絕密★啟用前20242025學年(下)高三年級第六次聯考數學—、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分·在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的·1.已知集合A=-T,-e,0,1,e,m,B=txlx'2-6<0則AnB=A.30,1,efB.-e2.已知向量m=(2,-1),n=(-1,3),則m·(m-n)=A.8B.10C.12A.x2+2x+1=0的一個復數根,則IA.233334.已知3"x9'=3">1,則x+2y的最小值是A.22、B.4C.42、廠D.85.現有5種顏色的筷子各一雙,從中任取兩根筷子,若已知取到的筷子中有紅色的概率為591317<53453574577.小王到某公司面試,一共要回答3道題,每道題答對得2分,答錯倒扣1分,設他每道題答對的概率均為p(0<P<1),且每道題答對與否相互獨立·記小王答完3道題的總得分為X,則當E(X)+D(X)取得最大值時,P=43348.PMN中,MN=2,PQMN,Q,2QM·QN=MN2PQ2,P的軌跡為A.22的橢圓的一部分/22B.長軸長為廠,的橢圓的一部分/22二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分·在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部則t2n-則t2n-1取值為A.-6B.-4C.-2D.3A.P=2B.直線AFY軸C.若yO<-1,則IAFI<IBFlD.若oI<2XO,則IAFI<IBFl11.已知函數f(x)=sinxcos(x+p)(peR),則下列說法正確的是A.f(x)的最小正周期為42424242D.若對于任意的P,直線Y=a與曲線Y=If(x)I總有公共點,則三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.已知函數f(x),g(x)的定義域均為R,其中f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,且f(x)+g(x)=2-x-2,已知三個正數ri,r2,"s構成公比為q(q>1)的等比數列,圓ci:(x-ri)2+y2=r2i(i=1,2,3),過圓C3上21+sin23'2,sin2+cos2數學試題第1頁(共4頁)數學試題第2頁(共4頁)21+sin23'2,sin2+cos2四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟·15.(13分)下表是20202024年中國出生人口數y(單位:十萬人)的數據:年份出生人口數十萬人(I)求20202024年中國每年出生人口數的平均數;(I)某研究人員建立了s關于x的回歸模型=120-6x,用該回歸模型預測從哪一年開始中國出生人口數將低于700萬;(Ⅲ)求(II)中回歸模型的決定系數R',并評價其擬合效果.(如果0.85≤R2≤1,就認為擬合效果好,如果0.7≤R2<0.85,就認為擬合效果一般,如果R2<0.7,就認為擬合效果差)16.(15分)如圖,在△ABC中,AB=5,AC=3,點D,E是BC邊上的兩點,點D在B,E之間,LBAD=LCAE.17.(15分)如圖,四棱錐P-ABCD的所有頂點均在同一個球的球面上,且AB=AD=4,BclcD,PBl平面PAD.(I)證明:平面PABl平面ABCD;(I)求四棱錐P-ABCD體積的最大值;(Ⅲ)當四棱錐P-ABCD的體積最大時,求直線PC與平面PBD所成角的正弦值.18.(17分)已知a,beR,函數f(x)=x-ax2e+b.(I)若a=1,b=-1,求曲線Y=f(x)在點(-2,f(-2))處的切線方程;(I)若a>0,g(x)=f"(x),求g(x)的單調區間;(Ⅲ)若對任意beR,f(x)至多有2個零點,求a的取值范圍·19.(17分)ab23已知橢圓C:+=1(a>b>0)經過點b、bab23(I)求C的離心率·(I)設A,B分別為C的左、右頂點,P,Q為C上異于A,B的兩動點,且直線BQ的斜率恒為直線AP的(i)當b的值確定時,證明:直線PQ過x軸上的定點;(ii)按下面方法構造數列tbn當b=b,時,直線PQ過的定點為M(bn.1,0),且b,=2,設d,= :b,-32020202120222023202412345120106969095數學試題第320202021202220232024123451201069690952024—2025學年(下)高三年級第六次聯考一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.1.答案A命題透析本題考查集合的表示與運算.解析由題意可得B={x|-2<x<3},集合A中的元素屬于B的有0,1,e.2.答案B命題透析本題考查平面向量的坐標運算.解析由題意可得m-n=(3,-4),故m.(m-n)=2×3+(-1)×(-4)=10.3.答案B命題透析本題考查復數的運算.解析Z和Z是題中方程的兩個根,所以即所以4.答案D命題透析本題考查指數運算、基本不等式的應用.解析由3x×9y=3x+2y=3xy>1,得x+2y=xy,且x,y均為正數,故即x+2y≥8,當且僅當x=4,y=2時取等號.5.答案D命題透析本題考查排列組合的應用,概率與條件概率的計算.解析設事件M為“兩根筷子都是紅色的設事件N為“取到的筷子中有紅色的”,則所求即為6.答案A命題透析本題考查三角恒等變換的應用.7.答案C命題透析本題考查二項分布的性質.解析設答對題的個數為Y,則Y~B(3,P),所以E(Y)=3P,D(Y)=3P(1-P).由題意知X=2Y-(3-Y)=3Y-3.所以E(X)=3E(Y)-3=9P-3,D(X)=9D(Y)=27P(1-P).所以E(X)+D(X)=-27P2+36P-3=-27(P-2+9,所以當E(X)+D(X)取得最大值時,P=.8.答案D命題透析本題考查軌跡與方程.解析以MN所在直線為x軸,MN的垂直平分線為y軸,MN的中點為坐標原點,建立平面直角坐標系,不妨令M(-1,0),N(1,0),設P(x,y),則Q(x,0),因為△PMN是銳角三角形,所以x∈(-1,1),則|QM|=1+x,|QN|=1-x,|PQ|=|y|,由2QM.QN=MN2-PQ2,得2(1+x)(1-x)=4-y2→2-2x2=4-y2,整理得-x2=1(-1<x<1),其為雙曲線的一部分,且雙曲線的實軸長為2\2,離心率為\\12+2=\EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(6),2),故點P的軌跡為實軸長為2\,離心率為\EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up5(6),2)的雙曲線的一部分.二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.每小題全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.答案CD命題透析本題考查數列的單調性.解析當n為偶數時,an+2-an=4n+4+2t≥12+2t>0,解得t>-6,當n為奇數時,an+2-an=-4n-4-2t≤-8-2t<0,解得t>-4,所以t的取值范圍是(-4,+∞).故t的可能取值為-2,3.10.答案BCD命題透析本題考查拋物線的性質、拋物線與直線的位置關系.解析對于A,將A,1)的坐標代入C:y2=2Px(P>0),得P=1,故A錯誤.對于B,可得F,0),點A,F的橫坐標相同,所以直線AFⅡy軸,故B正確.對于C,因為點A,B均在C上,所以|AF|=+=1,|BF|=x0+,要使|AF|<|BF|,只需x0>.若<-1,由于yEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)=2x0,所以2x0>1,x0>,故C正確.對于D,若|y0|<2x0,因為x0≥0,所以yEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)<4xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0),故2x0<4xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0),解得x0>,故D正確.11.答案ACD命題透析本題考查三角函數的圖象與性質.解析對于A,f(x)=sinx(cosxcosφ-sinxsinφ)=sinxcosxcosφ-sin2xsinφ=sin2xcosφ-sinφ=sin(2x+φ)-sinφ,所以f(x)的最小正周期為π,故A正確;對于B,若φ=,則f(x)=sin(2x+-,其值域為[-,故B錯誤;對于C,設k∈Z,由-+2kπ≤2x+φ≤+2kπ,可得--+kπ≤x≤-+kπ,故f(x)的單調遞增區間為[--+kπ,-+kπ](k∈Z),故C正確;對于D,若直線y=a與曲線y=|f(x)|有公共點,則a≥0,曲線y=f(x)與直線y=a或y=-a有公共點,因為f(x)的值域為[--sinφ,-sinφ],所以a≤-sinφ,或-a≥--sinφ,即a≤+ 當sinφ≠0時,max-sinφ,+sinφ}>,要使對任意的φ,①式恒成立,三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.命題透析本題考查圓錐與球的相關計算.解析設該圓錐的底面半徑為r,母線長為l,則其表面積為πrl+πr2,球的表面積為4π2=πl2,所以πrl+πr2=πl2,即2+-1=0,解得=\52-1(負值舍去),故圓錐的底面直徑與母線長的比值為=\5-1.-,+∞)命題透析本題考查函數的奇偶性、二次函數的性質.f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,在f(x)+g(x)=ax2-x-2中,用-x去代換x,得f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x),:f(xf(x)+g(x),:f(x)=-x,g(x)=ax-2,」1<x1<x2<6,:由>-2,可得2-x1g(x2)+2x2>g(x1)+2x1,令h(x)=g(x)+2x=ax2+2x-2,則h(x)在(1,6)上單調遞增.若a>0,則h(x)的圖象的對稱軸為直線x=-<0,圖象開口向上,符合題意;若a<0,則h(x)的圖象的對稱軸為直線x=-> 0,圖象開口向下,則需-≥6,即-≤a<0;若a=0,則h(x)=2x-2在(1 上,a≥-6 命題透析本題考查直線與圓的位置關系.解析不妨設r1=1,r2=q,r3=q2,三個圓心分別為C1(1,0),C2(q,0),C3(q2,0),根據勾股定理得|PQ|2=|PC2=|PC2-1=4,因為點P在圓(x-q)+y=q上,故可設點2-1)2+(q2sinθ)2-14,2q2(q2-1)(1+cosθ)P(q22,q2sinθ),其中θ≠π,則(q2cosθ+q2-q)22-1)2+(q2sinθ)2-14,2q2(q2-1)(1+cosθ),即=,解得q=3.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.命題透析本題考查回歸模型的應用.解析(Ⅱ)中國出生人口數低于700萬,即EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up0(y),入)<70.………………(4分)當x=8時,EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up0(y),入)=120-6×8=72>70,當x=9時,EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up0(y),入)=120-6×9=66<70,………………(6分)x=9對應2028年,即預測從2028年開始中國出生人口數將低于700萬.………………(7分)(Ⅲ)分別令x=1,2,3,4,5,得EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up0(y),入)=114,108,102,96,90,…………………(8分)所以因為0.7≤R2<0.85,所以這個模型的擬合效果一般.……………………(13分)16.命題透析本題考查三角形面積公式、正弦定理和余弦定理的應用.解析(I)因為匕BAD=匕CAE,…………(1分)所以即所以……………(5分)(Ⅱ)因為AB=5,AC=3,BC=7,所以匕……………(8分)因為AB丄AE,所以匕BAD=匕所以匕…………………(10分)所以sin匕,…………：EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up2(……),凹凸)………(13分)所以AD=Sin匕AED==13\3DESin匕DAE\321.217.命題透析本題考查空間位置關系的證明、利用空間向量計算空間角.解析(I)由題意知四邊形ABCD存在外接圓,故匕BAD+匕BCD=π,而BC丄CD,故AB丄AD,……………(1分)由PB丄平面PAD,ADC平面PAD,可得PB丄AD,…………(2分)而AB∩PB=B,ABC平面PAB,PBC平面PAB,故AD丄平面PAB,………(3分)又因為ADC平面ABCD,故平面PAB丄平面ABCD.………(4分)(Ⅱ)如圖,過點P作PH丄AB,垂足為H,則PH丄平面ABCD.四棱錐P-ABCD的體積V=●PH●S四邊形ABCD=●PH●(S△ABD+S△BCD),…………(5分)AB由已知得PB丄PA,則點P在以AB為直徑的圓上,當PA=PB時,PH最大,最大值為2=2.…………(‘分)同理,當BC=CD時,S△BCD最大,此時底面ABCD是正方形.………………(7分)所以四棱錐P-ABCD體積的最大值為Vmax=×2×42=.…………(8分)(Ⅲ)以A為坐標原點,AB,AD所在直線分別為x,y軸,過點A且與平面ABCD垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖.AB由(Ⅱ)可知B(4,0,0),D(0,4,0),P(2,0,2),C(4,4,0).所以=(2,0,-2),=(-4,4,0),EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(→),PC)=(2,4,-2).………………(10分)設平面PBD的法向量為n=(x,y,z),●n=2x-2z=0,則設平面PBD的法向量為n=(x,y,z),●n=2x-2z=0,記直線PC與平面PBD所成的角為θ,則18.命題透析本題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性以及極值等性質.所以所以曲線y=f(x)在點(-2,f(-2))處的切線方程為y=(x+2)-3-,2即y=x-1-4……………2(Ⅱ)由題易知g(x)=fl(x)=1-a(2x+x2)ex,所以gl(x)=-a(x2+4x+2)ex.……(5分)令gl(x)=0,得x=-2±\2,當x<-2-\2或x>-2+\2時,gl(x)<0,g(x)單調遞減,當-2-\2<x<-2+\2時,gl(x)>0,g(x)單調遞增,……………………(7分)故g(x)的單調遞增區間為(-2-\2,-2+\2),單調遞減區間為(-∞,-2-\2)和(-2+\2,+∞).…………………(8分)(Ⅲ)若a=0,則f(x)=x+b,f(x)僅有1個零點,符合題意.……………(9分)若a≠0,由f(x)至多有2個零點,可知f(x)至多有