線性代數課件復習：向量空間與線性變換課程概述向量空間基本概念理解向量、線性組合、基與維數線性變換定義和性質掌握映射特性、矩陣表示、核與像兩者聯系第一部分：向量空間8向量公理滿足八條基本運算法則3常見空間R^n、矩陣空間、多項式空間∞應用領域向量空間的定義加法封閉性任意兩向量相加仍在空間中數乘封閉性向量與標量相乘仍在空間中8條運算法則向量空間的例子R^n空間n維實數向量構成的空間最直觀的向量空間例子矩陣空間所有m×n矩陣構成的集合矩陣加法和數乘滿足向量空間公理多項式空間所有最高次數不超過n的多項式多項式加法和數乘構成向量空間向量的線性組合定義形如c?v?+c?v?+...+c?v?其中c?,c?,...,c?為實數常數幾何解釋二維空間中表示為向量的伸縮和相加可視為向量的加權和線性相關與線性無關線性相關存在非全零系數使線性組合為零向量至少一個向量可由其他向量表示線性無關僅有全零系數使線性組合為零向量每個向量都提供新信息判定方法行列式為零則線性相關解齊次方程組判斷向量組的秩秩的定義向量組中線性無關向量的最大個數等價表述生成子空間的維數計算方法行階梯形矩陣的非零行數向量空間的基基的定義線性無關且張成整個空間的向量組基的性質空間中任意向量可唯一表示為基的線性組合標準基R^n中的單位向量組成的基基的變換不同基之間通過可逆變換聯系向量空間的維數定義基中向量的個數與基的關系所有基的向量個數相同性質表征空間的"大小"例子R^n的維數為n坐標與坐標變換坐標的定義向量在給定基下的線性組合系數v=c?e?+c?e?+...+c?e?不同基下的坐標變換通過過渡矩陣P實現轉換[v]?=P[v]?P由基向量坐標組成子空間定義向量空間的非空子集，滿足向量空間公理子空間判定包含零向量，對加法和數乘封閉例子平面中的一條直線子空間的運算和S+T={s+t|s∈S,t∈T}交S∩T={v|v∈S且v∈T}直和S⊕T：S+T且S∩T={0}商空間定義V/U={v+U|v∈V}U是V的子空間性質dim(V/U)=dim(V)-dim(U)等價類的集合陪集形成向量空間第二部分：線性變換定義與性質保持線性結構的映射矩陣表示通過矩陣刻畫變換核與像描述變換的基本特征可逆性一對一對應的條件線性變換的定義加法保持性T(u+v)=T(u)+T(v)數乘保持性T(cv)=cT(v)線性性保持線性組合線性變換的性質零向量的像T(0)=0零向量必須映射到零向量線性組合的像T(c?v?+c?v?)=c?T(v?)+c?T(v?)保持線性組合結構子空間的像子空間的像是子空間保持子空間結構線性變換的矩陣表示定義線性變換可由方陣唯一表示矩陣A的列是基向量的像計算方法確定基向量的像組成變換矩陣AT(v)=A[v]線性變換的核定義核(T)={v∈V|T(v)=0}性質核是定義域的子空間零度核的維數稱為變換的零度線性變換的像定義像(T)={T(v)|v∈V}性質像是值域的子空間秩像的維數稱為變換的秩線性變換的秩1定義變換像的維數2與矩陣秩的關系等于表示矩陣的秩計算方法計算表示矩陣的秩線性變換的零度定義變換核的維數與核的維數的關系直接等于核的維數計算方法求解齊次方程組Ax=0秩-零化度定理=定理內容rank(T)+nullity(T)=dim(V)dim(V)空間維數定義域的維數證明證明思路基礎定理，證明通過核與像補空間的同構線性變換的逆定義T?1°T=I_V且T°T?1=I_W逆變換滿足復合等于恒等變換存在條件T是滿射且單射當且僅當ker(T)={0}當且僅當rank(T)=dim(V)可逆線性變換定義存在逆變換的線性變換一對一且滿射的變換性質保持維數可逆變換的逆唯一判定矩陣可逆秩等于空間維數同構線性變換定義存在可逆線性變換的兩個空間稱為同構1判定條件維數相同的空間同構2意義具有相同的代數結構線性變換的合成定義(S°T)(v)=S(T(v))矩陣表示[S°T]=[S][T]性質滿足結合律但不滿足交換律第三部分：向量空間與線性變換的聯系統一視角變換通過矩陣聯系不同的向量空間基變換同一空間不同表示之間的關系特征結構揭示變換的內在性質基變換與線性變換關系基變換影響線性變換矩陣表示表示矩陣隨基的選擇變化應用選擇合適基簡化變換表示便于計算特征值和特征向量線性變換的矩陣與基變換原始基下的矩陣表示[T]_B過渡矩陣P將B表示為C的線性組合新基下的矩陣表示[T]_C=P?1[T]_BP相似矩陣與線性變換定義A~B??可逆P，使B=P?1AP線性變換視角表示同一線性變換在不同基下的矩陣性質有相同特征多項式，相同行列式不變量秩、特征值、跡保持不變不變子空間定義W?V且T(W)?W子空間在變換下映射回自身性質限制在W上為W上的線性變換核與像均為不變子空間應用簡化復雜變換的分析構造Jordan標準型的基礎特征值與特征向量定義T(v)=λv，v≠0向量在變換下只改變尺度計算方法求解特征方程det(A-λI)=0對每個特征值求解(A-λI)v=0幾何意義特征向量對應的方向在變換下保持特征值表示拉伸或壓縮程度特征空間定義E_λ={v∈V|T(v)=λv}性質是V的子空間代數重數特征值作為特征多項式根的重數幾何重數對應特征空間的維數對角化定義找P使P?1AP為對角矩陣條件n個線性無關特征向量應用簡化矩陣冪次計算Jordan標準型問題并非所有矩陣可對角化解決方案廣義特征向量和Jordan塊結構對角線為特征值，上對角線為1或0構造方法復雜，需使用廣義特征向量最小多項式定義使T(P(A))=0的最低次非零多項式滿足m(A)=0的最低次多項式性質能整除特征多項式有相同的不可約因子應用判斷矩陣可對角化計算矩陣函數Hamilton-Cayley定理0定理內容P(A)=0，其中P是A的特征多項式n次降次可將A的高次冪降至n-1次及以下簡化應用計算矩陣函數和矩陣冪第四部分：應用實例線性方程組核空間對應解的結構微分方程線性算子與解的表示量子力學自伴隨算子與可觀測量計算機圖形學變換矩陣與幾何操作線性方程組與線性變換關系Ax=b表示線性變換A作用于x得到值b方程解對應核平移解法齊次：求核空間非齊次：特解+齊次解應用秩-零化度定理分析解的結構二次型與線性變換關系二次型q(x)=x^TAx對稱矩陣二次型對應唯一對稱矩陣正交對角化主軸變換簡化二次型應用圓錐曲線、正定性判定微分方程與線性變換線性微分方程形如a_ny^(n)+...+a_1y'+a_0y=f(x)微分算子D是線性變換解的結構齊次解為微分算子的核通解=特解+齊次通解特征值應用特征值對應指數解e^λx求解常系數線性微分方程傅里葉變換與線性變換傅里葉變換的線性性質F[af+bg]=aF[f]+bF[g]是函數空間上的線性變換應用信號處理：分解為簡單頻率成分微分方程：轉換為代數方程圖像處理：頻域分析和濾波主成分分析與線性變換PCA原理尋找數據最大方差方向協方差矩陣特征向量確定主成分方向線性變換視角旋轉坐標系到主軸方向機器學習中的線性變換線性回歸最小化均方誤差的線性映射神經網絡中的線性層Wx+b形式的仿射變換降維技術PCA、LDA等線性投影方法3量子力學中的線性算子線性算子的定義希爾伯特空間上的線性變換厄米算子表示可觀測量的自伴隨算子本征態算子的特征向量表示穩定狀態測量投影到特征空間的過程計算機圖形學中的線性變換旋轉保持距離的正交變換縮放改變尺寸的對角矩陣投影降維的奇異矩陣齊次坐標表示平移的技巧第五部分：高級主題內積空間定義配備內積?u,v?的向量空間滿足線性性、對稱性、正定性性質能定義長度：||v||=√?v,v?能定義角度：cosθ=?u,v?/(||u||||v||)例子歐氏空間：?u,v?=u^Tv函數空間：?f,g?=∫f(x)g(x)dx正交補空間定義W^⊥={v∈V|?v,w?=0,?w∈W}與子空間W中所有向量正交的向量集合性質正交補是子空間dim(W)+dim(W^⊥)=dim(V)V=W⊕W^⊥（正交直和）Schmidt正交化1起始線性無關向量組{v?,...,v?}過程逐步投影并正交化結果正交向量組{u?,...,u?}4單位化獲得標準正交基自伴隨算子定義?T(u),v?=?u,T(v)?矩陣表示厄米矩陣/對稱矩陣特征值全為實數特征向量不同特征值的特征向量正交譜定理1定理內容自伴隨算子可正交對角化2應用二次型化簡，振動分析推廣正規算子的譜分解奇異值分解定義A=UΣV?正交矩陣U和V包含左右奇異向量奇異值Σ對角線上的非負實數應用圖像壓縮，PCA，偽逆廣義逆矩陣定義偽逆A?滿足特定條件的矩陣計算通過SVD:A?=VΣ?U?性質AA?A=A,A?AA?=A?應用求解最小二乘問題張量積定義V?W表示兩個向量空間的張量積基為{v??w?}，維數為dim(V)·dim(W)應用量子力學中復合系