第1頁/共1頁2022學(xué)年第二學(xué)期9+1高中聯(lián)盟期中考試高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知，則n的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用排列數(shù)公式計算作答.【詳解】因為，而，即有，于是，所以n的值為5.故選：C2.已知等比數(shù)列首項為，前項和為，若，則公比為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項和公式，可求得、表達(dá)式，結(jié)合題干條件，即可求得q的值.【詳解】當(dāng)公比時，，不滿足題意，當(dāng)時，，，所以，解得，故選：D3.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則的值為（）A. B. C.3 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，即得解【詳解】由題意，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性故選：A4.已知函數(shù)在處有極大值，則實數(shù)c的值為（）A.2 B.6 C.2或6 D.8【答案】B【解析】【分析】由題意可得，求出，再檢驗可得答案.詳解】由，得，因為函數(shù)在處有極大值，所以，解得或，當(dāng)時，，令，得或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為極大值點，為極小值點，所以不符合題意，當(dāng)時，，令，得或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為極大值點，為極小值點，所以符合題意，綜上故選：B.5.隨機(jī)變量的分布列為，其中是常數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出，即可得到計算可得.【詳解】因為，所以，，，，則，解得，所以，，所以.故選：A6.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，則的最小值為（）A. B. C.71 D.【答案】C【解析】【分析】先由“兩個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成的新的等差數(shù)列的公差為兩個等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)”得，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值.【詳解】被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個首項為，公差為的等差數(shù)列，則，∴，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，∴當(dāng)時取最小值為．故選：C.7.若任意兩個不等正實數(shù)，，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】不妨令，即可得到，令，依題意只需在上單調(diào)遞減，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】因為對任意兩個不等正實數(shù)，，滿足，不妨令，則，所以，即，所以，令，則，即在上單調(diào)遞減，由，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即的最小值為.故選：D8.某校以勞動周的形式開展勞育工作的創(chuàng)新實踐.學(xué)生可以參加“民俗文化”“茶藝文化”“茶壺制作”“水果栽培”“蔬菜種植”“3D打印”這六門勞動課中的兩門.則甲、乙、丙這3名學(xué)生至少有2名學(xué)生所選勞動課全不相同的方法種數(shù)共有（）A.2080 B.2520 C.3375 D.3870【答案】B【解析】【分析】分別計算兩人全不相同，一人與另外兩人全不相同，三人全不相同的種類數(shù)，可得所求結(jié)果.【詳解】設(shè)甲，乙兩人全不相同為事件，甲，丙兩人全不相同為事件，乙，丙兩人全不相同為事件則，，的種類數(shù)都為，，，的種類數(shù)都為，的種類數(shù)為，所以至少有兩人全不相同的方法數(shù)為，故選：B.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.用到這個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)最高位不能為，利用間接法、分步、分類法計算可得.【詳解】用到這個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，若不考慮最高位是否為，則有個，又最高位不能為，故當(dāng)最高位為時有個，故可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個，故C正確；首先排最高位，有種，再排十位、個位，有種，故共有個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故B正確；若選到的數(shù)字沒有，則有個，若選到的數(shù)字有，先排，有種方法，再從其余個數(shù)字選個排到其余位置，故有個，綜上可得共有個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故C正確；故選：ABC10.已知數(shù)列的首項為，前n項和為，下列說法正確的有（）A.若數(shù)列為等差數(shù)列，公差，則數(shù)列單調(diào)遞增B.若數(shù)列為等比數(shù)列，公比，則數(shù)列單調(diào)遞增C.若，則數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列D.若，則數(shù)列為等差數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】由已知確定單調(diào)性判斷A；按與分析判斷B；求出數(shù)列通項公式判斷C；由遞推公式結(jié)合等差中項的意義推理判斷D作答.【詳解】對于A，依題意，等差數(shù)列中，，即，數(shù)列單調(diào)遞增，A正確；對于B，依題意，，，當(dāng)時，，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時，，數(shù)列單調(diào)遞減，B錯誤；對于C，由，得，當(dāng)時，，顯然不滿足上式，即，因此數(shù)列不是等比數(shù)列，C錯誤；對于D，數(shù)列的首項為，前n項和為，即，當(dāng)時，，兩式相減得：，于是，則有，整理得：，而，因此，所以數(shù)列為等差數(shù)列，D正確.故選：AD11.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則當(dāng)時，函數(shù)一定有（）A.三個不同零點 B.在上單調(diào)遞增C.有極大值，且極大值為 D.一條切線為【答案】BC【解析】【分析】求出函數(shù)的零點判斷A；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性、求出極大值判斷BC；求出圖象在原點處的切線方程判斷D作答.【詳解】對于A，由得：，即或，而，有，解得或，A錯誤；對于B，，當(dāng)時，，，于是，且當(dāng)時，則在上遞增，B正確；對于C，由選項B知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，取得極大值，C正確；對于D，顯然函數(shù)過原點，，而，因此圖象在原點處的切線方程為，因為直線過原點，因此直線不是圖象在原點處的切線，令，，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，于是函數(shù)在上圖象總在直線的下方，所以直線不可能為圖象的切線，D錯誤.故選：BC12.已知紅箱內(nèi)有5個紅球、3個白球，白箱內(nèi)有3個紅球、5個白球，所有小球大小、形狀完全相同.第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回原袋，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后放回原袋，依次類推，第次從與第次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后放回去.記第次取出的球是紅球的概率為，數(shù)列前項和記為，則下列說法正確的是（）A. B.C.當(dāng)無限增大，將趨近于 D.【答案】ABD【解析】【分析】依題意求出，設(shè)第次取出球是紅球的概率為，則白球概率為，即可求出第次取出紅球的概率，即可得到，從而得到，從而求出，再一一分析即可；【詳解】解：依題意，設(shè)第次取出球是紅球的概率為，則白球概率為，對于第次，取出紅球有兩種情況：①從紅箱取出，②從白箱取出，所以，所以，令，則數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，因為，所以，故即對應(yīng)，所以，故A正確；因為，所以，，所以，故B正確；因為，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，當(dāng)時，所以，即當(dāng)無限增大，將趨近于，故C錯誤；因為，所以，故D正確；故選：ABD．三、填空題（本小題共4小題，每小題5分，共20分）13.展開式中的系數(shù)為，則___________.【答案】【解析】【分析】寫出展開式中的通項，令的指數(shù)為，結(jié)合已知條件可求得實數(shù)的值.【詳解】的展開式通項為，令，可得，所以，，解得.故答案為：.14.楊輝三角由我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其所著的《詳解九章算術(shù)》中提出，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，圖形如圖.記從上往下每一行各數(shù)之和為數(shù)列，比如，，，則數(shù)列的前n項之和為__________.【答案】【解析】【分析】由圖分析結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)得到第行所有數(shù)之和為，再應(yīng)用等比數(shù)列公式計算即可得結(jié)果.【詳解】由楊輝三角及二項式系數(shù)的性質(zhì)知第行且所有數(shù)之和為則第行所有數(shù)之和為，等比數(shù)列求和得，則數(shù)列的前n項之和為.故答案為:.15.某工廠去年12月試產(chǎn)1050個高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90％.從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎(chǔ)上提高5％，產(chǎn)品合格率比前一個月增加0.4％.設(shè)從今年1月起（作為第一個月），第______個月，月不合格品數(shù)量首次控制在100個以內(nèi).（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】13【解析】【分析】設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列，，依據(jù)題意得，由其單調(diào)性結(jié)合，得出答案.【詳解】設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列，，則由題意知，，其中，2，…，24.則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品數(shù)量是.又由，可知當(dāng)時，是遞增數(shù)列，當(dāng)時，是遞減數(shù)列.因為，，所以第13個月，月不合格品數(shù)量首次控制在100個以內(nèi).故答案為：1316.已知函數(shù)，若不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】將不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，并探討其性質(zhì)，再利用導(dǎo)數(shù)分類討論的值域即可求解作答.【詳解】，令，則，，設(shè)，則，當(dāng)時,，且等號不同時成立，則恒成立，當(dāng)時，，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，又因為，因此存在，使得，當(dāng)時，，當(dāng)時,，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在,上單調(diào)遞增,又，作出函數(shù)的圖像如下：函數(shù)定義域為，求導(dǎo)得，①當(dāng)時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時，的取值集合為，而取值集合為，因此函數(shù)在上的值域包含，當(dāng)時，的取值集合為，而取值集合為，因此函數(shù)在上無最小值，從而函數(shù)的值域為R，即，，不合題意，②當(dāng)時，由得，由得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時，的取值集合為，而取值集合為，因此函數(shù)在上的值域包含，此時函數(shù)的值域為，即，當(dāng)時，即當(dāng)時，恒成立，符合題意，當(dāng)時，即當(dāng)時，，結(jié)合圖象可知，，不合題意，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，結(jié)合已知，利用換元法構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合的思想推理求解.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.設(shè)正項數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記前項和為，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用、的關(guān)系，結(jié)合已知條件以及等差數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求，利用錯位相減法求得，即可證明.【小問1詳解】因為，當(dāng)時，，又，則；當(dāng)時，，，兩式相減，整理可得，又為正項數(shù)列，即，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以，所以，所以.18.設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與x軸沒有公共點，求a的取值范圍.【答案】（1）結(jié)論見解析.（2）或.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按與兩種情況探討大于0、小于0的解集作答.（2）利用（1）的信息，求出函數(shù)的最小值，再由已知列出不等式求解作答.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，遞減，，遞增，當(dāng)時,，遞減，，遞增，所以當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時,，因為的圖象與軸沒有公共點，所以，解得，當(dāng)時，，同理，解得所以a的取值范圍是或.19.某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機(jī)的選擇一家餐廳用餐.如果第一天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6，如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.（1）計算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率；（2）王同學(xué)某次在A餐廳就餐，該餐廳提供5種西式點心，n種中式點心，王同學(xué)從這些點心中選擇三種點心，記選擇西式點心的種數(shù)為，求n的值使得最大.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式可直接求解；（2）由超幾何分布可得，構(gòu)造數(shù)列，易知該數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，解得，所以當(dāng)或時，有最大值為.小問1詳解】設(shè)“第1天去餐廳用餐”，“第1天去餐廳用餐”，“第2天去餐廳用餐”，根據(jù)題意得，，，由全概率公式，得：，所以，王同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率為.【小問2詳解】由題意，的可能取值有：，由超幾何分布可知，令，又，所以，可得，解得，易知當(dāng)和時，的值相等，所以當(dāng)或時，有最大值為，即當(dāng)?shù)闹禐榛驎r，使得最大.20.函數(shù)，數(shù)則滿足.（1）求證：為定值，并求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，若對恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）計算為定值2，用倒序相加法求得通項公式；（2）由（1）得，裂項相消求和得，求出的取值范圍.【小問1詳解】證明：，則，，兩式相加，得，即.【小問2詳解】由（1），，所以是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，，，，由題，，所以，因為，設(shè)，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，最小，即，所以當(dāng)時，最大，即，所以.21.某制藥公司研制了一款針對某種病毒的新疫苗.該病毒一般通過病鼠與白鼠之間的接觸傳染，現(xiàn)有n只白鼠，每只白鼠在接觸病鼠后被感染的概率為，被感染的白鼠數(shù)用隨機(jī)變量X表示，假設(shè)每只白鼠是否被感染之間相互獨立.（1）若，求數(shù)學(xué)期望；（2）接種疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率為p，現(xiàn)有兩個不同的研究團(tuán)隊理論研究發(fā)現(xiàn)概率p與參數(shù)的取值有關(guān).團(tuán)隊A提出函數(shù)模型為.團(tuán)隊B提出函數(shù)模型為.現(xiàn)將白鼠分成10組，每組10只，進(jìn)行實驗，隨機(jī)變量表示第i組被感染的白鼠數(shù)，現(xiàn)將隨機(jī)變量的實驗結(jié)果繪制成頻數(shù)分布圖，如圖所示.（ⅰ）試寫出事件“，，…，”發(fā)生的概率表達(dá)式（用p表示，組合數(shù)不必計算）；（ⅱ）在統(tǒng)計學(xué)中，若參數(shù)時使得概率最大，稱是的最大似然估計.根據(jù)這一原理和團(tuán)隊A，B提出的函數(shù)模型，判斷哪個團(tuán)隊的函數(shù)模型可以求出的最大似然估計，并求出最大似然估計.參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）答案見解析，【解析】【分析】（1）易知隨機(jī)變量服從二項分布，由，得，數(shù)學(xué)期望即可求解；（2）設(shè)，依題意得化簡即可；記，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得最大值，分別在團(tuán)體A，B中提出函數(shù)模型即可得答案．【小問1詳解】由題知，隨機(jī)變量服從二項分布，，由，即，得，所以．【小問2詳解】（ⅰ），，．（ⅱ）記，則，當(dāng)時，，單增；當(dāng)時，，單減；當(dāng)時，取得最大值，即取得最大值．在團(tuán)體提出的函數(shù)模型中，記函數(shù)，，當(dāng)時，，單增；當(dāng)時，，單減．當(dāng)時，取得最大值，則不可以估計