2025屆西藏拉薩北京實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三高考調(diào)研測(cè)試(二)數(shù)學(xué)試題_第1頁
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2025屆西藏拉薩北京實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三高考調(diào)研測(cè)試(二)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.定義在上函數(shù)滿足,且對(duì)任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立,若關(guān)于x的不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.2.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國(guó)物流與采購(gòu)聯(lián)合會(huì)發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個(gè)月的中國(guó)制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為B.12個(gè)月的PMI值的平均值低于50%C.12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D.12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為50.3%3.已知斜率為k的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為,則斜率k的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知集合,,且、都是全集(為實(shí)數(shù)集)的子集,則如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為()A. B.或C. D.5.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.6.若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.函數(shù)在上最大值是17.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則其共軛復(fù)數(shù)()A. B. C. D.8.已知函數(shù),若,則a的取值范圍為()A. B. C. D.9.函數(shù)的部分圖像大致為()A. B.C. D.10.存在點(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)M在第一象限,使得過點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知實(shí)數(shù),則下列說法正確的是()A. B.C. D.12.若均為任意實(shí)數(shù),且,則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在一個(gè)倒置的高為2的圓錐形容器中,裝有深度為的水,再放入一個(gè)半徑為1的不銹鋼制的實(shí)心半球后,半球的大圓面、水面均與容器口相平,則的值為____________.14.已知,滿足,則的展開式中的系數(shù)為______.15.等邊的邊長(zhǎng)為2,則在方向上的投影為________.16.已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點(diǎn),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),直線是曲線在處的切線.(1)求證:無論實(shí)數(shù)取何值,直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若直線經(jīng)過點(diǎn),試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明.18.(12分)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),單位圓與角終邊的交點(diǎn)為,過作平行于軸的直線,設(shè)與終邊所在直線的交點(diǎn)為,.(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.19.(12分)已知橢圓()的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,試問在軸上是否存在定點(diǎn)使得直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.20.(12分)如圖所示,直角梯形ABCD中,,,,四邊形EDCF為矩形,,平面平面ABCD.(1)求證:平面ABE;(2)求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值.(3)在線段DF上是否存在點(diǎn)P,使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為,若存在,求出線段BP的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說明理由.21.(12分)在一次電視節(jié)目的答題游戲中,題型為選擇題,只有“A”和“B”兩種結(jié)果,其中某選手選擇正確的概率為p,選擇錯(cuò)誤的概率為q,若選擇正確則加1分,選擇錯(cuò)誤則減1分,現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.(1)當(dāng)時(shí),記,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)當(dāng),時(shí),求且的概率.22.(10分)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連結(jié)DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B?CG?A的大小.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡(jiǎn)題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)于恒成立,即即對(duì)恒成立即對(duì)恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點(diǎn)睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.2、D【解析】

根據(jù)圖形中的信息,可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù),從而得到答案.【詳解】對(duì)A,從圖中數(shù)據(jù)變化看,PMI值不低于50%的月份有4個(gè),所以12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為,故A正確;對(duì)B,由圖可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正確;對(duì)C,12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%,故C正確,;對(duì)D,12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為49.6%,故D錯(cuò)誤故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

設(shè),,,,設(shè)直線的方程為:,與拋物線方程聯(lián)立,由△得,利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件得,,代入上式即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程,消去得:,△,,且,,,線段的中點(diǎn)為,,,,,,,,把代入,得,,,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用,屬于中檔題.4、C【解析】

根據(jù)韋恩圖可確定所表示集合為,根據(jù)一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合,根據(jù)補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】由韋恩圖可知:陰影部分表示,,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算,涉及到一元二次不等式和函數(shù)定義域的求解;關(guān)鍵是能夠根據(jù)韋恩圖確定所求集合.5、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)“”成立.此時(shí),,,的最小值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.6、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式;利用整體對(duì)應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,錯(cuò)誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯(cuò)誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯(cuò)誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來的得:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),此時(shí)沒有最大值,錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對(duì)稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對(duì)應(yīng)的方式,通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).7、B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出,然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由,所以其共軛復(fù)數(shù).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念,難度較易.8、C【解析】

求出函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性解不等式.【詳解】由得,在時(shí),是增函數(shù),是增函數(shù),是增函數(shù),∴是增函數(shù),∴由得,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,考查解函數(shù)不等式,解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性,解題時(shí)可先確定函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)求解.9、A【解析】

根據(jù)函數(shù)解析式,可知的定義域?yàn)椋ㄟ^定義法判斷函數(shù)的奇偶性,得出,則為偶函數(shù),可排除選項(xiàng),觀察選項(xiàng)的圖象,可知代入,解得,排除選項(xiàng),即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)椋缘亩x域?yàn)椋瑒t,∴為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,排除選項(xiàng),且當(dāng)時(shí),,排除選項(xiàng),所以正確.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象,利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.10、D【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

利用不等式性質(zhì)可判斷,利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解:對(duì)于實(shí)數(shù),,不成立對(duì)于不成立.對(duì)于.利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì),即可得出.對(duì)于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì),因此不成立.故選:.【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大小.要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件.解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外,還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.12、D【解析】

該題可以看做是圓上的動(dòng)點(diǎn)到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的最小值問題,可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問題,結(jié)合圖形,可以斷定那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直的問題來解決,從而求得切點(diǎn)坐標(biāo),即滿足條件的點(diǎn),代入求得結(jié)果.【詳解】由題意可得,其結(jié)果應(yīng)為曲線上的點(diǎn)與以為圓心,以為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平方的最小值,可以求曲線上的點(diǎn)與圓心的距離的最小值,在曲線上取一點(diǎn),曲線有在點(diǎn)M處的切線的斜率為,從而有,即,整理得,解得,所以點(diǎn)滿足條件,其到圓心的距離為,故其結(jié)果為,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處切線斜率的應(yīng)用,考查圓的程,兩條直線垂直的斜率關(guān)系,屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑,再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為,體積為,半球的體積為,水(小圓錐)的體積為,如圖則,所以,,解得,所以,,,由,得,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積、球的體積的計(jì)算,考查學(xué)生空間想象能力與計(jì)算能力,是一道中檔題.14、1【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理求出,然后再由二項(xiàng)式定理或多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合組合的知識(shí)求得系數(shù).【詳解】由題意,.∴的展開式中的系數(shù)為.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,掌握二項(xiàng)式定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.15、【解析】

建立直角坐標(biāo)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由題意可知:,,,則:,,且,,據(jù)此可知在方向上的投影為.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,向量投影的定義與計(jì)算等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16、【解析】

設(shè)雙曲線方程為,代入點(diǎn),計(jì)算得到答案.【詳解】雙曲線漸近線為,則設(shè)雙曲線方程為:,代入點(diǎn),則.故雙曲線方程為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)漸近線求雙曲線,設(shè)雙曲線方程為是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析,(2)函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【解析】

(1)首先求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線斜率,利用點(diǎn)斜式即可求出切線方程,根據(jù)方程即可求出定點(diǎn).(2)由(1)求出函數(shù),令方程可轉(zhuǎn)化為記,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增,根據(jù),由零點(diǎn)存在性定理即可求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】所以直線方程為即,恒過點(diǎn)將代入直線方程,得考慮方程即,等價(jià)于記,則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增,又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),即函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線過定點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理,屬于難題.18、(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)題意,求得,,因而得出,利用降冪公式和二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù),最后利用,求出的最小正周期;(2)由(1)得,再利用整體代入求出函數(shù)的值域.【詳解】(1)因?yàn)椋裕院瘮?shù)的最小正周期為.(2)因?yàn)椋裕裕屎瘮?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和值域,運(yùn)用到向量的坐標(biāo)運(yùn)算、降冪公式和二倍角的正弦公式,考查化簡(jiǎn)和計(jì)算能力.19、(1)(2)見解析【解析】

(1)由題得a,b,c的方程組求解即可(2)直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱,等價(jià)于的斜率互為相反數(shù),即,整理.設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,將韋達(dá)定理代入整理即可.【詳解】(1)由題意可得,,又,解得,.所以,橢圓的方程為(2)存在定點(diǎn),滿足直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱.設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,整理得,.設(shè),,定點(diǎn).(依題意則由韋達(dá)定理可得,,.直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱,等價(jià)于的斜率互為相反數(shù).所以,,即得.又,,所以,,整理得,.從而可得,,即,所以,當(dāng),即時(shí),直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱成立.特別地,當(dāng)直線為軸時(shí),也符合題意.綜上所述,存在軸上的定點(diǎn),滿足直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程,直線與橢圓位置關(guān)系,熟記橢圓方程簡(jiǎn)單性質(zhì),熟練轉(zhuǎn)化題目條件,準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,是中檔題.20、(I)見解析(II)(III)【解析】試題分析:(Ⅰ)取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可得平面的法向量,且,據(jù)此有,則平面.(Ⅱ)由題意可得平面的法向量,結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可得,即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.(Ⅲ)設(shè),,則,而平面的法向量,據(jù)此可得,解方程有或.據(jù)此計(jì)算可得.試題解析:(Ⅰ)取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,,∴,,設(shè)平面的法向量,∴不妨設(shè),又,∴,∴,又∵平面,∴平面.(Ⅱ)∵,,設(shè)平面的法向量,∴不妨設(shè),∴,∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.(Ⅲ)設(shè),,∴,∴,又∵平面的法向量,∴,∴,∴或.當(dāng)時(shí),,∴;當(dāng)時(shí),,∴.綜上,.21、(1)見解析,0(2)【解析】

(1)即該選手答完3道題后總得分,可能出現(xiàn)的情況為3道題都答對(duì),答對(duì)2道答錯(cuò)1道,答對(duì)1

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