的，同學們所提到的這些場景都會有小數出現，接下來老師給大家介紹一個比較特殊的小數，讓我們一起來看看這個小數的特別之處。（播放微課視頻）你知道嗎？0.618是世界公認的最美小數，被古希臘美學家柏拉圖譽名為黃金分割率。意大利畫家達芬奇發現，如果按0.618：1來設計腿長與身高的比例，畫出的人氣身材最優美；建筑師們對0.618更是情有獨鐘，無論是古埃及的金字塔還是巴黎圣母院，這些建筑的構造都離不開黃金分割率；就連植物界也存在著黃金分割率，如果從一顆嫩枝的頂端往下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排布著。由此可見，哪里存在小數0.618，哪里就存在著閃閃發光的美。【分析】觀察了五節“小數的意義”概念教學課，本研究發現學生在一節課上保持了將近四十分鐘的專注之后，越靠近課堂的尾聲學生就會更加躁動，這時候老師以播放視頻的形式將小數的歷史呈現給學生，無論是介紹小數知識的由來或者是小數知識與社會的聯系，都能夠在一定程度上吸引學生的注意力，將學生迫切地想要下課的激動情緒安撫住。并且在總結環節融入數學史比在其它環節融入數學史所具有的優勢是有較大的時間彈性，也就是說，在確保教學任務完成的前提下，能夠給學生拓展了解小數的發展歷史；若教學時間緊張，剛好講完當堂課的教學內容，教師就不會再給學生們講解小數的相關歷史。但是在總結環節能夠有效地介紹小數歷史知識的時間很短暫，老師將歷史內容以視頻的形式播放結束后就匆匆結束課堂，學生無法得到充足的時間來閱讀史料、理解史料，這樣會使數學史的教學效果大打折扣。陳老師、肖老師和朱老師都在課堂的導入環節引入了十進制的計數思想，三位老師引用十進制計數思想的核心都是利用其計數特點來引導學生認識小數產生的本質，但是將其在課堂上呈現給學生的形式不同，三位老師的具體教學片段如下，首先是陳老師融入十進制計數思想教學片段：【教學片段一】師：著名數學家華羅庚說過：“數是數出來的。”同學們覺得這句話有道理嗎？生：有道理。師：我們數數有時一個一個的，當數量較多時，就可以十個十個、百個百個、甚至千個千個的數，個十百千都是我們以前學過用來數數的單位，咱們把它叫做什么呢？生：計數單位。師：沒錯，這個就是我們之前所學過的計數單位。當我們一個一個的數，數到了十就會怎么樣？生：往前進一。師：所以十個一就是一個百，那么十個十呢？生：十個十是一百。師：往下呢？生：十個百就是一千。師：就這樣滿十進一，不斷地數下去，能數到最大的計數單位嗎？生：不能。師：那有沒有最小的計數單位呢？生1：我認為個是最小的計數單位。生2：我認為沒有最小的計數單位，因為有比個位數還小的數。師：出現了不同的答案，那究竟有沒有最小的計數單位呢？讓我們帶著這個疑問再來數數，說不定數著數著就會有新的發現。這節課我們用數軸來數數，數軸的起點和終點分別表示了0和100，把數軸平均分成10段，那么一段的距離就代表著10。接著把0到10的這一段再平均分成十分，那么一小格就代表著1。現在同學們看這個點的位置，出現在了0到1之間，它會表示的是哪一個數呢？現在請同學們在探究單上分一分，找到這個小數，找到之后說一說你是怎么分的？為什么？【教學片段二】師：剛剛同學們都知道了0.1也就是十分之一，0.01也就是一百分之一，他們確實都是計數單位，而且都是在數小數時的計數單位。首先我們把1平均分成10份，找到了十分之一；把十分之一再平均分成10份，找到了一百分之一。更夠一直往下平均分，這樣就不存在最小的計數單位。所以同學們你們看，數字之間就是這么奇妙，一個十進制就把小數和整數緊緊聯系起來了。肖老師融入十進制計數思想教學片段如下：師：“數”起源于數，那怎么數數呢？今天老師就帶領大家返回遠古時代，一起來看看古人是怎么數數的？（播放視頻）古時候人們很喜歡打獵，可是那會阿拉伯數字還沒有誕生，他們就借助十根手指，用一一對應的方法記住自己所捕獲的獵物。成語“屈指可數”就是這樣得到的。可是捕獲的獵物越來越多，十根手指已經不夠數了，古人就想到了一個新的辦法，十根手指數完就在繩上打一個結，這樣一個結就代表了十只獵物。久而久之繩子上的結越來越多了，聰明的古人又想到了辦法，當繩子上的結到了十個的時候，就在另一根繩子上打一個大大的結，就這樣借助在繩子上打大小不一的結來計數。這就是古人類所發明的結繩計數法。師：看完視頻后，我們都知道古人在數數的時候已經知道了從一開始數起，然后滿了十個1就要打一個大大的結，這跟我們現在數數時遵循的什么原則是一樣的？生：滿十進一。師：沒錯，滿十進一原則。滿了十個一就打一個大的結來表示十個一；滿了十個十就又會打更大的結來表示十個十，也就是一個百。就這樣一直重復下去。師：在遠古時代的某一天，部落里來了九位客人，首領正好打了一只新鮮的獵物。于是他把這只獵物平均分成了10份，他拿出九份來招待客人，這個時候還剩下一份，他該怎么記錄下還剩的一份呢？生：可以用結繩計數法在繩子上打一個比表示1還小的結。師：那這個小結所表示的數字是什么？生：是十分之一。師：為什么？生：因為把一直獵物平均分成10份之后就可以用十分之一來表示每一份，剩下的一份也就是其中的十分之一。師：還能怎么表示？生：還能表示成0.1。師：那要是來了八位客人，還剩下兩份，對應的分數和小數應該是多少？生：十分之二和0.2。朱老師對十進制計數思想的融入教學片段如下：【教學片段一】師：同學們，數學家華羅庚對數的理解簡明深刻，他說數是數出來的。那數怎么數？數的是什么？讓我們帶著這兩個問題一起來數數。（課件呈現小方塊讓學生數）師：同學們你們數出來了嗎？這里有多少個方塊？生：6個。師：你們是怎么數的？生：一個一個數的。師：那我們數的是什么？生：數的是方塊的數量。師：換個說法，還可以說數的是計數單位。這里的計數單位是什么呢？生：是1。師：那我們接著看這里有多少個方塊？生：60個。師：你是怎么數的？生：先數一份有幾個，再數一共有幾份。師：也就是說你們這里是幾個幾個的數？生：十個十個的數。師：這里的計數單位也就是多少？生：計數單位是10.師：那我們十個十個的往下數，數了十個十就會數出多少個？生：一百個。師：我們剛剛在數數的過程中遵循了什么原則？生：滿十進一。師：在這里面最小的計數單位是多少？生：最小的計數單位是1.師：那有沒有最小的計數單位呢？生1：有。生2：沒有。師：那這節課我們就一起來探討這個問題。【教學片段二】師：我們剛剛通過將一個小方塊平均分成10份得到了小數0.1，又將0.1塊的小方塊平均分成10份，就得到了0.01。計數單位在小數當中，越往細了分，所得到的計數單位就越小，現在同學們認為存不存在最小的計數單位呢？生：不存在。【分析】從三位老師融入數學史的教學片段來看，教師融入十進制計數思想之后缺乏延續性，也就是說，三位教師通過十進制計數思想講授小數的意義之后并沒有深入探究其本質，呈現給學生的十進制計數思想處于比較淺的層次。三位老師都是先讓學生經歷從1數到10、再從10數到100、再從100數到1000的形式讓學生回憶起所學過的計數單位，并且都以及了“滿十進一”原則。但是陳老師和朱老師在讓學生通過思考有沒有最小的計數單位從而獲得小數的概念時，只是提到了將整數“1”平均分成10份，每份就表示十分之一，也就是0.1，以此類推能夠一直往下分所以不存在最小的計數單位，但是在整個教學過程中并沒有對學生所說的“平均分成10份”作出相應的提問或闡述。因為十進制計數思想的核心就是相鄰的兩個計數單位之間的進率是10，在計數單位“1”和計數單位“0.1”之間的進率也是十，所以要一定將“1”平均分成十份才能得到比“1”還小的計數單位，而不是分成8份、9份。肖老師所引用的“結繩計數法”的核心思想也是十進制計數法，肖老師并沒有帶領學生深入分析十進制計數思想的本質，學生只能根據教師所創設的情境“把一只獵物平均分成10份，其中的一份就是十分之一”從而得到0.1這個小數的概念。通過對H市L小學“小數的意義”概念教學的課堂觀察，能夠發現目前在課堂上基于數學史的小數概念教學存在的問題有教師數學史融入時機不當，大部分教師還是更傾向于在課堂結尾將小數的歷史知識簡單講解即可；數學史融入方式單一，教師都是選擇附加式和復制式將小數的歷史直接融入到課堂教學當中，沒有將小數的相關歷史知識進行適當的改編或重構再間接呈現給學生；數學史融入內容較少，教師還是更關注數學史對數學學科基礎知識的教育意義，所以在選擇小數史料時通常選擇的是小數名稱或表示方法的由來及發展，較少關注到小數知識與現實社會的深層聯系；數學史教學缺乏延續性，教師融入某種小數歷史后并沒有抓住時機進行深入探討，對數學思想方法的滲透不到位。因此，在這些問題下進行數學史融入課堂教學，會導致數學史的教學效果達不到預期效果，甚至微乎其微。二、教師訪談研究（一）訪談對象本研究選取H市L小學四位數學老師作為訪談對象，因為該校所使用的數學教材版本是蘇教版，而蘇教版中小數相關知識分布在三年級和五年級，所以選擇了兩名當前正在教授三年級的數學老師以及兩名教授五年級的數學老師。通過對四位教師的訪談來了解教師對于數學史融入小數概念教學的看法以及目前基于數學史的小數概念教學存在什么樣的問題。（二）訪談工具設計在對四位教師進行正式訪談之前，本研究根據教師對數學史的了解程度、教師對數學史教學的看法以及教師對數學史的應用情況三個維度撰寫了訪談提綱，共設置了11個問題，維度所對應的具體問題如表4-6所示。表4-6基于數學史的小數概念教學策略研究教師訪談提綱維度與問題設置維度問題教師對數學史的了解程度您認為數學史包括哪些內涵？2.您對小數的相關數學史了解多少？教師對數學史教學的看法3.您對數學史融入數學概念教學有什么看法？4.您認為將數學史融入小數概念教學會給學生的學習帶來什么樣的影響？5.結合當前現狀，您認為將數學史應用于小數概念教學中存在什么樣的困難？教師對數學史的應用情況6.您是否有過將數學史融入數學課堂的經歷？7.您將數學史融入數學教學的實施效果如何？8.您是否會在設計概念教學時融入相關數學史？9.您會如何將相關數學史融入數學概念教學？10.您在進行小數概念教學設計時是否會融入數學史？11.您如何讓設計將數學史融入小數的概念教學？其中第六題和第七題為關聯題，若教師在第六題中回答沒有數學史的教學經歷則不需要對教師提問第七題。第八題與第九題、第十題與第十一題同為關聯題。（三）訪談結果分析1.訪談教師基本信息被訪談的四位教師基本信息如下表所示。表4-7被訪談教師基本信息教師代稱當前所授年級教齡職稱教師A三年級17年一級教師教師B三年級12年二級教師教師C五年級6年二級教師教師D五年級36年一級教師由上表可知，四位被訪談教師中有3位教師的教齡均高于10年，有一位教師的教齡雖然與其他三位教師相比較少，但是也從教了六年，說明被訪談的四位數學教師都具有豐富的教學經驗。2.教師對數學史的了解程度訪談分析問題1：您認為數學史包括哪些內涵？綜合對被訪談教師的回答分析可知，四位教師一致認為數學史是一門研究數學自身發展及其演變的科學。數學史主要包含了數學內容、思想和方法的演變及發展過程。如教師C的回答是“我認為數學史就是有關于數學的歷史淵源，包括了數學思想發展的歷程、數學家的故事、歷史上數學科學的發展對社會文明發展所帶來的影響以及經歷過各種演變發展才成為今天的數學。”問題2：您對小數的相關數學史了解多少？在被訪談的四位教師中，僅有教師D能夠說出小數的發展歷程，其余三位教師均表示對于小數的數學歷史文化內容不了解，沒有特意去了解過關于小數的歷史發展。關于小數的歷史內容，教師D答道“我所了解的小數歷史知識有小數最早是由我國數學家劉徽提出的，他在《九章算術》中將整數個位以下無法標出名稱的部分稱為‘微數’。后來由我國另一位數學家朱世杰正式提出了小數這個名稱。而小數的產生實際上是由于實際度量的需求以及數學運算的需要，并且小數的產生與整數、分數有著密切的聯系，小數的產生使得十進制計數法從整數拓展到了分數。”由此可知，目前教師對于小數的歷史知識儲備不足。教師自身具有豐富的數學史知識是教師將數學史融入課堂，充分并靈活運用的前提。教師所儲備的數學史知識越豐富，在課堂上運用數學史知識進行教學的效果才會更好。反之，教師在掌握數學史知識不多的情況下進行相應內容的教學會導致無法向學生解釋更多的歷史知識，僅僅局限于教材所呈現的點滴歷史知識。3.教師對數學史教學的看法訪談分析問題3：您對數學史融入數學概念教學有什么看法？教師A對該問題的回答是“數學概念教學是學生學習數學知識的基礎，也是我們教師培養學生數學思維的核心。將數學史融入數學概念教學能夠幫助學生了解數學概念知識的產生、發展以及在現實生活當中的應用，這樣能夠加深學生對數學概念知識本質的理解。”教師B答道“數學概念知識對于學生來說是比較單調乏味的，學生為了能夠將數學概念牢牢地記住就會死記硬背，只是停留在數學概念只是的表面，并不能抓住其背后的本質。將數學史融入概念教學的話能夠讓學生經歷概念的形成、發展，從而激起他們對數學概念學習的興趣。”教師C的回答是“我覺得是可以不斷地將數學史滲透和融入到概念教學中，就比如說分數的認識，之前有位老師是把數學史編成一個故事，將其糅進分數的初步認識教學當中。這個故事講的是打漁的和打獵的，二者通過物物等量交換，從分肉開始，比如一塊肉可以換兩條魚，那么一條魚可以換幾塊肉。通過這種以故事的形式讓孩子們去交流，富有趣味性，還能夠讓孩子了解分數是怎么來的。”教師D的回答是“對于小學階段的這些孩子來說，以語言描述所表達的數學概念知識是很抽象的，學生要想徹底理解概念有一定的難度。比如一年級的孩子在剛開始認識數字的時候，要讓他們理解數字本身的概念不容易，他們能夠知道現實生活中的一個人、一個蘋果、一個玩具，但是他們不知道這個數字‘1’本身是什么。那這個時候我們可以通過引入古人的結繩計數法到后來阿拉伯數字的發明，讓學生加深對概念的理解，同時也提高了課堂教學的趣味性。”從四位老師的回答可以看出，四位教師都認為數學史融入數學概念教學可以激發學生的學習興趣，幫助學生更好地理解數學概念知識，充分肯定了數學史融入概念教學的教育價值。問題4：您認為將數學史融入小數概念教學會給學生的學習帶來什么樣的影響？四位教師對該問題的回答與上一題所答內容相差不大，都認為數學史融入小數概念教學能夠幫助學生更好地理解小數的意義，教師通過介紹小數知識的由來及發展能夠讓學生了解小數的本質，例如教師B所說“將數學史融入小數概念教學，