第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年天津一百中高二（下）3月診斷數學試卷一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數f(x)=13x3?xA.2 B.4 C.8 D.162.曲線f(x)=x2lnx?2x+2在點(1,f(1))處的切線的傾斜角為A.π4 B.π3 C.3π43.等差數列{an}的首項為1，公差不為0，若a2，a3，aA.15 B.?15 C.?13 D.134.函數f(x)=ex?eA. B.

C. D.5.現給如圖所示的五個區域A，B，C，D，E涂色，有5種不同的顏色可供選擇，每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方案種數為(

)A.420

B.340

C.260

D.1206.已知函數f(x)=lnx?12ax2?2x在[A.[0,+∞) B.(0,+∞) C.[?1,+∞) D.(?1,+∞)7.已知(4x+a)(1?2x)4的所有項的系數和為5，則x2的系數為A.?32 B.?8 C.24 D.488.定義在R上的函數f(x)導函數為f(x)，若對任意實數x，有f′(x)<f(x)，且f(0)=?1，則不等式f(x)ex+1<0的解集為A.(?∞,1e) B.(1e,+∞)9.已知奇函數f(x)在R上是減函數，g(x)=xf(x)，若a=g(?log29.1),b=g(20.8),c=g(3)，則a，bA.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10.若(x2+2x11.函數f(x)=x3?x212.某醫療隊伍有4名醫生需分配到2個志愿團隊，每名醫生只去一個志愿隊，每個志愿隊至少分配一名醫生，則共有______種不同的方法.(用數字作答)13.已知函數f(x)=ex?x?1，g(x)=x?lnx+a，若?x1∈R，?x14.用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的三位數，這樣的三位數共有______個.(用數字作答)15.已知函數f(x)=lnx+1?2mx23x+1有兩個零點a、b，且存在唯一的整數x0三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題15分)

如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB//DC，AB=3，AA1=2，AD=DC=1，M，N分別為DD1，B1C1的中點，

(1)求證：17.(本小題15分)

已知數列{an}是遞增的等差數列，{bn}是等比數列，b1=2a1=2，b2=2a2，b3=2a4．

(1)求數列{18.(本小題15分)

已知函數f(x)=xex,g(x)=a2(x+1)2?1e，其中a>0．

(1)求f(x)的單調區間和極值；

(2)若對?x1，x2∈[1,2]且19.(本小題15分)

已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，短軸長為4．

(1)求橢圓的方程．

(2)過左焦點F1作兩條互相垂直的直線l1，l2(其中直線l1的斜率為正)，直線l1與橢圓交于20.(本小題15分)

已知f(x)=xln(ax+b)．

(1)若f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x?y?2=0，求實數a，b的值；

(2)當b=0時，若f(x)+(a2?2)x+a≥0對?x∈(0,+∞)恒成立，求實數a的取值范圍；

(3)若方程f(x)=x參考答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.A

6.D

7.B

8.D

9.A

10.160

11.1

12.14

13.(?∞,?1]

14.54

15.[ln2e16.解：(1)證明：如圖：

取CB1的中點P，連接NP，MP，

由N為BC1中點，可得NP//CC1且NP=12CC1，

由M為DD1中點，故D1M=12DD1=12CC1，且D1M//CC1，

所以D1M//NP且D1M=NP，

所以四邊形D1MPN為平行四邊形，所以D1N//MP，

又MP?平面CB1M，D1N?平面CB1M，

所以D1N//平面CB1M；

(2)因為AA1⊥平面ABCD，AB⊥AD，故可以A為原點，建立如圖空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(1,1,0)，B1(3,0,2)，M(0,1,1)，

所以BC=(?2,1,0)，BB1=(0,0,2)，AM=(0,1,1)，

設平面BB1C1C的法向量為m=(x1,y1,z1)，

則m?BC=?2x1+y1=0m17.解：(1)數列{an}是遞增的等差數列，

{bn}是等比數列，b1=2a1=2，b2=2a2，b3=2a4．

設公差為d(d>0)，公比為q，

可得b1=2，a1=1，

聯立可得2q=2(1+d)2q2=2(1+3d)，解得d=1q=2或d=0q=1(舍)，

所以an=n，bn=2n．

(2)由(1)可得an?bn=n?2n，

所以Sn=1×21+2×22+...+n?2n，

2Sn=1×22+2×23+...+n?2n+1，

相減可得，?Sn=21+22+...+2n?n?2n+1=2(1?2n)1?2?n?2n+1，

則Sn=(n?1)2n+1+2．

(3)由(1)得，cn=1anan+1=1n(n+1)=1n?1n+1，

i=1nci=1?12+12?13+...+1n?1n+1=1?1n+1=nn+1．

18.解：(1)f′(x)=ex+xex=ex(x+1)，

當x<?1時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x>?1時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

當x=?1時，函數f(x)取得極小值f(?1)=?1e，

所以函數f(x)的減區間為(?∞,?1)，增區間為(?1,+∞)，極小值為?1e，無極大值．

(2)由函數g(x)=a2(x+1)2?1e，可得xg(x)=a2x(x+1)2?1ex，

設m(x)=xg(x)=a2x(x+1)2?1ex,x∈[1,2]，可得m′(x)=a2(3x2+4x+1)?1e，

因為對?x19.解：(1)由題意得e=ca=222b=4a2?b2=c2，解得a=22,b=2,c=2，

故橢圓方程為x28+y24=1．

(2)由(1)知F1(?2,0)，

設直線l1：y=k(x+2)(k>0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯立y=k(x+2)x28+y24=1，消去y得(1+2k2)x2+820.解：(1)由f(x)=xln(ax+b)可得：f′(x)=ln(ax+b)+axax+b，f(1)=ln(a+b)．

因為f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x?y?2=0，

所以f′(1)=22×1?ln(a+b)?2=0，即ln(a+b)+aa+b=22×1?ln(a+b)?2=0，

故當f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x?y?2=0時：a=2b=?1；

(2)當b=0時，f(x)=xln(ax)．

因為f(x)+(a2?2)x+a≥0對?x∈(0,+∞)恒成立，

所以xln(ax)+(a2?2)x+a≥0對?x∈(0,+∞)恒成立，

要使不等式xln(ax)+(a2?2)x+a≥0在x∈(0,+∞)上有意義，需滿足ax>0，

則a>0．

令g(x)=xln(ax)+(a2?2)x+a，x∈(0,+∞)，

則g′(x)=ln(ax)+a2?1；g(x)≥0對?x∈(0,+∞)恒成立．

令g′(x)>0，解得：x>e1?a2a；令g′(x)<0，解得：0<x<e1?a2a，

所以函數g(x)在區間(0,e1?a2a)上單調遞減；在區間(e1?a2a,+∞)上單調遞增，

則當x∈(0,+∞)時，g(x)min=g(e1?a2a)=e1?a2a?ln(a?e1?a2a)+(a2?2)?e1?a2a+a=a?e1?a2