第三章點、直線、平面的投影3-1點的投影3-2直線的投影3-3平面的投影3-1點的投影教學內容一、點的三面投影

二、點的投影規律三、點的投影與直角坐標的關系四、實例五、兩點的相對位置3-1點的投影點、直線、平面是構成形體的基本幾何元素面BCDA線點3-1點的投影設在三面投影體系第一角中有一個A點

，過點A分別向三個投影面作投影線（垂線）。

XVYOWaaYaZaXa″a′HZAYAXAAZ在水平面H得到投影a；在正平面V得到投影a

；在側平面W得到投影a

。一、點的三面投影3-1點的投影移去空間點A，把三面投影體系展開與正面形成一個平面，即得點A的三面投影面

一、點的三面投影3-1點的投影研究由空間點得到其三面投影圖的過程，可得出點的投影規律：1、點的投影仍然是點。

2、點的兩面投影的連線必定垂直于相應的投影軸

aa′⊥OX軸

a'a'‘⊥oz3、點的三面投影滿足“三等”對應關系

Aa″=aay=

a

az=axo

體現長對正；

Aa′=aax=a

az=ayo

體現高平齊；

Aa=a

ax=a

ay=azo

體現寬相等。二、點的投影規律3-1點的投影三、點的投影與直角坐標的關系

點的空間位置可用直角坐標系來表示。在三面投影體系中，把投影面當作坐標面，把投影軸當作直角坐標軸，交點O即為坐標原點。假設在這個直角坐標系中有一個A點，其坐標為（x、y、z）。點到各投影面的距離，為相應的坐標數值X，Y，Z。

3-1點的投影點的每個投影能反映該點的兩個坐標點的正面投影a‘反映出x、z坐標點的水平投影a反映出x、y坐標點的側面投影a''反映出y、z坐標結論：點的兩投影能反映該點的三個坐標。符合點的投影規律。Aa″=aay=a

az=axo=XAa′=aax=a

az=ayo=YAa=a

ax=a

ay=azo=Z三、點的投影與直角坐標的關系3-1點的投影四、實例例1、已知點的兩面投影，求作第三面投影?！瘛馻

a●●a

a●a

解法一:通過作45°線使a

az=aax●●a

aaxaza

●解法二:用分規直接量a

az=aax3-1點的投影例2、已知點A（12，10，15），求點A的三面投影。

作圖步驟：1）作出坐標系2）量取ax=12，ayH=10az=153）過az作Z軸垂線；過ayH、ayw作Y軸垂線；過ax作X軸垂線4）垂線的交點就為所求點A的投影

a、a′、a″aa''a'OXYWHYZaZ15YWaYHa10aX12四、實例3-1點的投影1、空間中兩點的相對位置

判斷方法：XYZ左、右位置—X坐標值大者在左；前、后位置—Y坐標值大者在前；上、下位置—Z坐標值大者在上。圖中AB兩點的相對位置關系如何？B在A的左方、前方、下方五、兩點的相對位置3-1點的投影五、兩點的相對位置2、重影點

當空間兩點位于一條垂直于投影面的直線上時（或某兩個坐標相等時），兩點在該投影面的投影將重合為一點，這點稱為該投影面的重影點

圖中的C點、D點在什么面重影？C點D點的坐標有什么特點？判斷重影點可見性的規則：上遮下；左遮右；前遮后。

3-2直線的投影

教學內容

一、直線的投影二、各種位置直線及其投影特性三、直線上點的投影四、兩直線的相對位置

3-2直線的投影一、直線的投影

直線的投影一般仍為直線；特殊情況下可為一點（積聚投影）?！皟牲c確定一直線”：作直線的投影可以歸結為作直線兩端點的投影。如圖：根據已知條件，在三個投影面上作出直線兩端點A、B的各面投影，再連接同面投影即可得到直線的三面投影ab、a｀b｀、a〃b〃3-2直線的投影二．各種位置直線及其投影特性投影面平行線投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側平線（平行于Ｗ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線水平線（平行于Ｈ面）與三個投影面都傾斜的直線直線平行于某一投影面，傾斜于另兩個投影面直線垂直于某一投影面，平行于另兩個投影面3-2直線的投影二．各種位置直線及其投影特性1、投影面平行線的投影特性：1)在其平行的那個投影面上的投影反映實長2)另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。2、投影面垂直線的投影特性：1).在其垂直的投影面上，投影為點，具有積聚性。2).另外兩個投影，反映線段實長。且垂直于相應的投影軸。3、一般位置直線投影特性：⑴由于與三個投影面成傾斜故三個投影都縮短⑵三個投影均傾斜于投影軸。3-2直線的投影例題：已知直線的兩面投影，求第三面投影，并判斷直線的空間位置。1）根據已知條件，運用投影規律求出直線的第三面投影。2）由圖中可知，直線的三面投影都與投影軸傾斜，所以可以判斷直線為一般位置直線。3）沒有反映實形的投影。一般位置直線二．各種位置直線及其投影特性3-2直線的投影二．各種位置直線及其投影特性2、

3、

1）根據已知條件，運用投影規律求出直線的第三面投影。2）由圖中可知，直線H面投影與投影軸傾斜，另兩投影平行于對應投影軸可以判斷直線為水平線。3）有一個反映實形的投影。1）根據已知條件，運用投影規律求出直線的第三面投影。2）由圖中可知，直線H面投影為點，所以可以判斷直線為鉛垂線。3）有2個反映實形的投影。實長實長實長3-2直線的投影1、從屬性：點在直線上，則點的各個投影必在該直線的同面投影上２.定比性:屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比．abca

b

c

XC點在線段AB上，所以投影也在直線投影上點B在線段AC上，有分線段之比等于其投影之比三、直線上的點3-2直線的投影例題：已知直線AB和點K的V、H兩面投影，試判斷K點是否在AB直線上。解題思路：1）求出線段AB的W面投影2）求出K點的W面投影3)假如K點的W面投影落在線段AB的W面投影上，則點K在線段上，反之，不在AB上。K‘’在線段投影a‘’b‘’之外三、直線上的點3-2直線的投影四、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置關系有：平行、相交、異面。bcdHAd

aCcVaDbB

HVABCDKabcdka

b

c

k

d

XOBDACbb

aa

c

cdd

(3

)4

1(2)34123-3平面的投影

教學內容

一、平面投影的表示法

二、平面的投影作圖方法三、平面對于一個投影面的投影特性四、平面在三投影面體系中的投影特性3-3平面的投影一、平面投影的表示法1、用幾何元素的投影表示平面2、用跡線表示平面⑴不在同一直線上的三點⑵一直線和線外一點。⑶相交兩直線⑷平行兩直線⑸平面圖形3-3平面的投影平面投影的實質，就是求平面形輪廓上的一系列的點的投影（對于多邊形而言則是其頂點），然后將各點的同面投影依次相連可得。由上可見,作平面圖形的投影,實質上仍是以點的投影為基礎而得的投影二、平面的投影作圖方法3-3平面的投影三、平面對于一個投影面的投影特性空間平面相對于一個投影面的位置有平行、垂直、傾斜三種，三種位置有不同的投影特性。平行垂直傾斜投影特性

平面平行投影面-----投影反映實形

平面垂直投影面-----投影積聚成直線

平面傾斜投影面-----投影類似原平面實形性類似性積聚性3-3平面的投影四、平面在三投影面體系中的投影特性投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面

正垂面

側垂面鉛垂面

正平面

側平面水平面與三個投影面都傾斜平行于V面的平面

平行于H面的平面

平行于W面的平面

垂直于V面的平面

垂直于H面的平面

垂直于W面的平面

平面垂直于一個投影面，傾斜于另兩個投影面平面于一個投影面平行，與另兩個投影面垂直3-3平面的投影四、平面在三投影面體系中的投影特性1、投影面垂直面的投影特性：

1)在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。

2)另外兩個投影面上的投影有類似性。abca

c

b

c

b

a

XZoYHYW積聚性投影相似形投影相似形投影圖示為鉛垂面3-3平面的投影四、平面在三投影面體系中的投影特性a

b

c

a

b

c

abcXoYHYW2、投影面平行面的投影特性：１)在它所平行的投影面上的投影反映實形。2)另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。實形投影積聚性投影積聚性投影圖示為水平面3-3平面的投影四、平面在三投影面體系中的投影特性3、一般位置平面投影特點：三個投影都縮小的類似形3-3平面的投影四、平面在三投影面體系中的投