1試題解答15分)設Γ為橢圓拋物面z=3x2+4y2+1.從原點作Γ的切錐面.求切錐面方程.解答:設(x,y,z)為切錐面上的點(非原點).存在唯一t使得t(x,y,z)落在橢圓拋物面上(5分).于是有tz=(3x2+4y2)t2+1,并且這個關于t的二次方程只有一個根(10分).于是,判別式?=z2?4(3x2+4y2)=0.這就是所求的切錐面方程(15分)□15分)設Γ為拋物線,P是與焦點位于拋物線同側的一點.過P的直線L與Γ圍成的有界區域的面積記為A(L).證明:A(L)取最小值當且僅當P恰為L被Γ所截出的線段的中點.解答:不妨設拋物線方程為y=x2,P=(x0,y0)(1分)P與焦點在拋物線的同側,則y0>x2分)設L的方程為y=k(x?x0)+y0.L與Γ的交點的x坐標滿足x2=k(x?x0)+y0,有兩個解x1<x2滿足x1+x2=k,x1x2=kx0?y06分)L與x軸x=x1,x=x2構成的梯形面積D=拋物線與x軸x=x1,x=x2構成區域的面積為∫12x2dx=?x)8分).于是有36A(L)2=(x2?x1)6=((x1+x2)2?4x1x2)3=(k2?4kx0+4y0)3(12分),等式成立當且僅當A(L)取最小值,當且僅當k=2x0,即x1+x2=2x015分)□10分)設f∈C1[0,+∞),f(0)>0,f′(x)≥0?x∈[0,+∞).已知∞dx<+∞,求證∞dx<+∞.解答:由于f′(x)≥0,有1分).取極限8分).故由已知條件有10分)10分)設A,B,C均為實n階正定矩陣,P(t)=At2+Bt+C,f(t)=detP(t),其中t為未定元,detP(t)表示P(t)的行列式.若λ為f(t)的根,試證明:Re(λ)<0,這里Re(λ)表示λ的實部解答:設λ為f(t)的根,則有detP(t)=0,從而P(t)的n個列線性相關.于是存在α0使得P(λ)α=0,進而α?P(λ)α=0.4分)具體地,α?Aαλ2+α?Bαλ+α?Cα=0.令a=α?Aα,b=α?Bα,c=α?Cα,則由A,B,C皆為正定矩陣知a>0,b>6分).注意到,當b2?4ac≥0時.當b2?4ac<0時,√,從而Reλ=?b/2a<0.□已知0aixi,|x|<1,n為正整數解答:由于Σ恰為展開式中xn?1的系數(2分),而2其xn?1項系數等于的xn?1項系數(6分),也就等于的xn?1項系數,它等于故有10分)□,dx=0,且f′(x)解答:由于f(0)=f(1),故存在c∈(0,1)使得f′(c)=0(2分).又f′(x)1,由導函數介值性質恒有f′(x)<14分).令g(x)=f(x)-x,則g(x)為單調下降函數(6分)故12分).于是有15分)325分)已知實矩陣.證明:(1)矩陣方程AX=B有解但BY=A無解的充要條件是a2,b=4/3;(2)A相似于B的充要條件是a=3,b=2/3;(3)A合同于B的充要條件是a<2,b=3.解答(1)矩陣方程AX=B有解等價于B的列向量可由A的列向量線性表示,BY=A無解等價于A的某個列向量不能由B的列向量線性表示(2分)對(A,B)作初等行變換:知,B的列向量組可由A的列向量線性表示當且僅當a26分).對矩陣(B,A)作初等行變換:由此知A的列向量組不能由B的列向量線性表示的充要條件是b=4/3.所以矩陣方程AX=B有解但BY=A無解的充要條件是a2,b=4/3分)(2)若A,B相似,則有trA=trB,且|A|=|B|,故有a=3,b=2/3分).反之,若a=3,b=2/3,則有A和B的特征多項式均為λ2-5λ+2.由于λ2-5λ+2=0由兩個不同的根,從而A,B都可以相似于同一對角陣.故A與B相似(15分)(3)由于A為對稱陣,若A,B合同,則B也是對稱陣,故b=316分)矩陣B對應的二次型g(x1,x2)=4x+6x1x2+x=(3x1+x2)2-5x.在可逆線性變換y1=3x1+x2,y2=x1下,g(x1,x2)變成標準型:y-5y18分).由此,B的正,負慣性指數為119分)類似地,A對應的二在可