河南省信陽市予南高級中學2025年高三下學期期終調研測試數學試題試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關關系，統計兩科成績得到如圖所示的散點圖(兩坐標軸單位長度相同)，用回歸直線近似地刻畫其相關關系，根據圖形，以下結論最有可能成立的是()A．線性相關關系較強，b的值為1.25B．線性相關關系較強，b的值為0.83C．線性相關關系較強，b的值為－0.87D．線性相關關系太弱，無研究價值2．已知向量，，當時，（）A． B． C． D．3．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度C．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度D．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度4．已知等比數列的各項均為正數，設其前n項和，若（），則（）A．30 B． C． D．625．復數（為虛數單位），則等于（）A．3 B．C．2 D．6．各項都是正數的等比數列的公比，且成等差數列，則的值為()A． B．C． D．或7．已知定義在上的奇函數，其導函數為，當時，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或8．已知直線和平面，若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．不充分不必要9．已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面積是()A． B．2C． D．10．蒙特卡洛算法是以概率和統計的理論、方法為基礎的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯系；用均勻投點實現統計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統計模擬法或統計實驗法.現向一邊長為的正方形模型內均勻投點，落入陰影部分的概率為，則圓周率（）A． B．C． D．11．函數（其中是自然對數的底數）的大致圖像為（）A． B． C． D．12．二項式的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式中的常數項是()A．180 B．90 C．45 D．360二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）如圖是一個算法的流程圖，若輸出的值是，則輸入的值為____________．14．已知，為正實數，且，則的最小值為________________.15．已知數列{an}的前n項和為Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，則數列{}前2020項和為_____16．已知復數z是純虛數，則實數a＝_____，|z|＝_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知兩數．（1）當時，求函數的極值點；（2）當時，若恒成立，求的最大值．18．（12分）某地在每周六的晚上8點到10點半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨立.現統計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長（單位：），得到下面的頻數表：亮燈時長/頻數1020402010以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.（1）試估計的值；（2）設表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數目.①求的數學期望和方差；②若隨機變量滿足，則認為.假設當時，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計，在一場燈光展中，處于最佳燈光亮度的時長（結果保留為整數）.附：①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商；②若，則，，.19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點P，Q分別為，的中點.求證：（1）PQ平面；（2）平面.20．（12分）如圖，已知四棱錐，平面，底面為矩形，，為的中點，.（1）求線段的長.（2）若為線段上一點，且，求二面角的余弦值.21．（12分）在數列中，已知，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：.22．（10分）已知函數，，若存在實數使成立，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據散點圖呈現的特點可以看出，二者具有相關關系，且斜率小于1.【詳解】散點圖里變量的對應點分布在一條直線附近，且比較密集，故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強的線性相關關系，且直線斜率小于1，故選B.【點睛】本題主要考查散點圖的理解，側重考查讀圖識圖能力和邏輯推理的核心素養.2、A【解析】

根據向量的坐標運算，求出，，即可求解.【詳解】，.故選:A.【點睛】本題考查向量的坐標運算、誘導公式、二倍角公式、同角間的三角函數關系，屬于中檔題.3、C【解析】

根據三角函數圖像的變換與參數之間的關系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），故可得；再將向左平移個單位長度，故可得.故選：C.【點睛】本題考查三角函數圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.4、B【解析】

根據，分別令，結合等比數列的通項公式，得到關于首項和公比的方程組，解方程組求出首項和公式，最后利用等比數列前n項和公式進行求解即可.【詳解】設等比數列的公比為，由題意可知中：.由，分別令，可得、，由等比數列的通項公式可得：，因此.故選：B【點睛】本題考查了等比數列的通項公式和前n項和公式的應用，考查了數學運算能力.5、D【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡，從而求得，然后直接利用復數模的公式求解.【詳解】，所以，，故選：D.【點睛】該題考查的是有關復數的問題，涉及到的知識點有復數的乘除運算，復數的共軛復數，復數的模，屬于基礎題目.6、C【解析】分析：解決該題的關鍵是求得等比數列的公比，利用題中所給的條件，建立項之間的關系，從而得到公比所滿足的等量關系式，解方程即可得結果.詳解：根據題意有，即，因為數列各項都是正數，所以，而，故選C.點睛：該題應用題的條件可以求得等比數列的公比，而待求量就是，代入即可得結果.7、D【解析】

先通過得到原函數為增函數且為偶函數，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構造函數，則由題可知，所以在時為增函數；由為奇函數，為奇函數，所以為偶函數；又，即即又為開口向上的偶函數所以，解得或故選：D【點睛】此題考查根據導函數構造原函數，偶函數解不等式等知識點，屬于較難題目.8、B【解析】

由線面關系可知，不能確定與平面的關系，若一定可得，即可求出答案.【詳解】,不能確定還是，，當時，存在，，由又可得，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B【點睛】本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.9、A【解析】

先根據已知求出原△ABC的高為AO＝，再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO＝，∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故答案為A【點睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算，意在考察學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.10、A【解析】

計算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.【詳解】由，∴.故選：A【點睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計算，屬于基礎題.11、D【解析】由題意得，函數點定義域為且，所以定義域關于原點對稱，且，所以函數為奇函數，圖象關于原點對稱，故選D.12、A【解析】試題分析：因為的展開式中只有第六項的二項式系數最大，所以，，令，則，.考點：1.二項式定理；2.組合數的計算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】

依題意，當時，由，即，解得；當時，由，解得或(舍去)．綜上，得或．14、【解析】

由，為正實數，且，可知，于是，可得，再利用基本不等式即可得出結果.【詳解】解：，為正實數，且，可知，，.當且僅當時取等號.的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了基本不等式的性質應用，恰當變形是解題的關鍵，屬于中檔題.15、【解析】

由已知可得?4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1時，a1＝S1＝1.當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂項求和方法即可得出.【詳解】∵⊥，∴?4Sn﹣n（n+3）＝0，∴Sn，n＝1時，a1＝S1＝1.當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1.，滿足上式，.∴2（）.∴數列{}前2020項和為2（1）＝2（1）.故答案為：.【點睛】本題考查了向量垂直與數量積的關系、數列遞推關系、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.16、11【解析】

根據復數運算法則計算復數z，根據復數的概念和模長公式計算得解.【詳解】復數z，∵復數z是純虛數，∴，解得a＝1，∴z＝i，∴|z|＝1，故答案為：1，1．【點睛】此題考查復數的概念和模長計算，根據復數是純虛數建立方程求解，計算模長，關鍵在于熟練掌握復數的運算法則.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）唯一的極大值點1，無極小值點．（2）1【解析】

（1）求出導函數，求得的解，確定此解兩側導數值的正負，確定極值點；（2）問題可變形為恒成立，由導數求出函數的最小值，時，無最小值，因此只有，從而得出的不等關系，得出所求最大值．【詳解】解：（1）定義域為，當時，，令得，當所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以有唯一的極大值點，無極小值點．（2）當時，．若恒成立，則恒成立，所以恒成立，令，則，由題意，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以所以，所以，故的最大值為1．【點睛】本題考查用導數求函數極值，研究不等式恒成立問題．在求極值時，由確定的不一定是極值點，還需滿足在兩側的符號相反．不等式恒成立深深轉化為求函數的最值，這里分離參數法起關鍵作用．18、（1）（2）①，,②72【解析】

（1）將每組數據的組中值乘以對應的頻率，然后再將結果相加即可得到亮燈時長的平均數，將此平均數除以（個小時），即可得到的估計值；（2）①利用二項分布的均值與方差的計算公式進行求解；②先根據條件計算出的取值范圍，然后根據并結合正態分布概率的對稱性，求解出在滿足取值范圍下對應的概率.【詳解】（1）平均時間為（分鐘）∴（2）①∵，∴，②∵，，∴∵，，∴∴即最佳時間長度為72分鐘.【點睛】本題考查根據頻數分布表求解平均數、幾何概型（長度模型）、二項分布的均值與方差、正態分布的概率計算，屬于綜合性問題，難度一般.（1）如果，則；（2）計算正態分布中的概率，一定要活用正態分布圖象的對稱性對應概率的對稱性.19、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）取的中點D，連結，.根據線面平行的判定定理即得；（2）先證，，和都是平面內的直線且交于點，由（1）得，再結合線面垂直的判定定理即得.【詳解】（1）取的中點D，連結，.在中，P，D分別為，中點，，且.在直三棱柱中，，.Q為棱的中點，，且.，.四邊形為平行四邊形，從而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D為中點，.由（1）知，，.又，平面，平面，平面.【點睛】本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.20、（1）的長為4（2）【解析】

（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，根據向量垂直關系計算得到答案.（2）計算平面的法向量為，為平面的一個法向量，再計算向量夾角得到答案.【詳解】（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，所以.，因為，所以，即，解得，所以的長為4.（2）因為，所以，又，故.設為平面的法向量，則即取，解得，所以為平面的一個法向量.顯然，為平面的一個法向量，則，據圖可知，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了立體幾何中的線段長度，二面角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.21、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）由已知變形得到，從而是等差數列，然后利用等差數列的通項公式計算即可；（2）先求出數列的通項