第六屆中國大學生數學競賽決賽三、四年級試卷,,姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:題號一二三四五總分滿分得分注意:1.前5大題是必答題,再從6–11大題中任選兩題,題號要填入上面的表中.2.所有答題都須寫在此試卷紙密封線右邊,寫在其它紙上一律無效.3.密封線左邊請勿答題,密封線外不得有姓名及相關標記.4.如答題空白不夠,可寫在當頁背面,并標明題號.,密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線得分評閱人得分評閱人(1)實二次型2x1x2-x1x3+5x2x3的規范型為 .級數的和為-----.(3)計算第一型曲面積分的值:dS=-----.,(4)A=(aij)為n階實對稱矩陣(n>1),rank(A)=n-1,A的每行元素之和均為0.設2,3,...,n為A的全部非零特征值.用A11表示A的元素a11所對應的代數余子式.則有A11=.,,得分評閱人二、(本題15分)設空間中定點P到一定直線l的距離為p.一族球面中的每個球面都過點P,且截直線l得到的弦長都是定值a.求該球面族的球心的軌跡得分評閱人姓名:準考證號姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:,,得分評閱人,密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線,,其中C表示復數域.試證明:8A∈Γ,A的Jordan標準形JA仍然屬于Γ;進一步還存在可逆矩陣P∈Γ使得P-1AP=JA.得分評閱人求滿足不等式得分評閱人,五、(本題10分)設a(t),f(t)為實連續函數?f(t)>0,a(t)>1,8t∈R.,0∞f(t)dt=+∞.已知C2函數x(t)滿足得分評閱人,姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:x,,(t)+a(t)f(x(t))≤0,8t∈R.求證:x(t)在[0,姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:,密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線,,得分評閱人的非常值整函數f(z).六、(本題10分)設a,b是兩個不同的復數.求滿足方程(f,(z))2=(f(z)-a)(f(z)-b)(1),,得分評閱人姓名:姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:,密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線,,七、(本題10分)設f(x)是R1上的Lipschitz函數,Lipschitz常數為K,則對任意的Lebesgue可測集ECR1,均有m(f(E))≤K·m(E),其中m(·)表示一維Lebesgue測度.八、(八、(本題10分)設三維空間的曲面S滿足:(1)P0=(0,0,-1)∈S;'≤1?其中O是原點.證明:曲面S在P0的Gauss曲率K(P0)≥1.得分評閱人得分評閱人九、(本題10分)考慮求解線性方程組Ax=b的如下迭代格式得分評閱人,(QD-C)x(k+1)=((Q-1)D+CT)x(k)+b,姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:其中D為實對稱正定方陣,C是滿足C+CT=D-A的實方陣,Q為實數.若A是實對稱正定方陣,且QD-C可逆,Q>1/2.證明:上述迭代格式對任何初始向量姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:,密封線答題時不要超過此線密封線答題時不要超過此線,,得分評閱人十、(本題10分)設R為[0,1]上的連續函數環?其加法為普通的函數加法?乘法為普通的函數乘法.I為R的一個極大左理想.證明:8f,g∈I,f與g在[0,1]上必有公共的零點得分評閱人時不要超過此線時不要超過此線iiiiiiiii得分評閱人,十一、(本題10分)設在國際市場上對我國某種出口商品每年的需求量X(單位:噸)是隨機變量,X服從[100,200]上的均勻分布.每出售這種商品一噸,可以為國家掙得外匯3萬元;若銷售不出而囤積于倉庫,得分評閱人,姓名:準考證號:所在院校:考生座位號:專業:費保養