2025屆四川省綿陽市三臺縣三臺中學高三下學期第二次模擬考試（期中）數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則等于()A． B． C． D．2．函數的部分圖象如圖所示，則（）A．6 B．5 C．4 D．33．已知函數，則下列結論中正確的是①函數的最小正周期為；②函數的圖象是軸對稱圖形；③函數的極大值為；④函數的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④4．斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點，則的最大值為A．2 B． C． D．5．已知復數，為的共軛復數，則（）A． B． C． D．6．要得到函數的圖象，只需將函數圖象上所有點的橫坐標（）A．伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度B．伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖像向左平移個單位長度C．縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度D．縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度7．若2m＞2n＞1，則（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．8．已知復數z=2i1-i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知為圓的一條直徑，點的坐標滿足不等式組則的取值范圍為（）A． B．C． D．10．如果實數滿足條件，那么的最大值為（）A． B． C． D．11．已知方程表示的曲線為的圖象，對于函數有如下結論：①在上單調遞減；②函數至少存在一個零點；③的最大值為；④若函數和圖象關于原點對稱，則由方程所確定；則正確命題序號為()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④12．已知集合，，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關于的不等式對于任意恒成立，則實數的取值范圍為_________．14．已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，則球的體積為__________．15．在直角三角形中，為直角，，點在線段上，且，若，則的正切值為_____.16．如圖，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，點是棱的中點，點是棱靠近的三等分點，且三棱錐的體積為2，則四棱柱的體積為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知在三棱臺中，，，.（1）求證：；（2）過的平面分別交，于點，，且分割三棱臺所得兩部分幾何體的體積比為，幾何體為棱柱，求的長.提示：臺體的體積公式（，分別為棱臺的上、下底面面積，為棱臺的高）.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知點，曲線：（為參數）以原點為極點，軸正半軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）判斷點與直線的位置關系并說明理由；（Ⅱ）設直線與曲線的兩個交點分別為，，求的值.19．（12分）為響應“堅定文化自信，建設文化強國”，提升全民文化修養，引領學生“讀經典用經典”，某廣播電視臺計劃推出一檔“閱讀經典”節目.工作人員在前期的數據采集中，在某高中學校隨機抽取了120名學生做調查，統計結果顯示：樣本中男女比例為3:2，而男生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是7:5，女生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是5:3.（1）填寫下面列聯表，并根據聯表判斷是否有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系？男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學不喜歡閱讀中國古典文學總計（2）為做好文化建設引領，實驗組把該校作為試點，和該校的學生進行中國古典文學閱讀交流.實驗人員已經從所調查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表，這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古典文學.現從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會，記為參加會議的人中喜歡古典文學的人數，求5的分布列及數學期望附表及公式：.20．（12分）在直角坐標系中，直線l過點，且傾斜角為，以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．求直線l的參數方程和曲線C的直角坐標方程，并判斷曲線C是什么曲線；設直線l與曲線C相交與M，N兩點，當，求的值．21．（12分）已知首項為2的數列滿足.（1）證明：數列是等差數列．（2）令，求數列的前項和.22．（10分）已知等差數列{an}的各項均為正數，Sn為等差數列{an}的前n項和，.（1）求數列{an}的通項an；（2）設bn＝an?3n，求數列{bn}的前n項和Tn.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

解不等式確定集合，然后由補集、并集定義求解．【詳解】由題意或，∴，．故選：B.【點睛】本題考查集合的綜合運算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎題型．2．A【解析】

根據正切函數的圖象求出A、B兩點的坐標，再求出向量的坐標，根據向量數量積的坐標運算求出結果．【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ，k=0時解得x=2，令=1,即，解得x=3，∴A(2,0),B(3,1)，∴，∴.故選：A.【點睛】本題考查正切函數的圖象，平面向量數量積的運算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關鍵是利用圖象與正切函數圖象求出坐標，再根據向量數量積的坐標運算可得結果，屬于簡單題.3．D【解析】

因為，所以①不正確；因為，所以，，所以，所以函數的圖象是軸對稱圖形，②正確；易知函數的最小正周期為，因為函數的圖象關于直線對稱，所以只需研究函數在上的極大值與最小值即可．當時，，且，令，得，可知函數在處取得極大值為，③正確；因為，所以，所以函數的最小值為，④正確．故選D．4．C【解析】

設出直線的方程，代入橢圓方程中消去y，根據判別式大于0求得t的范圍，進而利用弦長公式求得|AB|的表達式，利用t的范圍求得|AB|的最大值．【詳解】解：設直線l的方程為y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由題意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦長|AB|＝4．故選：C．【點睛】本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的關系．常需要把直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理，判別式找到解決問題的突破口．5．C【解析】

求出，直接由復數的代數形式的乘除運算化簡復數.【詳解】.故選：C【點睛】本題考查復數的代數形式的四則運算，共軛復數，屬于基礎題.6．B【解析】

分析：根據三角函數的圖象關系進行判斷即可．詳解：將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），

得到再將得到的圖象向左平移個單位長度得到故選B．點睛：本題主要考查三角函數的圖象變換，結合和的關系是解決本題的關鍵．7．B【解析】

根據指數函數的單調性，結合特殊值進行辨析.【詳解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正確；而當m，n時，檢驗可得，A、C、D都不正確，故選：B．【點睛】此題考查根據指數冪的大小關系判斷參數的大小，根據參數的大小判定指數冪或對數的大小關系，需要熟練掌握指數函數和對數函數的性質，結合特值法得出選項.8．C【解析】分析：根據復數的運算，求得復數z，再利用復數的表示，即可得到復數對應的點，得到答案．詳解：由題意，復數z=2i1-i所以復數z在復平面內對應的點的坐標為(-1,-1)，位于復平面內的第三象限，故選C．點睛：本題主要考查了復數的四則運算及復數的表示，其中根據復數的四則運算求解復數z是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．9．D【解析】

首先將轉化為，只需求出的取值范圍即可，而表示可行域內的點與圓心距離，數形結合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設圓心為，則,過作直線的垂線，垂足為B，顯然，又易得，所以，，故.故選：D.【點睛】本題考查與線性規劃相關的取值范圍問題，涉及到向量的線性運算、數量積、點到直線的距離等知識，考查學生轉化與劃歸的思想，是一道中檔題.10．B【解析】

解：當直線過點時，最大，故選B11．C【解析】

分四類情況進行討論，然后畫出相對應的圖象，由圖象可以判斷所給命題的真假性.【詳解】（1）當時，，此時不存在圖象；（2）當時，，此時為實軸為軸的雙曲線一部分；（3）當時，，此時為實軸為軸的雙曲線一部分；（4）當時，，此時為圓心在原點，半徑為1的圓的一部分；畫出的圖象，由圖象可得：對于①，在上單調遞減，所以①正確；對于②，函數與的圖象沒有交點，即沒有零點，所以②錯誤；對于③，由函數圖象的對稱性可知③錯誤；對于④，函數和圖象關于原點對稱，則中用代替，用代替，可得，所以④正確.故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，函數的圖象與性質，函數的零點概念，考查了數形結合的數學思想.12．A【解析】

由，得，代入集合B即可得.【詳解】，，，即：，故選：A【點睛】本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關系，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先將不等式對于任意恒成立,轉化為任意恒成立，設，求出在內的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，不等式對于任意恒成立，即，又因為，，對任意恒成立，設，其中，由不等式，可得：，則，當時等號成立，又因為在內有解，，則，即：，所以實數的取值范圍：.故答案為：.【點睛】本題考查不等式恒成立問題，利用分離參數法和構造函數，通過求新函數的最值求出參數范圍，考查轉化思想和計算能力.14．【解析】

由題意可得三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，求出正方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求出球的體積.【詳解】解：因為，為正三角形，所以，因為，所以三棱錐的三條側棱兩兩垂直，所以它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，因為正方體的對角線長為，所以其外接球的半徑為，所以球的體積為故答案為：【點睛】此題考查球的體積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計算能力，屬于中檔題.15．3【解析】

在直角三角形中設，，，利用兩角差的正切公式求解.【詳解】設，，則，故.故答案為：3【點睛】此題考查在直角三角形中求角的正切值，關鍵在于合理構造角的和差關系，其本質是利用兩角差的正切公式求解.16．12【解析】

由題意，設底面平行四邊形的，且邊上的高為，直四棱柱的高為，分別表示出直四棱柱的體積和三棱錐的體積，即可求解?！驹斀狻坑深}意，設底面平行四邊形的，且邊上的高為，直四棱柱的高為，則直四棱柱的體積為，又由三棱錐的體積為，解得，即直四棱柱的體積為。【點睛】本題主要考查了棱柱與棱錐的體積的計算問題，其中解答中正確認識幾何體的結構特征，合理、恰當地表示直四棱柱三棱錐的體積是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，以及空間想象能力，屬于中檔試題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）2【解析】

（1）在中，利用勾股定理，證得，又由題設條件，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而得到；（2）設三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，根據棱臺的體積公式，列出方程求得，得到，即可求解.【詳解】（1）由題意，在中，，，所以，可得，因為，可得.又由，，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）因為，可得，令，，設三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，則，整理得，即，解得，即，又由，所以.【點睛】本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應用，以及幾何體的體積公式的應用，其中解答中熟記線面位置關系的判定定理與性質定理，以及熟練應用幾何體的體積公式進行求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.18．（Ⅰ）點在直線上；見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）直線：，即，所以直線的直角坐標方程為，因為，所以點在直線上；（Ⅱ）根據直線的參數方程中參數的幾何意義可得.【詳解】（Ⅰ）直線：，即，所以直線的直角坐標方程為，因為，所以點在直線上；（Ⅱ）直線的參數方程為（為參數），曲線的普通方程為，將直線的參數方程代入曲線的普通方程得，設兩根為，，所以，，故與異號，所以，，所以.【點睛】本題考查在極坐標參數方程中方程互化，還考查了直線的參數方程中參數的幾何意義，屬于中檔題.19．（1）見解析，沒有（2）見解析，【解析】

（1）根據題目所給數據填寫列聯表，計算出的值，由此判斷出沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系.（2）先判斷出的所有可能取值，然后根據古典概型概率計算公式，計算出分布列并求得數學期望.【詳解】（1）男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學423072不喜歡閱讀中國古典文學301848總計7248120所以，沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關系.（2）設參加座談會的男生中喜歡中國古典文學的人數為，女生中喜歡古典文學的人數為，則.且；；.所以的分布列為則.【點睛】本小題主要考查列聯表獨立性檢驗，考查隨機變量分布列和數學期望的求法，考查數據處理能力，屬于中檔題.20．(Ⅰ)曲線是焦點在軸上的橢圓；(Ⅱ)．【解析】試題分析：（1）由題易知，直線的參數方程為，（為參數），；曲線的直角坐標方程為，橢圓；（2）將直線代入橢圓得到，所以，解得．試題解析：(Ⅰ)直線的參數方程為.曲線的直角坐標方程為，即，所以曲線是焦點在軸上的橢圓.(Ⅱ)將的參數方程代入曲線的直角坐標方程為得，，得，，21．（1）見解析；（2）【解析】

（1）由原式可得,等式兩端同時除以,可得到,即可證明結論;（2）由（1）可求得的表達式,進而可求得的表達式,然后求出的前項和即可.【詳解】（