第1頁（共1頁）2025年山東省淄博七中高考數學適應性試卷（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）若集合，集合，則A．， B． C．，2，3， D．，3，2．（5分）若復數滿足是虛數單位），則等于A． B． C． D．3．（5分）已知，向量在向量上的投影向量與向量方向相反，且，則與的夾角為A． B． C． D．4．（5分）雙曲線的右焦點為，過點的直線與圓相切于點且與雙曲線的左支交于點，線段的中點為，且在線段上，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．5．（5分）利民工廠的某產品，年產量在至之間，年生產的總成本（萬元）與年產量之間的關系近似地表示為，則每噸的成本最低時的年產量為A．160 B．180 C．200 D．2406．（5分）已知等比數列的各項均為正數，且，則A．6 B．9 C．27 D．817．（5分）四棱錐中，，，，則三棱錐的體積為A．5 B．6 C．8 D．98．（5分）已知函數，若方程在區間上有且僅有2個不等的實根，，則的取值范圍為A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）下列命題中，真命題的是A．中位數就是第50百分位數 B．已知隨機變量，若，則 C．已知隨機變量，滿足，若，，則， D．已知采用分層抽樣得到的高三年級男生、女生各100名學生的身高情況為：男生樣本平均數172，方差為120，女生樣本平均數165，方差為120，則總體樣本方差為120（多選）10．（6分）若函數有極值，則的可能取值為A．8 B．9 C．10 D．11（多選）11．（6分）已知直線及圓，則A．直線過定點 B．直線截圓所得弦長最小值為2 C．存在，使得直線與圓相切 D．存在，使得圓關于直線對稱三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知數列的前項和為，滿足，，則．13．（5分）的展開式中的系數為．（用數字作答）14．（5分）如圖，直線在平面內，點在平面外，直線與的夾角為，直線與平面所成的角為交．若平面與平面所成角的大小為，且，則的值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．已知數列的首項且滿足．（1）證明：是等比數列；（2）數列滿足，，記，求數列的前項和．16．如圖所示，在三棱柱中，△為邊長為2的正三角形，，在底面上的射影為中點，為的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與所成角的正弦值．17．將某新開業的創意甜品店的開業天數與利潤（單位：千元）之間的相關數據統計如表1所示．表1102030405050657095120（1）已知與呈線性相關關系，求關于的經驗回歸方程；（2）為了慶祝甜品店開業兩個月，店家在開業剛好兩個月這天組織消費者參加消費返利抽獎游戲，游戲規則如下：在抽獎盒中放有5張卡片，其中2張寫有“幸運顧客”，3張寫有“不要泄氣”，一輪次機會中參加游戲的消費者有放回地抽取3次，每次抽取1張卡片，每一輪次抽獎之后根據表3計算獎金，消費金額（單位：元）在，，，，，的消費者分別有1，2，3輪次的抽獎機會．已知這天顧客的消費情況以及每一輪次抽獎后具體的獎勵情況如下，求這天返利總金額的數學期望．表2消費金額，，，，，，人數622253584表3“幸運顧客”卡片數32其他情況獎勵金額（單位：元）30200參考公式：對于一組數據，，，，，，，其經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．18．已知函數，曲線在點，（1）處的切線與軸平行．（1）求實數的值；（2）若對于任意，，恒成立，求實數的取值范圍．19．設，分別為橢圓的左、右焦點，是橢圓的短軸的一個端點，△的面積為，橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程．（2）如圖，，，是橢圓上不重合的三點，原點是△的重心．當直線垂直于軸時，求點到直線的距離；求點到直線的距離的最大值．

2025年山東省淄博七中高考數學適應性試卷（二）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DCDBCACA二．多選題（共3小題）題號91011答案ABABABD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）若集合，集合，則A．， B． C．，2，3， D．，3，【答案】【分析】先求出集合，，再利用集合的基本運算求解．【解答】解：集合，集合，所以，3，．故選：．【點評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本運算，屬于基礎題．2．（5分）若復數滿足是虛數單位），則等于A． B． C． D．【答案】【分析】根據復數的除法運算求出復數，再根據復數的模長公式可求出結果．【解答】解：由，得，所以．故選：．【點評】本題主要考查復數的四則運算，以及復數模公式，屬于基礎題．3．（5分）已知，向量在向量上的投影向量與向量方向相反，且，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】【分析】根據已知條件，推得，再結合的取值范圍，即可求解．【解答】解：設與的夾角為，，，向量在向量上的投影向量與向量方向相反，，解得，．故選：．【點評】本題主要考查投影向量的應用，屬于基礎題．4．（5分）雙曲線的右焦點為，過點的直線與圓相切于點且與雙曲線的左支交于點，線段的中點為，且在線段上，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】【分析】設雙曲線的左焦點為，連接，進而由中位線定理得，在結合雙曲線的定義得，，，最后在中，結合勾股定理得，進而得答案．【解答】解：如圖，設雙曲線的左焦點為，連接，因為過點的直線與圓相切于點，，所以，，所以，因為線段的中點為，為線段的中點，所以，所以，由雙曲線的定義得，所以，所以，所以，在中，，即，所以，離心率為．故選：．【點評】本題主要考查雙曲線的幾何性質，雙曲線離心率的求解等知識，屬于中等題．5．（5分）利民工廠的某產品，年產量在至之間，年生產的總成本（萬元）與年產量之間的關系近似地表示為，則每噸的成本最低時的年產量為A．160 B．180 C．200 D．240【答案】【分析】利用總成本除以年產量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．【解答】解：（1）依題意，每噸平均成本為（萬元），則當且僅當，即時取等號，又，所以年產量為200噸時，每噸平均成本最低．故選：．【點評】本題考查將實際問題的最值問題轉化為函數的最值問題、考查利用基本不等式求函數的最值需滿足：正、二定、三相等、考查求二次函數的最值關鍵看對稱軸．6．（5分）已知等比數列的各項均為正數，且，則A．6 B．9 C．27 D．81【答案】【分析】利用對數的運算性質及等差數列的性質求解即可求得答案．【解答】解：由題意可得，故選：．【點評】本題考查等比數列的性質，對數運算法則，考查學生的邏輯推理和運算求解的能力，屬于基礎題．7．（5分）四棱錐中，，，，則三棱錐的體積為A．5 B．6 C．8 D．9【答案】【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出點到平面的距離，然后利用向量求出點到直線的距離，進而求出△的面積，最后利用三棱錐的體積公式即可．【解答】解：設平面的法向量為，則，，則，則點到平面的距離為，又，，則點到直線的距離為，則，故三棱錐的體積為．故選：．【點評】本題考查了平面法向量的定義及求法，用向量求點的平面距離的公式，三棱錐的體積公式，是中檔題．8．（5分）已知函數，若方程在區間上有且僅有2個不等的實根，，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】【分析】先化簡的解析式，作出的圖象，結合余弦函數的對稱性即可求解．【解答】解：因為，當時，，，當時，，，作出函數在區間上的圖象如圖所示，結合圖象可得，當時，方程在上有且僅有2個不等的實根，，且，所以的取值范圍是．故選：．【點評】本題主要考查了三角函數圖象的變換及三角函數對稱性的應用，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）下列命題中，真命題的是A．中位數就是第50百分位數 B．已知隨機變量，若，則 C．已知隨機變量，滿足，若，，則， D．已知采用分層抽樣得到的高三年級男生、女生各100名學生的身高情況為：男生樣本平均數172，方差為120，女生樣本平均數165，方差為120，則總體樣本方差為120【答案】【分析】對于，利用中位數的概念即可判斷；對于，利用二項分布的方差公式，結合數學期望與方差的性質求解即可判斷；對選項，利用分層抽樣樣本方差的計算公式計算即可判斷．【解答】解：對于選項，中位數就是第50百分位數，選項正確．對于選項，已知隨機變量，根據二項分布的方差公式（其中是試驗次數，是每次試驗成功的概率），可得．又因為、為常數），那么．已知，即，解得，選項正確．對于選項，已知隨機變量，滿足，根據期望的性質、為常數），可得．因為，所以．再根據方差的性質、為常數），可得．因為，所以，選項錯誤．對于選項，設男生樣本為，，，，平均數為，方差為；女生樣本為，，，，平均數為，方差為．總體樣本平均數．，所以選項錯誤．故選：．【點評】本題主要考查概率的求解，屬于中檔題．（多選）10．（6分）若函數有極值，則的可能取值為A．8 B．9 C．10 D．11【答案】【分析】將問題轉化為導函數有零點，利用二次函數的性質分析求解即可．【解答】解：函數，則，因為函數有極值，所以有零點，所以△，解得，結合選項可知，的可能取值為8，9．故選：．【點評】本題考查了利用導數研究函數極值的應用，函數零點的理解與應用，二次函數性質的應用，考查了邏輯推理能力與轉化化歸思想，屬于中檔題．（多選）11．（6分）已知直線及圓，則A．直線過定點 B．直線截圓所得弦長最小值為2 C．存在，使得直線與圓相切 D．存在，使得圓關于直線對稱【答案】【分析】利用直線系方程求解直線經過定點，判斷；求解直線截圓所得弦長最小值，判斷；利用圓的圓心到直線的距離等于半徑，求解，判斷；通過直線經過圓的圓心，判斷即可．【解答】解：直線，可得，可得直線經過定點，所以正確；圓，圓的圓心，半徑為，圓的圓心到定點的距離為：，所以直線截圓所得弦長最小值為：，所以正確；因為圓的圓心到定點的距離為：（半徑），所以直線與圓的的位置關系是相交，不存在，使得直線與圓相切，所以不正確；當直線經過圓的圓心時，存在，使得圓關于直線對稱，所以正確．故選：．【點評】本題考查直線方程的應用，直線與圓的位置關系的判斷，是中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知數列的前項和為，滿足，，則．【答案】．【分析】先將代入題干表達式，兩邊同時乘以，進一步推導即可發現數列是以1為首項，1為公差的等差數列，通過計算出數列的通項公式即可計算出數列的通項公式，從而計算出的值．【解答】解：由題意，當時，，由，可得，兩邊同時乘以，可得，化簡整理，得，，數列是以1為首項，1為公差的等差數列，，，，．故答案為：．【點評】本題主要考查數列根據遞推公式推導出通項公式，并計算某項的值．考查了整體思想，轉化與化歸思想，等差數列的判別，以及邏輯推理能力和數學運算能力，屬中檔題．13．（5分）的展開式中的系數為．（用數字作答）【答案】．【分析】直接利用二項式的展開式，組合數的應用求出結果．【解答】解：的展開式的通項公式為：，1，2，3，4，，所以的展開式中的系數為：．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：二項式的展開式，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．14．（5分）如圖，直線在平面內，點在平面外，直線與的夾角為，直線與平面所成的角為交．若平面與平面所成角的大小為，且，則的值為．【答案】．【分析】過點作，且交于點，過點作，且交于，在三角形中，可得，中可得，進一步計算即可．【解答】解：過點作，且交于點，過點作，且交于，則直線與平面所成的角為，所以，不妨設，易得，則，又平面與平面所成角為，，則，則，中，，代入，可求得，故答案為：．【點評】本題考查線面角的求法及直線與直線所成的角的求法，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．已知數列的首項且滿足．（1）證明：是等比數列；（2）數列滿足，，記，求數列的前項和．【答案】（1）證明見解答過程；（2）．【分析】（1）先將遞推公式兩邊同時乘以，再兩邊同時加2，進一步推導即可發現數列是首項為3，公比為3的等比數列，從而證得結論成立；（2）先根據第（1）題的結果計算出數列的通項公式，再根據數列的遞推公式的特點運用累乘法推導出通項公式，即可計算出數列的通項公式，最后運用錯位相減法即可計算出前項和．【解答】（1）證明：依題意，由兩邊同時乘以，可得，即，兩邊同時加2，可得，，數列是首項為3，公比為3的等比數列．（2）解：由（1），可得，則，，又由，可得，則，，，，當時，，當時，也滿足上式，，，，，①，②①②，可得，．【點評】本題主要考查數列由遞推公式推導出通項公式，以及數列求和問題．考查了整體思想，轉化與化歸思想，累乘法，錯位相減法，等比數列的通項公式與求和公式的運用，以及邏輯推理能力和數學運算能力，屬中檔題．16．如圖所示，在三棱柱中，△為邊長為2的正三角形，，在底面上的射影為中點，為的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與所成角的正弦值．【分析】（1）根據線面垂直的判定定理即可證明；（2）過作于，連，就是直線與平面所成的角，根據線面角定義求解即可．【解答】證明：（1）取中點，連，，則平面，，又，，平面，又，平面．解：（2），，，平面平面，平面平面，平面平面，過作于，平面，連，就是直線與平面所成的角，，，，，，故直線與平面所成的角的正弦值為．【點評】本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直，直線與平面所成的角，是中檔題．17．將某新開業的創意甜品店的開業天數與利潤（單位：千元）之間的相關數據統計如表1所示．表1102030405050657095120（1）已知與呈線性相關關系，求關于的經驗回歸方程；（2）為了慶祝甜品店開業兩個月，店家在開業剛好兩個月這天組織消費者參加消費返利抽獎游戲，游戲規則如下：在抽獎盒中放有5張卡片，其中2張寫有“幸運顧客”，3張寫有“不要泄氣”，一輪次機會中參加游戲的消費者有放回地抽取3次，每次抽取1張卡片，每一輪次抽獎之后根據表3計算獎金，消費金額（單位：元）在，，，，，的消費者分別有1，2，3輪次的抽獎機會．已知這天顧客的消費情況以及每一輪次抽獎后具體的獎勵情況如下，求這天返利總金額的數學期望．表2消費金額，，，，，，人數622253584表3“幸運顧客”卡片數32其他情況獎勵金額（單位：元）30200參考公式：對于一組數據，，，，，，，其經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．【答案】（1）；（2）1413.12元．【分析】（1）先計算出樣本的平均值，再根據線性回歸方程的系數的計算公式求出回歸方程的系數；（2）先確定獎勵金額的取值，再分別求出對應的概率，由此求出期望，再計算返利總金額的數學期望．【解答】解：（1）由題意可得，則，，則，，故關于的線性回歸方程為；（2）設表示參加一輪次抽獎所獲得的獎勵金額，則的可能取值為0，20，30，因為抽取一張卡片，抽到“幸運顧客”卡片的過兩年為，所以，，，所以元，則元．【點評】本題考查了線性回歸方程以及數學期望的求解，考查了學生的邏輯推理能力以及運算求解能力，屬于中檔題．18．已知函數，曲線在點，（1）處的切線與軸平行．（1）求實數的值；（2）若對于任意，，恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求得，得到（1），根據題意列出方程，即可求解；（2）由（1）知，轉化為，設，利用導數求得函數的單調性與，即可求解．【解答】解：（1）因為函數，可得，所以（1