云南省大理州南澗縣第一中學2024-2025學年上學期期末考試高一數學注意事項：1．答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚。2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。在試題卷上作答無效。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，則函數的圖象不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．計算：（）A．14 B．0 C．1 D．63．集合，，則（）A． B． C． D．4．下列函數中，是偶函數的是（）A．（） B． C． D．5．不等式的解集是（）A． B． C． D．6．若函數（）的圖象關于對稱，則函數在上的最小值是（）A． B． C． D．7．若，且滿足，則的最小值是（）A．3 B． C． D．8．函數的值域為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知正實數a，b滿足，則下列結論中正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則的最小值為3D．若，，則10．若a，b均為正實數，且滿足，則（）A．的最大值為 B．的最小值為4C．的最小值為4 D．的最小值為11．衢州市柯城區溝溪鄉余東村是中國十大美麗鄉村，也是重要的研學基地，村口的大水車，是一道獨特的風景．假設水輪半徑為4米（如圖所示），水輪中心O距離水面2米，水輪每60秒按逆時針轉動一圈，如果水輪上點P從水中浮現時（圖中）開始計時，則（）A．點P第一次達到最高點，需要20秒B．當水輪轉動155秒時，點P距離水面2米C．在水輪轉動的一圈內，有15秒的時間，點P距水面超過2米D．點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的函數解析式為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．函數（，且）的圖像恒過定點P，則P點坐標是________．13．已知函數是上的奇函數，且，當時，，則________．14．函數的圖象與平行線，，有且僅有三個交點，則實數的取值范圍是________．四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．已知函數．（1）當時，求不等式的解集；（2）若的定義域為，求a的取值范圍．16．已知掛在彈簧下方的小球上下振動，小球在時間t（單位：s）時相對于平衡位置（即靜止時的位置）的距離h（單位：cm）由函數解析式（，，）決定，其部分圖像如圖所示：（1）求小球在振動過程中的振幅、最小正周期和初相；（2）若時，小球至少有101次速度為，則的最小值是多少？17．世界范圍內新能源汽車的發展日新月異，電動汽車主要分三類：純電動汽車、混合動力電動汽車和燃料電池電動汽車．這3類電動汽車目前處在不同的發展階段，并各自具有不同的發展策略．中國的電動汽車革命也早已展開，以新能源汽車替代汽（柴）油車，中國正在大力實施一項將重新塑造全球汽車行業的計劃．2022年某企業計劃引進新能源汽車生產設備，通過市場分析，全年需投入固定成本2000萬元，每生產x（百輛），需另投入成本（萬元），且；已知每輛車售價5萬元，由市場調研知，全年內生產的車輛當年能全部銷售完．（1）求出2022年的利潤（萬元）關于年產量x（百輛）的函數關系式；（2）2022年產量為多少百輛時，企業所獲利潤最大？并求出最大利潤．18．已知函數為奇函數．（1）寫出k的值并求函數的值域；（2）當時，恒成立，求m的取值范圍．19．如圖，在海岸線一側有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段，該曲線段是函數（，，），的圖象，圖象的最高點為．邊界的中間部分為長1千米的直線段，且．游樂場的后一部分邊界是以O為圓心的一段圓弧．（1）求曲線段的函數表達式；（2）曲線段上的入口G距海岸線最近距離為1千米，現準備從入口G修一條筆直的景觀路到O，求景觀路長；（3）如圖，在扇形區域內建一個平行四邊形休閑區，平行四邊形的一邊在海岸線上，一邊在半徑上，另外一個頂點P在圓弧上，且，用表示平行四邊形休閑區面積，并求時的面積值．參考答案一、單選題1．【答案】D【解析】因為，所以函數（）的圖象就是把函數的圖象向左平移個單位長度，如圖．由圖可知函數不經過第四象限，故選D．2．【答案】B【解析】原式．3．【答案】D【解析】集合，，則．故選：D．4．【答案】C【解析】因為A選項（）定義域不關于原點對稱，A不正確；對于B，D選項，，，排除B，D選項．5．【答案】D【解析】不等式可轉化為，即，所以且，解得，所以選擇D。6．【答案】C【解析】由題意，知．因為函數的圖象關于對稱，所以當時，（），即（），由，可得，所以．當時，，故函數在上單調遞減，所以所求的最小值為．7．【答案】B【解析】，因為，所以，當且僅當，時取等號，即，時取得最小值．故選B．8．【答案】A【解析】∵，∴．∴函數的值域為．二、多選題9．【答案】ACD【解析】因為，對于A，當，時，，則，當且僅當時取等號，故A正確；對于B，，則，當且僅當時取等號，故B錯誤；對于C，當，時，，則，則，當且僅當，即時取等號，故C正確，對于C，當，時，，解得（舍負），當且僅當時取等號，故D正確．故選：ACD．10．【答案】ACD【解析】對于A，由，即，可得，當且僅當時等號成立，所以的最大值為，故A正確；對于B，∵，，則，當且僅當，時取等號，又當，時，，故等號能取到，則的最小值是2，故B錯誤；對于C，∵，均為正數，且滿足，∴，當且僅當，即時取等號，則的最小值是4，故C正確；對于D，觀察知．故，當且僅當，即時取等號，故D正確．故選：ACD．11．【答案】ABD【解析】設點P距離水面的的高度為h（米）和t（秒）的函數解析式為（，，），由題意，，，∴，解得，∵，∴，則，當時，，∴，則，又，∴，，故D正確。令，∴，得秒，故A正確；當秒時，米，故B正確，，令，解得，故有30秒的時間，點P距水面2米，故C錯誤。故選：ABD．三、填空題12．【答案】【解析】令，則，此時，所以P點坐標是．故答案為：．13．【答案】【解析】因為函數滿足，所以令可得．又因為函數為奇函數，所以．14．【答案】【解析】的圖象如圖所示，不妨設，因為的圖象與平行線，，有且僅有三個交點，所以由圖可知，，所以，即實數的取值范圍是，故答案為：．四、解答題15．【答案】解：（1）因為，所以，故即，即，故或．所以解集為；（2）因為的定義域為，所以對任意恒成立，當顯然成立．當時有，解得，綜上a的取值范圍是．16．【答案】解：（1）由圖易知小球的振幅，最小正周期，所以，∴，∴代入可得，∴，，即，，又，∴初相．（2）∵小球在振動過程中位于最高、最低位置時的速度為，∴小球有100次速度為等價于函數有100次取得最值，∵函數在一個周期內取得一次最大值、一次最小值，，∴函數經過50個周期時小球有100次速度為，∴時，小球有100次速度為，又∵當時，小球速度為，∴的最小值為．17．【答案】解（1）由題意知利潤，所以利潤，故2022年的利潤（萬元）關于年產量x（百輛）的函數關系式為．（2）當時，，故當時，；當時，，當且僅當，即時取得等號；綜上所述，當產量為100（百輛）時，取得最大利潤，最大利潤為2300萬元．18．【答案】解：（1）依題意，要使函數有意義，則，解得，所以函數的定義域為，關于原點對稱，又因為函數為奇函數，所以，解得，所以，故，又因為當時，，所以，則；由奇函數的對稱性得當時，．綜上，函數的值域為．（2）由（1）得，，且當時，，當時，，因為，所以，又因為，函數在內單調遞增，所以，則，且在內單調遞減，注意到，所