2023-2024學年度下學期

武漢外國語學校初中二年級期末考試

數學試題

卷面分值：120分考試時間：120分鐘

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.二次根式百工中字母龍的取值范圍是（）

A.元25B.x<5C.%w5D.x<5

2.下列運算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.2A/3-VJ=2

C.2島3百=6百D.V6-V2=V3

3.在Rt/XABC中，NC=90°,AC=6,48=10,則BC的值為（）

A.6B.8C.10D.2A/34

4.如圖，直線>=履+〃與坐標軸交于兩點，則y>0時，x的取值范圍是（）

C.x>—2D.%<19

5.如圖，在口48。中，ZC=90°,ZB=15°,A3的垂直平分線交5C于。，交A3于E,若DB=10

cm,則CD的長為（）cm

A.10B.8C.5D.5百

第1頁/共6頁

6.下列條件中，不能判定四邊形ABC。是平行四邊形的是（）

A.NA=NC,ABHCDB.AB//CD,AB=CD

C.AB=CD,AD//BCD.AB//CD,AD//BC

7.水是生命之源，為了倡導節約用水，隨機抽取某小區7戶家庭上個月家里的用水量情況（單位：噸），

數據為：7,8,5,6,8,9,10.這組數據的中位數和眾數分別是（）

A.6,8B.8,2C.7,8D.8,8

8.如圖，用直尺和圓規作菱形ABC。，作圖過程如下：①作銳角NA；②以點A為圓心，以任意長度為

半徑作弧，與NA的兩邊分別交于點8,D；③分別以點2,。為圓心，以的長度為半徑作弧，兩弧

相交于點C,分別連接OC,BC,則四邊形ABC。即為菱形，其依據是（）

A.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B.四條邊相等的四邊形是菱形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.每條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形

9.如圖，從一個大正方形中截去面積為5和邑的兩個小正方形，若陰影部分的周長和面積分別是

D.62^/3

10.如圖，已知一個矩形紙片。ACB,將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（10,0）,點8（0,6）,點尸

為邊上的動點，將口。5尸沿OP折疊得到△。尸連接CD、AD.則下列結論中：①當

/80尸=45°時，四邊形。BPD為正方形；②當NBOP=30°時，的面積為18；③當P在運動過

程中，8的最小值為2后-6；④當時，BP=2.其中結論正確的有（）

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B.2個C.3個D.4個

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

11.化簡的結果為

12.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與2D相交于點。，且/。。=90°.若E是BC邊的中點,

13.如圖，直線＞=3彳和丁=履+2相交于點尸（兄3）,則關于x的不等式3xVAx+2的解集是

14.甲、乙兩車同時從A、B兩地出發，相向而行，甲車到達8地后立即返回A地，兩車離A地的距離y

（單位：km）與所用時間x（單位：min）之間的函數關系如圖所示（粗線表示乙車，細線表示甲車）,

則甲、乙兩車在途中兩次相遇的間隔時間為min.

15.如圖，在矩形ABC。中，AD=\2,AB=9,將矩形ABC。沿E戶折疊，使A點與C點重合，則

折痕E尸的長度為.

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16.直線丁=--1與函數+的圖像有且只有兩個公共點，則k的取值范圍是

三、解答題（共8小題，共72分）

17.計算：

⑴3T3-V8+V2-V27；

2024

⑵^X^|-(-1)+|V3-2|

18.如圖，點E,尸在平行四邊形ABC。的對角線3。上，BE=DF,求證：四邊形AECT為平行四邊形.

■D

BC

19.已知直線丁=履+5交x軸于點A,交y軸于點B,且點A坐標為（5,0）,直線y=2x-4交x軸于點

D,與直線相交于點C.

（1）求點C的坐標；

（2）求△AOC的面積.

20.某地教育行政部門為了了解八年級學生每學期參加綜合實踐活動的情況，隨機抽樣調查了某中學八年

級學生一個學期參加綜合實踐活動的天數，并用得到的數據繪制了下面兩幅不完整的統計圖.請你根據圖

中提供的信息，回答下列問題：

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（1）扇形統計圖中。的值是

合實踐活動的天數的中位數是:

（2）請補全條形統計圖;

（3）請你估計該校八年級學生每學期參加綜合實踐活動的平均天數約是多少?

21.已知，點A,B,C都是格點，用無刻度直尺畫圖:

（2）作口ABC的高3N；

（3）在AB上作點E,使NACE=45°；

（4）點尸為AC與網格線的交點，在AB上作點。，使=

22.某家具商場計劃購進某種餐桌、餐椅進行銷售，有關信息如下表：

原進價（元/張）零售價（元/張）成套售價（元/套）

餐桌a380

940

餐椅67-140160

已知用600元購進的餐椅數量與用1300元購進的餐桌數量相同.

（1）用含。的代數式表示600元購進的餐椅，1300元購進的餐桌數量分別為,.

（2）求表中a的值；

（3）該商場計劃購進餐椅的數量是餐桌數量的5倍還多20張，且餐桌和餐椅的總數量不超過200張.若

將一半的餐桌成套（一張餐桌和四張餐椅配成一套）銷售，其余餐桌、餐椅以零售方式銷售，請問怎樣進

貨，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

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23.已知：正方形ABC。，尸、//分別是邊BC、CD上的動點.連接A/、AH.

【初步探究】

(1)如圖1,連接切，若BF+DH=FH,求證：ZFAH=45°；

【深入探究】

(2)如圖2,過尸作RE〃A5交于E,過〃作“G〃4。交A3于G,若矩形PECH的面積恰是

矩形AGPE面積的2倍，求NE4H的度數；

【延伸探究】

(3)如圖3,尸是矩形A6CD內一點，且尸A=3,PB=5,PC=Q,請直接寫出尸。的長度.

24.已知直線A3交x軸于點A(—1,0),交丫軸于點8(0,3),點。(3,-1).

(1)直接寫出直線的解析式；

(2)如圖2,點P為直線y=4上第一象限內一點，且NPBC=135°,求P點坐標；

(3)在直線y=-x+5上是否存在點Q,使S^OAC=25讖℃.若存在，直接寫出。點的坐標；若不存

在，請說明理由.

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2023-2024學年度下學期

武漢外國語學校初中二年級期末考試

數學試題

卷面分值：120分考試時間：120分鐘

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.二次根式百工中字母龍的取值范圍是（）

A.B.x<5C.xw5D.x<5

【答案】B

【解析】

【分析】根據二次根式有意義的條件列出不等式，再求解即可.

【詳解】解：???二次根式7有意義，

；?5—x20,

解得：x<5,

故選B

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，明確二次根式G中的被開方數是解題的關鍵.

2.下列運算正確的是（）

A.V2+V3=V5B-2右-囪=2

C.26x36=6百D.=6

【答案】D

【解析】

【分析】根據二次根式運算法則逐項計算即可.

【詳解】A.、歷與百被開方數不同，不能合并，故A錯誤；

B.2A/3-V3=V3，故B錯誤；

C.2V3X3A/3=18，故C錯誤；

D.y[6V2=V3>故D正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次根式的運算，解題關鍵是熟練掌握二次根式的運算法則，準確進行計算.

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3.在中，NC=90。，AC=6,AB=10,則BC的值為（）

A.6B.8C.10D.2734

【答案】B

【解析】

【分析】根據勾股定理求解即可.

【詳解】：在RtZXABC中，NC=90。，AC=6,AB=10,

■■BC=AB2-AC2=V102-62=8-

故選：B.

【點睛】本題主要考查勾股定理，牢記勾股定理（如果直角三角形的兩條直角邊長分別為*b,斜邊長為

C,那么/+62=02）是解題的關鍵.

4.如圖，直線丁=丘+6與坐標軸交于兩點，則y>0時，x的取值范圍是（）

A.x>0B.x<—2C.x>-2D.%<19

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了根據一次函數圖像寫出函數值大于。時尤的取值范圍，具有數形結合的思想并且

熟練的掌握一次函數的圖像和性質是解題的關鍵.根據圖像，找到直線與x的交點坐標，觀察在x上方的

部分即可得到x的取值范圍.

【詳解】解：由圖可知，直線與x軸的交點坐標為（-2,0）,

當y>0時，圖像在X軸上方，在與無軸交點的右邊，

所以當x>-2時，y>0

故選：c

5.如圖，在口ABC中,NC=90。，ZB=15°,AB的垂直平分線交于D,交AB于E,若DB=10

cm,則CD的長為（）cm

第2頁/共30頁

【答案】D

【解析】

【分析】由線段垂直平分線的性質及三角形外角的性質可求解AD=D3=10cm,/ADC=30。，再利用含

30。角的直角三角形的性質可求解AC=5,再利用勾股定理可求解8的長.

【詳解】解：；的垂直平分線交于D,交AB于E,

AD=BD=10,ZDBA=ZBAD=15°

ZADC=30"

AC=-AD=5,

2

根據勾股定理可得：CD=7AD2-AC2=V102-52=56cm

故選：D

【點睛】本題考查了含30。角的直角三角形，勾股定理，解題的關鍵是：熟記含30。角的直角三角形的性

質，線段垂直平分線的性質及三角形的外角性質.

6.下列條件中，不能判定四邊形ABC。是平行四邊形的是（）

A.NA=NC,AB口CDB.AB//CD,AB=CD

C.AB=CD,AD//BCD.AB//CD,AD//BC

【答案】C

【解析】

【分析】根據平行四邊形的判定方法，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：如圖：

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A、,/ABnCD,

ZA+ZD=180°,

：.ZC+ZD=180°,

：.AD//BC,

.??四邊形ABC。是平行四邊形；故A選項不符合題意；

B、AB//CD,AB=CD,

.??四邊形ABC。是平行四邊形；故B選項不符合題意；

C、AB=CD,A。無法判斷四邊形ABC。是平行四邊形；故C選項符合題意；

D、?/AB//CD,AD//BC,

.??四邊形ABC。是平行四邊形；故D選項不符合題意；

故選C.

【點睛】本題考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法，是解題的關鍵.

7.水是生命之源，為了倡導節約用水，隨機抽取某小區7戶家庭上個月家里的用水量情況（單位：噸），

數據為：7,8,5,6,8,9,10.這組數據的中位數和眾數分別是（）

A.6,8B.8,2C.7,8D.8,8

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了眾數和中位數的知識，理解并掌握眾數和中位數的定義是解題關鍵.根據眾數和

中位數的定義分別求解，即可獲得答案.

【詳解】解：將這組數據從小到大排列，為5,6,7,8,8,9,10,

其中排在第4位的是8,

這組數據的中位數為8,

這組數據中，出現次數最多的是8,共計2次，

二這組數據的眾數為8.

故選：D.

8.如圖，用直尺和圓規作菱形ABC。，作圖過程如下：①作銳角NA；②以點A為圓心，以任意長度為

半徑作弧，與NA的兩邊分別交于點。；③分別以點8,。為圓心，以的長度為半徑作弧，兩弧

相交于點C,分別連接OC,BC,則四邊形ABC。即為菱形，其依據是（）

第4頁/共30頁

A.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形B.四條邊相等的四邊形是菱形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.每條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了尺規作圖和菱形的判定定理，理解并掌握菱形的判定定理是解題關鍵.由作圖過程

可知AD=AB=DC=BC,結合菱形的判定定理分析判斷即可.

【詳解】解：由作圖過程可知，AD=AB=DC=BC,

，依據是“四條邊相等的四邊形是菱形”.

故選：B.

9.如圖，從一個大正方形中截去面積為5和S?的兩個小正方形，若陰影部分的周長和面積分別是

8亞+12遍和24百，則5+S2的值是（)

B.48GC.62D.62G

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查二次根式的混合運算的應用，設兩個小正方形的邊長分別為。，b,不妨設斗=。2,

邑=/,根據題意2"=246,4。+4。=8也+12A/6-由完全平方公式求得/即可.

【詳解】解：設兩個小正方形的邊長分別為a,b,不妨設4="，邑=",

根據題意，2ab=24也,4。+46=8也+12#，

即。+匕=2也+3指，

由（a+b^'=a2+b2+2ab得

第5頁/共30頁

a2+b2=(2拒+3面『-24百

=8+246+54-246

=62，

即S]+S2=a2+b2=62,

故選：C.

10.如圖，已知一個矩形紙片。4c8,將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（10,0）,點8（0,6）,點尸

為邊上的動點，將口。5尸沿OP折疊得到△。尸。，連接CD、AD.則下列結論中：①當

NBOP=45°時，四邊形。3PD為正方形；②當NBOP=30°時，△。4。的面積為18；③當P在運動過

程中，CD的最小值為2后—6；④當OD_LAD時，BP=2.其中結論正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】由矩形的性質得到NO3C=90°,由折疊的性質得到05=。。，ZPDO=AOBP=90°,

ZBOP=ZDOP,得到四邊形。2尸。為矩形，推出四邊形。以鶴為正方形，即可判斷①；過點D作

。打，。4于點”，根據題意得到。4=10,OB=6,根據折疊的性質和矩形性質推出/。。4=30°,

根據直角三角形性質得到?！?：。。=3,利用用。的二:3-08即可判斷②；連接。C，根據三角形

三邊關系得到OD+CD2OC,推出當OD+CD=OC時，8取得最小值，利用勾股定理得到

OC=A/（9A2+AC2，根據CD=OC-。。，即可判斷③；根據已知條件推出P、D、A三點共線，利

用平行線性質和折疊的性質，結合等量代換得到/QP4=/P0A,推出4尸=。4=10,根據勾股定理算出

CP,推出3P=3C—CP即可判斷④.

【詳解】解：①.??四邊形。4c8為矩形，

ZOBC=90°,

???將□03尸沿OP折疊得到△。尸。，

OB=OD,APDO=ZOBP=90°,ZBOP=ZDOP,

：ABOP=45°,

第6頁/共30頁

，"OP=ZB。尸=45°,

/BOD=90。,

：,ZBOD=NOBP=AODP=90°,

，四邊形08尸。為矩形，

OB=OD,

，四邊形。2尸。為正方形；

二①正確；

②過點。作于點

???點4（10,0）,點8（0,6）,ZBOP=30°,

..04=10,05=6,

OD=OB=6,4B0P=4D0P=30°,

ZBOD=60°,

,-.ZD0A=30°,

：,DH=-OD=3,

2

HOAD的面積為工。4-DH=LX10X3=15,

22

二②錯誤；

③連接OC,

??OD+CD>OC,OD=OB=6,當。。+CD=OC時，CD取得最小值,

-AC=OB=6,04=10,

oc=VOA2+AC2=2734，

：,CD=OC-OD=2^-6,

第7頁/共30頁

8的最小值為2取-6,

二③正確；

④；0D1AD,

■.ZADO=90°,

：AODP=AOBP=90°,

.-.ZA￡）P=180o,

：.P、D、A三點共線，

???OA//CB,

:"OPB=NPOA,

：ZOPB=ZOPD,

：,ZOPA=ZPOA,

,-,AP=OA=10,

vAC=6,

：,CP=V102-62=8，

：,BP=BC-CP=IO-S=2.

二④正確；

綜上所述，結論正確的有3個，

故選：C.

【點睛】本題考查了正方形的判定和性質，矩形的判定和性質，三角形三邊關系，折疊的性質，勾股定

理，三角形的面積的計算，30度所對直角邊等于斜邊的一半，熟練掌握相關性質并靈活運用即可解題.

二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）

11.化簡，:的結果為.

［答案】

4

【解析】

【分析】把二次根式化為最簡二次根式即可.

【詳解】解：p=F=也

V8V164

故答案為：

4

第8頁/共30頁

【點睛】本題考查了二次根式的性質化簡，分母有理化，掌握二次根式的性質是解題的關鍵.

12.如圖，平行四邊形ABCO的對角線AC與8。相交于點O,且NOCD=90°.若E是BC邊的中點,

【解析】

【分析】根據平行四邊形的性質得出OC=3,OD=5,進而利用勾股定理得出CD的長，利用三角形中位線

的性質得出即可.

【詳解】解：；四邊形ABC。是平行四邊形，BD=\O,AC=6,

；.0C=3,00=5,

?：ZOCD=9Q°,

?*-CD=yj0D--0C2=4,

是BC邊的中點，。是2。的中點，

：.2OE=CD,

：.0E=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質以及中位線定理，勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練運用平行四邊

形的性質.

13.如圖，直線丫=3尤和丁=履+2相交于點尸（心3）,則關于x的不等式3xW依+2的解集是.

【解析】

【分析】先根據直線y=3x求出尸點坐標，不等式3x4h+2的解即為直線。尸在直線尸。下方時，對應

第9頁/共30頁

的X的范圍

尸（a,3）點在y=3x上

:.3—3a

即a=l

故P（l,3）

3x<kx+2

即直線OP在直線尸。下方

由圖知，止匕時xWl

故答案為：x<l

【點睛】本題考查一元一次不等式與一次函數，注意以兩直線交點作為分界點去看

14.甲、乙兩車同時從A、8兩地出發，相向而行，甲車到達2地后立即返回A地，兩車離A地的距離y

（單位：km）與所用時間x（單位：min）之間的函數關系如圖所示（粗線表示乙車，細線表示甲車）,

則甲、乙兩車在途中兩次相遇的間隔時間為min.

【解析】

【分析】本題考查從函數圖象中獲取信息，一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形

結合的思想解答.根據題意和函數圖象中的數據，可以計算出甲、乙兩車兩次相遇的時間，然后作差即

可.

【詳解】解：設甲乙兩地的距離為Skm,

第10頁/共30頁

則甲車的速度為一km/min,乙車的速度為一km/min,

1030

=75mln

甲、乙兩車在途中第一次相遇的時間為：￡-^-()；

設甲、乙兩車在途中第二次相遇的時間為amin,

則-10)=—a,

解得a=15,

15-7.5=7.5(min),

即甲、乙兩車在途中兩次相遇的間隔時間為7.5min,

故答案為：7.5.

15.如圖，在矩形ABC。中，AD=12,AB=9,將矩形ABC。沿石尸折疊，使A點與C點重合，則

折痕E尸的長度為

【答案】—

4

【解析】

【分析】連接A尸，由勾股定理求出AC=15,由折疊的性質可得。4=OC=="，ACLEF,

22

由垂直平分線的性質可得AF=設Cb=尤，則AR=CR=x,BF=BC-CF=n-x,由勾股定

理可得92+(12—Jr?=/,求出x的值即可得到CT的長，再由勾股定理求出0P的長，再證明OE=Ob

即可得到答案.

【詳解】解：連接Ab，記AC,EE的交點為

第11頁/共30頁

???四邊形ABC。是矩形，AD=12,AB=9,

ZB=90°,BC=AD=12,AD//BC,

AC=siAB2+BC2=V92+122=15，

由折疊的性質得：Q4=OC=^AC="，AC1EF,

22

.■.所垂直平分AC,

AF=CF,

設CP=x,則AR=CR=x,BF=BC-CF=12-x,

AB2+BF2=AF2，

.-.92+(12-X)2=x2,

75

解得：x=—,

8

AD//BC,

NAEO=NCFO,

?/AO=CO,ZAOE=ZCOF,

：.AAOE^ACOF,

OE=OF,

45

:.EF=2OF=——，

4

45

故答案為：――.

4

【點睛】本題主要考查了矩形的性質、折疊的性質、垂直平分線的性質、勾股定理，全等三角形的判定與

性質，熟練掌握矩形的性質、折疊的性質、垂直平分線的性質、勾股定理，是解題的關鍵.

16.直線丁=6-1與函數y=|x-i|+|.12］的圖像有且只有兩個公共點，則上的取值范圍是.

【答案】1＜女＜2

【解析】

【分析】本題考查的是一次函數的圖象與性質，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵；先把函數

y=BM+k-2|化為分段函數的形式，再求解當丁=依一1過(2,1)時，當了=履—1過(1,1)時，上的值,

再結合函數圖象可得答案.

第12頁/共30頁

【詳解】解：當x>2時,

y=|x-1|+|x-=x-1+x-2=2x3,

當l〈xW2時，

y=|x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1,

當x<1時，

y=|x-1|+|.v2|=1-x+2—%=3-2%；

而y=6一1過（0,-1）,

21=1,

解得：k=l,

當丁=履一1過(1,1)時，

左—1=1,

解得：k=2,

此時y=2x—1的圖象與y=2x—3的圖象平行，

直線丁=6一1與函數y=|x-i|+|x-2|的圖象有且只有兩個公共點，上的取值范圍是1〈左<2；

故答案為：1<%<2

三、解答題(共8小題，共72分)

17.計算：

⑴3A5-78+V2-727：

第13頁/共30頁

（2）^x^|-（-ir+|V3-2|

【答案】(1)—行

(2)1

【解析】

【分析】本題考查的是二次根式的混合運算，掌握運算順序是解本題的關鍵；

(D先化簡二次根式，再合并即可；

(2)先計算二次根式的乘法運算，計算乘方運算，化簡絕對值，再合并即可.

【小問1詳解】

解：373-78+72-727

=373-272+72-373

=—V2；

【小問2詳解】

=V3-l+2-V3

=1.

18.如圖，點E,尸在平行四邊形ABC。的對角線3。上，BE=DF,求證：四邊形AECR為平行四邊形.

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質和判定、全等三角形的判定和性質等知識，熟練掌握平行四邊形的判

定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵.

證AABEmACDF,得/AEB=ZDFC,AE=CT,則NAED=NBFC，得AE〃CF,再根據平行

四邊形的判定定理即可得到結論.

【詳解】證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

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AB//DC,AB=CD,

NABE=NCDF,

在口43后和口。。廠中，

AB=CD

<ZABE=ZCDF,

BE=DF

HABE-CDF(SAS),

NAEB=NDFC,AE=CF,

ZAED=ZBFC,

AE//CF,

.??四邊形AECF是平行四邊形.

19.已知直線了=履+5交x軸于點A,交y軸于點8,且點A坐標為(5,0),直線y=2x-4交x軸于點

D,與直線AB相交于點C.

(1)求點C的坐標；

(2)求△ADC的面積.

【答案】⑴(3,2)

(2)3

【解析】

【分析】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，一次函數與坐標軸的交點，一次函數的交點，關鍵是

正確從函數圖象中獲得正確信息.

(1)先求出直線的解析式，再和直線CO的解析式聯立，解方程組即可得到結論；

(2)先求出點。的坐標，然后根據三角形的面積公式即可得到結論.

【小問1詳解】

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解：..?直線丁=履+5經過點A（5,0）,

5k+5=0,

解得左=7,

???直線AB的解析式為：y=-x+5；

聯立直線AB、CD的解析式成方程組

y——x+5x=3

為解得《。

y=2%—4>=2

:?點C的坐標是（3,2）.

【小問2詳解】

解：把y=0代入y=2x—4得：x=2.

0（2,0）,

VA（5,0）,C（3,2）,

AD=5—2=3,點C到A￡＞距離是2,

S口AOC=]X2x3=3.

20.某地教育行政部門為了了解八年級學生每學期參加綜合實踐活動的情況，隨機抽樣調查了某中學八年

級學生一個學期參加綜合實踐活動的天數，并用得到的數據繪制了下面兩幅不完整的統計圖.請你根據圖

中提供的信息，回答下列問題：

（1）扇形統計圖中。的值是;該校八年級學生共有人,這次抽樣調查中學生每學期參加綜

合實踐活動的天數的中位數是;

（2）請補全條形統計圖；

（3）請你估計該校八年級學生每學期參加綜合實踐活動的平均天數約是多少？

【答案】（1）25；200；4

（2）補全圖形見解析（3）4.35天

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【解析】

【分析】本題主要考查讀頻數分布直方圖的能力和利用統計圖獲取信息的能力，利用統計圖獲取信息時，

必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題.

（1）根據各部分所占的百分比的和等于1列式計算即可求出a的值，根據看2天的人數與所占的百分比列

式計算即可求出總人數，將實踐活動的天數按照從小到大順心排列，找出最中間的兩個數，求出平均數即

可得到中位數；

（2）根據所占的百分比分別求出活動時間為5天、7天的學生人數，然后補全統計圖即可；

（3）直接利用平均數公式計算即可.

【小問1詳解】

解：根據題意得：。％=1-(5%+10%+15%+15%+30%)=25%,

a—25；

八年級學生總數為20+10%=200（人）；

將實踐活動的天數按照從小到大順心排列，找出最中間的兩個數都為4:

中位數是;x（4+4）=4；

【小問2詳解】

解：活動時間為5天的人數為200x25%=50（人）,

活動時間為7天的人數為200x5%=10（人）,

補全統計圖，如圖所示:

2天3天4天5天6天7天時間

解：該校八年級學生每學期參加綜合實踐活動的平均天數約是:

1

x(20x2+30x3+60x4+50x5+30x6+10x7)

200

=^-x870

200

=4.35(天)；

21.已知，點A,B,C都是格點，用無刻度直尺畫圖:

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(1)作口ABC的中線AM；

(2)作口48。的高3N；

(3)在AB上作點E,使NACE=45。；

(4)點尸為AC與網格線的交點，在上作點。，使乙4D/=NACB.

【答案】(1)見解析(2)見解析

(3)見解析(4)見解析

【解析】

【分析】本題考查作圖-應用與設計作圖，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

(1)根據三角形的中線的定義，利用數形結合的思想作出中線AM即可；

(2)取格點G、H,BH=AH=4,GH=CH=2,得到△BGH04ACH,據此即可作出高BN；

(3)取格點K,連接CK交于點E,點E即為所求(構造等腰直角三角形解決問題)；

(4)觀察圖形知/ABC=45°,取格點J,連接EZ交于點D,點D即為所求(構造等腰直角三角形

解決問題).

【小問1詳解】

解：如圖，線段AM,即為所求;

【小問2詳解】

解：如圖，線段3N,即為所求;

【小問3詳解】

解：如圖，點E即為所求;

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22.某家具商場計劃購進某種餐桌、餐椅進行銷售，有關信息如下表:

原進價（元/張）零售價（元/張）成套售價（元/套）

餐桌a380

940

餐椅61-140160

已知用600元購進的餐椅數量與用1300元購進的餐桌數量相同.

（1）用含。的代數式表示600元購進的餐椅，1300元購進的餐桌數量分別為,.

（2）求表中a的值；

（3）該商場計劃購進餐椅的數量是餐桌數量的5倍還多20張，且餐桌和餐椅的總數量不超過200張.若

將一半的餐桌成套（一張餐桌和四張餐椅配成一套）銷售，其余餐桌、餐椅以零售方式銷售，請問怎樣進

貨，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

1300

【答案】⑴-0?

a

(2)a=260

（3）購進餐桌30張、餐椅170張時，才能獲得最大利潤，最大利潤是9200元.

【解析】

【分析】（1）利用總價除以單價即可得到答案；

（2）根據二者數量相等即可列出關于a的方程，解方程并檢驗即得結果；

（3）設購進餐桌x張，銷售利潤為W元.根據購進總數量不超過200張，得出關于尤的一元一次不等

式，解不等式即可求出尤的取值范圍，再根據“總利潤=成套銷售的利潤+零售餐桌的利潤+零售餐椅的

利潤”即可得出W關于x的一次函數，然后根據一次函數的性質即可解決問題.

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【小問1詳解】

解：600元購進的餐椅數量為：一則一張，1300元購進的餐桌數量為幽張;

(2-140a

【小問2詳解】

解：根據題意，得：”竺600

aa-140

解得：a=260,

經檢驗：a=260是所列方程的解,

a=260；

【小問3詳解】

解：設購進餐桌x張，則購進餐椅(5x+20)張，銷售利潤為W元.

由題意得：x+5x+20<200,

解得：x<30.

:a=260,

餐桌的進價為260元/張，餐椅的進價為120元/張.

依題意可知：

W=1xx(940-260-4xl20)+|xx(380-260)+f5x+20-|xx4jx(160-120)

=280x+800，

'：左=280>0,

W隨x的增大而增大，

.?.當x=30時，W取最大值，最大值為9200元.

答：購進餐桌30張、餐椅170張時，才能獲得最大利潤，最大利潤是9200元.

【點睛】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式和一次函數的應用，屬于?？碱}型，解題的關鍵

是：正確理解題意、由數量相等得出關于a的分式方程；根據數量關系找出W關于x的函數解析式，靈活

應用一次函數的性質.

23.已知：正方形ABC。，F、，分別是邊BC、CD上的動點.連接A/、AH.

【初步探究】

(1)如圖1,連接切，若BF+DH=FH,求證：ZFAH=45°；

【深入探究】

(2)如圖2,過產作RE〃A5交于E,過"作“G〃人。交A3于G,若矩形的面積恰是

矩形AGPE面積的2倍，求ZFAH的度數；

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【延伸探究】

(3)如圖3,P是矩形A8CD內一點，且尸A=3,PB=5,PC=1,請直接寫出尸。的長度.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)PD=V33

【解析】

【分析】⑴如圖所示，延長到M，使得BM=DH,連接AM,證明RtzXAB航咨RtzXADH(SAS),

再證明雪從而可得結論；

(2)如圖所示，延長到M,使得BM=DH,連接AM,可證咨RtAADH(SAS),可得

A"=AM,根據正方形的性質，垂直的性質可得四邊形AGPE,四邊形GPEB,四邊形PECH,四邊

形尸EDH是矩形，設正方形的邊長為。，AG=m,GP=n,則RC=a—〃，CH=a-m,根據矩形

PECH的面積恰好是矩形4GPE面積的2倍，勾股定理的知識，可求出92=“R2,根據，，邊邊邊”的

判定方法可證△AMR四△AHR(SSS),由此即可求解.

(3)如圖，過尸作A3,AD的平行線，交矩形ABC。的邊于E,￡G,H,則矩形ABC。被分成4個小

矩形，再結合勾股定理可得：PA2+PC2=PB-+PD2，再進一步可得答案.

【詳解】證明：⑴如圖所示，延長到使得BM=DH,連接AM,

?.?四邊形ABC。是正方形，

AD=AB,ZDAB=ZD=ZABC=90°,

在RtZXADH.RtzXABM中，

AD=AB

<ND=ZABM,

DH=BM

：.RtAABM^RtAADH(SAS),

AM=AH,ADAH=ZBAM,

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AMAH=ABAD=90°,

BF+DH=FH,

BM+BF=MF=FH,

而AF=A尸，

AAMF^AAHF,

：.ZMAF=ZHAF=45°；

(2)如圖所示，延長CB到M,使得BM=DH,連接AM,

?.?四邊形ABC。是正方形，

AD=AB,NDAB=ND=ZABC=90°,

在RtzXADH.RtzXABM中，

AD=AB

<ZD=ZABM,

DH=BM

：.RtAABM^RtAADH(SAS),

AM=AH,ZDAH=ZBAM,

AMAH=ABAD=90°,

GH//BC,EF//AB,且四邊形ABCD是正方形，

GHLEF,

四邊形AGPE,四邊形GPFB,四邊形PECH,四邊形PEDH是矩形,

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設正方形的邊長為。，AG=m,GP=n,則方C=a—〃，CH=a-m,

??,矩形尸/CH的面積恰好是矩形AGP￡面積的2倍，

S四邊形pF?！?FCCCH-(a-n)(a-m)=a2~(m+ri)a+mn,S四邊形海七=AGUGP=mn,

：.a2-^m+n^a+mn=2mn,則〃2一(加+")〃=mn,2a2-2a(m+n)=2mn,

在RtAFCH中，FH2=FC2+CH2=(a-nf+(a-m)2,

FH2=2a2-2a(m+n)+m2+rf,

FH2=m~+2mn+n2=(m+nf,且MF2=(MB+BF)2=(DH+BF)2=(AG+GP)2=(m+n)2,

：.FH2=MF2=(m+n)2,

FH=MF,

■：AF=AF,AH=AM,

：.AAMF^AAHF(SSS),

ZMAF=ZHAF,

ZHAF=ZMAF=45°.

(3)如圖，過P作AB,AD的平行線，交矩形ABC。的邊于,

則矩形ABCD被分成4個小矩形，

AE=PH,BF=PE,PG=CF,PH=DG,

由勾股定理可得：

PA2=AE2+PE2=PE'+PH-，

PC2=PF2+CF-=PF2+PG?，

PB2=BF~+PF2=PE?+PF-，

PD-=PG1+DG2=PG2+PH2，

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PA2+PC2=PB-+PD2，

VPA=3,PB=5,PC=7,

???PD2=32+72-52=33,

；?PD=后；

【點睛】本題主要考查正方形的性質及勾股定理，全等三角形的判定和性質的綜合應用，掌握對正方形背景

下的輔助線的添加方法，正方形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.

24.已知直線AB交x軸于點交y軸于點8（0,3）,點C（3,-1）.

（1）直接寫出直線的解析式；

（2）如圖2,點尸為直線y=4上第一象限內一點，且NPBC=135。，求尸點坐標；

（3）在直線y=-x+5上是否存在點。，使=25讖呢.若存在，直接寫出。點的坐標；若不存

在，請說明理由.

【答案】（1）y=3x+3

⑵尸加

（3）或Q（33,一28）；

【解析】

【分析】（1）直接利用待定系數法求解直線的解析式即可；

（2）求解直線為y=-：x+3,可得Q[：,O],如圖，過B作BG,于G,交直線y=4于

F,記與直線y=4的交點為石，作平分NE3E,其反向延長線交了軸于H,可得

SQBHGGHBG

ZPBC=135°,過H作印，5G于1,作HJLBC于J,可得HI=HJ,可得=

'□