姓名:姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考生座位號:專業(yè):2ˉ±°2ˉ±°一、(本題15分)設(shè)L1和L2是空間中兩異面直線.設(shè)在標(biāo)準(zhǔn)直角坐標(biāo)系下直線L1過坐標(biāo)為a的點(diǎn)，以單位向量v為直線方向；直線L2過坐標(biāo)為b的點(diǎn)，以單位向量w為直線方向.1)證明：存在唯一點(diǎn)P∈L1和Q∈L2使得兩點(diǎn)連線PQ同時(shí)垂直于L1和L2.2)求P點(diǎn)和Q點(diǎn)坐標(biāo)(用a,b,v,w表示).解：1）過直線L2上一點(diǎn)和線性無關(guān)向量v和w做平面σ,則直線L2落在平面σ上，且直線L1平行于平面σ。過L1做平面τ垂直于平面σ,記兩平面交線為L。設(shè)兩直線L和L2的交點(diǎn)為Q,過Q做平面σ的法線，交直線L1為P,則PQ同時(shí)垂直于L1和L2。......(4分)2ˉ±°設(shè)X=P+sv∈L1和Y=Q+tw∈L2也使得XY同時(shí)垂直于L1和L22ˉ±°密封線答題時(shí)不要超過此線?sv+tw垂直于v和w，故有?s+(v·w)t=0和?s(v·w)+t=0密封線答題時(shí)不要超過此線。由于(v·w)2<1，我們得到s=t=0,即X=P，Y=Q，這樣的P和Q存在且唯一。......(8分)2）設(shè)P=a+sv∈L1和Q=b+t(b?a)?sv+tw=λv×w,.......(11分)于是有2ˉ±°(b?a)·v?s+t(v·w)=0,(b?a)·w?s(v2ˉ±°故有得到.......(15分)2ˉ±°二、(本題20分)A為4階復(fù)方陣，它滿足關(guān)于跡的關(guān)系式：trAi=i,i=首先，記A的4個特征值為λ1,λ2,λ3,λ4,A的特征多項(xiàng)式為p(λ)=λ4+a3λ3+2λ2+a1λ+a0.則由p(λ)=(λλ1)(λλ2)(λλ3)(λλ4)可知其次，由于跡在相似變換下保持不變，故由A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形（或Schur分解）立知......(10分)由（1）兩邊立方得1=λ+λ+λ+λ+3λ(λ2+λ3+λ4)+3λ(λ1+λ3+λ4)+3λ(λ2+λ1+λ4)+3λ(λ2+λ3+λ1)—6a1再由（123）即得1=3+3λ3λ+3λ3λ+3λ3λ+3λ3λ6a1最后=λ4—λ3λ+a0得相加得結(jié)果,亦即A的行列式為.□......(20分)姓名:姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考生座位號:專業(yè):三、(本題15分)設(shè)A為n階實(shí)方陣，其n個特征值皆為偶數(shù).試證明關(guān)于X的矩陣方程2ˉ±°X+AX—XA2=02ˉ±°證明設(shè)C=I+A,B=A2,A的n個特征值為λ1,λ2,...,λn,則B的n個特征值為λ,λ,...,λ;C的n個特征值為μ1=λ1+1,μ2=λ2+1,...,μn=λn+1;C的特征......(5分)若X為X+AX—XA2=0的解，則有CX=XB;進(jìn)而C2X=XB2,···,CkX=XBk···,結(jié)果0=pC(C)X=XpC(B)=X(B—μ1I)···(B—μnI).注意到B的n個特征值皆為偶數(shù)，而C的n個特征值皆為奇數(shù)，故密封線答題時(shí)不要超過此線2ˉ±°Bμ1I,···,BμnI皆為可逆矩陣，結(jié)果由0=X(Bμ1I)···(BμnI)立得X=0.密封線答題時(shí)不要超過此線2ˉ±°......(15分)2ˉ±°2ˉ±°四、(本題15分)數(shù)列{an}滿足關(guān)系式an+1=an+,a1>0.求證存在.證明a2=a1+>2.若an>n,則n?n單調(diào)遞減.......(5分)令bn=n(an?n),則......(10分)考察Rn.結(jié)果由limn(1+Rk)存在知limn(an?n)存在.......(15分)姓名:姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考生座位號:專業(yè):五、(本題15分)設(shè)f(x)是[0,+∞)上有界連續(xù)函數(shù),h(x)是[0,+∞)上連續(xù)函數(shù),且∞|h(t)|dt=a<1.構(gòu)造函數(shù)列如下:g0(x)=f(x),2ˉ±°gn(x)=f(x)+h(t)gn?1(t)dt,n=1,2,···(1)2ˉ±°求證{gn(x)}收斂于一個連續(xù)函數(shù),并求其極限函數(shù).證明記M=sup|f(x)|.因而|g0(x)|≤M.假設(shè)|gn?1(x)|≤(1+a+···+an?1)M.密封線答題時(shí)不要超過此線2ˉ±°=M+a(1+a+···+an?1)M=(1+a+···+an?1+an密封線答題時(shí)不要超過此線2ˉ±°gn(x)?gn?1(x)=h(t)(gn?1(t)?gn?2(t))dt,n(x)?gn?1(x)|≤asup|gn?1(x)?gn?2|.從而n(x)?gn?1(x)|≤an?1sup|g1(x)?g0(x)|≤anM.2ˉ±°2ˉ±°在[0,+∞)上一致收斂,即函數(shù)列{gn(x)}在[0,+∞)上一致收斂.因?yàn)楹瘮?shù)列的每一項(xiàng)都連續(xù),因而其極限函數(shù)g(x)也是連續(xù)函數(shù)............10分在(1)的兩邊取極限得g(x)=f(x)+h(t)g(t)dt.(2)2ˉ±°記ψ(x)=h(t)g(t)dt,H(x)=h(t)dt,則此二函數(shù)可導(dǎo),且ψI(x)=h(x)g(x),HI(x)=h(x).由(2)得2ˉ±°ψI(x)?h(x)ψ(x)=h(x)f(x).(e?H(x)ψ(x))I=e?H(x)h(x)f(x).兩邊積分可得e?H(x)ψ(x)=e?H(t)h(t)f(t)dt.即,ψ(x)=eH(x)e?H(t)h(t)f(t)dt.將此代入(2)就得到g(x)=f(x)+eH(x)e?H(t)h(t)f(t)dt.姓名:姓名:準(zhǔn)考證號:所在院校:考生座位號:專業(yè):六、(本題20分)設(shè)f(x)是R上有下界或者有上界的連續(xù)函數(shù)且存在正數(shù)a使得2ˉ±°2ˉ±°為常數(shù)。求證：f(x)必為常數(shù)。證明:不妨設(shè)f(x)有下界。設(shè)m=infx∈Rf(x),g(x)=f(x)—m,則g(x)為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且為非負(fù)常數(shù)。由(1)知g(x)是可微函數(shù)，且密封線答題時(shí)不要超過此線2ˉ±°/(x)+a(g(x)g(x1))=0.密封線答題時(shí)不要超過此線2ˉ±°(eaxg(x))/=aeaxg(x—1)>0.這說明eaxg(x)是遞增函數(shù)。